PHYSIQUE 12e chapitre 1a Version provisoire 10 septembre 2002

PHYSIQUE 12e
chapitre 1a
Version provisoire
10 septembre 2002
AVIS : Nous donnons accès temporairement à ces chapitres (fichiers .pdf) afin d’offrir aux enseignantes,
aux enseignants et aux élèves le matériel didactique dont ils ont besoin d’ici la livraison de l’ouvrage
final. Malgré la rigueur de notre équipe éditoriale, des erreurs peuvent encore s’y trouver.
unité
1
Les forces
et le mouvement :
la dynamique
Dr. Kimberly Strong
Atmospheric Physicist, University of Toronto
Kimberly Strong became an atmospheric physicist because of
her keen interest in why and how climate change affects the
health of our planet. She is interested in making new discoveries that will better allow scientists to understand and
respond to pressing issues like ozone depletion, atmospheric
pollution, and global warming.
Dr. Strong teaches physics at the University of Toronto and
studies Earth’s atmosphere using specially designed instruments attached to satellites and weather balloons. Her team
deploys huge balloons—as high as 25 stories—equipped with instruments
used to detect gases in the
atmosphere.
with their global view, play
Fournir
texteSatellites,
français
a vital role in helping scientists to monitor environmental changes over time,
and Strong’s knowledge of dynamics and circular motion is used consistently
in her work. Strong and her colleagues also design many of the instruments
that are carried on satellites that orbit Earth.
Atmospheric and space physicists working in companies and universities build
satellites and instrumentation for environmental monitoring with the support of
the Canadian Space Agency. They also work for organizations such as Environment
Canada interpreting and measuring changes in the atmosphere. This field of
research is highly collaborative and often involves international partnerships.
Objectifs globaux
Dans cette unité, tu apprendras à :
•
analyser les mouvements d’objets dans un plan horizontal, vertical ou incliné, et à prévoir
et à expliquer ces mouvements en observant les forces qui agissent sur ces objets ;
•
•
étudier le mouvement dans un plan au moyen d’expériences ou de simulations ;
•
analyser des cas pour lesquels l’étude des forces sert à la mise au point et à l’utilisation
d’appareils à composante technologique tels des véhicules et de l’équipement sportif.
analyser et à résoudre des problèmes impliquant des forces agissant sur un objet animé
d’un mouvement linéaire, d’un mouvement de projectile ou d’un mouvement circulaire
au moyen de vecteurs, de graphiques et de schémas d’équilibre ;
Unité 1
Les forces et
le mouvement :
la dynamique
Préalables
Concepts
•
faire la distinction entre
grandeurs scalaires
et quantités vectorielles
•
décrire et analyser le
mouvement unidimensionnel
à vélocité constante et le
mouvement à accélération
constante à l’aide des
mathématiques
•
reconnaître les principaux
types de forces
•
comprendre les trois lois
du mouvement de Newton
et sa loi de la gravitation
universelle
•
faire la distinction entre
frottement statique et
frottement dynamique
Habiletés
•
•
•
analyser des graphiques
•
définir des termes et les
utiliser en contexte
•
faire usage des fonctions
trigonométriques de base
•
dessiner des diagrammes
à l’échelle et des schémas
d’équilibre
•
analyser les dimensions
des grandeurs
•
•
utiliser les unités SI
•
communiquer par écrit
au moyen de textes et de
formules mathématiques
•
•
utiliser un logiciel
analyser des vecteurs
manipuler des équations
algébriques
effectuer des recherches
supervisées
faire des recherches en
consultant des documents
imprimés et le réseau Internet
2 Unité 1
ES-TU PRÊT ?
Connaissances et compréhension
1. Énumère quatre grandeurs scalaires et quantités vectorielles associées aux
mouvements et aux forces ; pour chacune, indique les unités SI et donne un
exemple caractéristique.
2. On laisse tomber une masse de 20 g et une masse de 50 g au repos à partir
d’un même point au-dessus du sol.
a) Les masses toucheront-elles le sol en même temps ? Si ce n’est pas le cas,
laquelle le fera la première ? Justifie ta réponse.
b) Trace un schéma d’équilibre qui montre toutes les forces agissant sur la
masse de 50 g pendant sa chute.
c) Quel est le poids de la masse de 20 g ?
d) Donne un exemple de paire de forces action-réaction dans cette situation.
3. De quoi dépend l’intensité de la force de gravité entre la Terre et la Lune ? Donne
une réponse détaillée.
4. Compare les valeurs ou concepts de chacune des paires suivantes et relève les
différences en utilisant des exemples au besoin :
a) cinématique, dynamique
b) vitesse moyenne, vélocité moyenne
c) frottement statique, frottement dynamique
d) frottement utile, frottement indésirable
e) fréquence, période
f) rotation, révolution
Recherche et communication
5. L’inspecteur de la sécurité d’un terrain de jeux prend des mesures pour déterminer l’accélération que subit un enfant soumis à un mouvement circulaire sur
un manège en rotation. L’inspecteur utilise deux appareils de mesure courants,
non électriques.
a) Si on se base sur les unités d’accélération, quels appareils l’inspecteur
pourrait-il utiliser pour prendre des mesures qui permettraient de
déterminer l’accélération ?
b) Quelles sont les variables indépendantes et dépendantes ?
6. Dans une recherche visant à mesurer la valeur de l’accélération due à la pesanteur,
où la valeur connue est 9,8 m/s2, le groupe A obtient 9,4 m/s2 et le groupe B,
9,7 m/s2.
a) Détermine l’erreur possible dans la valeur obtenue par le groupe A.
b) Détermine le pourcentage d’erreur possible pour la valeur obtenue par
le groupe A.
c) Détermine le pourcentage d’erreur pour la valeur obtenue par le groupe A.
d) Détermine la différence de pourcentage entre les valeurs obtenues par les
deux groupes.
7. Quelle différence y a-t-il entre une prévision et une hypothèse ?
Fais des liens
8. Prenons un tube d’essai contenant un liquide et un mélange de substances de
densités différentes. Si l’on fait tourner le tube rapidement dans une centrifugeuse,
les substances vont-elles se mélanger davantage ou avoir tendance à se stabiliser
et à se séparer ? Justifie ta réponse.
