2 INTRODUCTION Les origines de la mathématisation du

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Introduction aux probabilités – B. Mariou – Automne 2016
version du 22 septembre 2016
INTRODUCTION
Les origines de la mathématisation du probable remontent au 17ème siècle lorsque se fait sentir le
besoin d’une aide à la prise de décision en situation d’incertitude, dans deux domaines distincts :
– les jeux de hasards, qui donnent lieu à des discussions théoriques entre mathématiciens ;
– les assurances, avec des questions pratiques sur les risques d’événements rares (accidents, catastrophes, . . .).
L’objet de la théorie des probabilités est donc d’étudier des phénomènes incertains, indéterminés,
aléatoires, i.e. , selon le dictionnaire « qui ne sont pas connaissables avec précision, pas prévisibles,
dont le résultat n’est pas acquis d’avance ».
Voyons deux exemples.
Exemple 1 – Les anniversaires.
Dans un échantillon de n personnes, quelle est la probabilité que deux personnes, au moins, aient
leur anniversaire le même jour ?
? Que signifie la question, que recherchons-nous, qu’est-ce qu’une probabilité ? On s’attend généralement à une réponse du type « 2 chances sur 5 » ou à un pourcentage. Donc à un nombre
entre 0 et 1.
Et plus ce nombre est grand, plus l’événement considéré (ici, deux anniversaires le même jour)
est probable.
? Pour un échantilon fixé de n personnes dont on connaît les dates de naissance, il n’y a plus
d’incertitude : ou bien il y a deux anniversaires identiques (oui à 100%), ou bien il n’y a pas
deux anniversaires identiques (non à 100% et oui à 0%)
? La question peut être interprétée en termes mathématiques si on la précise.
1. Parmi tous les échantillons de n personnes, quelle proportion comporte des anniversaires
identiques ? On confond alors la probabilité de l’événement avec la fréquence, statistique, de sa réalisation.
2. Parmi toutes les listes de n dates de l’année, quelle proportion comporte au moins une
répétition ?
Il s’agit d’une approche plus abstraite, qui permet des calculs, mais qui suppose implicitement
que les humains naissent uniformément tout au long de l’année.
L’important, pour l’instant, est que la question de la probabilité a son sens lorsque la situation
est quelconque, i.e. générale. Tandis que dans le cas d’un échantillon fixé, il s’agit d’une situation
particulière.
Exemple 2 – Lancer d’un dé.
On suppose que le dé est équilibré ou non truqué, i.e. toutes les faces ont la même probabilité,
la même "chance", de sortir.
1. Question posée avant le lancer :
Quelle est la probabilité d’obtenir 2 ?
2. On lance le dé mais on cache le résultat, par exemple avec un gobelet.
Question : Quelle est la probabilité d’obtenir 2 ?
3. On lance le dé et on regarde le résultat.
Question : Quelle est la probabilité d’obtenir 2 ?
? Dans le dernier cas, il n’y a pas d’incertitude. Imaginons que nous faisons des paris. Si les
paris se font après avoir vu le résultat, on est sûr de gagner car on ne pariera que lorsqu’on
constatera que le résultat est favorable.
Premières notions
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? Dans les deux premiers cas, il y a incertitude. Et s’il s’agit de parier, ce qui déterminera qu’on
mise ou pas, sera le montant de la mise, le montant du gain et la chance estimée de gagner.
Conclusions
→ Penser la probabilité : penser à toutes les situations analogues, à tous les résultats possibles.
→ Démarche probabiliste : chaque situation est envisagée comme un cas particulier
dans un ensemble de situations du même type.
→ Calcul des probabilités : analyse rigoureuse, structurée, quantitative, de ces situations d’incertitude.
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1 – PREMIÈRES NOTIONS
§1.1 - Expérience aléatoire.
1.1 – Exemples basiques. – Jeux dits de hasard.
? Lancer un dé à 6 faces. Il y a 6 scores possibles : 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
Dire que le dé est équilibré, c’est exactement dire que tous les résultats ont la même probabilité de sortir. Cette
probabilité est de 61 .
? Lancer une pièce. Il y a deux résultats possibles : Pile et Face.
Comme pour le dé, la pièce est dite équilibrée lorsque les deux résultats ont la même probabilité de sortie.
Cette probabilité est alors 12 .
? Tirer une carte parmi 52 : 52 cartes possibles, chacune a une probabilité d’être choisie de
condition que les cartes ne soient pas truquées.
