Fonctions de plusieurs variables TD 2. Normes et topologie dans Rn

Université Paris-Est Créteil
Fonctions de plusieurs variables
L2-S4
TD 2. Normes et topologie dans Rn
Exercice 1 On s’intéresse à l’espace Rn , pour n ≥ 1.
1. Montrer que les trois applications suivantes
k · k1 : (x1 , x2 , .., xn ) 7→
n
X
i=1
| xi |,
k · k2 : (x1 , x2 , .., xn ) 7→
n
X
!1
2
x2i
i=1
et
k · k∞ : (x1 , x2 , .., xn ) 7→ max | xi |
1≤i≤n
sont des normes sur
Rn .
2. Cas n = 1 :
Déterminer toutes les normes sur R.
3. Cas n = 2 :
Représenter graphiquement dans le plan (l’espace) euclidien muni d’un repère orthonormé
les boules fermées de centre 0 et de rayon 1 pour les normes k · k1 , k · k2 et k · k∞ .
4. Cas n quelconque :
Montrer que les normes k · k1 , k · k2 et k · k∞ sont équivalentes deux à deux.
Exercice 2 Determiner si les applications suivantes sont des normes R2 :
1. N : (x1 , x2 ) 7→ max(| 2x1 |, | x2 − x1 |)
2. N : (x1 , x2 ) 7→ max(| x1 − x2 |, | 4x2 − 4x1 |)
1
3. N : (x1 , x2 ) 7→ (x21 + |x2 |) 2
1
4. N : (x1 , x2 ) 7→ |x1 − x2 | 2
5. N : (x1 , x2 ) 7→ |x1 |3 + |x2 |
1
6. On fixe a > 0, b > 0 et on définie Na,b : (x1 , x2 ) 7→ (a2 x21 + b2 x22 ) 2
Exercice 3 Soit k · k une norme sur Rn . Montrer que pour tous x, y ∈ Rn on a
|kxk − kyk| ≤ kx − yk.
Exercice 4 Sur R2 , on considère les applications
N2 (x, y) =
sup
t∈[− π2 , π2 ]
| x · cos(t) + y · sin(t) |,
N (x, y) = sup
t∈R
1
N∞ (x, y) = sup | tx + (1 − t)y |,
t∈[0,1]
| x + ty |
1 + t2
1. Montrer que N2 , N∞ et N sont trois normes sur R2 .
2. Identifier N2 et N∞ comme deux normes usuelles sur R2 .
Exercice 5
Soit N1 , N2 deux normes sur Rn , BN1 et BN2 leurs boules unités fermées. Montrer que
BN1 ⊂ BN2 ⇐⇒ N2 ≤ N1 .
1
BN ⊂ BN2 ⊂ 2BN1 ?
2 1
T
S
6 Calculer n An et n An dans chacun des cas suivants :
1
=]a + , n], n ≥ 1, a ≤ 0.
n
= {p, p ≥ n}, n ≥ 0.
1
n
, − ], n ≥ 2.
= [−
n+1 n
Que signifie
Exercice
1. An
2. An
3. An
Exercice 7
1. Représenter les ensembles suivants. Determiner leur intérieur, leur adhérence et leur bord
[sans démonstration].
(a) [0, 1[×[1, 2]
(b) {(x, y) ∈ R2 | 5x + 4y < 1}
(c) {(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ (x − 4)2 + (y + 2)2 < 4}
(d) {(x, y) ∈ R2 | 2 ≤ 2x2 + (y − 1)2 ≤ 5}
(e) {(x, y) ∈ R2 | x2 ≤ y < 2x + 1}
2. Pour chacun des ensembles précédents, en utilisant la question précédente, dire s’il est
ouvert ou fermé ou ni ouvert ni fermé.
Notation. E : R → Z, x 7→ E(x) désigne l’application partie entière, i.e.
E(x) = max{n ∈ Z | n ≤ x}.
Exercice 8 Représenter les ensembles suivants. Sans calcul, déterminer leur adhérence, intérieur
et bord. Pour chacun des ensemble, dire s’il est ouvert ou fermé ou ni ouvert ni fermé.
1. A = {(x, y) ∈ R2 | x + y < 2} ∪ {(x, y) ∈ R2 | x − y ≤ 2}
2. B = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 < 1} ∩ {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0}
T
{(x, y) ∈ R2 | x − y ≤ 1/n}
3. C =
n∈N∗
4. D =
T
n∈N∗
{(x, y) ∈ R2 | x − y < 1/n}
5. E = [0, 1] × {0}
6. F = {(x, y) ∈ R2 | E(x) ≤ 1 et E(y) ≤ 2}
7. G = {(x, y) ∈ R2 | E(x) < 1 et E(y) > 2}
8. H = {(x, y) ∈ R2 | E(x) > y, x, y ∈ [0, 1]}
2
9. I = {(x, y) ∈ R2 | E(x) > y, x, y ∈ [0, 2]}
10. J = {(x, y) ∈ R2 | E(x) < 1 et E(y) > 2}
Exercice 9 Soit N une norme sur Rn [n ≥ 1].
Montrer qu’une boule ouverte est un ensemble ouvert et qu’une boule fermée est un ensemble
fermé.
Exercice 10 Pour les expressions suivantes de (an )n et (bn )n on considère la suite (Xn )n avec
Xn = (an , bn ). Dire si la suite (Xn )n est convergente ou non et le cas échéant déterminer sa limite.
1. an = ln(n + 1), bn = n
2. an = ln(n + 1), bn = 1 +
1
n
n+1
n
√
n+1
−n
4. an = 5 − ne , bn =
n
3. an = 2−n , bn =
Exercice 11 On muni R2 de la norme Euclidienne.
Soit U = {(x, y) ∈ R2 | x > y} et V = {(x, y) ∈ R2 | x ≤ y}
1. On montre que U est ouvert.
(a) Soit M0 = (x0 , y0 ) ∈ U et ε0 := x0 − y0 . Pourquoi a-t-on ε0 > 0 ?
ε0
. Montrer que si (x, y) ∈ B(M0 , r0 ) alors on a x > y.
(b) Soit r0 :=
10
(c) En déduire que B(M0 , r0 ) ⊂ U .
(d) Conclure.
2. On montre que V est fermé.
(a) En utilisant la question précédente, montrer que V est fermé.
(b) On démontre à présent indépendamment de la question précédente que V est fermé.
i. Soit (Mn )n ⊂ V une suite d’élément de V et M ∈ R2 tels que Mn → M . On note
Mn = (xn , yn ) et M = (x, y).
On pose un := xn − yn ∈ R et u := x − y ∈ R. Montrer que un → u [dans R].
ii. Pourquoi a-t-on x − y ≤ 0.
iii. En déduire que M ∈ V .
iv. Conclure.
3