Unité 1
9. La figure 1 illustre trois inclinaisons qu’il est possible de donner à une sortie d’autoroute pour des véhicules s’éloignant de l’observateur et se dirigeant vers la droite.
a) Trace un diagramme des forces pour chacun des cas, en indiquant toutes les
forces qui agissent sur le camion.
b) Quelle serait la meilleure solution pour des véhicules qui se dirigent vers
la droite ? Pourquoi ?
a)
Connaissances en mathématiques
1
10. Soit l’équation suivante : d vit a(t )2.
2
a) Reformule l’équation pour trouver a.
b) Exprime t au moyen de la formule quadratique.
tracés à l’échelle 1,00 cm 10,0 m/s.
11. La figure 2 montre les vecteurs A et B
a) Détermine les composantes nord et est du vecteur A.
b) Décris toutes les façons possibles de déterminer la somme vectorielle A B.
c) Détermine B A et A B en utilisant la méthode qui te convient.
b)
La sécurité et les compétences techniques
12. La figure 3 décrit le mouvement d’une rondelle dans un plan x-y. Les points représentent l’emplacement de la rondelle à des intervalles de temps égaux de 0,10 s.
a) Combien de temps s’écoule-t-il entre le début et la fin de ce mouvement ?
b) Reproduis le tracé des points dans ton cahier et détermine la composante x
du déplacement entre chaque paire de points. Quelle est ta conclusion à
propos du mouvement suivant l’axe des x ?
c) Détermine la composante y du déplacement entre chaque paire de points.
Quelle est ta conclusion à propos du mouvement suivant l’axe des y ?
d) Si l’échelle utilisée pour tracer le schéma est 1,0 cm = 5,0 cm, détermine la
vélocité moyenne entre le début et la fin du mouvement.
c)
+y
+x
Figure 1
Le camion s’éloigne et se dirige
vers la droite dans chaque cas.
(question 9)
début
fin
Figure 3
Le mouvement d’une rondelle sur une table à coussin d’air
N
13. Ton partenaire de laboratoire attache un bouchon de caoutchouc troué à une
corde puis le fait tourner à vitesse constante suivant un cercle horizontal dont
le rayon est connu.
a) Explique comment tu pourrais mesurer la période et la fréquence de révolution du mouvement du bouchon. Quels instruments seront nécessaires ?
b) Quelles précautions devriez-vous prendre, toi et ton partenaire, pendant
la prise des mesures ?
c) Quelles seraient les sources d’erreur possibles dans cette expérience ?
E
25°
A
B
35°
Figure 2
et Les vecteurs A
B (question 11)
Les forces et le mouvement : la dynamique
3
chapitre
1
Dans ce chapitre,
tu apprendras à :
•
analyser, à prévoir en termes
quantitatifs et à expliquer le
mouvement linéaire de
divers objets dans un plan
horizontal, vertical ou incliné ;
•
analyser, à prévoir en termes
quantitatifs et à expliquer le
mouvement d’un projectile,
en déterminant les composantes horizontale et verticale de son mouvement ;
•
réaliser des expériences
ou des simulations avec des
objets animés d’un mouvement en deux dimensions,
puis à analyser et à afficher
les données obtenues sous
une forme appropriée ;
•
prévoir le mouvement d’un
objet selon sa vitesse initiale
et la direction de son
mouvement, puis à vérifier la
prévision expérimentalement ;
•
concevoir ou à construire
des outils technologiques
à partir des concepts du
mouvement de projectile.
La cinématique
Les ingénieurs qui conçoivent les tremplins de saut à ski, comme celui qui apparaît à
la figure 1, doivent décider des angles et des longueurs des différentes composantes de
la descente, tels que la pente de l’approche, l’angle de décollage et la pente de la zone
d’atterrissage. Le sauteur s’élance dans les airs avec un mouvement qui suit un tracé
courbe que l’on appelle une trajectoire. Dans ce chapitre, tu découvriras comment analyser cette trajectoire au moyen des concepts et des équations de la physique.
Tu connais probablement les concepts et les équations du déplacement, de la vélocité
et de l’accélération du mouvement en une dimension. Nous allons appliquer ici ces
concepts et ces équations aux mouvements en deux dimensions.
FAIS LE POINT sur tes connaissances
1. À la figure 2, les flèches représentent les
vélocités initiales de quatre balles identiques
qui tombent simultanément du haut d’une
falaise. La résistance de l’air est négligeable.
On laisse simplement tomber la balle A, alors
que les balles B, C et D sont lancées avec des
vélocités initiales d’intensité égale, mais selon
des angles différents, comme le montre la figure.
a) Dans ton cahier, trace la trajectoire
qu’empruntera chaque balle dans les airs.
b) Selon toi, dans quel ordre les balles
atterriront-elles ? Justifie ta réponse.
C
B
A
Figure 2
Quatre balles lancées simultanément
calme, alors qu’un autre traverse une rivière.
Les deux canoéistes sont de force égale et les toucheront-elles le sol en même
temps ?
plans d’eau sont d’égale largeur. Les flèches
illustrées sont des vecteurs vélocité.
a) Trace les deux schémas dans ton cahier, en indiquant la trajectoire suivie par
chaque canoë pour aller d’une rive à l’autre.
b) Si les canoéistes partent en même temps de la rive sud, lequel arrivera le premier
à la rive nord ? Justifie ta réponse.
2. À la figure 3, un canoéiste pagaie sur un lac
lac
direction
visée
N
rivière
E
direction
visée
Figure 3
La largeur du lac est égale à la largeur de la rivière.
4 Chapitre 1
D
circulation
de l’eau
pente d’approche
décollage
60 m
= 37°
début de la pente
moins abrupte
atterrissage
Figure 1
Les concepts de la physique peuvent être utilisés
pour comprendre le mouvement d’un sauteur
à ski. Ces mêmes concepts peuvent aussi être
appliqués à la conception des pentes d’approche
et d’atterrissage du tremplin.
À TOI d’expérimenter
Choisis le gagnant
La figure 4 montre un appareil qui permet à une bille d’acier A
de tomber directement vers le bas tout en projetant horizontalement une bille d’acier B vers l’extérieur. En supposant que les
billes commencent à bouger en même temps, comment peux-tu
comparer les temps qu’elles prendront pour toucher le sol ?
A
B
a) Dans ton cahier, trace la trajectoire de chaque balle.
Indique si les balles vont toucher le sol en même temps
ou non et justifie ta réponse.
b) Observe une démonstration de l’appareil illustré (ou d’un
autre montage semblable). Compare les résultats de la
démonstration à tes prévisions. Si tes observations diffèrent
de tes prévisions, essaie d’expliquer les différences.
Les observateurs doivent se tenir à une distance
sûre des côtés de l’appareil.
Figure 4
Cet appareil peut projeter une balle horizontalement tout en permettant à une seconde balle
de tomber directement vers le bas.
