EPFL Section de Mathématiques Introduction à la théorie des nombres Prof. Eva Bayer-Fluckiger Semestre de Printemps, 2009 - 2010 Semaine du 22.02.2010 Série 1 Exercice 1 Combien peut-il y avoir de vendredi 13 dans une année non bissextile ? Exercice 2 Répondre aux questions suivantes pour p = 5 puis pour p = 11. 1. Calculer x2 (mod p) pour x ∈ {0, 1, ..., p − 1}. a 2. Pour tout a ∈ {0, 1, ..., p − 1}, calculer et a(p−1)/2 (mod p). p a Puis vérifier la relation ≡ a(p−1)/2 (mod p). p Exercice 3 1. Soit p un nombre premier et soit x un entier tel que x2 ≡ 1 (mod p). Montrer que l’on a x ≡ 1 (mod p) ou x ≡ −1 (mod p). 2. Calculer 2140 (mod 561) . En déduire que 561 n’est pas un nombre premier. Remarque : 561 n’est pas premier et pourtant, on peut montrer que 561 satisfait le petit théorème de Fermat : pour tout entier a premier à 561, on a a560 ≡ 1 (mod 561). On dit que 561 est un nombre de Carmichael. L’existence de tels nombres est un obstacle au test de primalité de Fermat. Exercice 4 Soit p > 2 un nombre premier. 1. Soit x ∈ {1, ..., p − 1}. Montrer qu’il existe un unique entier y ∈ {1, ..., p − 1} tel que xy ≡ 1 (mod p). Montrer que x 6= y, sauf si x = 1 ou x = p − 1. 2. En regroupant les entiers compris entre 1 et p−1 deux par deux, comme dans la question précédente, montrer (p − 1)! ≡ −1 (mod p). C’est le théorème de Wilson. 3. (a) Montrer qu’il existe un entier a tel que a2 ≡ −1 (mod p) si et seulement si p ≡ 1 (mod 4). ! . Montrer a2 ≡ −1 (mod p). (b) On suppose p ≡ 1 (mod 4). On pose a = p−1 2