Algèbre générale - Dartmouth Math Home

Khôlle n12
PCSI - Raspail
2008 - 2009
Algèbre générale
Questions de cours :
Dénitions des objets : groupes, anneaux, corps.
Un morphisme de groupes envoie unité sur unité.
Identier les structures de groupes parmi les propositions suivantes : (R, ×), (R+, ×),
(R+ , +), (R− , ×).
Soit ϕ : G1 −→ G2 un morphisme de groupe. Montrer que Ker(ϕ) et Im(ϕ) sont des
sous-groupes de G1 et G2 respectivement.
Exercices :
Les fonctions continues R 7−→ R+ constituent-elles un anneau ? Un corps ? Que dire
des fonctions continues R 7−→ R∗+ ?
0.
est-il un sous-groupe de R ?
0.
R∗+
0.
Donner les inversibles des anneaux Z[X] et Q[X].
0.
Faire apparaître les fonctions exp et log comme des morphismes de groupes.
Caractériser l'injectivité et la surjectivité d'un morphisme de groupes en termes de
noyau et d'image.
0.
0.
Identier les sous-groupes de Z.
Montrer qu'un groupe ne peut être réunion de deux sous-groupes sans que l'un
contienne l'autre.
1.
Soit G un groupe ni dans lequel tout élément est involutif : ∀g ∈ G, g2 = 1. Montrer
que G est abélien.
2.
3.
Soient G un groupe, H un sous-groupe de G et a ∈ G.
Montrer que a−1Ha est un sous-groupe de G.
b. A quelle condition aH est-il un sous-groupe de G ?
a.
Soient G un groupe et P
groupe de G.
4.
∈ Pf (G)
telle que P.P
⊂ P.
Montrer que P est un sous-
Considérer, pour p xé, l'application x 7→ px ; c'est une bijection de P .
5.
Soit X un ensemble. On note Fixx = {σ ∈ S(X) | σ(x) = x}. Montrer que pour tout
Fixx est un sous-groupe de S(X).
x ∈ X,
PCSI - Raspail
Khôlle n12
2008 - 2009
Soient A un anneau et x, y ∈ A.
a. On suppose que x et y commutent. Montrer que si x et y sont nilpotents, xy l'est
aussi.
b. On suppose que x et y commutent. Montrer que si x et y sont nilpotents, x + y
l'est aussi.
c. Montrer que si xy est nilpotent, yx l'est aussi.
d. Montrer que si x est nilpotent, 1 − x est inversible.
6.
7.
On note Z[i] = {a + ib , (a, b) ∈ Z2}.
a. Montrer que Z[i] est un sous-anneau de C. Est-ce un sous-corps ?
b. Déterminer les inversibles de Z[i].
Anneau de Gauÿ.
On considère le sous-anneau C de M2(R) des matrices de la forme
(a, b) ∈ R.
2
a. Montrer que C contient un élément ι tel que ι = 1.
b. Montrer que C est isomorphe à C et qu'il s'agit donc d'un corps.
8.
9.
Montrer que Q n'a pas de sous-corps non trivial.
a
−b
b
a
, avec