La cinématique
5
1.1
La vitesse et la vélocité en une
et en deux dimensions
Les visiteurs d’un parc d’amusement, comme celui de la figure 1, font l’expérience de
mouvements variés. Certaines personnes marchent en ligne droite à vitesse constante.
D’autres, dans un manège qui descend à la verticale, plongent à très grande vitesse avant
de ralentir et de s’arrêter. Tous ces gens effectuent un mouvement en une dimension ou
mouvement linéaire. Ce mouvement linéaire peut être fait dans un plan horizontal (en
suivant un chemin rectiligne sur un terrain plat, par exemple), dans un plan vertical
(dans le manège à mouvement vertical), ou dans un plan incliné (en montant une
rampe). Le mouvement linéaire peut aussi impliquer un changement de direction de 180°,
par exemple, en allant vers le haut, puis vers le bas, ou en se déplaçant vers l’est, puis
vers l’ouest sur le plat.
Figure 1
Combien de types de mouvement
différents peux-tu identifier dans
ce parc d’amusement ?
cinématique étude du mouvement
a)
départ
N
E
b)
départ
N
E
Figure 2
a) Le mouvement d’un chien qui
court sur un terrain plat 24 m
vers l’est puis 11 m vers l’ouest
est un mouvement en une
dimension.
b) Le mouvement d’un chien qui
court sur un terrain plat 24 m
vers l’est puis 11 m vers le sud
est un mouvement en deux
dimensions.
grandeur scalaire grandeur
qui possède une valeur, mais pas
d’orientation
vitesse instantanée vitesse à
un instant particulier
6 Chapitre 1
Les visiteurs du parc d’amusement font aussi l’expérience de mouvements en deux et
en trois dimensions. Les passagers d’un carrousel effectuent un mouvement en deux
dimensions dans un plan horizontal ; ceux d’une grande roue, un mouvement en deux
dimensions dans un plan vertical ; et ceux des montagnes russes, un mouvement en trois
dimensions : vers le haut et vers le bas, vers la gauche et vers la droite, courbe, tant en
torsion qu’en rotation.
L’étude du mouvement est appelée cinématique. Pour commencer, nous étudierons les
mouvements simples en une ou en deux dimensions, comme ceux de la figure 2. Par la
suite, nous appliquerons nos connaissances à des types de mouvement plus complexes.
La vitesse et les autres grandeurs scalaires
Réfléchis aux limites de vitesse affichées sur les routes et les autoroutes situées près de chez
toi. Dans une zone scolaire, la limite maximale peut être de 40 km/h, alors qu’elle sera de
100 km/h sur une autoroute. L’unité km/h (kilomètres-heure) t’indique que la vitesse
représente une distance divisée par le temps. La vitesse, la distance et le temps sont des
exemples de grandeurs scalaires, lesquelles possèdent une valeur, mais pas d’orientation.
En course automobile, la grille de départ est déterminée par des essais officiels qui permettent de comparer les vitesses moyennes des pilotes. Chaque pilote doit parcourir la
même distance autour de la piste ; celui qui fait le meilleur temps obtient la position
de tête sur la grille de départ. Lors de ces essais, il arrive que d’autres pilotes atteignent
une plus grande vitesse instantanée, c’est-à-dire la plus grande vitesse à un instant
Section 1.1
particulier. Mais le gagnant est celui qui maintient la meilleure vitesse moyenne,
c’est-à-dire la distance totale parcourue divisée par le temps total du trajet. L’équation
de la vitesse moyenne est
vmoy d totale
t
CONSEIL
où d est la distance totale parcourue en un temps total t.
PROBLÈME 1
Au Molson Indy de Toronto, en Ontario, un pilote parcourt le circuit de 2,90 km à une
vitesse moyenne de 1,50 102 km/h. Détermine
a)
la vitesse moyenne en mètres par seconde ;
b)
le temps en secondes pour compléter un tour de piste.
Les grandeurs scalaires
Le mot « scalaire » vient du latin
scalæ, qui signifie « marche » ou
« échelon ». Il suggère une intensité
ou une valeur. Les grandeurs
scalaires peuvent être positives,
négatives ou nulles.
CONSEIL
PRATIQUE
d totale
,
t
Pour convertir les unités, nous multiplions par un facteur équivalant à 1.
Nous savons que
Dans l’équation vmoy 1 km = 1 000 m et 1 h = 3 600 s
le symbole v vient du mot vélocité
(une quantité vectorielle) et l’indice
« av » indique une moyenne.
La lettre grecque (delta) indique
une variation dans la grandeur,
dans ce cas-ci dans le temps.
Le symbole t représente habituellement le temps durant lequel
un événement se produit, et t,
le temps entre des événements
ou le temps écoulé.
1h
1 000 m
km
∴1,50 102 km/h 1,50 102 1 km 3 600 s 41,7 m/s
h
La vitesse moyenne est de 41,7 m/s.
b)
PRATIQUE
L’équation de la
vitesse moyenne
Solution
a)
vitesse moyenne (vmoy) distance
totale parcourue divisée par le
temps total du trajet
vmoy 41,7 m/s
d 2,90 km 2,90 103 m
t ?
En reformulant l’équation vmoy t d totale
pour isoler t, nous obtenons
t
d totale
vmoy
2,90 103 m
41,7 m/s
t 69,6 s
Le temps requis pour compléter un tour de piste est de 69,6 s. (Voir la rubrique
Conseil pratique concernant les chiffres significatifs et les chiffres ronds.)
Mise en pratique
Saisis bien les concepts
1. Pour chacun des cas suivants, détermine si le mouvement est en une, en deux
ou en trois dimensions.
a) Tu laisses tomber verticalement une balle de tennis de l’état de repos.
b) Tu laisses tomber verticalement une balle de tennis de l’état de repos,
elle frappe le sol et rebondit directement vers le haut.
c) Un ballon de basketball lancé dans les airs décrit un arc pour atteindre
directement le panier.
d) Un lanceur de baseball lance une balle courbe au frappeur.
e) La passagère d’une grande roue tourne autour du centre de la roue en
décrivant un cercle.
f) Un train se déplace sur les rails des montagnes russes.
CONSEIL
PRATIQUE
Les chiffres significatifs
et les chiffres arrondis
Dans tous les problèmes de ce
texte — examine de près le
problème 1 — les réponses ont été
arrondies au nombre de chiffres
significatifs approprié. Fais
particulièrement attention lorsque
tu réponds à une question à deux
ou plusieurs volets. Par exemple,
lorsque tu tentes de résoudre
un problème à deux volets (a et b),
conserve dans la mémoire de
ta calculatrice la réponse intermédiaire (avec surplus de précision)
de la partie a) (afin de t’en servir
pour résoudre la partie b) sans
erreur d’arrondi. L’annexe A passe
en revue les règles concernant
les chiffres significatifs et les
chiffres ronds.
