Introduction `a la théorie des nombres Série 1

EPFL
Section de Mathématiques
Introduction à la théorie des nombres
Prof. Eva Bayer-Fluckiger
Semestre de Printemps, 2009 - 2010
Semaine du 22.02.2010
Série 1
Exercice 1
Combien peut-il y avoir de vendredi 13 dans une année non bissextile ?
Exercice 2
Répondre aux questions suivantes pour p = 5 puis pour p = 11.
1. Calculer x2 (mod p) pour x ∈ {0, 1, ..., p − 1}.
a
2. Pour tout a ∈ {0, 1, ..., p − 1}, calculer
et a(p−1)/2 (mod p).
p
a
Puis vérifier la relation
≡ a(p−1)/2 (mod p).
p
Exercice 3
1. Soit p un nombre premier et soit x un entier tel que x2 ≡ 1 (mod p). Montrer que l’on a
x ≡ 1 (mod p) ou x ≡ −1 (mod p).
2. Calculer 2140 (mod 561) . En déduire que 561 n’est pas un nombre premier.
Remarque : 561 n’est pas premier et pourtant, on peut montrer que 561 satisfait le petit
théorème de Fermat : pour tout entier a premier à 561, on a a560 ≡ 1 (mod 561). On dit
que 561 est un nombre de Carmichael. L’existence de tels nombres est un obstacle au
test de primalité de Fermat.
Exercice 4
Soit p > 2 un nombre premier.
1. Soit x ∈ {1, ..., p − 1}. Montrer qu’il existe un unique entier y ∈ {1, ..., p − 1} tel que
xy ≡ 1 (mod p). Montrer que x 6= y, sauf si x = 1 ou x = p − 1.
2. En regroupant les entiers compris entre 1 et p−1 deux par deux, comme dans la question
précédente, montrer (p − 1)! ≡ −1 (mod p). C’est le théorème de Wilson.
3. (a) Montrer qu’il existe un entier a tel que a2 ≡ −1 (mod p) si et seulement si p ≡
1 (mod 4).
! . Montrer a2 ≡ −1 (mod p).
(b) On suppose p ≡ 1 (mod 4). On pose a = p−1
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