1
,
52
toujours à la
1.2 – Définition. – Une expérience aléatoire est un phénomène pour lequel on ne connaît pas
de façon sûre le résultat qu’on va observer, mais pour lequel on connaît l’ensemble de tous les
résultats possibles.
Exemples. Le lancer d’un dé, d’une pièce - équilibrés ou pas -, ou le tirage d’une carte, sont des expériences
aléatoires. Ainsi que le lancer de deux dés, le tirage de 5 cartes, etc.
1.3 – Définition. – À chacun des résultats possibles d’une expérience aléatoire est associé un
nombre, réel, compris entre 0 et 1, sa probabilité.
Exemple. La probabilité d’obtenir pile en lançant une pièce équilibrée est p(pile) =
1
.
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1.4 – Remarque. – La somme des probabilités de tous les résultats possibles est toujours 1.
Exemple. p(pile) + p(f ace) = 1.
1.5 – Remarque. – Dans les exemples ci-dessus, tous les résultats possibles ont la même probabilité.
Mais ce n’est pas toujours le cas.
Exemple. Consdérons une pièce truquée de telle sorte qu’on a deux fois plus de chances d’obternir pile que face.
On a p(pile) = 23 et p(f ace) = 13 .
1.6 – Définitions. – L’ensemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire est appelé l’en-
semble fondamental de l’expérience, souvent noté Ω.
P
L’application p : Ω → [0; 1] telle que
p(ω) = 1
est une loi de probabilité sur Ω.
ω∈Ω
Autrement dit, si Ω = {ω1 ; . . . ; ωn }, on a p(ω1 ) + · · · + p(ωn ) = 1.
Exemple. Dans le cas du lancer de la pièce, on a Ω = {pile; f ace}.
Et si la pièce est truquée comme dans l’exemple ci-dessus, on a
p : pile 7→ 23 , f ace 7→ 31 .
Mais on peut aussi avoir, si la pièce est équilibrée
p= :
pile 7→ 12 , f ace 7→ 12
De manière générale, sur cet ensemble fondamental
pile 7→ a
.
à deux éléments, la loi de probabilité est du type :
f ace 7→ 1 − a où 0 6 a 6 1
1.7 – Remarques. – Interprétation de la loi de probabilité. Plus la probabilité d’un résultat,
i.e. la valeur réelle entre 0 et 1 qui lui est associée par la fonction p, est élevée, plus on a de chances
que ce résultat se produise.
– Associer un ensemble fondamental et une loi de probabilité à une expérience aléatoire, c’est
modéliser l’expérience. Cela signifie qu’on représente les principales caractéristiques de l’expérience
grâce à des objets mathématiques et qu’on espère que cette représentation permettra, grâce aux
manipulations sur ces objets, de mieux connaître les divers aspects de l’expérience.
– Dans la première remarque ci-dessus “probabilité d’un résultat” désigne la probabilité modélisée,
Premières notions
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i.e. la valeur de l’application p pour ce résultat. Tandis que “plus on a de chances que” fait référence
à la probabilité intuitive, expérimentale, celle qu’on essaie de modéliser.
1.8 – Définition. – Le cas où tous les résultats possibles ont la même probabilité s’appelle la situtation d’équiprobabilité. Cela signifie qu’aucun résultat n’est favorisé par rapport aux autres.
La loi de probabilité, dans ce cas, est appelée loi uniforme.
C’est le cas lorsqu’on choisit au hasard : choisir au hasard c’est sélectionner mais sans favoriser
aucun des choix possibles par rapport aux autres.
1.9 – Équiprobabilité avec n résultats possibles. – Supposons que Ω a n éléments ω1 , . . . , ωn et que
tous ces éléments ont la même probabilité, qu’on nomme a. On a donc :
n
n
P
P
P
1=
p(ω) =
p(ωi ) =
a = na. Et donc la probabilité de chaque résultat est a = n1 .
ω∈Ω
i=1
i=1
Exemple. Lancer d’un dé à 6 faces non truqué. L’ensemble fondamental a 6 éléments, et on est en situation
d’équiprobabilité puisque le dé est équilibré. Donc la probabilité de chacun des résultats possibles est 16 .
1.10 – Remarque. – En situation d’équiprobabilité, les calculs sont simplifiés puisque les proba-
bilités individuelles des différents résultats possibles sont les mêmes. Il est cependant nécessaire
de bien préciser les raisons pour lesquelles on est sûr d’être en situtation d’équiprobabilité (voir
exemple ci-dessus).