La cinématique
7
Réponses
4. a)
1,20 km/h
b)
2,42 102 km/h
c)
2,99 102 km/h
5. a)
b)
6. a)
b)
LE
2. Lesquelles des mesures suivantes sont des grandeurs scalaires ?
102
0,76 m/s
a)
b)
c)
d)
e)
la force exercée par le câble d’un ascenseur
ce qu’indique l’odomètre d’une voiture
la force gravitationnelle qu’exerce la Terre sur toi
le nombre d’élèves de ta classe de physique
ton âge
3. L’indicateur de vitesse d’une automobile indique-t-il la vitesse moyenne ou
66 s
12,1 m
104 km ; 1,04 105 m
SAVAIS-TU
?
L’origine du « vecteur »
Le mot vecteur vient du latin vector,
dont l’un des sens est « porteur »
— ce qui implique qu’un objet est
transporté d’un endroit à un autre
dans une certaine direction. En
biologie, un vecteur est un porteur
de maladie.
la vitesse instantanée ? La valeur indiquée est-elle scalaire ou vectorielle ?
Précise tes réponses.
4. Lors des 500 milles d’Indianapolis, les pilotes doivent effectuer 200 tours
d’un circuit de 4,02 km (2,50 milles). Calcule et compare les vitesses moyennes
en km/h qui ont permis d’obtenir les temps suivants :
a) 6,69 h (en 1911, première année de présentation de la course)
b) 3,32 h (en 1965)
c) 2,69 h (en 1990, encore un record plus d’une décennie plus tard)
5. Un nageur traverse une piscine circulaire de 16 m de diamètre en 21 s.
a)
b)
Détermine la vitesse moyenne du nageur.
Combien de temps prendra ce nageur pour faire le tour de la piscine s’il
maintient sa vitesse moyenne ?
6. Détermine la distance totale parcourue dans chaque cas.
a)
b)
Un son se propage à 342 m/s dans une pièce en 3,54 10–2 s.
Trente-deux plongeurs se relaient pour conduire un tricycle sous-marin à
une vitesse moyenne de 1,74 km/h pendant 60,0 h. (Exprime ta réponse en
kilomètres et en mètres.)
La vélocité et les autres quantités vectorielles
quantité vectorielle grandeur
qui possède à la fois une norme
et une orientation
) distance et orientation
position (d
d’un objet par rapport à un point de
référence
) variation
déplacement (d
de position d’un objet dans une
direction donnée
Plusieurs grandeurs mesurables possèdent une orientation. Une quantité vectorielle
est une grandeur avec une norme et une orientation. La position, le déplacement et la
vélocité sont des quantités vectorielles fréquentes en cinématique. Dans ce texte, nous identifions algébriquement une quantité vectorielle par un symbole surmonté d’une flèche
suivi de l’orientation indiquée entre crochets. Vers l’est [E], [vers le haut], [vers le bas]
et [vers l’avant] sont des exemples d’orientations.
La position, d , représente la distance orientée d’un objet par rapport à un point de référence. Le déplacement, d, représente la variation de position, c’est-à-dire la position
finale moins la position initiale. À la figure 3, une cycliste, qui se trouve initialement
à 338 m à l’ouest de l’intersection, se déplace vers une nouvelle position située à 223 m
à l’ouest de la même intersection.
N
CONSEIL
PRATIQUE
La norme d’un vecteur
Le symbole  entourant un
vecteur représente la norme

du vecteur. Par exemple, d
représente la distance, ou norme,
sans indication de la direction
du déplacement ; c’est donc une
grandeur scalaire. Par exemple,
égale 15 m [E], alors d

si d
égale 15 m.
8 Chapitre 1
d1 = 338 m [O]
d2 = 223 m [O]
position de
référence
E
∆d = 115 m [E]
Figure 3
1 à la position d
2, la cycliste effectue un déplacement
En se déplaçant de la position d
d
d2 d1.
Section 1.1
Nous pouvons déterminer le déplacement de la cycliste comme ceci :
d
d2 d1
223 m [O] 338 m [O]
115 m [O]
115 m [E]
d
Les quantités « 115 m [O] » et « 115 m [E] » représentent le même vecteur.
La vélocité, ou taux de variation de position, est une quantité vectorielle fondamentale impliquant la position et le temps. La vélocité à un instant donné est appelée vélocité
instantanée, v. Si la vélocité est constante (de sorte que le corps qui se déplace voyage
à une vitesse invariable dans une direction invariable), on dit que la position varie uniformément dans le temps, ce qui résulte en un mouvement uniforme.
La vélocité moyenne, vmoy, d’un mouvement représente la variation de position
divisée par l’intervalle de temps associé à cette variation. Cette définition nous permet
d’écrire l’équation
vmoy
d
t
où d est le déplacement (ou variation de position) et t est l’intervalle de temps. Pour
un mouvement à vélocité constante, la vélocité moyenne est égale à la vélocité instantanée
à tout moment.
PROBLÈME 2
1 vers d
2.
La cycliste de la figure 3 prend 25,1 s pour se déplacer de 115 m [E] de d
a)
Calcule la vélocité moyenne de la cycliste.
b)
Si la cycliste maintient la même vélocité moyenne pendant 1 h, quel sera son
déplacement total ?
d3 = 565 m [O]
Si la cycliste effectue un virage à d2 et roule jusqu’à la position en 72,5 s, quelle sera sa vélocité moyenne pour l’ensemble du mouvement ?
c)
Solution
a)
115 m [E]
d
t 25,1 s
vmoy ?
vmoy
d
t
115 m [E]
2 5,1 s
vmoy 4,58 m/s [E]
La vélocité moyenne de la cycliste est de 4,58 m/s [E].
b)
t 1,00 h 3 600 s
vmoy 4,58 m/s [E]
?
d
vmoyt
d
(4,58 m/s [E])(3 600 s)
d 1,65 104 m [E] ou 16,5 km [E]
Le déplacement total est de 16,5 km [E].
LE
SAVAIS-TU
?
Une comparaison
de déplacements
Le déplacement de Québec vers
Montréal est de 250 km [41° S-O].
Le déplacement de Baltimore, dans
le Maryland, vers Charlottesville,
en Virginie, est de 250 km [41° S-O].
