Introduction à la Théorie des Nombres

Cours de Bachelor
Semestre d’´ et´ e 2004-2005
INTRODUCTION ` A LA TH ´ EORIE DES
NOMBRES
Cours du Professeur EVA BAYER FLUCKIGER
Notes de cours par Caroline Lassueur
Ecole Polytechnique F´ ed´ erale de Lausanne
Section de math´ ematiques
CH-1015 Lausanne

Note.
Ce document n’est pas un support de cours officiel. Il s’agit de notes de cours personnelles et
partiellement adapt´ ees. De ce fait certaines banalit´ es ou rappels ´ enonc´ es durant le cours n’y
figurent pas, alors que d’autres choses non-´ enonc´ ees y figurent.

Table des mati`eres
Table des notations 5
Chapitre 1. Rappels d’arithm´ etique 7
Divisibilit´ e7
Nombres premiers et factorisation 7
Congruences 9
Th´ eor` eme d’Euleur et petit th´ eor` eme de Fermat 13
Chapitre 2. Corps finis 15
Rappels alg´ ebriques 15
D´ efinitions et propri´ et´ es 16
Automorphisme de Frobenius 19
Racines primitives mod pet conjecture d’Artin 19
Chapitre 3. La loi de la r´ eciprocit´ e quadratique 21
Symbole de Legendre 21
Sommes de Gauss 24
Preuve de la r´ eciprocit´ e quadratique 26
Chapitre 4. Corps quadratiques 29
D´ efinitions et caract´ erisation 29
Anneau des entiers 31
Chapitre 5. Corps de nombres et anneaux d’entiers 35
D´ efinitions 35
Id´ eaux fractionnaires 35
Ramification et autres 36
Chapitre 6. Unit´ es dans un corps quadratique r´ eel 39
Chapitre 7. Groupes de classes d’id´ eaux 43
Chapitre 8. Corps quadratiques et formes binaires 45
Formes bilin´ eaires sym´ etriques et quadratiques enti` eres 45
Formes binaires 49
Chapitre 9. Trace, norme et discriminant 51
Norme et trace d’un ´ el´ ement d’un corps 51
Th´ eor` eme de la base adapt´ ee 52
Norme d’un id´ eal d’un corps de nombres 54
Discriminant 55
Trace, norme et discriminant d’un corps de nombres 55
Chapitre 10. Corps cyclotomiques 59
D´ efinition et propri´ et´ es 59
3

4 TABLE DES MATI ` ERES
Automorphismes de Q(ζp)61
Chapitre 11. Th´ eorie de Galois des corps de nombres 63
Rappels de th´ eorie de Galois 63
Th´ eorie de Galois des corps de nombres 64
Chapitre 12. Corps cyclotomiques et r´ eciprocit´ e quadratique 69
Chapitre 13. Corps cyclotomiques et premi` eres approches du dernier th´ eor` eme de Fermat 71
Chapitre 14. Nombres congruents et courbes elliptiques 73
Index 77

TABLE DES MATI ` ERES 5
Table des notations
Aut(K/F) Ensemble des automorphisme du corps Kqui sont l’identit´ e sur F
CLes nombres complexes
CdGroupe cyclique d’ordre d
car(A) La caract´ eristique de l’anneau A
Cl(K) Groupe des classes d’id´ eaux
det D´ eterminant
DDiscriminant
DPGroupe de d´ ecomposition de l’id´ eal P
EnCourbe cubique y≤=x≥ −n≤x
E(Q) Groupe des points rationnels de la courbe E
FpCorps fini a p´ el´ ements Z/pZ
FqCorps fini a q=pn´ el´ ements
Gal(K/F) Groupe de Galois de l’extension K/F
hKNombre de classe
IdSApplication identit´ e de l’ensemble E
Im Image d’une application
I(K) Groupe des id´ eaux fractionnaires de OK
IPGroupe d’inertie de l’id´ eal P
mxApplication de multiplication par x
ker Noyau
KHSous-corps invariant du sous-groupe H
K(α) Extension du corps Kpar l’´ el´ ement α
Kn{xn|x∈K}
NLes nombres naturels, 0 compris
Nn{1,2,3,...,n}
N La norme
OKAnneau des entiers sur Zde K
PEnsemble des ´ el´ ements premiers de l’anneau Z
pgdc(a,b) Plus grand diviseur commun de aet b
P(K) Groupe des id´ eaux principaux de OK
Q(√d) Corps quadratique
Q(ζp) Corps cyclotomique
QLes nombres rationnels
RLes nombres r´ eels
R[X] Anneau de polynˆ ome ` a coefficient dans l’anneau R
R∗Groupe des unit´ es de l’anneau R
Tr La trace
ZLes nombres entiers
∆xLe polynˆ ome carct´ eristique de x
ϕIndicatrice d’Euler
ζpRacine primitive p-i` eme de l’unit´ e dans C