§1.2 - Événements.
1.11 – Exemple. – On lance un dé non truqué. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins 5 ?
“Obtenir au moins 5” est un événement qui se réalise lorsque le résultat est 5 ou 6.
L’événement peut donc être décrit par une propriété démandée pour le résultat (ici, être supérieur à 5) ou encore
par la liste des résultats possibles qui le réalisent, i.e. qui ont cette propriété (ici, 5 et 6).
1.12 – Définition. – Autrement dit, un événement est sous-ensemble de Ω.
On peut le décrire avec une propriété qui sélectionne ses éléments parmi tous ceux de Ω (compréhension) ou par la liste explicite de ses éléments (extension).
1.13 – Exemples. –
? Lancer d’un dé. Événement E : “obtenir un score impair” = {ω ∈ Ω|ω impair}. Résultats le réalisant : 1, 3 et
5. Donc E = {1; 3; 5}.
? Choix d’une carte parmi 52. E =“obtenir un as ou un ♠” = {ω ∈ Ω|ω est un as ou un ♠}.
Résultats qui réalisent E : tous les ♠ (13 cartes dont l’as) et tous les as (4 cartes dont celui de ♠).
? Singleton. Si ω ∈ Ω est un résultat possible, alors {ω} est un événement ; c’est l’événement qui est réalisé ssi le
résultat est ω.
1.14 – Probabilité d’un événement. – C’est la somme des probabilités de ses éléments.
Autrement dit :
pour E ⊂ Ω,
p(E) =
P
p(ω).
ω∈E
1.15 – Exemples. –
? Lancer d’un dé (suite). O
l na p(“obtenir au moins 5”) = p({5; 6}) = p(5) + p(6)
p(“obtenir un score impair”) = p({1; 3; 5}) = p(1) + p(3) + p(5).
Si le dé est équilibrée (équiprobabilité), on peut évaluer ces deux probabilités. Elles valent, respectivement,
1/6 + 1/6 = 1/3 et 1/6 × 3 = 1/2.
? Tirage d’une carte (suite). p(“obtenir un as ou un ♠”) = p({A♠; R♠; . . . ; 2♠; A♣; A♦; A♥}) =
p(A♠) + p(R♠) + · · · + p(2♠) + p(A♣) + p(A♦) + p(A♥).
Si les cartes ne sont pas truquées (équiprobabilité), cette probabilité vaut 1/52 × 16 = 4/13.
? Singleton. Pour ω ∈ Ω, la probabilité p({ω}) de l’événement {ω} est simplement p(ω). Ceci explique que l’on
assimile fréquemment le singleton/événement {ω} et l’élément/résultat ω.
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1.16 – Événement impossible et événement certain.
– L’ensemble vide et l’ensemble Ω sont des sous-ensembles de Ω, donc ce sont des événements.
∅ est l’événement impossible : il est impossible que le résultat de l’expérience soit dans ∅.
Ω est l’événement certain : il est certain que les résultat de l’expérience est dans Ω.
D’après la définition 1.14, leurs probabilités respectives sont :
P
P
p(∅) =
p(ω) = 0 (somme de 0 élément)
et
p(Ω) =
p(ω) = 1 (car p est une loi de probabilité, voir 1.6)
ω∈Ω
ω∈∅
Attention. D’autres événements peuvent avoir une probabilité égale à 0 ou à 1. Considérons par exemple
un ensemble Ω = {ω0 ; ω1 } et l’application p : Ω → [0; 1] définie par p(ω0 ) = 0 et p(ω1 ) = 1. Cette
application est une loi de probabilité sur Ω. Et p({ω0 }) = 0 et p({ω1 }) = 1 et pourtant ces deux événements
ne sont ni ∅, ni Ω tout entier.
1.17 – Probabilité d’un événement en situation d’équiprobabilité. – Tout ω ∈ Ω a la même proba-
bilité a ∈ [0; 1] que tous les autres. On a vu, en 1.9, que a = n1 où n = |Ω|.
Soit E ⊂ Ω un événement. D’après 1.14, on a
P
P
|E|
p(E) =
p(ω) =
a = a + · · · + a = a × |E| = n1 × |E| =
|
{z
}
|Ω|
ω∈E
ω∈E
|E| fois
où |E| = nombre de résultats favorables et |Ω| = nombre de résultats possibles.
1.18 – Théorème – Formule de Laplace.
