Génération de terrains aléatoires Générateur d`arbres aléatoires

RICM 4 robabilit´ es et Simulation
G´ en´ eration de structures combinatoires
G´ en´ eration de terrains al´ eatoires
L’objectif est de donner des algorithmes qui g´ en` erent un terrain de ncases ayant kcases occup´ ees par des
obstacles.
G´ en´ eration al´ eatoire uniforme de terrains comportant exactement kobstacles
M´ ethode 1 : Sachant qu’il y a exactement Ck
nterrains, on g´
en` ere uniform´ ement un entier dans l’intervalle
[1, Ck
n]et on g´
en` ere la configuration correspondant au num´ ero g´ en´ er´ e,
M´ ethode 2 : On g´ en` ere les kpremiers ´ el´ ements d’une permutation al´ eatoire de {1,· · · , n}.
M´ ethode 2bis : On g´ en` ere successivement et uniform´ ement les obstacles sur l’ensemble des cases libres.
M´ ethode 3 : Tant que le nombre d’obstacles g´ en´ er´ es n’est pas ´ egal ` ak, on choisit uniform´ ement une posi-
tion sur [1, ..., n]et si la position est d´ ej` a occup´ ee, on recommence.
M´ ethode 4 : On place successivement un obstacle sur la case iavec la probabilit´ ek−ki
n−i+1 , o`
ukiest le
nombre d’obstacles d´ ej` a plac´ es sur les cases {1,· · · , i −1}.
G´ en´ eration al´ eatoire de terrains comportant une densit´ e moyenne d=k
nd’obstacles
M´ ethode 5 : De mani` ere ind´ ependante on g´ en` ere un obstacle sur une case avec la probabilit´ ed.
M´ ethode 5bis : Mˆ eme m´ ethode que que la pr´ ec´ edente, mais avec rejet si la densit´ e obtenue est hors d’un
intervalle [d−, d +].
Question 1.1 : Analyse et algorithmes
Quel est le nombre de configurations de terrains possible ?
Ecrire l’algorithme associ´ e` a chaque m´ ethode et l’ex´ ecuter pour g´ en´ erer 5 terrains de 5 cases et 3
obstacles). On utilisera la fiche des tirages al´ eatoires donn´ ee pr´ ec´ edemment).
Question 1.2 : Preuve et complexit´ e
Prouver que chaque m´ ethode g´ en` ere un terrain et que la g´ en´ eration est uniforme (sauf pour 5 et 5
bis).
Pour chaque m´ ethode donner la distribution du coˆ ut de g´ en´ eration.
G´ en´ erateur d’arbres al´ eatoires
On dispose d’un g´ en´ erateur alea(int n) qui g´ en` ere un entier uniformement distribu´ e sur {0,· · · , n}.
D’autre part on dispose d’un type arbre binaire et de deux constructeurs d’arbres binaires :
-arbre vide() cr´
ee un arbre vide ;
-assemble arbre(arbre x ; arbre y) prend en argument les arbres xet y et renvoie un arbre binaire
dont le sous-arbre gauche (resp. droit) est x(resp. y).
Soit la fonction suivante :
arbre creer arbre(int n) ;
arbre a1,a2 ;
si (n==0) alors
return arbre vide() ;
sinon
q=alea(n-1) ;
a1=creer arbre(q) ;
a2=creer arbre(n-q-1) ;
return assemble arbre(a1,a2) ;
fin si
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Question 2.1 : Analyse
Montrer qu’un appel ` acreer arbre(n) g´ en` ere un arbre ayant nsommets. Montrer que tout
arbre Ade nsommets peut ˆ etre g´ en´ er´ e par creer arbre(n) (la probabilit´ e de g´ en´ erer Aest stric-
tement positive).
Question 2.2 : Preuve
Le g´ en´ erateur est-il de loi uniforme ?
Question 2.3 : Chemin ` a gauche
Soit Xnle nombre de sommets sur le chemin le plus ` a gauche dans l’arbre g´ en´ er´ e ayant nsommets.
Calculer la loi de X0,X1,X2et X3. v´ erifier que EX3= 1 + 1
3(EX0+EX1+EX2).
Montrer que
EXn= 1 + 1
n
n−1
X
i=0
EXi.
En d´ eduire une expression de EXnen fonction de EXn−1. Calculer EXnet donner son ´ equivalent
pour ngrand.
Question 2.4 : Conclusion
A quel algorithme cette construction vous fait-elle penser ?
G´ en´ erateur uniforme al´ eatoires
On dispose du g´ en´ erateur RANDOM classique qui fournit un nombre r´ eel dans [0,1[.
Question 2.5 : Nombre d’arbres
Donner les valeurs de Cn, pour n= 0,1,2,3,4.Donner une relation de r´ ecurrence sur le
nombre Cnd’arbres de taille n.
Question 2.6 : Algorithme
Proposer un algorithme de g´ en´ eration d’arbres distribu´ es uniformement. Prouver votre algorithme.
Question 2.7 : Calcul de Cn
Donner une formule explicite pour Cn. On pourra utiliser la s´ erie g´ en´ eratrice associ´ ee ` a la suite
Cn
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