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RAPPEL
DES PRINCIPALES LOIS DE
DISTRIBUTIONS DE
PROBABILITES
1. Loi Binomiale B(n,p)
Il s’agit en fait de la somme de n variables aléatoires indépendantes X i qui suivent une loi  0,1 , de
même paramètre p.

P X  xi   C xni p xi q n  xi avec q  1  p

E  X   np

V  X   npq
Somme de lois binomiales.




Soient deux variables aléatoires indépendantes: X 1 qui suit B n1 , p , et X 2 qui suit B n 2 , p . La V.A. définie par
X  X 1  X 2 suit une loi B  n1  n2 , p  .
Binomial Distribution
probability
0,4
Event prob.,Trials
0,1,10
0,3
0,2
0,1
0
0
2
4
6
8
10
x
2. Loi de Poisson P()
On appelle variable aléatoire de Poisson une variable aléatoire discrète X pouvant prendre des valeurs
entières 0, 1, 2, …, k avec des probabilités
 -  -
 -
e-,
e ,
e ,…
e où  est un paramètre positif arbitraire.
1!

P X  x i   e  

E X   

VX  
2!
k!
xi
, k R
xi !
Estimation.
̂  x , sans biais
Somme de deux lois de Poisson.
Soient X 1 et X 2 deux variables aléatoire indépendantes suivant respectivement les lois P 1  et
P  2  . La loi Z  X 1  X 2 suit une loi P 1   2  .
Poisson Distribution
probability
0,15
Mean
10
0,12
0,09
0,06
0,03
0
0
5
10
15
20
25
30
x
3. Loi du Khi-deux  2



f  x 

1

2  / 2  
2
E X   
Var  X   2
1 
x2 e
x
2
Somme de carré de loi normales centrées réduites.
Soient
 variables aléatoires
N  0,1

indépendantes X 1 , X 2 ,, X  . La variable aléatoire X   X i2
i 1
suit une loi de probabilité
 2
(khi-deux à  degrés de liberté).
Somme de lois du Khi-deux.
Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi du
n 2 . Alors la variable aléatoire. Z  X  Y suit une loi
2
de paramètres n1 et
 2n1  n2
Distance du  2
Cette distance est utilisée pour tester si une distribution observée suit une certaine loi.
Il s'agit de la valeur
d 2 

vecteur ou matrice
 distributi
on observée - distributi on théoriq ue  2
distributi on théoriq ue
, ou plus
précisément:
r
Pour un vecteur: d 2  
 ni  Np i  2
i 1
Np i
, qui suit une loi  2r 1 . Les ni correspondent aux quantités
observées, les pi aux probabilités théoriques (lues dans les tables), et N à la taille de l'échantillon
observé.
r ,s
Pour une matrice:
d 2 

i 1, j 1
 nij  Np ij  2
Np ij
, qui suit une loi  2r 1 s 1
Chi-Square Distribution
0,1
Deg. of freedom
10
density
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0
10
20
30
40
x
4. Loi Gamma
  a, l 
Rappel mathématique: fonction gamma d'Euler et propriétés


 l  
x
l 1
 e  x dx
, pour l  0
0

 l  1  l   l 

1  1

1
  
2


 n    n  1! ,
si n est entier
Généralités sur la loi gamma



al
e  ax x l 1 si x  0
 l 
l
E X  
a
f  x 
VX  
l
a2
Somme de lois gamma.
Soient X 1 et X 2 , 2 variables aléatoires indépendantes suivant respectivement les lois  a, l1  et
 a, l 2  . Alors la variable aléatoire Z  X 1  X 2 suit une loi  a, l1  l 2 
Rapport entre loi normale et loi gamma.
 1
1
Soit X une variable aléatoire suivant la loi N  0,1 . Alors la loi Y  X 2 suit une loi 1,  .
2