En situation d’équiprobabilité (finie)
p(E) =
1.19 – Remarques. – La formule de Laplace
babilités, à la fois conforme à l’intuition et
probabilité est ici une estimation calculée du
– Selon une autre approche, dite orthodoxe,
répète l’expérience un grand nombre de fois.
nombre de cas favorables à E
nombre total de cas
.
correspond à une conception dite classique des prorépandue, du moins dans le domaine des jeux. La
favorable par rapport au général.
la probabilité est la fréquence de réussite lorsqu’on
Exemple. On regarde un registre d’état civil et on constate la fréquence de naissance des garçons. On interprète
ensuite cette statistique comme la probabilité que la prochaine naissance soit un garçon.
– Une autre approche, dite subjectiviste, la probabilité est assimilée au degré de croyance d’un
observateur.
Exemple. La cote des chevaux avant une course.
1.20 – Exemple. – Lancer de deux équilibrés.
? Ensemble fondamental ? On peut considérer que les deux dés sont de couleurs différentes. L’ordre n’est donc pas
à négliger : obtenir 1 sur le premier dé et 3 sur le second est un résultat différent d’obtenir 3 et 1. Il est donc
naturel de considérer Ω = {(a, b)|a, b entiers entre 1 et 6}.
? Loi de probabilité ? Les dés sont équilibrés : pour chaque dé, les 6 résultats ont la même probabilité (quel que
soit le résultat de l’autre dé) et donc tous les couples de résultats ont la même probabilité. La loi est donc
l’équiprobabilité.
? Soit l’événement E =“obtenir un double”= {(1, 1); (2, 2); . . . (6, 6)} = {(a, a)|a entier entre 1 et 6}. Grâce à
|E|
6
l’équiprobabilité, on a p(E) = |Ω| = 36
= 61 .
? Quelles sont les sommes possibles ?
somme
2
3
4
5
6
7
tirages favorables
(1, 1)
(1, 2) (2, 1)
(1, 3) (2, 2) (3, 1)
(1, 4) (2, 3) (3, 2) (4, 1)
(1, 5) (2, 4) (3, 3) (4, 2) (5, 1)
(1, 6) (2, 5) (3, 4) (4, 3) (5, 2) (6, 1)
proba
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
somme
8
9
10
11
12
tirages favorables
(2, 6) (3, 5) (4, 4) (5, 3) (6, 2)
(3, 6) (4, 5) (5, 4) (6, 3)
(4, 6) (5, 5) (6, 4)
(5, 6) (6, 5)
(6, 6)
proba
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
? On aurait pu choisir Ω0 = {2; 3; 4; . . . ; 11; 12}, l’ensemble des sommes possibles et comme loi p0 :
2, 12 7→ 1/36
3, 11 7→ 2/36
4, 10 7→ 3/36
5, 9 7→ 4/36
6, 8 7→ 5/36
Mais : - la loi n’est plus l’équiprobabilité (calculs moins simples),
- pour connaître p0 on a utilisé p,
- on perd des informations sur le résultat du tirage si on choisit Ω0 .
7 7→ 6/36
Premières notions
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Malgré tout, le choix de Ω0 , p0 peut être efficace, selon les questions qu’on se pose.
On est donc en présence de deux façons de modéliser la même expérience aléatoire, chacune des deux est légitime,
on choisira d’utiliser l’une ou l’autre selon les informations dont on a besoin.
? Troisième modélisation : on considère les paires (sans ordre).
Chaque double a une probabilité 1/36. Chaque paire a, b (avec a < b) a une probabilité 2/36 (résultats (a, b) et
(b, a)).
L’ensemble fondamental Ω00 est donc constitué de 6 doubles et 15 paires ordonnées, soit 21 éléments.
Ω00 = {1, 1 1, 2 . . . 1, 6 2, 2 2, 3 . . . 2, 6 3, 3 . . . 5, 5 5, 6 6, 6}
La loi p00 sur Ω00 est donc p00 (double) = 1/36 et p00 (paire) = 2/36. On a bien 6 ×
Donc p00 est bien une loi de probabilités sur Ω00 , mais elle n’est pas uniforme.
1
36
+ 15 ×
2
36
= 1.
Cette modélisation présente les mêmes inconvénients que p0 , mais on peut tout de même l’utiliser pour mener
des calculs : p00 (E) = p00 (1, 1) + · · · + p00 (6, 6) = 6/36 et p00 (F ) = p00 (2, 2) + p00 (1, 3) = 1/36 + 2/36 = 3/36.
