Correction BTS CGO Mathématiques Session 2010

Correction BTS CGO Mathématiques
Session 2010
EXERCICE 1 : (12 points)
A. Loi binomiale
1° On a une série de 8 épreuves indépendantes, chacune de ces épreuve peut déboucher sur deux possibilités :
● un succès : " L'entreprise n'emploie aucun salarié" de probabilité ݌ = ଼଻
ଵ଴଴ = 0,87
● un échec : " L'entreprise emploie au moins un salarié" de probabilité ݍ = 1−݌ = 0,13
donc ܺ suit la loi binomiale de paramètres 8 et 0,87.
2° ܲሺܺ = 8ሻ= ܥ଼
଼×0,87଼×0,13଴= 1×0,87଼×1 ≈ 0,328
La probabilité que les huit entreprises emploient aucun salarié est 0,328.
3° ܲሺܺ ≥ 7ሻ= ܲሺܺ = 7ሻ+ܲሺܺ = 8ሻ= ܥ଼
଻×0,87଻×0,13ଵ+ܥ଼ ଼×0,87଼×0,13଴≈ 0,721
La probabilité qu'au moins sept entreprises n'emploient aucun salarié est 0,721.
B. Loi normale
1° Réponse C : 0,86
Justification (non demandée) :
ܻ suit la loi normale de moyenne 874 et d'écart type 10,5.
Soit ܶ la variable aléatoire définie par : ܶ = ௒ି଼଻ସ
ଵ଴,ହ ; ܶ suit ܰሺ0 ;1ሻ.
ܲሺ859,5 ≤ ܻ ≤ 890,5ሻ= ܲ൬859,5−874
10,5 ≤ܻ −874 10,5 ≤890,5−874 10,5 ൰ = ܲ൬−29 21 ≤ ܻ ≤ 11 7൰
= Π൬11
7൰−Π൬−29
21൰ ≈ Πሺ1,57ሻ−Πሺ−1,38ሻ= Πሺ1,57ሻ−൫1−Πሺ1,38ሻ൯= Πሺ1,57ሻ−1+Πሺ1,38ሻ
= 0,9418−1+0,9162 = 0,858 ≈ 0,86
2° Réponse A : 0,27
Justification (non demandée) :
ܲሺܻ ≥ 880,5ሻ= ܲ൬ܻ −874
10,5 ≥880,5−874 10,5 ൰ = ܲ൬ܶ ≥ 13 21൰ = 1−Π൬13 21൰ ≈ 1−Πሺ0,62ሻ= 1−0,7324
= 0,2676 ≈ 0,27
C. Etude d'une suite
1° Augmenter un nombre de 20% revient à le multiplier par 1+ ଶ଴
ଵ଴଴ = 1,2
Ainsi, la capacité mondiale prévue pour 2009 est : 120 791 × 1,2 = 144 949,2 MW
La capacité mondiale prévue en 2010 est : 144 949,2 × 1,2 = 173 939,04 MW
2° aሻ
2° aሻ2° aሻ
2° aሻ La suite ሺݑ௡ሻ est une suite géométrique car on multiplie par 1,2 pour passer d'un terme au suivant.
Autrement dit : on a pour tout entier naturel ݊ : ݑ௡ାଵ = 1,2ݑ௡
bሻ
bሻbሻ
bሻ ݑ௡= ݑ଴×ݍ௡= 120 791 × 1,2௡
3° aሻ
3° aሻ 3° aሻ
3° aሻ
ሺ1,2ሻ௣≥250 000
120 791
ln൫ሺ1,2௣ሻ൯ ≥ lnଶହ଴ ଴଴଴
ଵଶ଴ ଻ଽଵ car ln est une fonction croissante

