Z transform 3

17
Transformation en Z
Chapitre 3
Présentation de l’exemple 1
Temps moyen de lecture hors exercices : 30 minutes
Les exercices sont corrigés dans le fichier < Z exercices 10 11 >
Exemple 1 d’équation (analyse de la situation)..................................................18
Exemple 1 d’équation (résolution : phase 1).......................................................19
Exemple 1 d’équation (résolution : phase 2).......................................................20
Exercices d’application directe ...........................................................................21
Ce chapitre est une présentation de l’utilisation de la Transformée en Z
pour résoudre un premier type d’équation dont l’inconnue est un signal
causal discret.

18
Exemple 1 d’équation (analyse de la situation)
Trouver le signal causal discret
)
n
(
x
n
:
x
→
tel que :
≥
<
==−− 0.n si 1
0n si 0
)n(e)1n(x2)n(x
Vocabulaire
•
L’expression
)
n
(
e
)
1
n
(
x
2
)
n
(
x
=
−
−
est appelée « équation récurrente », et n
représente un entier.
•
L’inconnue désignée par x représente un signal causal discret
)
n
(
x
n
:
x
→
à
trouver
)
0
n
si
0
)
n
(
x
(
<
=
Analyse de la situation
•
Nous voyons apparaître le signal
)
1
n
(
x
n
−
→
nul pour
1
n
<
. Ce signal est
appelé « signal retardé de 1 du signal x ».
•
On peut donner les premières valeurs du signal x de proche en proche :
.7)2(xet3)1(x,1)2(eavec)1(x2)2(e)2(x:donc)2(e)1(x2)2(x,3)1(x
.3)1(xet1)0(x,1)1(eavec)0(x2)1(e)1(x:donc)1(e)0(x2)1(x,1)0(x
.
0
)
1
(
x
et
1
)
1
(
e
)
1
(
x
2
)
0
(
x
puisque
1
)
0
(
x
===+==−= ===+==−=
=
−
=
=
−
−
=
n
0
1 2 3 4 5
)
n
(
e
1
1 1 1 1 1
)
1
n
(
x
2
1
)
n
(
x
−
+
=
1 3
3
2
1
×
+
15 31
31
2
1
×
+
)
1
n
(
x
−
0
1 3 7 15 31
L’utilisation de la transformée en Z nous donnera l’expression de
)
n
(
x
en
fonction de n directement, on trouvera : .0npour1
1n
2)n(xn:x ≥−
+
=→
VOIR PLUS LOIN
Exercice rapide Donner la valeur de
)
8
(
x
par un calcul de proche en proche
lorsque le signal causal discret x vérifie l’équation
récurrente
)
n
(
e
)
1
n
(
x
2
)
n
(
x
=
−
−
.
Réponse 511
(Remarque : on peut vérifie que ce résultat est conforme à l’expression de x que
l’on trouvera plus loin).

19
Exemple 1 d’équation (résolution : phase 1)
On veut trouver le signal x qui est la solution de l'équation récurrente
)
n
(
e
)
1
n
(
x
2
)
n
(
x
)
E
(
=
−
−
1. On transforme l'équation (E) à l’aide de la Transformée en Z
On utilise la ligne suivante du formulaire de mathématiques distribué
Signal retardé de
0
n )
0
nn(x)n(y:
−
=
)z)(Zx(
0
n
z)z)(Zy(
−
=
Ici :1
0
n
=
)z)(Ze()z)(Zx(
1
z2)z)(Zx( =
−
−
Comme
1
z
z
)z)(Ze(
−
=on obtient :
1
z
z
)z)(Zx(
1
z2)z)(Zx(
−
=
−
−
2. On isole
)
z
)(
Zx
(
:
donc
1z z
)z)(Zx(
z2z
;
1z z
)z)(Zx(
z
2
1;
1z z
)z)(Zx(
1
z21 − =×
−
−
=× −
−
=
−
−
)1z)(2z(
2
z
)z)(Zx( −− =
•
Dans cette première phase on a trouvé la transformée en Z du signal inconnu x
•
Dans une deuxième phase on va trouver le signal x qui admet cette
transformée en Z, appelé « original de
)1z)(2z(
2
z−−
» ce sera la solution.

20
Exemple 1 d’équation (résolution : phase 2)
Le signal x qui est la solution de l'équation
)
n
(
e
)
1
n
(
x
2
)
n
(
x
)
E
(
=
−
−
est
l’unique signal x qui vérifie :
)1z)(2z(
2
z
)z)(Zx( −− =
Il suffit d’utiliser ligne suivante du Formulaire de mathématiques :
n
a)n(f =
a
z
z
)z)(Zf( − =
En effet, si on trouve les réel a et b tels que
2z b 1za )1z)(2z( z−
+
−
=
−−
(cette
opération s’appelle « décomposer en éléments simples) on en déduit :
2
z
z
)z)(
n
2Z(et
1
z
z
)z)(Ze(puisque
n
2b)n(ea)n(x
:Formulaireleaprès'det
2z z
b
1z z
a
)1z)(2z(
2
z
)z)(Zx(
−
=
−
=×+×=
−
×+
−
×=
−−
=
3) On décompose en éléments simples
Trouvons a et b tels que
2z b 1za )1z)(2z( z−
+
−
=
−−
Réduisons au même dénominateur :
)1z)(2z( ba2z)ba(
)1z)(2z( z
.
−− −−+
=
−−
Identifions les numérateurs:
.
2z 2 1z 1 )1z)(2z( z
:2b,1a:obtienton0ba21ba − +
−
−
=
−−
=−==+=+
4) On trouve l’original
0npour
n
22)n(e)n(x:donc
2z z
)z)(
n
2Z(et
1z z
)z)(Ze(:saitOn.
2z z
2
1z z
)z)(Zx(
≥×+−=
−
=
−
=
−
×+
−
−=
5) Conclusion
)0npour0)n(xet(0npour1
1n
2)n(x <=≥−
+
=

21
Exercices d’application directe
Exercice 10
Trouver le signal causal discret x tel que :
)
n
(
e
2
)
1
n
(
x
3
)
n
(
x
=
−
−
On sera amené à trouver les réel a et b tels que 3z b
1z a )3z)(1z( z−
+
−
=
−− .
Exercice 11
On se donne le signal causal discret x tel que
0
n
pour
1
)
1
n
(
x
10
)
n
(
x
≥
=
−
−
1) Remplir le tableau suivant de proche en proche
n
0
1 2 3 4
)
n
(
x
)
1
n
(
x
−
2) On note
)
z
(
X
la transformée en Z du signal inconnu x.
2.1) Exprimer la fonction
)
z
(
X
2.2) Décomposer en élément simple la fonction
z
)z(X
2.3) Donner une expression simplifiée de
)
z
(
X
permettant de trouver son
original.
2.4) Exprimer
)
n
(
x
pour
.
0
n
≥
2.5) Vérifier les valeurs obtenues dans le tableau à l’aide de l’expression
de
)
n
(
x
.