Fonctions de plusieurs variables TD 2. Normes et topologie dans Rn

Université Paris-Est Créteil
Fonctions de plusieurs variables L2-S4
TD 2. Normes et topologie dans Rn
Exercice 1 On s’intéresse à l’espace Rn, pour n≥1.
1. Montrer que les trois applications suivantes
k · k1: (x1, x2, .., xn)7→
n
X
i=1 |xi|,k · k2: (x1, x2, .., xn)7→ n
X
i=1
x2
i!
1
2
et
k · k∞: (x1, x2, .., xn)7→ max
1≤i≤n|xi|
sont des normes sur Rn.
2. Cas n= 1 :
Déterminer toutes les normes sur R.
3. Cas n= 2 :
Représenter graphiquement dans le plan (l’espace) euclidien muni d’un repère orthonormé
les boules fermées de centre 0et de rayon 1 pour les normes k · k1,k · k2et k · k∞.
4. Cas nquelconque :
Montrer que les normes k · k1,k · k2et k · k∞sont équivalentes deux à deux.
Exercice 2 Determiner si les applications suivantes sont des normes R2:
1. N: (x1, x2)7→ max(|2x1|,|x2−x1|)
2. N: (x1, x2)7→ max(|x1−x2|,|4x2−4x1|)
3. N: (x1, x2)7→ (x2
1+|x2|)1
2
4. N: (x1, x2)7→ |x1−x2|1
2
5. N: (x1, x2)7→ |x1|3+|x2|
6. On fixe a > 0,b > 0et on définie Na,b : (x1, x2)7→ (a2x2
1+b2x2
2)1
2
Exercice 3 Soit k · k une norme sur Rn.Montrer que pour tous x, y ∈Rnon a
|kxk − kyk| ≤ kx−yk.
Exercice 4 Sur R2, on considère les applications
N2(x, y) = sup
t∈[−π
2,π 2]|x·cos(t) + y·sin(t)|, N∞(x, y) = sup
t∈[0,1] |tx + (1 −t)y|,
N(x, y) = sup
t∈R
|x+ty |
1 + t2
1

1. Montrer que N2,N∞et Nsont trois normes sur R2.
2. Identifier N2et N∞comme deux normes usuelles sur R2.
Exercice 5
Soit N1, N2deux normes sur Rn,BN1et BN2leurs boules unités fermées. Montrer que
BN1⊂BN2⇐⇒ N2≤N1.
Que signifie 1
2BN1⊂BN2⊂2BN1?
Exercice 6 Calculer SnAnet TnAndans chacun des cas suivants :
1. An=]a+1
n, n], n ≥1, a ≤0.
2. An={p, p ≥n}, n ≥0.
3. An= [−n
n+ 1,−1 n], n ≥2.
Exercice 7
1. Représenter les ensembles suivants. Determiner leur intérieur, leur adhérence et leur bord
[sans démonstration].
(a) [0,1[×[1,2]
(b) {(x, y)∈R2|5x+ 4y < 1}
(c) {(x, y)∈R2|1≤(x−4)2+ (y+ 2)2<4}
(d) {(x, y)∈R2|2≤2x2+ (y−1)2≤5}
(e) {(x, y)∈R2|x2≤y < 2x+ 1}
2. Pour chacun des ensembles précédents, en utilisant la question précédente, dire s’il est
ouvert ou fermé ou ni ouvert ni fermé.
Notation. E : R→Z, x 7→ E(x)désigne l’application partie entière, i.e.
E(x) = max{n∈Z|n≤x}.
Exercice 8 Représenter les ensembles suivants. Sans calcul, déterminer leur adhérence, intérieur
et bord. Pour chacun des ensemble, dire s’il est ouvert ou fermé ou ni ouvert ni fermé.
1. A={(x, y)∈R2|x+y < 2} ∪ {(x, y)∈R2|x−y≤2}
2. B={(x, y)∈R2|x2+y2<1} ∩ {(x, y)∈R2|x≥0}
3. C=T
n∈N∗{(x, y)∈R2|x−y≤1/n}
4. D=T
n∈N∗{(x, y)∈R2|x−y < 1/n}
5. E= [0,1] × {0}
6. F={(x, y)∈R2|E(x)≤1et E(y)≤2}
7. G={(x, y)∈R2|E(x)<1et E(y)>2}
8. H={(x, y)∈R2|E(x)> y, x, y ∈[0,1]}
2

9. I={(x, y)∈R2|E(x)> y, x, y ∈[0,2]}
10. J={(x, y)∈R2|E(x)<1et E(y)>2}
Exercice 9 Soit Nune norme sur Rn[n≥1].
Montrer qu’une boule ouverte est un ensemble ouvert et qu’une boule fermée est un ensemble
fermé.
Exercice 10 Pour les expressions suivantes de (an)net (bn)non considère la suite (Xn)navec
Xn= (an, bn). Dire si la suite (Xn)nest convergente ou non et le cas échéant déterminer sa limite.
1. an= ln(n+ 1),bn=n
2. an= ln(n+ 1),bn= 1 + 1
n
3. an= 2−n,bn=n+ 1
n
4. an= 5 −ne−n,bn=√n+ 1
n
Exercice 11 On muni R2de la norme Euclidienne.
Soit U={(x, y)∈R2|x > y}et V={(x, y)∈R2|x≤y}
1. On montre que Uest ouvert.
(a) Soit M0= (x0, y0)∈Uet ε0:= x0−y0. Pourquoi a-t-on ε0>0?
(b) Soit r0:= ε0
10. Montrer que si (x, y)∈B(M0, r0)alors on a x > y.
(c) En déduire que B(M0, r0)⊂U.
(d) Conclure.
2. On montre que Vest fermé.
(a) En utilisant la question précédente, montrer que Vest fermé.
(b) On démontre à présent indépendamment de la question précédente que Vest fermé.
i. Soit (Mn)n⊂Vune suite d’élément de Vet M∈R2tels que Mn→M. On note
Mn= (xn, yn)et M= (x, y).
On pose un:= xn−yn∈Ret u:= x−y∈R. Montrer que un→u[dans R].
ii. Pourquoi a-t-on x−y≤0.
iii. En déduire que M∈V.
iv. Conclure.
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