2
Gamma Distribution
1
Shape,Scale
1,1
density
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
1
2
3
4
5
6
x

5. Loi Normal

f  x 
1

 2
E X   m

Var  X    2
N m,  2
e


1  x m  2


2  
Moyenne.
ˆ  x , sans biais
m
Variance lorsque la moyenne est connue (moyenne m  m0 ).
ˆ 2 
1
  xi  m0  2 , sans biais
n
Variance lorsque la moyenne n’est pas connue.
ˆ 2 
1
 xi  x  2 , biaisé. Dans ce cas, on utilise S 2  1   xi  x  2 , sans biais. Cet estimateur prend

n
n 1
en compte le fait qu'il faut utiliser une estimation préalable de la moyenne pour estimer la variance. Il n'y
a donc plus n données disponibles (ou degrés de liberté), mais n  1 .
Remarque : S 2 
n
 2 ,  2 étant la valeur observée de la variance.
n 1
Centrer-réduire.
Soit une variable aléatoire X qui suit la loi normale Ν  m,  2  . La variable aléatoire Y 
une loi normale centrée-réduite Ν  0,1 .
La somme de p lois Normales.
N  i ,  i2 deux à deux indépendantes est une loi Normale N


Notons qu’on peut retrouver ce résultat en calculant
X m
suit

  ,    .
i
2
i
 E  X i  , et. V  X i  .
Loi de la moyenne.
Si X 1 , X 2 , X n deux à deux indépendants suivent une loi N ,  2  , alors X suit une loi
Notons qu’on peut retrouver ce résultat en calculant E  X  , et V  X  .
Loi de la moyenne si les deux paramètres sont inconnus. Cf loi de Student.
 2
N  ,
n


.


Normal Distribution
0,4
Mean,Std. dev.
2,1
density
0,3
0,2
0,1
0
-3
-1
1
3
5
7
x
6. Loi Normale centrée réduite



1
f  x 
2
E X   0
VX  1
e

N  0,1
x2
2
Somme de carré de lois Normales centrées réduites (loi du Khi-deux).
Soient X 1 , X 2 , X n deux à deux indépendantes qui suivent chacune une loi N  0,1 . Alors,
n
Y 
X
2
i
suit une loi  2n .
i 1
Normal Distribution
0,4
Mean,Std. dev.
0,1
density
0,3
0,2
0,1
0
-5
-3
-1
1
x
7. Loi Exponentielle
x

1 
e

E X   

Var  X    2

f X  x 
Estimation.
̂  x
exp   
3
5
Loi Exponentielle et loi Gamma.

La loi Exponentielle exp  m  est un cas particulier de la loi  de paramètres  a 

1

, l  1 .
m

Exponential Distribution
0,1
Mean
10
density
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0
10
20
30
40
50
60
x
8. Loi de Student

E Z   0

Var  Z  
T

2
Propriété.
Soient deux variables aléatoires indépendantes: X qui suit N  0,1 , et Y qui suit  2 . La variable
X
Z
aléatoire définie par
Y suit une loi T (Student à  degrés de liberté).

Loi de la moyenne d’une loi normale dont les 2 paramètres sont inconnus.
Si X suit N ,  2  , de moyenne (théorique) X , alors
X 
S
n
Tn 1 ( n étant la taille de
l'échantillon, et S l’estimateur de la variance). Ceci n’est valable que lorsque n est petit ( n  30 en
pratique). Si n est plus grand, la loi de Student tend vers une loi N  0,1 .
Somme de variables Gaussiennes centrées.
Soient X , X 1 , X 2 ,  , X n , n  1 variables aléatoires gaussiennes indépéndantes et centrées.
T 
X
 X i2
n
suit une loi Tn (Student à n degrés de liberté).
Student's t Distribution
0,4
Deg. of freedom
10
density
0,3
0,2
0,1
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
x
9. Loi de Bernouilli  0,1
La variable aléatoire X ne peut prendre que 2 valeurs, par exemple 0 et 1 (ou échec et succès), avec les
probabilités p X  0  q et p X  1  p  1  q .

E X   p

V  X   pq
10.
Loi Discrète
Pour la valeur x d’une variable aléatoire discrète X pouvant prendre les valeurs ordonnées
x1 , x2 ,, xi , avec les probabilités p1 , p 2 ,, pi , , où

p
1
i
répartition par :
F  xi   Pr  X  xi  
p
k 1
k
i
 1,
on notera la fonction de