Puisque ces deux déplacements
ont la même norme (250 km) et
la même orientation [41° S-O],
ce sont des vecteurs identiques.
De tels vecteurs sont identiques,
même si leurs positions initiales
sont différentes.
vélocité (v ) taux de variation de
la position
vélocité instantanée vélocité à
un instant particulier
vélocité moyenne (vmoy) variation
de la position divisée par l’intervalle
de temps associé à cette variation
CONSEIL
PRATIQUE
Les propriétés des vecteurs
Un vecteur divisé par un scalaire,
d
comme dans l’équation vmoy ,
t
donne un vecteur. Le produit
d’un vecteur et d’un scalaire est
aussi un vecteur. L’annexe A traite
de l’arithmétique des vecteurs.
CONSEIL
PRATIQUE
L’analyse des unités et
des dimensions
Une analyse des unités (comme
les mètres, les kilogrammes et
les secondes) ou une analyse des
dimensions (longueur, masse et
temps, par exemple) peut être utile
pour s’assurer que les membres de
droite et de gauche d’une équation
s’expriment dans les mêmes unités
ou les mêmes dimensions. Essaie
avec l’équation utilisée pour
résoudre le problème 2b). Si les
unités ou les dimensions ne sont
pas les mêmes, c’est qu’il y a une
erreur dans l’équation. Pour plus
de détails, consulte l’annexe A.
La cinématique
9
LE
SAVAIS-TU
?
D’autres conventions
concernant l’orientation
En navigation, l’orientation est
définie dans le sens des aiguilles
d’une montre à partir du nord. Par
exemple, une orientation de 180°
indique la direction sud et une
orientation de 118° est l’équivalent
de l’orientation [28° S-E]. En
mathématiques, les angles sont
mesurés dans le sens inverse des
aiguilles d’une montre à partir de
l’axe des x positifs.
c)
d
d3 d1
565 m [O] 338 m [O]
227 m [O]
d
t 25,1 s 72,5 s 97,6 s
vmoy ?
d
vmoy t
227 m [O]
97,6 s
vmoy 2,33 m/s [O]
La vélocité moyenne est de 2,33 m/s [O]. (Peux-tu expliquer pourquoi cette valeur est
nettement inférieure à la vélocité moyenne en a) ?
Mise en pratique
Saisis bien les concepts
Réponses
10. a)
3,0 101 km/h
b)
3,0 101 km/h [E]
c)
0,0 km/h
7. Donne des exemples précis de trois quantités vectorielles dont tu as eu
connaissance aujourd’hui.
8. a)
11. 8,6 m [vers l’avant]
b)
12. 7,6 c)
102
h ; 32 d
La distance totale parcourue peut-elle être égale à la norme du déplacement ? Si « non », pourquoi ? Si « oui », donne un exemple.
La distance totale parcourue peut-elle être supérieure à la norme
du déplacement ? Si « non », pourquoi ? Si « oui », donne un exemple.
La distance totale parcourue peut-elle être inférieure à la norme
du déplacement ? Si « non », pourquoi ? Si « oui », donne un exemple.
9. La vitesse moyenne peut-elle être égale à la norme de la vélocité moyenne ?
Si « non », pourquoi ? Si « oui », donne un exemple.
10. Un autobus quitte le terminus et effectue, en 24 minutes et avec quelques arrêts,
un parcours rectiligne de 12 km [E] par rapport à sa position initiale. L’autobus
fait demi-tour et, encore en 24 minutes, refait le chemin inverse vers le terminus.
a) Quelle est la vitesse moyenne de l’autobus pour tout le trajet ?
b) Calcule la vélocité moyenne de l’autobus du départ jusqu’à la position
la plus éloignée du terminus.
c) Trouve la vélocité moyenne de l’autobus pour tout le trajet.
d) Pourquoi les réponses de b) et c) sont-elles différentes ?
11. Un conducteur de camion, réagissant rapidement à un danger, freine. Durant
l’intervalle de 0,32 s que prend le conducteur pour réagir, le camion maintient
une vélocité constante de 27 m/s [vers l’avant]. Quel est le déplacement du
camion pendant ce temps ?
12. La sterne arctique détient le record mondial de la distance migratoire parcourue
par un oiseau. Chaque année, la sterne migre des îles du nord du cercle arctique
jusqu’aux côtes de l’Antarctique, un déplacement d’environ 1,6 104 km [S].
(Étonnamment, le trajet passe en grande partie au-dessus de l’eau.) Si la vélocité
moyenne de la sterne durant ce voyage est de 21 km/h [S], combien de temps
lui faut-il pour le faire ? (Exprime ta réponse en heures et en jours.)
Mets en pratique tes connaissances
13. Les petits aéroports utilisent des manches à air, comme celle de la figure 4.
Figure 4
Une manche à air standard
10
Chapitre 1
a)
b)
La manche à air indique-t-elle une grandeur scalaire ou une quantité vectorielle ? Quelle est-elle ?
Décris les manipulations expérimentales qui te permettraient d’étalonner la
manche à air.
Section 1.1
Les graphiques de la position et de la vélocité
Tracer un graphique est un moyen utile pour faire l’étude du mouvement. Commençons
par étudier les graphiques position-temps et vélocité-temps pour des corps se déplaçant
à vélocité constante.
Une marathonienne court le long d’un chemin rectiligne à une vélocité constante
de 5,5 m/s [S] pendant 3,0 min. Au départ (c.-à-d. à t 0), sa position initiale est d 0.
Les données de sa course sont inscrites dans le tableau 1. La figure 5 présente le graphique
position-temps qui en découle. Note que, pour un mouvement à vélocité constante, le
graphique position-temps est une droite.
Puisque la droite du graphique position-temps a une pente constante, nous pouvons
calculer la pente comme étant le rapport entre la variation de grandeur sur l’axe vertical et la variation de grandeur correspondante sur l’axe horizontal. Ainsi, la pente de la
droite du graphique position-temps de t 0,0 s à t 180 s est
temps
990 m [S] 0 m
180 s 0 s
m 5,5 m/s [S]
Cette valeur sera la même peu importe la partie de la droite utilisée pour le calcul de la
pente. On remarque que, pour un mouvement à vélocité constante, la vélocité moyenne
est égale à la vélocité instantanée à tout moment, et que leur valeur correspond à la
pente de la droite du graphique position-temps.
Le graphique vélocité-temps du mouvement de la coureuse est illustré à la figure 6.
