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RAPPEL
DES PRINCIPALES LOIS DE
DISTRIBUTIONS DE
PROBABILITES

1.
1. Loi Binomiale B(n,p) Loi Binomiale B(n,p)
Il s’agit en fait de la somme de n variables aléatoires indépendantes
i
X
qui suivent une loi
1,0
, de
même paramètre p.
ii
i
xnx
n
xi
qpCxXP
avec
pq1
npXE 
npqXV 
Somme de lois binomiales.
Soient deux variables aléatoires indépendantes:
1
X
qui suit
pnB ,
1
, et
2
X
qui suit
pnB ,
2
. La V.A. définie par
21
XXX 
suit une loi
pnnB ,
21
.
2.
2. Loi de Poisson P( Loi de Poisson P(
)
)
On appelle variable aléatoire de Poisson une variable aléatoire discrète X pouvant prendre des valeurs
entières 0, 1, 2, …, k avec des probabilités
e-,
!1
e-,
!2
e-, …
!k
e- où  est un paramètre positif arbitraire.
!
i
x
i
x
exXP
i
,
Rk
XE
XV
Estimation.
x
ˆ
, sans biais
Somme de deux lois de Poisson.
Soient
1
X
et
2
X
deux variables aléatoire indépendantes suivant respectivement les lois
1
P
et
2
P
. La loi
21
XXZ 
suit une loi
21
P
.
Event prob.,Trials
0,1,10
Binomial Distribution
x
probability
0 2 4 6 8 10
0
0,1
0,2
0,3
0,4

3.
3. Loi du Khi-deux Loi du Khi-deux
2
2
1
2
2/
2
2
1
x
exxf
XE
 2XVar
Somme de carré de loi normales centrées réduites.
Soient
variables aléatoires
1,0N
indépendantes
XXX ,,,
21
. La variable aléatoire
1
2
i
i
XX
suit une loi de probabilité
2
(khi-deux à
degrés de liberté).
Somme de lois du Khi-deux.
Soient
X
et
Y
deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi du
2
de paramètres
1
n
et
2
n
. Alors la variable aléatoire.
YXZ 
suit une loi
2
21
nn
Distance du
2
Cette distance est utilisée pour tester si une distribution observée suit une certaine loi.
Il s ' agi t de la v a le u r
matriceou vecteur
2
ueon théoriqdistributi
ueon théoriqdistributi-observéeon distributi
2
d
, ou plu s
précisément:
Pour un vecteur:
r
ii
ii
Np
Npn
d
1
2
2
, qui suit une loi
2
1 r
. Les
i
n
correspondent aux quantités
observées, les
i
p
aux probabilités théoriques (lues dans les tables), et
N
à la taille de l'échantillon
observé.
Pour une matrice:
sr
ji ij
ijij
Np
Npn
d
,
1,1
2
2
, qui suit une loi
2
11  sr
Mean
10
Poisson Distribution
x
probability
0 5 10 15 20 25 30
0
0,03
0,06
0,09
0,12
0,15

4.
4. Loi Gamma Loi Gamma
la,
Rappel mathématique: fonction gamma d'Euler et propriétés
0
1
dxexl
xl
, pour
0l
lll  1
11
2
1
!1 nn
, si
n
est entier
Généralités sur la loi gamma
1 lax
l
xe
l
a
xf
si
0x
a
l
XE 
2
a
l
XV 
Somme de lois gamma.
Soient
1
X
et
2
X
, 2 variables aléatoires indépendantes suivant respectivement les lois
1
,la
et
2
,la
. Alors la variable aléatoire
21
XXZ 
suit une loi
21
,lla 
Rapport entre loi normale et loi gamma.
Soit
X
une variable aléatoire suivant la loi
1,0N
. Alors la loi
2
2
1XY
suit une loi
2
1
,1
.
Deg. of freedom
10
Chi-Square Distribution
0 10 20 30 40
x
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
density

5.
5. Loi Normal Loi Normal
2
,mN
2
2
1
2
1
mx
exf
mXE 
2
XVar
Moyenne.
xm
ˆ
, sans biais
Variance lorsque la moyenne est connue (moyenne
0
mm
).
2
0
2
1
ˆmx
n
i
, sans biais
Variance lorsque la moyenne n’est pas connue.
2
2
1
ˆxx
n
i
, biaisé. Dans ce cas, on utilise
2
2
1
1xx
n
S
i
, sans biais. Cet estimateur prend
en compte le fait qu'il faut utiliser une estimation préalable de la moyenne pour estimer la variance. Il n'y
a donc plus
n
données disponibles (ou degrés de liberté), mais
1n
.
Remarque :
22
1
n
n
S
,
2
étant la valeur observée de la variance.
Centrer-réduire.
Soit une variable aléatoire
X
qui suit la loi normale
2
,mΝ
. La variable aléatoire
mX Y
suit
une loi normale centrée-réduite
1,0Ν
.
La somme de
p
lois Normales.
2
,
ii
N
deux à deux indépendantes est une loi Normale
2
,
i
i
N
.
Notons qu’on peut retrouver ce résultat en calculant
i
XE
, et.
i
XV
.
Loi de la moyenne.
Si
n
XXX ,,
21
deux à deux indépendants suivent une loi
2
,N
, alors
X
suit une loi
n N
2
,
.
Notons qu’on peut retrouver ce résultat en calculant
XE
, et
XV
.
Loi de la moyenne si les deux paramètres sont inconnus. Cf loi de Student.
Shape,Scale
1,1
Gamma Distribution
0 1 2 3 4 5 6
x
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
density