Introduction `a la théorie des nombres Série 1

EPFL
Section de Math´ ematiques
Introduction `a la th´eorie des nombres
Prof. Eva Bayer-Fluckiger
Semestre de Printemps, 2009 - 2010
Semaine du 22.02.2010
S´erie 1
Exercice 1
Combien peut-il y avoir de vendredi 13 dans une ann´ee non bissextile ?
Exercice 2
R´epondre aux questions suivantes pour p= 5 puis pour p= 11.
1. Calculer x2(mod p) pour x∈ {0,1, ..., p −1}.
2. Pour tout a∈ {0,1, ..., p −1}, calculer a
pet a(p−1)/2(mod p).
Puis v´erifier la relation a
p≡a(p−1)/2(mod p).
Exercice 3
1. Soit pun nombre premier et soit xun entier tel que x2≡1 (mod p). Montrer que l’on a
x≡1 (mod p) ou x≡ −1 (mod p).
2. Calculer 2140 (mod 561) . En d´eduire que 561 n’est pas un nombre premier.
Remarque : 561 n’est pas premier et pourtant, on peut montrer que 561 satisfait le petit
th´eor`eme de Fermat : pour tout entier apremier `a 561, on a a560 ≡1 (mod 561). On dit
que 561 est un nombre de Carmichael. L’existence de tels nombres est un obstacle au
test de primalit´e de Fermat.

Exercice 4
Soit p > 2 un nombre premier.
1. Soit x∈ {1, ..., p −1}. Montrer qu’il existe un unique entier y∈ {1, ..., p −1}tel que
xy ≡1 (mod p). Montrer que x6=y, sauf si x= 1 ou x=p−1.
2. En regroupant les entiers compris entre 1 et p−1 deux par deux, comme dans la question
pr´ec´edente, montrer (p−1)! ≡ −1 (mod p). C’est le th´eor`eme de Wilson.
3. (a) Montrer qu’il existe un entier atel que a2≡ −1 (mod p) si et seulement si p≡
1 (mod 4).
(b) On suppose p≡1 (mod 4). On pose a=p−1
2! . Montrer a2≡ −1 (mod p).