Dans un exercice à venir, il te faudra démontrer que l’aire sous la courbe (zone ombrée)
représente le déplacement ou, autrement dit, d pour l’intervalle de temps couvert.
t (s)
position
d (m) [S]
0
0
60
330
120
660
180
990
1 000
800
d (m) [S]
d
m t
Tableau 1 Les données
position-temps
600
400
200
0
60
120
180
t (s)
Figure 5
Le graphique position-temps
du mouvement de la coureuse
Décris le mouvement représenté par le graphique position-temps de la figure 7. Trace le
graphique vélocité-temps correspondant.
Solution
La pente de la droite est constante et négative. Cela signifie que la vélocité est constante
et orientée vers l’est. La position initiale est éloignée de l’origine et l’objet se déplace vers
l’origine. Le graphique vélocité-temps peut être soit négatif vers l’ouest, soit positif vers
l’est, comme le montre la figure 8.
v (m/s) [S]
PROBLÈME 3
10
5
0
60
120
180
t (s)
0
v (m/s) [E]
(m) [O]
d
Figure 6
Le graphique vélocité-temps
du mouvement de la coureuse
t (s)
Figure 7
Le graphique position-temps
0
t (s)
Figure 8
Le graphique vélocité-temps
La cinématique
11
Tableau 2 Les données
position-temps
temps
position
d (m)
t (s)
[vers l’avant]
0
0
2,0
4,0
4,0
16
6,0
36
8,0
64
60
d
v lim t→0 t
40
20
80
0
2,0
4,0
t (s)
6,0
8,0
Figure 9
Graphique position-temps pour
une vélocité instantanée qui varie.
La vélocité moyenne entre deux
temps peut être déterminée à l’aide
d
de l’équation vmoy , mais une
t
approche différente doit être utilisée
pour trouver la vélocité instantanée.
tangente droite qui touche une
courbe en un point unique et
qui possède la même pente que
la courbe à ce point
CONSEIL
PRATIQUE
Une notation du calcul
différentiel
En calcul différentiel, le
symbole « » est remplacé
par le symbole « d » pour
représenter une grandeur
infinitésimale. Ainsi, l’équation
de la vélocité instantanée est
dd
v .
dt
12
Chapitre 1
d (m) [vers l’avant]
d (m) [vers l’avant]
80
Examinons maintenant les graphiques de mouvement lorsque la vélocité instantanée
varie. Ce type de mouvement, souvent appelé mouvement non uniforme, implique soit
un changement de direction, soit un changement de vitesse, ou les deux à la fois.
Prends, par exemple, une voiture qui démarre et qui accélère, comme dans le tableau 2
et à la figure 9.
Puisque la pente de la courbe du graphique position-temps croît graduellement, la
vélocité le fait aussi. Pour trouver la pente d’une courbe à un instant donné, traçons une
ligne droite qui touche la courbe en ce point, sans pour autant la traverser. Cette ligne
est appelée tangente à la courbe. La pente de la tangente à une courbe d’un graphique
position-temps correspond à la vélocité instantanée.
La figure 10 montre la tangente tracée à 2,0 s pour le mouvement de la voiture. Les lignes
en pointillé représentent les vélocités moyennes entre t 2,0 s et les temps suivants.
Par exemple, de t 2,0 s à t 8,0 s, t 6,0 s et la vélocité moyenne est la pente de la
droite A. De t 2,0 s à t 6,0 s, t 4,0 s et la vélocité moyenne est la pente de la
droite B, et ainsi de suite. Note que plus t est petit, plus les pentes des droites s’approchent de la pente de la tangente à t 2,0 s (c.-à-d. qu’elles se rapprochent de la vélocité
instantanée, v ). Nous pouvons donc définir la vélocité instantanée ainsi :
60
A
40
B
20
C
tangente à t = 2,0 s
0
2,0
4,0
t (s)
6,0
8,0
Figure 10
Les pentes des droites A, B et C représentent les vélocités moyennes
à des temps supérieurs à 2,0 s. Plus ces intervalles deviennent petits,
plus les pentes se rapprochent de la pente de la tangente à t = 2,0 s.
À TOI d’expérimenter
Le tracé du graphique
d’un mouvement linéaire
Trace les graphiques position-temps et vélocité-temps qui correspondent aux situations
suivantes. Après en avoir discuté avec ton groupe, utilise un détecteur de mouvement relié
à un logiciel graphique pour vérifier tes prédictions. Commente la précision de tes prévisions.
a) Une personne s’éloigne du détecteur, à vélocité constante, sur une distance
de 5 ou 6 pas.
b) Une personne s’approche du détecteur, d’une distance d’environ 4,0 m, à vélocité
constante.
c) Une personne s’approche du détecteur, d’une distance de 3,0 m, à vélocité constante.
Elle s’arrête pendant quelques secondes. Puis, elle revient directement vers l’origine,
à une vélocité constante, mais moindre.
d) Une personne parcourt la moitié de la distance la séparant du détecteur, à grande
vélocité constante, s’arrête brièvement, complète le reste du parcours à une faible
vélocité constante, puis retourne vers l’origine à grande vélocité constante.
Section 1.1
30
On peut voir à la figure 11 le graphique position-temps d’une balle de golf qui roule sur
une pente descendante de l’est vers l’ouest. Nous avons choisi de façon arbitraire des
coordonnées en une dimension dont l’origine se trouve à l’extrémité ouest de la pente.
a)
Décris le mouvement.
b)
Calcule la vélocité instantanée à t = 3,0 s.
c)
Détermine la vélocité moyenne entre 3,0 s et 6,0 s.
a)
La pente est nulle à t = 0,0 s, puis elle devient négative. Donc, la vélocité commence
à zéro et augmente graduellement en direction ouest. (Une valeur négative vers l’est
équivaut à une valeur positive vers l’ouest.) L’objet prend le départ à un point situé
à l’est du point de référence ou de l’origine, puis se déplace vers l’ouest pour atteindre
l’origine 6,0 s plus tard.
b)
La vélocité instantanée à t = 3,0 s est la pente de la tangente à cet instant. Ainsi,
d
v pente m t
10
v 3,0 m/s [O]
La vélocité instantanée à 3,0 s est de 3,0 m/s [O]. (Cette réponse est approximative
en raison de la possibilité d’erreur liée au traçage de la tangente.)