݌lnሺ1,2ሻ≥ ln250 000
120 791
݌ ≥ ୪୬మఱబ బబబ
భమబ ళవభ
୪୬ሺଵ,ଶሻ≈ 3,99 car lnሺ1,2ሻ> 0
Le plus petit entier ݌ vérifiant ሺ1,2ሻ௣≥ଶହ଴ ଴଴଴
ଵଶ଴ ଻ଽଵ est 4.
bሻ
bሻ bሻ
bሻ
ݑ௡≥ 250 000 équivaut à 120 791 × 1,2௡≥ 250 000 donc 1,2௡≥ଶହ଴ ଴଴଴
ଵଶ଴ ଻ଽଵ
Or, d'après la question aሻ cette inéquation admet pour solution ݊ ≥ 4.
Ainsi à partir de l'année 2012 ሺ= 2008+4ሻ la capacité mondiale de production d'énergie éolienne dépassera
250 000 MW.
EXERCICE 2
EXERCICE 2EXERCICE 2
EXERCICE 2 : ሺ8 pointsሻ
: ሺ8 pointsሻ: ሺ8 pointsሻ
: ሺ8 pointsሻ
A. Etude d'une fonction
1° aሻ
1° aሻ1° aሻ
1° aሻ On a ݂ሺݔሻ= 3ݔ +14−12lnሺ2ݔሻ
On rappelle que ሺlnݑሻᇱ=௨ᇱ
௨ ; ici lnሺ2ݔሻ est de la forme lnݑ avec ݑ = 2ݔ et donc ݑᇱ= 2
La dérivée de lnሺ2ݔሻ est donc ଶ
ଶ௫
On a donc : ݂′ሺݔሻ= 3−12 ଶ
ଶ௫ = 3−12ଵ ௫= 3−ଵଶ ௫
bሻ
bሻbሻ
bሻ On a ݂′ሺݔሻ= 3−ଵଶ
௫=ଷ௫ ௫−ଵଶ ௫=ଷ௫ିଵଶ ௫
cሻ
cሻcሻ
cሻ ݂′ሺݔሻ a le même signe que 3ݔ − 12 car sur ሾ1 ;13ሿ ݔ est toujours strictement positif.
Signe de 3ݔ − 12 : on résout l'inéquation 3ݔ − 12 ≥ 0 ; 3ݔ ≥ 12 ; ݔ ≥ ଵଶ
ଷ donc ݔ ≥ 4.
Ainsi ݂′ሺݔሻ est négatif sur ሾ1 ;4ሿ et ݂′ሺݔሻ est positif sur ሾ4 ;13ሿ
dሻ
dሻdሻ
dሻ
2°
2°2°
2° Voir annexe pour les constructions.
On lit environ : 1,8 et 7,5.
B. Calcul intégral
1°
1°1°
1° ܨሺݔሻ=ଷ
ଶݔ²+26ݔ −12ݔlnሺ2ݔሻ
Il s'agit de calculer ܨ′ሺݔሻ.
12ݔlnሺ2ݔሻ est de la forme ݑݒ avec ݑ = 12ݔ et ݒ = lnሺ2ݔሻ et donc ݑᇱ= 12 et ݒᇱ=ଶ
ଶ௫ =ଵ ௫.
ܨ′ሺݔሻ=3
22ݔ+26−ሺݑᇱݒ+ݑݒ′ሻ= 3ݔ +26−൬12lnሺ2ݔሻ+12ݔ×1 ݔ൰ = 3ݔ+26−12lnሺ2ݔሻ− 12
= 3ݔ +14−12lnሺ2ݔሻ= ݂ሺݔሻ.
Ainsi F est une primitive de ݂.
2°
2°2°
2° ܫ = ׬݂ሺݔሻ݀ݔ
ଵଷ
ଵ=ሾܨሺݔሻሿଵ
ଵଷ =ቂଷ
ଶݔଶ+26ݔ −12ݔlnሺ2ݔሻቃଵ
ଵଷ

=3
2×13ଶ+26×13−12×13lnሺ2×13ሻ−൬3 2+26−12lnሺ2ሻ൰
=507
2+338−156lnሺ26ሻ−3 2−26+12lnሺ2ሻ
= 564−156lnሺ26ሻ+12lnሺ2ሻ
3°
3°3°
3° ܸ௠=ଵ
ଵଷିଵ׬݂ሺݔሻ݀ݔ
ଵଷ
ଵ=ଵ
ଵଶܫ = ଵ ଵଶሺ564−156lnሺ26ሻ+12lnሺ2ሻሻ = 47−13lnሺ26ሻ+lnሺ2ሻ
ܸ௠≈ 5,3
D. Application de la partie A ሺRemarque : Il n'y a pas de partie Cሻ
1° aሻ
1° aሻ1° aሻ
1° aሻ D'après la question 1°dሻ de la partie A, la fonction ݂ admet son minimum pour ݔ = 4.
Ainsi, il faut fabriquer 400 objets pour que le coût moyen soit minimal.
bሻ
bሻ bሻ
bሻ Ce coût moyen est alors de : ݂ሺ4ሻ= 26 − 12ln8 ≈ 1,05 euros.
2°
2°2°
2° D'après la question 2° de la partie A, les solutions de l'équation ݂ሺݔሻ= 4 sont environ 1,8 et 7,5.
Ainsi, pour que l coût moyen soit inférieur ou égal à 4 euros il faut un nombre d'objets à fabriquer compris
entre 180 et 750 ሺinclusሻ.