Arithmétique

Arithmétique
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Dans tout ce cours les nombres considérés sont des nombres entiers positifs appelés entiers naturels
I. Introduction
Donner toutes les façons d’écrire 24 sous forme de
produit de deux entiers.
24 = 1  24
24 = 2  12
24 = 3  8
24 = 4  6
Dans quelles tables de multiplication se trouve le
nombre ?
2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24
Ecrire le nombre 24 sous la forme d’un produit de
facteurs différents de 1(tous les facteurs différents),
tels que le nombre de facteurs soit supérieur à deux
2 × 3 × 4
II. Vocabulaire : Multiples et diviseurs
24= 12  2
24 est un multiple de 2
24 est un multiple de 12
2 est un diviseur de 24
12 est un diviseur de24
On dit aussi que 2 et 12 divisent 24 ou que 24 est divisible par 2, par 12
1) Définition
Soient a et k deux entiers naturels avec k  0
S’il existe un nombre b tel que a = k  b, on dit que :
 k est un diviseur de a
 a est divisible par k
 a est un multiple de k
2) Remarque
Si a = k  b, on a aussi b qui est un diviseur de a et a qui est un multiple de b
III. Critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9 et 10
 Un nombre entier est divisible par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6, 8
Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ces chiffres est divisible par 3
 Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres
est un multiple de 4.
 Un nombre entier est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5
 Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ces chiffres est divisible par 9
 Un nombre entier est divisible par 10 s’il se termine par 0

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IV. Nombres premiers
1) Définition
Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts, 1 et
lui-même.
Exemples :
7 est premier, il n’est divisible que par 1 et 7.
15 n’est pas premier, il est divisible par 3 et 5.
2) Remarques
Le nombre 1n’est pas premier car il n’a qu’un seul diviseur, lui-même.
Le nombre 0 n’est pas premier car il admet une infinité de diviseurs.
Le nombre 2 est le seul nombre premier pair car tous les nombres pairs sont divisibles par 2.
3) Application : crible d’Eratosthène (Livre Indigo-Hachette 3ème page 19)
V. Diviseurs communs à deux entiers naturels
1) Recherche des diviseurs d’un nombre entier
Liste ordonnée des diviseurs de 45
1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 45
Liste ordonnée des diviseurs de 24
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24
2) Définition
Un diviseur commun à deux entiers a et b est un nombre entier qui divise à la fois a et b.
3) Exemples
 Diviseurs communs à 175 et 245
Diviseurs de 175
1
5
7
25
35
175
Diviseurs de 245
1
5
7
35
49
245
Les diviseurs communs sont : 1 ; 5 ; 7 ; 35
 Diviseurs commun à 45 et 28
Diviseurs de 45
1
3
5
9
15
45
Diviseurs de 28
1
2
4
7
14
28
Un seul diviseur commun 1

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VI. Nombres premiers entre eux ; Fractions irréductibles
1. Nombres premiers
Dire que deux nombres entiers sont premiers entre eux signifie que leur seul
diviseur commun est 1.
Exemples :
Les deux entiers 45 et 28 sont premiers entre eux.
Les deux entiers 175 et 245 ne sont pas premiers entre eux.
2. Décomposition et fractions irréductibles
a. Propriété
On peut toujours décomposer un nombre non premier en produit de plusieurs
facteurs premiers
Exemples :
588
294
147
49
7
1
2
2
3
7
7
588= 2×2×3×7×7 = 2²×3×7²
b. Définition
a et b sont deux entiers. On dit que la fraction
a
b
est irréductible lorsque a et b
sont premiers entre eux.
Exemples :
5
7
est une fraction irréductible car 5 et 7 sont premiers entre eux.
Simplification de
120
84
Décomposition de 120 en produit de facteurs premiers :120=
2 2 2 3 5   
Décomposition de 84 en produit de facteurs premiers :84=
2 2 3 7  
120 2 2 2 3 5 2 5 10
84 2 2 3 7 7 7
10
7
est une fraction irréductible.