Utilisons l’équation de la vélocité moyenne :
d
vmoy t
0,0 m 15 m [E]
6,0 s 3,0 s
2,0
4,0
t (s)
6,0
8,0
Figure 11
Le graphique position-temps
du problème 4
CONSEIL
0,0 m 24 m [E]
8,0 s 0,0 s
3,0 m/s [E]
c)
tangente à t = 3,0 s
20
0
Solution
d (m) [E]
PROBLÈME 4
PRATIQUE
L’image d’une tangente
Un miroir plan peut être utilisé
pour tracer une tangente à une
courbe. Place le miroir aussi
perpendiculairement à la ligne que
possible, au point désiré. Ajuste
l’inclinaison du miroir afin que la
vraie courbe se confonde avec son
image dans le miroir, assurant
ainsi au miroir d’être perpendiculaire à la courbe en ce point.
Trace une ligne perpendiculaire
au miroir pour obtenir la tangente
à la courbe.
5,0 m/s [E]
vmoy 5,0 m/s [O]
La vélocité moyenne entre 3,0 s et 6,0 s est de 5,0 m/s [O].
CONSEIL
Mise en pratique
Saisis bien les concepts
14. Décris le mouvement dépeint par chacun des graphiques de la figure 12.
b)
t (s)
0
d (m) [O]
0
Figure 12
c)
d (m) [vers le haut]
d (m) [N]
a)
t (s)
0
t (s)
PRATIQUE
Les limites de l’utilisation
de la calculatrice
Les calculatrices fournissent des
réponses très rapidement, mais
tu devrais toujours analyser ces
réponses. Les fonctions trigonométriques inverses, comme sin−1,
cos−1 et tan−1, démontrent
les limites de l’utilisation de la
calculatrice. Entre 0° et 360°, il
existe deux angles avec les mêmes
sinus, cosinus ou tangente. Par
exemple, sin 85° = sin 95° = 0,966,
et cos 30° = cos 330° = 0,866.
Tu dois donc être en mesure
d’interpréter les réponses données
par la calculatrice.
La cinématique
13
Réponses
15. Utilise l’information fournie par les graphiques de la figure 13 pour construire
16. 4,5 m [N]
a)
17. 7 m/s [E] ; 0 m/s ;
7 m/s [O] ; 13 m/s [O] ;
7 m/s [O]
15
(km) [O]
d
d (m) [E]
30
15
v (m/s) [N]
les graphiques vélocité-temps correspondants.
b)
20
10
10
5
10
0
0,2
5
0,4
t (s)
0,6
0,8
6
8
0
0,5
1,0
t (h)
1,5
2,0
c)
0,2
t (s)
0,1
100
0,4
0,3
d (cm) [S]
0
Figure 14
Le graphique vélocité-temps
de la question 16
50
t (h)
0
2
–50
d (m) [E]
20
4
Figure 13
Graphiques position-temps
16. Détermine l’aire comprise entre la courbe et l’axe horizontal sur le graphique
vélocité-temps de la figure 14. Que représente cette aire ? (Indice : inclus les
unités dans le calcul de l’aire.)
10
0
2,0
4,0
6,0
t (s)
8,0
–10
17. Retrace le graphique position-temps de la figure 15 dans ton cahier et
détermine les vélocités instantanées (approximatives) à t = 1,0 s, 2,0 s, 3,0 s,
4,0 s et 5,0 s.
–20
Figure 15
Le graphique position-temps
de la question 17
A
N
B
41°
22°
O
15°
C
S
orientation des vecteurs :
[41° O-N]
A
[22° N-E]
B
[15° O-S]
C
Figure 16
La notation de l’orientation
des vecteurs
14
Le déplacement et la vélocité en deux dimensions
Chapitre 1
E
Te dirigeant vers le nord sur une autoroute en terrain plat, tu arrives à un pont barré
en raison de travaux de réfection. Ta destination se trouve de l’autre côté du pont, sur
la rive nord de la rivière. En examinant une carte de la région, tu découvres une route
qui va vers l’est, qui franchit la rivière vers le nord, puis qui tourne vers l’ouest jusqu’à
ta destination. Les concepts de déplacement, de vélocité et d’intervalle de temps t’aident
à analyser cet autre trajet comme un problème de vecteurs dans le plan horizontal. Tu
peux aussi analyser le mouvement dans le plan vertical (comme dans le cas d’un ballon
de football lancé en l’absence de vent) ou dans un plan incliné par rapport à l’horizontale (comme dans le cas d’une pente de ski) de la même manière.
Dans le plan horizontal, les quatre points cardinaux — est, nord, ouest et sud —
indiquent l’orientation. Si le déplacement ou la vélocité est à un angle entre deux points
cardinaux, l’orientation doit être précisée d’une manière non équivoque. Dans ce texte,
l’orientation d’un vecteur sera indiquée par l’angle mesuré par rapport à l’un des points
cardinaux (figure 16).
d2 d1), la vélocité moyenne
Les équations définies pour le déplacement (d
d
d
lim s’appliquent au mouvement en
vmoy t et la vélocité instantanée v t→0
t
deux dimensions. Toutefois, lorsqu’on analyse un mouvement en deux dimensions impli est le résultat des déplacements
quant plus d’un déplacement, comme à la figure 17, d
d
1 d
2 …), et est appelé déplacement total.
successifs (d
Section 1.1
∆d3
PROBLÈME 5
∆d2
Une mésange vole dans le plan horizontal, d’un poteau de clôture (P) vers un buisson (B),
puis vers une mangeoire (M), comme illustré à la figure 18a). Trouve :
a)
la distance totale parcourue
b)
la vitesse moyenne
c)
le déplacement total
d)
la vélocité moyenne
Solution
a)
La distance totale parcourue est une grandeur scalaire.
d = 22 m + 11 m = 33 m
b)
d 33 m
t 4,4 s
vmoy ?
vmoy ∆d
∆d1
Figure 17
Le déplacement total est la somme
vectorielle des déplacements
d
1 d
2 d
3 .
partiels, d
Note que les vecteurs sont mis bout
à bout et que le vecteur résultant
va de la position initiale à la position
finale.
d totale
t
33 m
4,4 s
a)
vmoy 7,5 m/s
B
nord
La vitesse moyenne est de 7,5 m/s.
28°
11 m
22 m
est
M
c)
Nous utiliserons la loi des sinus et des cosinus pour résoudre ce problème.
