Correction BTS CGO Mathématiques Session 2010

Correction BTS CGO Mathématiques
Session 2010
EXERCICE 1 : (12 points)
A. Loi binomiale
1° On a une série de 8 épreuves indépendantes, chacune de ces épreuve peut déboucher sur deux possibilités :
● un succès : " L'entreprise n'emploie aucun salarié" de probabilité ‫= ݌‬
଼଻
ଵ଴଴
= 0,87
● un échec : " L'entreprise emploie au moins un salarié" de probabilité ‫ = ݍ‬1 − ‫ = ݌‬0,13
donc ܺ suit la loi binomiale de paramètres 8 et 0,87.
2° ܲሺܺ = 8ሻ = ‫ × ଼଼ܥ‬0,87଼ × 0,13଴ = 1 × 0,87଼ × 1 ≈ 0,328
La probabilité que les huit entreprises emploient aucun salarié est 0,328.
3° ܲሺܺ ≥ 7ሻ = ܲሺܺ = 7ሻ + ܲሺܺ = 8ሻ = ‫ × ଻଼ܥ‬0,87଻ × 0,13ଵ + ‫ × ଼଼ܥ‬0,87଼ × 0,13଴ ≈ 0,721
La probabilité qu'au moins sept entreprises n'emploient aucun salarié est 0,721.
B. Loi normale
1° Réponse C : 0,86
Justification (non demandée) :
ܻ suit la loi normale de moyenne 874 et d'écart type 10,5.
Soit ܶ la variable aléatoire définie par : ܶ =
ܲሺ859,5 ≤ ܻ ≤ 890,5ሻ = ܲ ൬
௒ି଼଻ସ
ଵ଴,ହ
; ܶ suit ܰሺ0 ; 1ሻ.
859,5 − 874 ܻ − 874 890,5 − 874
29
11
≤
≤
൰ = ܲ ൬−
≤ܻ≤ ൰
10,5
10,5
10,5
21
7
29
11
= Π ൬ ൰ − Π ൬− ൰ ≈ Πሺ1,57ሻ − Πሺ−1,38ሻ = Πሺ1,57ሻ − ൫1 − Πሺ1,38ሻ൯ = Πሺ1,57ሻ − 1 + Πሺ1,38ሻ
21
7
= 0,9418 − 1 + 0,9162 = 0,858 ≈ 0,86
2° Réponse A : 0,27
Justification (non demandée) :
ܻ − 874 880,5 − 874
13
13
ܲሺܻ ≥ 880,5ሻ = ܲ ൬
≥
൰ = ܲ ൬ܶ ≥ ൰ = 1 − Π ൬ ൰ ≈ 1 − Πሺ0,62ሻ = 1 − 0,7324
10,5
10,5
21
21
= 0,2676 ≈ 0,27
C. Etude d'une suite
1° Augmenter un nombre de 20% revient à le multiplier par 1 +
ଶ଴
ଵ଴଴
= 1,2
Ainsi, la capacité mondiale prévue pour 2009 est : 120 791 × 1,2 = 144 949,2 MW
La capacité mondiale prévue en 2010 est : 144 949,2 × 1,2 = 173 939,04 MW
2° aሻ La suite ሺ‫ݑ‬௡ ሻ est une suite géométrique car on multiplie par 1,2 pour passer d'un terme au suivant.
Autrement dit : on a pour tout entier naturel ݊ : ‫ݑ‬௡ାଵ = 1,2‫ݑ‬௡
bሻ ‫ݑ‬௡ = ‫ݑ‬଴ × ‫ ݍ‬௡ = 120 791 × 1,2௡
3° aሻ
250 000
ሺ1,2ሻ௣ ≥
120 791
ଶହ଴ ଴଴଴
௣ ሻ൯
ln൫ሺ1,2
≥ ln
car ln est une fonction croissante
ଵଶ଴ ଻ଽଵ
‫ ݌‬lnሺ1,2ሻ ≥ ln
‫≥݌‬
మఱబ బబబ
భమబ ళవభ
୪୬
୪୬ሺଵ,ଶሻ
250 000
120 791
≈ 3,99
car lnሺ1,2ሻ > 0
ଶହ଴ ଴଴଴
Le plus petit entier ‫ ݌‬vérifiant ሺ1,2ሻ௣ ≥ ଵଶ଴ ଻ଽଵ est 4.
bሻ
ଶହ଴ ଴଴଴
‫ݑ‬௡ ≥ 250 000 équivaut à 120 791 × 1,2௡ ≥ 250 000 donc 1,2௡ ≥ ଵଶ଴ ଻ଽଵ
Or, d'après la question aሻ cette inéquation admet pour solution ݊ ≥ 4.
Ainsi à partir de l'année 2012 ሺ= 2008 + 4ሻ la capacité mondiale de production d'énergie éolienne dépassera
250 000 MW.