Université Paris 8
Licence Informatique
Introduction aux probabilités
Feuille no1
2012-2013
Ph. Guillot
Ensemble fondamental – loi de probabilité
Exercice 1. On dispose de deux boı̂tes. La première contient trois boules : une rouge, une jaune
et une bleue. La seconde contient deux boules : une rouge et une verte. On choisit au hasard une
des boı̂tes puis une des boules de cette boı̂te. Décrivez l’ensemble fondamental de cette expérience.
Exercice 2. Soit un référentiel Ω = {a, b, c, d, e}.
1. Dire pourquoi les applications définies ci-après sur les évènements élémentaires ne sont pas des
lois de probabilité :
a) p({a}) = 0, 1 ; p({b}) = 0, 2 ; p({c}) = 0, 3 ; p({d}) = 0, 1 et p({e}) = 0, 2.
b) p({a}) = 0, 3 ; p({b}) = 0, 2 ; p({c}) = 0, 4 ; p({d}) = −0, 1 et p({e}) = 0, 2.
2. Quelle doit être la valeur de p({e}) pour que l’application p soit une loi de probabilité.
a) p({a}) = 0, 2 ; p({b}) = 0, 2 ; p({c}) = 0, 3 ; p({d}) = 0, 1.
b) p({a}) = 0, 2 ; p({b}) = 0, 2 ; p({c}) = 0, 3 ; p({d}) = 0, 3.
Exercice 3. Dans une maternité, on compte 260 garçons sur les 500 naissances. On y croise une
famille avec un landau. Quelle est la probabilité pour que le nouveau-né dans le landau soit un
garçon ?
Exercice 4. On truque un dé de sorte que la probabilité pour une face d’apparaitre est
proportionnelle au score de cette face, quelles sont les probabilités des différentes faces ?
Exercice 5. Probabilité d’un évènement
On tire au hasard une carte dans un jeu de 52 cartes. Soit A l’évènement hh la carte tirée est une
dame ii et soit B l’évènement hh la carte tirée est un cœur ii.
1. Quelle sont les probabilités des évènements A et B ?
2. Par quelle assertion exprimer les évènements A ∪ B et A ∩ B ? Quelles sont leurs probabilités ?
Avec quelle probabilité cette carte est-elle soit soit une dame, soit un cœur, mais pas les deux ?
Exercice 6. On lance deux dés.
1. Quelle est la probabilité d’avoir un double ?
2. Soit A0 l’évènement hh la somme des points est paire ii Quelle est la probabilité de l’évènement
A0 ?
3. Soit A1 l’évènement hh la somme des points est impaire ii et soit B l’événement hh la valeur absolue
de la différence des points vaut 4 ii. Combien y a-t-il d’évènements élémentaires dans A0 \ B ?
dans A1 \ B ?
4. Pour chaque valeur de k comprise entre 1 et 6, quelle est la probabilité que la valeur maximale
des deux dés soit k ?
Exercice 7. Dans une enveloppe se trouvent 10 tickets de tombola. Deux d’entre eux sont gagnants.
1. On choisit un ticket au hasard. Quelle est la probabilité que le ticket choisi soit gagnant ?
2. On choisit deux tickets au hasard. Quelle est la probabilité pour qu’au moins un des tickets soit
gagnant ?
Exercice 8. On lance deux pièces équilibrées pour jouer à pile ou face. La première pièce est une
pièce d’un euro et la seconde est une pièce de deux euros.
1. Décrire l’ensemble fondamental de cette expérience aléatoire.
2. Quelle est la loi de probabilité ?
3. Trouver un évènement de probabilité 1/2.
4. Donner la liste de tous les évènements dont la probabilité est 3/4.
5. On lance les deux pièces et on vous averti : hh la pièce de 1 euro est sur face ii. Quelle est la
probabilité que l’autre soit sur pile ?
6. On lance les deux pièces et on vous averti : hh une des deux pièces est sur face ii. Quelle est la
probabilité que l’autre soit sur pile ?
Université Paris 8
Licence Informatique
Introduction aux probabilités
Corrigé no 1
2012-2013
Ph. Guillot
Exercice 1. Un tirage possible est un couple dont le premier terme
est le numéro de la boı̂te
choisie, et le second terme est la couleur de la boule choisie. Ω = (1, r), (1, j), (1, b), (2, r), (2, v)
Exercice 2.
