17 Transformation en Z Chapitre 3 Présentation de l’exemple 1 Temps moyen de lecture hors exercices : 30 minutes Les exercices sont corrigés dans le fichier < Z exercices 10 11 > Exemple 1 d’équation (analyse de la situation) .................................................. 18 Exemple 1 d’équation (résolution : phase 1)....................................................... 19 Exemple 1 d’équation (résolution : phase 2)....................................................... 20 Exercices d’application directe ........................................................................... 21 Ce chapitre est une présentation de l’utilisation de la Transformée en Z pour résoudre un premier type d’équation dont l’inconnue est un signal causal discret. 18 Exemple 1 d’équation (analyse de la situation) Trouver le signal causal discret x : n → x (n ) tel que : 0 si n < 0 x (n ) − 2x (n − 1) = e(n ) = 1 si n ≥ 0. Vocabulaire • L’expression x (n ) − 2 x (n − 1) = e(n ) est appelée « équation récurrente », et n représente un entier. • L’inconnue désignée par x représente un signal causal discret x : n → x (n ) à trouver ( x (n ) = 0 si n < 0 ) Analyse de la situation • Nous voyons apparaître le signal n → x (n − 1) nul pour n < 1 . Ce signal est appelé « signal retardé de 1 du signal x ». • On peut donner les premières valeurs du signal x de proche en proche : x (0) = 1 puisque x (0) − 2 x (−1) = e(1) = 1 et x (−1) = 0. x (0) = 1, x (1) − 2 x (0) = e(1) donc : x (1) = e(1) + 2 x (0) avec e(1) = 1, x (0) = 1 et x (1) = 3. x (1) = 3 , x (2) − 2 x (1) = e(2) donc : x (2) = e(2) + 2 x (1) avec e(2) = 1, x (1) = 3 et x (2) = 7. n e( n ) x (n ) = 1 + 2 x (n − 1) x (n − 1) 0 1 1 0 1 1 3 1 2 1 1+ 2×3 3 3 1 15 7 4 1 31 15 5 1 1 + 2 × 31 31 L’utilisation de la transformée en Z nous donnera l’expression de x (n ) en fonction de n directement, on trouvera : x : n → x (n ) = 2 n +1 − 1 pour n ≥ 0. VOIR PLUS LOIN Exercice rapide Donner la valeur de x (8) par un calcul de proche en proche lorsque le signal causal discret x vérifie l’équation récurrente x (n ) − 2 x (n − 1) = e(n ) . Réponse 511 (Remarque : on peut vérifie que ce résultat est conforme à l’expression de x que l’on trouvera plus loin). 19 Exemple 1 d’équation (résolution : phase 1) On veut trouver le signal x qui est la solution de l'équation récurrente (E) x (n ) − 2x (n − 1) = e(n ) 1. On transforme l'équation (E) à l’aide de la Transformée en Z On utilise la ligne suivante du formulaire de mathématiques distribué Signal retardé de n 0 : y(n ) = x (n − n 0 ) ( Zy)(z) = z − n 0 ( Zx )(z) Ici n 0 = 1: ( Zx )(z) − 2z −1( Zx )(z) = ( Ze)(z) z on obtient : Comme ( Ze)(z) = z −1 z ( Zx )(z) − 2z −1( Zx )(z) = z −1 2. On isole ( Zx )(z) 1 − 2z −1 ( Zx )(z) = z z −1 z z − 2 z 2 ; 1 − × ( Zx )(z) = ; × ( Zx )(z) = z −1 z z −1 z donc : z2 ( Zx )(z) = (z − 2)(z − 1) • Dans cette première phase on a trouvé la transformée en Z du signal inconnu x • Dans une deuxième phase on va trouver le signal x qui admet cette z2 transformée en Z, appelé « original de » ce sera la solution. (z − 2)(z − 1) 20 Exemple 1 d’équation (résolution : phase 2) Le signal x qui est la solution de l'équation (E) x (n ) − 2x (n − 1) = e(n ) est l’unique signal x qui vérifie : z2 ( Zx )(z) = (z − 2)(z − 1) Il suffit d’utiliser ligne suivante du Formulaire de mathématiques : z f (n ) = a n ( Zf )(z) = z−a z a b = + En effet, si on trouve les réel a et b tels que (cette (z − 2)(z − 1) z − 1 z − 2 opération s’appelle « décomposer en éléments simples) on en déduit : z2 z z ( Zx)(z) = =a× + b× et d ' après le Formulaire : (z − 2)(z − 1) z −1 z−2 z z x (n ) = a × e(n ) + b × 2 n puisque ( Ze)(z) = et ( Z2 n )(z) = z −1 z−2 3) On décompose en éléments simples Trouvons a et b tels que z a b = + (z − 2)(z − 1) z − 1 z − 2 Réduisons au même dénominateur : . z (a + b)z − 2a − b = (z − 2)(z − 1) (z − 2)(z − 1) Identifions les numérateurs: a + b = 1 2a + b = 0 on obtient : a = −1, b = 2 : z −1 2 = + . (z − 2)(z − 1) z − 1 z − 2 4) On trouve l’original z z z z ( Zx )(z) = − + 2× . On sait : ( Ze)(z) = et ( Z2 n )(z) = z −1 z−2 z −1 z−2 donc : x (n ) = −e(n ) + 2 × 2 n pour n ≥ 0 5) Conclusion x (n ) = 2 n +1 − 1 pour n ≥ 0 (et x (n ) = 0 pour n < 0) 21 Exercices d’application directe Exercice 10 Trouver le signal causal discret x tel que : x (n ) − 3x (n − 1) = 2e(n ) On sera amené à trouver les réel a et b tels que z a b = + . (z − 1)(z − 3) z − 1 z − 3 Exercice 11 On se donne le signal causal discret x tel que x (n ) − 10x (n − 1) = 1 pour n ≥ 0 1) Remplir le tableau suivant de proche en proche 0 1 2 3 4 n x (n ) x (n − 1) 2) On note X(z) la transformée en Z du signal inconnu x. 2.1) Exprimer la fonction X(z) 2.2) Décomposer en élément simple la fonction X(z) z 2.3) Donner une expression simplifiée de X(z) permettant de trouver son original. 2.4) Exprimer x (n ) pour n ≥ 0 . 2.5) Vérifier les valeurs obtenues dans le tableau à l’aide de l’expression de x (n ) .