EXERCICE 2 : ሺ8 pointsሻ
A. Etude d'une fonction
1° aሻ On a ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = 3‫ ݔ‬+ 14 − 12 lnሺ2‫ݔ‬ሻ
௨ᇱ
On rappelle que ሺln ‫ݑ‬ሻᇱ = ; ici lnሺ2‫ݔ‬ሻ est de la forme ln ‫ ݑ‬avec ‫ = ݑ‬2‫ ݔ‬et donc ‫ݑ‬ᇱ = 2
௨
ଶ
La dérivée de lnሺ2‫ݔ‬ሻ est donc ଶ௫
On a donc : ݂′ሺ‫ݔ‬ሻ = 3 − 12
bሻ On a ݂′ሺ‫ݔ‬ሻ = 3 −
ଵଶ
௫
=
ଶ
ଶ௫
ଷ௫
௫
−
ଵ
= 3 − 12 ௫ = 3 −
ଵଶ
௫
=
ଵଶ
௫
ଷ௫ିଵଶ
௫
cሻ ݂′ሺ‫ݔ‬ሻ a le même signe que 3‫ ݔ‬− 12 car sur ሾ1 ; 13ሿ ‫ ݔ‬est toujours strictement positif.
Signe de 3‫ ݔ‬− 12 : on résout l'inéquation 3‫ ݔ‬− 12 ≥ 0 ; 3‫ ≥ ݔ‬12 ; ‫≥ ݔ‬
Ainsi ݂′ሺ‫ݔ‬ሻ est négatif sur ሾ1 ; 4ሿ et ݂′ሺ‫ݔ‬ሻ est positif sur ሾ4 ; 13ሿ
dሻ
ଵଶ
donc ‫ݔ‬
ଷ
≥ 4.
2° Voir annexe pour les constructions.
On lit environ : 1,8 et 7,5.
B. Calcul intégral
ଷ
1° ‫ܨ‬ሺ‫ݔ‬ሻ = ଶ ‫ݔ‬² + 26‫ ݔ‬− 12‫ ݔ‬lnሺ2‫ݔ‬ሻ
Il s'agit de calculer ‫ܨ‬′ሺ‫ݔ‬ሻ.
ଶ
ଵ
12‫ ݔ‬lnሺ2‫ݔ‬ሻ est de la forme ‫ ݒݑ‬avec ‫ = ݑ‬12‫ ݔ‬et ‫ = ݒ‬lnሺ2‫ݔ‬ሻ et donc ‫ݑ‬ᇱ = 12 et ‫ ݒ‬ᇱ = ଶ௫ = ௫.
3
1
‫ܨ‬′ሺ‫ݔ‬ሻ = 2‫ ݔ‬+ 26 − ሺ‫ݑ‬ᇱ ‫ ݒ‬+ ‫ݒݑ‬′ሻ = 3‫ ݔ‬+ 26 − ൬12 lnሺ2‫ݔ‬ሻ + 12‫ × ݔ‬൰ = 3‫ ݔ‬+ 26 − 12 lnሺ2‫ݔ‬ሻ − 12
2
‫ݔ‬
= 3‫ ݔ‬+ 14 − 12 lnሺ2‫ݔ‬ሻ = ݂ሺ‫ݔ‬ሻ.
Ainsi F est une primitive de ݂.
ଵଷ
ଷ
ଵଷ
ଶ
2° ‫׬ = ܫ‬ଵ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ݀‫ = ݔ‬ሾ‫ܨ‬ሺ‫ݔ‬ሻሿଵଷ
ଵ = ቂଶ ‫ ݔ‬+ 26‫ ݔ‬− 12‫ ݔ‬lnሺ2‫ݔ‬ሻቃ
ଵ
3
3
× 13ଶ + 26 × 13 − 12 × 13 lnሺ2 × 13ሻ − ൬ + 26 − 12 lnሺ2ሻ൰
2
2
507
3
=
+ 338 − 156 lnሺ26ሻ − − 26 + 12 lnሺ2ሻ
2
2
= 564 − 156 lnሺ26ሻ + 12 lnሺ2ሻ
=
ଵ
ଵଷ
ଵ
ଵ
3° ܸ௠ = ଵଷିଵ ‫׬‬ଵ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ݀‫ = ݔ‬ଵଶ ‫ = ܫ‬ଵଶ ሺ564 − 156 lnሺ26ሻ + 12 lnሺ2ሻሻ = 47 − 13 lnሺ26ሻ + lnሺ2ሻ
ܸ௠ ≈ 5,3
D. Application de la partie A ሺRemarque : Il n'y a pas de partie Cሻ
1° aሻ D'après la question 1°dሻ de la partie A, la fonction ݂ admet son minimum pour ‫ = ݔ‬4.
Ainsi, il faut fabriquer 400 objets pour que le coût moyen soit minimal.
bሻ Ce coût moyen est alors de : ݂ሺ4ሻ = 26 − 12 ln 8 ≈ 1,05 euros.
2° D'après la question 2° de la partie A, les solutions de l'équation ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = 4 sont environ 1,8 et 7,5.
Ainsi, pour que l coût moyen soit inférieur ou égal à 4 euros il faut un nombre d'objets à fabriquer compris
entre 180 et 750 ሺinclusሻ.