1. a) La somme des valeurs ne vaut pas 1.
b) La valeur de p({d}) est en dehors de l’intervalle [0, 1].
2. La somme des valeurs doit valoir 1.
a) p({e}) = 0, 2
b) p({e} = 0.
Exercice 3. La probabilité vaut 260/500 = 13/25 = 0, 52.
Exercice 4. On note pi la probabilité d’apparition de la face numéro i.
p1 = 1/21 ; p2 = 2/21 ; p3 = 3/21 = 1/7 ; p4 = 4/21 ; p5 = 5/21 ; p6 = 6/21 = 2/7.
Exercice 5. La probabilité d’un évènement est le quotient du nombre de cas favorables à cet
évènement et du nombre de cas possibles.
1) p(A) = 4/52 = 1/13 ; p(B) = 13/52 = 1/4.
2) A∪B : hh la carte tirée est une dame ou bien un cœur ii. p(A∪B) = (4+13−1)/52 = 16/52 = 4/13.
A ∩ B : hh La carte tirée est la dame de cœur ii. p(A ∩ B) = 1/52.
La probabilité de tirer soit un cœur, soit une dame, mais pas la dame de cœur vaut 16/52 − 1/52 =
15/52.
Exercice 6. 1. L’ensemble fondamental est l’ensemble des 36 couples {1, . . . , 6} × {1, . . . , 6}. Il y
a 6 tirages de doubles possibles. La probabilité d’avoir un double est 6/36 = 1/6.
2. La somme des points est paire lorsque les deux faces ont la même parité. Il y a 18 couples qui
ont cette
propriété. La probabilité
de A0 vaut donc 18/36 = 1/2.
3. B = (5, 1), (6, 2), (2, 6), (1, 5) . Dans B, la somme des points est toujours paire. Il y a donc 18
évènements élémentaires dans A1 \ B et 14 dans A0 \ B.
4. Le maximum vaut 1 si les deux dés oont fait 1, soit une probabilité de 1/36. Le maximum
vaut 2 dans les trois cas (1, 2), (2, 2) et (2, 1), soit une probabilité de 3/36. Plus généralement, La
probabilité que le maximum des deux dés vaut k est égale à 2k−1
36 .
Exercice 7. 1. Il y a deux cas favorables sur 10 cas possibles. La probabilité vaut 2/10 = 1/5.
2. Il y a 90 possibles : 10 au premier tirage, et 9 au second tirage. Les cas favorables sont : on a tiré
un ticket gagnant au premier tirage seulement, au second tirage seulement, ou aux deux tirages.
Dans le premier cas, il y a 2 possibilités au premier tirage, puis 8 au second, soit 16 en tout. Dans
le deuxième cas, il y a 8 possibilités au premier tirage, puis 2 au second, soit 16 également. Dans
le troisième cas, il y a 2 possibilités au premier tirage, puis 1 possibilité au second tirage, soit 2 en
tout. La probabilité cherchée est donc (16 + 16 + 2)/90 = 34/90 = 17/45.
Exercice 8. 1. L’ensemble fondamental est constitué des couples dont le premier terme est
le côté
visible de la pièce de
1 euro, et le deuxième terme, celui de la pièce de 2 euros.
Ω = (p, p), (p, f ), (f, p), (f, f ) .
2. La loi de probabilité est la loi uniforme, chaque évènement élémentaire a une probabilité de 1/4.
3.
La réunionde deux évènements élémentaires quelconques a une probabilité de 1/2, par exemple
(p, p), (p, f ) , c’est à dire hh La pièce de 1 euro tombe sur pile ii.
4.
de trois évènements
élémentaires, c’est-à-dire
(p, f ), (f, p), (f, f ) ,
Ce sont toutes les
réunions
(p, p), (f, p), (f, f ) , (p, p), (p, f ), (f, f ) et (p, p), (p, f ), (f, p) .
5. Les possibles sont (f, p) et (f, f ). Ils sont équiprobables. Chacun d’entre eux a une probabilité de
1/2. La probabilité que l’autre pièce tombe sur pile correspond à l’évènement (f, p). Sa probabilité
vaut 1/2.
6. Les possibles sont (p, f ), (f, p) et (f, f ). Il sont équiprobables, chacun d’entre
eux a une
probabilité de 1/3. La probabilité que l’autre soit sur pile correspond à l’évènement (p, f ), (f, p) .
Sa probabilité vaut 2/3.