Solution de l`examen 2

Nom
Pr´enom
Code permanent
Solution de l’examen 2
Date : 19 mars 2013
Titre du cours : Calcul avanc´e I
Sigle et groupe : 8MAP110
Enseignant : Alexandre Blondin Mass´e
Instructions
1) Vous avez deux heures et demie pour r´epondre `a l’examen ;
2) Vous devez r´epondre `a chacune des 7 questions de l’examen ;
3) Vous avez droit `a une feuille de notes recto-verso ;
4) Il est interdit d’utiliser un ordinateur, peu importe sa taille et sa forme (t´el´ephone por-
table, agenda ´electronique, etc.) ;
5) Il est interdit de parler et de prˆeter de la documentation `a un autre ´etudiant ;
6) Au besoin, utilisez le verso comme brouillon ;
7) ` A moins d’avis contraire, justifiez toutes vos r´eponses et donnez le d´etail de vos calculs ;
8) Indiquez clairement vos r´eponses finales ;
9) Assurez-vous d’avoir r´epondu `a chacune des questions avant de quitter.
Question 1 2 3 4 5 6 7 Total
Sur 10 20 10 20 10 15 15 100
Note

8MAP110 — Calcul avanc´e I Hiver 2013
Question 1. ..................................................................(10 points)
Pour cette question, aucune justification n’est requise.
(a) (2 points) Vrai ou faux ? La fonction vectorielle #» r(t) = (t3,1−t3,2t3+1), o`u t∈R,
d´ecrit une droite dans R3.
(a) Vrai
(b) (2 points) Une particule se d´eplace dans l’espace selon la fonction de position #» r(t).
Supposons que k#» v(t)kest constante peu importe la valeur de t, o`u #» v(t) d´esigne la
vitesse de la particule au temps t. Vrai ou faux ? On peut conclure n´ecessairement
que la particule se d´eplace le long d’une droite.
(b) Faux
(c) (2 points) On dit qu’une courbe est plane si elle est contenue dans un plan de R3.
Consid´erez la courbe d´ecrite par la fonction #» r(t) = (cos t, sin t, cos t−sin t). Cette
courbe est plane (vous pouvez le prendre pour acquis). Donnez l’´equation du plan
dans lequel elle se trouve.
(c) x−y−z= 0
(d) (2 points) Vrai ou faux ?
lim
(x,y)→(0,0)
x2y2
x2+y2= 0.
(d) Vrai
(e) (2 points) Donnez le domaine de la fonction vectorielle
#»
r(u, v) = (2 sin ucos v, 2 sin usin v, 2 cos u)
pour qu’elle d´ecrive la sph`ere de rayon 2 centr´ee `a l’origine et que chaque point de
la sph`ere soit atteint exactement une fois.
(e) 0≤u≤πet 0≤v≤2π
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8MAP110 — Calcul avanc´e I Hiver 2013
Question 2. ..................................................................(20 points)
Pour chacune des courbes suivantes, donnez-en une param´etrisation #» r(t).
(a) (10 points) Le cercle `a l’intersection des sph`eres d’´equations x2+y2+z2= 4 et
x2+y2+ (z−2)2= 4.
Solution: La deuxi`eme ´equation se r´e´ecrit x2+y2+z2−4z+ 4 = 4 et en
substituant x2+y2+z2par 4, on obtient 4 −4z+ 4 = 4, c’est-`a-dire z= 1.
Ainsi, la courbe se trouve dans le plan z= 1. Ensuite, on constate que les
deux ´equations des sph`eres deviennent x2+y2= 3. Utilisons maintenant les
coordonn´ees cylindriques. On pose x=rcos t,y=rsin tet z=z. On obtient
alors r2= 3 et donc r=√3. Une param´etrisation est
#»
r(t) = (rcos t, r sin t, z)=(√3 cos t, √3 sin t, 1).
(b) (10 points) La courbe `a l’intersection du cylindre x2+y2= 4 et de la surface z=xy.
Solution: On utilise encore une fois les coordonn´ees cylindriques. Posons x=
rcos t,y=rsin tet z=z. Alors l’´equation du cylindre devient r= 2 et la
deuxi`eme ´equation devient
z=xy = (rcos t)(rsin t) = r2cos tsin t= 4 cos tsin t= 2 sin 2t.
Une param´etrisation est donc
#»
r(t) = (rcos t, r sin t, z) = (2 cos t, 2 sin t, 2 sin 2t).
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8MAP110 — Calcul avanc´e I Hiver 2013
Question 3. ..................................................................(10 points)
Calculez la longueur de la courbe d´ecrite par la fonction vectorielle
#»
r(t) = (cos t, sin t, ln(cos t))
entre t= 0 et t=π/4. Aide : L’identit´e trigonom´etrique tan2θ+ 1 = sec2θet l’int´egrale
Zsec x dx = ln |sec x+ tan x|+C
pourraient vous ˆetre utiles. Vous devez donner une r´eponse exacte, c’est-`a-dire sans
approximation num´erique.
Solution: On calcule
#»
r0(t) et k
#»
r0(t)k:
#»
r0(t) = −sin t, cos t, 1
cos t· −sin t
= (−sin t, cos t, −tan t)
k
#»
r0(t)k=p(−sin t)2+ (cos t)2+ (−tan t)2
=psin2t+ cos2t+ tan2t
=p1 + tan2t
=√sec2t
=|sec t|.
Comme sec t≥0 pour 0 ≤t≤π/4, on peut supprimer la valeur absolue. La longueur
de courbe cherch´ee est donc
L=Zπ/4
0k
#»
r0(t)kdt =Zπ/4
0
sec tdt = ln |sec t+ tan t|
π/4
0
.
Remarquons que
sec(0) = 1,tan(0) = 0,sec(π/4) = √2 et tan(π/4) = 1,
de sorte que
L= ln |sec(π/4) + tan(π/4)| − ln |sec(0) + tan(0)|
= ln(√2 + 1) −ln(1 + 0)
= ln(√2 + 1).
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Question 4. ..................................................................(20 points)
Consid´erez la parabole y=x2dans R2.
(a) (3 points) Donnez une param´etrisation #» r(t) de cette parabole.
Solution: Il suffit de prendre x=tet alors y=x2=t2. Une param´etrisation
est donn´ee par
#»
r(t) = (t, t2).
(b) (5 points) Calculez la courbure au point (1,1).
Solution: Le point (1,1) est atteint quand t= 1. On doit donc calculer κ(1).
On obtient
#»
r0(t) = (1,2t)
#»
r00(t) = (0,2)
#»
r0(t)∧
#»
r00(t) = 
#»
i#» j
#»
k
1 2t0
020
= (0,0,2)
k
#»
r0(t)∧
#»
r00(t)k= 2
κ(t) = k
#»
r0(t)∧
#»
r00(t)k
k
#»
r0(t)k3
=2
(1 + 4t2)3/2
κ(1) = 2
(1 + 4)3/2
=2
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