sujet

Sup Galil´ee 6/12/16
MACS1
Projets num´eriques-TP6
Simulation d’un vecteur gaussien
1 M´ethode Box-M¨uller
On veut simuler des variables al´eatoires ind´ependantes suivant la loi gaussienne centr´ee
r´eduite N(0,1).
1. Soient Ret θdeux variables al´eatoires ind´ependantes. On pose X=Rcos(θ) et
Y=Rsin(θ). Montrer que si R2suit une loi exponentielle de param`etre 1
2et θest
uniform´ement r´epartie sur [0,2π], alors (X, Y ) a pour densit´e 1
2πe−x2+y2
2.
2. M´ethode Box-M¨uller : en d´eduire que si (U1, U2) sont deux variables al´eatoires ind´ependantes
de loi uniforme sur [0,1] alors (p−2 log(U1) cos(2πU2),p−2 log(U1) sin(2πU2)) est un
couple de variables al´eatoires ind´ependantes de loi N(0,1).
— Ecrire un programme pour simuler deux variables al´eatoire gaussiennes N(0,1) ind´ependantes
par la m´ethode de Box-M¨uller.
2 M´ethode polaire
Cette m´ethode, ne fait pas appel aux fonctions trigonom´etriques mais elle s’appuie sur
la m´ethode du rejet.
Soit (U, V ) un couple de loi uniforme sur le disque de rayon 1. On pose R:= √U2+V2
X:= Up−2 log(R2)/R2,et Y:= Vp−2 log(R2)/R2,
alors (X, Y ) est un couple de variables al´eatoires ind´ependantes de loi N(0,1).
Remarque En pratique, pour simuler un couple de variables al´eatoires de loi uniforme
sur le disque, on utilise la m´ethode du rejet. Il suffit de consid´erer un couple (U0, V 0) de
loi uniforme sur (0,1]2puis de mettre en ouevre un algorithme de rejet sur le disque. En
effet soit (Xn)n≥1une suite de variables al´eatoires ind´ependantes identiquement distribu´ees
`a valeurs dans Rdet D ⊂ Rd, tels que P(X1∈ D >0. On d´efinit
τ1:= inf{i≥1 : Xi∈ D}
τn+1 := inf{i>τn:Xi∈ D}
Yn:= Xτn,pour toutn≥1.
(Yn)n≥1est une suite de variables al´eatoires ind´ependantes identiquement distribu´ees `a va-
leurs dans Dde loi
µ(A) = P(X1∈A|X1∈ D),pour toutA∈ D.
— Ecrire un programme pour simuler deux variables al´eatoire gaussiennes N(0,1) ind´ependantes
par la m´ethode polaire.

3 Simulation d’un vecteur gaussien
De la simulation de la loi N(0,1), on d´eduit celle de la loi normale d’esp´erance µet
de variance σ2quelconques par une transformation affine. En effet si Xsuit la loi N(0,1)
alors µ+σX suit la loi N(µ, σ2). La situation est analogue en dimension dquelconque.
Rappelons qu’un vecteur est dit gausien si toute combinaison lin´eaire de ses composantes
est une variable al´eatoire r´eelle gaussienne. On montre que la loi d’un vecteur gaussien est
caract´eris´ee par la donn´ee de son ´esp´erance µet sa matrice de variance-covariance Σ. C’est
une matrice semi-d´efinie positive, la fonction caract´eristique de Nd(µ, Σ) est donn´ee par
ϕNd(µ,Σ)(u) = exp(iu0µ−1
2u0Σu)
et lorsque la matrice est d´efinie positive, donc inversible, la loi gaussienne multidimensionnelle
admet une densit´e par rapport `a la mesure de Lebesgue
fNd(µ,Σ)(x) = 1
(2π)d/2|Σ|1/2exp(−1 2(x−µ)0Σ−1(x−µ)),
avec |Σ|est le d´eterminant de Σ.
Pour simuler un vecteur gaussien d’esp´erance µ∈Rdet de matrice de variance-covariance
Σ, il suffit de trouver une matrice Atelle que AA0= Σ, simuler un vecteur al´eatoire X=
(X1,···, Xd) de Rdde loi Nd(0, I), c’est `a dire dvariables al´eatoires r´eelles de loi N(0,1),
puis consid´erer µ+AX. En effet µ+AX suit la loi Nd(µ, Σ).
On veut maintenant simuler un vecteur gaussien centr´e de matrice de covariance 1ρ
ρ1.
Montrer que si G1
G2suit la loi N0,1 0 0 1 alors X Y=1 0
ρp1−ρ2 G1
G2
suit la loi N0,1ρ
ρ1.
— Ecrire un programme pour simuler un vecteur gaussien centr´e et de matrice de variance
covariance N0,1ρ
ρ1.
Remarque La matrice L=1 0
ρp1−ρ2est en fait la d´ecomposition de Cholesky
de M=1ρ
ρ1(i.e. LLT=Met Ltriangulaire inf´erieure). Cette m´ethode permet
de simuler un vecteur gaussien d`es que l’on a calcul´e la d´ecomposition de Cholesky de sa
matrice de covariance. Sous Matlab la fonction chol permet de calculer la d´ecomposition de
Cholesky d’une matrice sym´etrique. Cette fonction renvoie LT. Une version de l’algorithme
utilis´e pour calculer la d´ecomposition de Cholesky Ld’une matrice sym´etrique positive A
est donn´e par
pour k= 1..size faire
Lk,k =qAk,k −Pj<k L2
k,j
pour i=k+ 1..size faire
Li,k =Ai,k −Pj<k Lk,jLi,j
Lk,k

Exercice
1. Soit
Σ = 
1 1 1
1 5 7
1 7 11
.
Appliquer la m´ethode de Cholesky, trouver la matrice sous-triangulaire At.q. Σ =
AAT.
2. Soit (X, Y )∼N(µ, Σ), o`u
µ=1
2,et Σ = 4 3 3 4 .
Simuler une suite de vecteurs qui suivent la loi de (X, Y ). Quelle est la distribution
de X+Y? Comparer la fonction de densit´e avec l’histogramme de simulation.