equations differentielles 2005

LICENCE DE MATH´ EMATIQUES 2005.
´
EQUATIONS DIFF´ ERENTIELLES.
TH´ EOR` EMES ET D´ EFINITIONS PRINCIPAUX.
A.PAJITNOV
TABLE DES MATI` ERES
1. INTRODUCTION .........................................................2
2. ´ EQUATIONS LIN´ EAIRES AUX COEFFICIENTS CONSTANTS . . . . . . . . . 4
3. TH´ EOR` EMES D’EXISTENCE ET UNICIT´ E .............................5
4. ´ EQUATIONS LIN´ EAIRES AUX COEFFICIENTS VARIABLES . . . . . . . . . . 7
5. STABILIT´ E DES POSITIONS D’´ EQUILIBRE ............................8
1

2 EQUATIONS DIFF´ ERENTIELLES.
CHAPITRE 1.
INTRODUCTION
Une ´equation
(1) dx(t)
dt =f(t, x(t))
est appel´ee ´equation diff´erentielle ordinaire. On utilise souvent la notation x0(t) ou
x(t) au lieu de dx(t)
dt .
Ici la fonction fest d´efinie dans un ouvert de R×Eavec Eun espace vectoriel.
Une solution de cette ´equation est par d´efinition une fonction x:I→Ed´efinie sur
un intervalle I⊂Ret v´erifiant l’´equation (1). Souvent on impose sur les solutions
de (1) une condition initiale
(2) x(t0) = x0
o`u t0∈Ret x0∈Esont donn´es.
Exemple 1.1. L’´equation de la croissance exponentielle
(3) dx(t)
dt =x(t)
(ici E=R).
Exemple 1.2. Equation de Lotka-Volterra
(x0=ax −cxy
y0=−by +dxy
qui d´ecrit l’´evolution d’un syst`eme ´ecologique form´e de 2 esp`eces: pr´edateurs yet
proies x. Ici la fonction inconnue t7→ (x(t), y(t)) est `a valeurs dans R2.
Avant de passer aux m´ethodes de r´esolution des ´equations diff´erentielles, obser-
vons qu’une ´equation diff´erentielle contenant des d´eriv´ees d’ordre sup´erieur peut ˆetre
ramen´ee `a une ´equation diff´erentielle de 1er ordre, notamment l’´equation diff´erentielle
y(n)(t) = f(t, y(t), y0(t), . . . , y(n−1)(t))
est ´equivalente au syst`eme suivant (o`u x1(t) = y(t)):
(4)
x0
1(t) = x2(t),
x0
2(t) = x3(t),
. . .
x0
n−1(t) = xn(t),
x0
n(t) = ft, x1(t), . . . , xn(t)
Voici quelques m´ethodes de base de r´esolution des ´equations diff´erentielles.

EQUATIONS DIFF´ ERENTIELLES. 3
1. Equations en variables s´epar´ees
Il s’agit des ´equations diff´erentielles de la forme
y0(t) = f(y(t))g(t)
ou, en utilisant l’´ecriture traditionnelle
(5) dy
dt =f(y)g(t)
Pour la r´esoudre, on re´ecrit (5) sous la forme
y0(t)
f(y(t)) =g(t).
Soit Fune fonction primitive de 1
f, et Gune fonction primitive de g. On d´eduit:
F(y(t)) = G(t) + Const d’o`u dans la situation favorable on peut trouver la
fonction y.
2. Equations homog`enes
Il s’agit des ´equations diff´erentielles de la forme
y0(t) = fy(t)
t
En posant z(t) = y(t)
tcette ´equation devient
z0(t) = 1
t(f(z(t)) −z(t))
donc une ´equation diff´erentielle en variables s´epar´ees.
3. Equations lin´eaires
La r´esolution de l’´equation
(6) y0(t) = a(t)y(t) + b(t) o`u a, b sont des fonctions donn´ees
se fait en 2 ´etapes.
1. On r´esout l’´equation homog`ene y0(t) = a(t)y(t) dont la solution g´en´erale
est
y(t) = CeA(t)avec A(t) = Za(t)dt
2. Revenant `a (6) on cherche une solution sous la forme y(t) = C(t)eA(t).
Apr`es calcul on trouve une solution particuli`ere:
C(t) = Zt
t0
e−A(t)b(t)dt +C(t0)
Toute solution de (6) est la somme de la solution ainsi obtenue et une
solution de l’´equation homog`ene y0(t) = a(t)y(t).

4 EQUATIONS DIFF´ ERENTIELLES.
CHAPITRE 2.
´
EQUATIONS LIN´ EAIRES AUX COEFFICIENTS CONSTANTS
Pour ce cas on peut d´ecrire toutes le solutions de l’´equation diff´erentielle `a l’aide
d’une formule explicite:
Th´eor`eme 2.1. Soit Aune n×n-matrice. Soit t0∈Ret y0∈Rn. Il existe une
unique solution de l’´equation
y0(t) = Ay(t)
y(t0) = y0,
d´efinie sur R; cette solution est donn´ee par la formule suivante:
y(t) = exp(tA)y0.
Pour n= 2 ce th´eor`eme m`ene `a une description compl`ete du comportement des
solutions de l’`equation. La classification des types diff´erents des `equations peut se
r´esumer `a l’aide du schema suivant (o`u ∆ = (trA)2−4 det A).

EQUATIONS DIFF´ ERENTIELLES. 5
CHAPITRE 3.
TH´ EOR` EMES D’EXISTENCE ET UNICIT´ E
3.1. Th´ eor` eme de Cauchy-Lipschitz
Soit Eun espace vectoriel, U⊂R×Eun ouvert, (t0, x0)∈U. On note ]t0−
δ, t0+δ[ par Iδ. Rappelons deux d´efinitions.
D´efinition 3.1. Une fonction f:U⊂R×E→Fest dite lipschitzienne dans U
selon la deuxi`eme variable s’il existe C > 0 tel que
||f(t, x1)−f(t, x2)|| 6C||x1−x2|||
pour tout (t, x1),(t, x2)∈U.
D´efinition 3.2. Soit X, Y des espaces m´etriques. Supposons que Yest compact.
L’espace de toutes les fonctions continues X→Yest muni d’une m´etrique:
d(f, g) = sup
x∈X
d(f(x), g(x))
L’espace m´etrique ainsi obtenu est not´e C(X, Y ). C’est un espace m´etrique complet.
Th´eor`eme 3.3. Soit f:U→Eune application continue et lipschitzienne selon
la deuxi`eme variable dans un voisinage de (t0, x0). Alors il existe des nombres r´eels
positifs r, ρ, δ tels que
1. pour chaque ξ∈B(x0, ρ)il y a une unique fonction xξ:Iδ=]t0−δ, t0+δ[→
D(x0, r)telle que
dxξ(t)
dt =f(t, xξ(t)),
xξ(t0) = ξ
2. L’application ξ7→ xξest continue en tant qu’une application B(x0, ρ)→
C(Iδ, D(x0, r)).
Remarque 3.4. La condition lipschitzienne est essentielle dans ce th´eor`eme, comme
montre l’example de l’´equation diff´erentielle
x0=p|x|
avec un condition initiale x(0) = 0. Les deux fonctions
f1(t) = 0, f2(t) = sgn(t)t2
v´erifient cette ´equation diff´erentielle.
3.2. Existence et unicit´ e globale des solutions