operateurs fermes correction

Opérateurs Fermés
( Correction )
1. Commençons par montrer que Im T = l2 : Notons que
T x = (1x1 ; 2x2 ; 3x3 ; : : :) = (0; 0; 0; : : : ; )
si, et seulement si x = 0; ce qui prouve que T est injectif, par conséquent
l’inverse T 1 existe. Donc, il s’en suit que
T
1
T
1
alors
iet T
1
1
1
x1 ; x2 ; x3 ; : : :
2
3
(x1 ; x2 ; x3 ; : : :) =
x
2
=
1
est borné, T
+1
X
1
2
jxn j
2
n
n=1
1.
+1
X
n=1
2
2
jxn j = kxk ;
De plus, comme
1
T
on déduit que T
1
(1; 0; 0; : : : ; ) = (1; 0; 0; : : : ; ) ;
= 1.
Comme T 1 est borné (i.e. T 1 2 B T 1 ), il est en particulier un
opérateur fermé. Ceci signi… que le graphe G T 1 est un ensemble fermé.
Cependant, G (T ) est obtenu à partir de G T 1 est en interchangeant
les cordonnées. Donc il s’en suit que le graphe G (T ) est de T est aussi
fermé, et ainsi, nous avons montré que T est un opérateur fermé.
Notons cependant que T est un opéraeur non borné. En e¤et, il su¢ t de
voir que
kT en k = n et ken k = 1:
2. Par dé…nition, T : D (T ) ! H est fermé si le graphe
G (T ) = f(x; y) 2 H
H : x 2 D (T ) ; y = T xg
est un ensemble fermé.
a) Soit A 2 B (H) : Montrons que
G (T + A) = f(x; y) 2 H
H : x 2 D (T ) ; y = T x + Axg
est fermé. Il su¢ t de montrer que si (xn ) D (T + A) et xn ! x et
T xn + Axn ! y; alors x 2 D (T + A) et (T + A) x = y:
Soit (xn ) D (T + A) = D (T ) et xn ! x et T xn + Axn ! y: Alors
T xn ! y
lim Axn = y
Ax:
Comme T est fermé, x 2 D (T ) et T x = y Ax; donc par réarrangement, T x + Ax = y; et il s’en suit que T + A est fermé.
1
b) En choisissant une suite (xn )
D (T A) tel que
xn ! x et T Axn ! y:
Alors (Axn )
D (T ) ; et
Axn ! Ax et T Axn ! y:
En utilisant le fait que T est fermé, nous obtenons :
Ax 2 D (T )
et
T Ax = y:
Cependant,
Ax 2 D (T ) signi…e que x 2 D (T A) ;
ce qui prouve que T A est fermé.
3. Il est clair que T : D (T ) l2 ! l2 est linéaire. De plus D (T ) est dense
dans l2 . En e¤et, l’ensemble de toutes les suites (xn ); telle que, pour
certains N 2 N, nous avons xn = 0 pour n > N; est un sous ensemble de
D (T ) et ce dernier sous ensemble est dense dans l2 donc D (T ) l’est aussi.
Soit x(n)
D (T ) ; et supposons que x(n) ! x 2 l2 et T x(n) ! y 2 l2 :
Si l’on écrit :
x(n) = (xn1 ; xn2 ; xn3 ; : : :) et y = (y1 ; y2 ; y3 ; : : :) ;
alors
y
T x(n) = (y1
xn2 ; y2
2xn3 ; y3
3xn4 ; : : :) ! 0 dans l2 :
En particulier,
xn2 ! y1 ; xn3 !
1
1
1
y2 ; xn4 ! y3 ; : : : ; xnk+1 ! yk ; : : : ; pour n ! 1;
2
3
k
donc la seule limite possible est :
x=
1
1
1
lim xn1 ; y2 ; y3 ; : : : ; yk ; : : : :
2
3
k
Comme y 2 l2 , il est évident que x 2 l2 : En…n, il est trivial que T x = y;
donc x 2 D (T ) ; et l’on a montrer que T est fermé.
4. T étant un opérateur fermé, alors
x = lim un ; un 2 D (T ) ; et lim T un = z;
2
implique
x 2 D (T )
et T x = z:
D’une manière similaire,
x = lim vn ; vn 2 D (T ) ; et lim T vn = q;
implique
x 2 D (T )
et T x = q:
Maintenant, l’application est bien dé…nie (i.e. dé…nie d’une manière
unique), donc
limT un = z = q = limT vn :
n
n
5. Voir le cours.
6. Soit (yn )
T (A) :
T (A) ; et supposons que yn ! y 2 H: Montrons que y 2
Comme yn 2 T (A) ; il existe au moins un xn 2 A tel que T xn = yn :
Choisisssons pour chaque yn un xn 2 A ayant cette propriété. Alors (xn )
dé…nie une suite sur un ensemble compact A. Donc (xn ) contient une sous
suite convergente (zn ) où zn ! x 2 A: Nous avons donc montrer que
(zn )
A
D (T ) ; zn ! x 2 A
et T zn ! y 2 H:
Maintenant, T étant fermé, il s’en suit que x 2 D (T ) et y 2 T (A) : Ceci
montre que T (A) est fermé.
7. Il est clair que
ker T = fx 2 D (T ) : T x = 0g
est un sous espace, donc il su¢ t de montrer qu’il est fermé.
Soit donc (xn )
x 2 ker T:
ker T une suite telle que xn ! x 2 H: Montrons que
Comme T est fermé et que
T xn = 0 ! 0;
nous en déduisons que
x 2 D (T ) et T x = lim T xn = 0:
n!1
Ce qui implique : x 2 ker T:
3