(Nous pourrions aussi utiliser la technique des composantes ou un diagramme
vectoriel à l’échelle.) Nous appliquerons la loi des cosinus pour trouver la norme
. Comme l’indique la figure 18b), l’angle B est égal à 119°.
du déplacement, d
 22 m
d
1
 11 m
d
2
B 119°
 ?
d
33°
b)
N
E
En appliquant la loi des cosinus :
B
2 d
2 d
2 2d
d
cos B
d
1
2
1
2
2 (22 m)2 (11 m)2 2(22 m)(11 m)(cos 119°)
d
 29 m
d
Pour déterminer l’orientation du déplacement, nous utilisons la loi des sinus :
sin P
sin B

2
d
d
2 sin B
d
sin P 
d
(11 m)(sin 119°)
sin P (29 m)
est
P
∆d1
33°
∆d2
28°
M
∆d
P
B = 180° − (33° + 28°)
B = 119°
Figure 18
Les données du problème 5
a) La mésange prend 4,4 s pour
exécuter le mouvement illustré.
b) L’angle B est de 119°.
P 19°
Le diagramme nous montre que l’orientation du déplacement total est
33° 19° = 14° N-E. Ainsi, le déplacement total est 29 m [14° N-E].
La cinématique
15
CONSEIL
PRATIQUE
d)
L’utilisation de calculatrices
scientifiques
Avertissement concernant
l’utilisation des calculatrices
scientifiques : lorsqu’elles sont
mises en marche pour la
première fois, ces calculatrices
expriment normalement les
angles en degrés (DEG).
En appuyant sur le bouton
approprié (par exemple DRG),
les unités sont changées
pour des radians (RAD)
ou des gradients (GRA, où
90° = 100 gradients). Seuls
les degrés seront utilisés ici.
29 m [14° N-E]
d
t 4,4 s
vmoy ?
d
vmoy t
29 m [14° N-E]
4,4 s
vmoy 6,6 m/s [14° N-E]
La vélocité moyenne est 6,6 m/s [14° N-E].
Mise en pratique
Saisis bien les concepts
1 = 2,4 m [32° S-O] ;
18. Calcule la somme vectorielle des déplacements d
= 1,6 m [S] ; et d
= 4,9 m [27° S-E].
d
2
3
19. Résous le problème 5 en utilisant
a)
b)
Réponses
20. Un patineur, sur le canal Rideau à Ottawa, se déplace en ligne droite sur
18. 5,6 m [24° E-S]
20. a)
b)
5,6 m/s ; 5,2 m/s
[42° N-E]
PRATIQUE
L’addition de vecteurs
Pour appliquer l’équation
de l’addition de vecteurs
d
1 d
2 …) au
(d
mouvement en deux dimensions,
tu peux choisir de faire la
somme des vecteurs de déplacement par la méthode de ton
choix parmi celles présentées
à l’annexe A. La méthode du
diagramme vectoriel à l’échelle
est excellente pour visualiser
et comprendre la situation. Par
contre, cette méthode n’est pas
aussi précise que d’autres.
La technique des composantes
est précise et peut être pratique
quand on additionne un grand
nombre de vecteurs, mais elle
exige parfois beaucoup de
temps. La méthode qui utilise
la loi des sinus et des cosinus
est précise et assez rapide,
mais elle se limite à l’addition
(ou la soustraction) de seulement deux vecteurs.
16
8,5 × 102 m [25° N-E], puis en ligne droite sur 5,6 102 m [21° E-N]. L’ensemble
du mouvement prend 4,2 min.
a) Quel est le déplacement du patineur ?
b) Quelle est la vitesse moyenne du patineur et sa vélocité moyenne ?
1,3 103 m [42° N-E]
CONSEIL
un diagramme vectoriel à l’échelle
les composantes (Réfère-toi à l’annexe A au besoin.)
Chapitre 1
RÉSUMÉ
La vitesse et la vélocité en une
et en deux dimensions
•
•
Une grandeur scalaire possède une valeur, mais pas d’orientation.
•
•
•
•
•
Une quantité vectorielle possède une norme et une orientation.
•
•
•
•
La vélocité instantanée est la vélocité à un instant particulier.
•
Pour un mouvement en deux dimensions, la vélocité moyenne est le déplacement
total divisé par l’intervalle de temps associé à ce déplacement.
La vitesse moyenne est la distance totale parcourue divisée par l’intervalle
de temps total écoulé pour parcourir cette distance.
La position est la distance orientée par rapport à un point de référence.
Le déplacement est la variation de position.
La vélocité est le taux de variation de position.
La vélocité moyenne est la variation de position divisée par l’intervalle de temps
associé à cette variation.
La vitesse instantanée est la norme de la vélocité instantanée.
La pente de la courbe sur un graphique position-temps indique la vélocité.
L’aire sous la courbe d’un graphique vélocité-temps indique la variation
de position.
Section 1.1
Section 1.1 Questions
Saisis bien les concepts
b)
ou un vecteur.
a) la norme d’une quantité vectorielle
b) la composante d’une quantité vectorielle dans un
certain système de coordonnées
c) la masse que tu as prise au cours des 15 dernières
années
d) le produit d’un scalaire et d’un vecteur
e) l’aire sous la courbe, au-dessus de l’axe du temps,
sur un graphique vélocité-temps
2. Donne un exemple précis de mouvement possible pour
chacune des descriptions suivantes.
a) La vélocité est constante.
b) La vitesse est constante, mais la vélocité varie sans cesse.
c) Le mouvement est en une dimension et la distance
totale parcourue est supérieure à la norme du
déplacement.
d) Le mouvement est en une dimension, la vitesse
moyenne est supérieure à zéro et la vélocité moyenne
est zéro.
e) Le mouvement est en deux dimensions, la vitesse
moyenne est supérieure à zéro et la vélocité moyenne
est zéro.
3. Si deux mesures ont des dimensions différentes, peut-on
les additionner ? les multiplier ? Pour chaque cas, explique
pourquoi si tu réponds « non », donne un exemple si tu
réponds « oui ».
4. La lumière voyage dans le vide à 3,00 108 m/s. Détermine
le temps en secondes pour chacune des situations suivantes.
a) La lumière voyage du Soleil jusqu’à la Terre. Le rayon
moyen de l’orbite de la Terre autour du Soleil est
1,49 1011 m.
b) Une lumière laser est projetée de la Terre, est réfléchie
par un miroir posé sur la Lune et revient vers la Terre.
La distance moyenne séparant la Terre et la Lune est
3,84 105 km.
c)
d)
6. Quelle grandeur peut être calculée à partir d’un graphique
position-temps pour indiquer la vélocité d’un objet ?
Comment trouver cette grandeur si le graphique est une
courbe ?
7. Utilise les informations de la figure 20 pour construire le
graphique position-temps correspondant, considérant
que la position au temps t = 0 est 8,0 m [E].
v (m/s) [E]
1. Établis si chacun des éléments suivants est un scalaire
Calcule la vélocité moyenne entre 8,0 s et 9,0 s ;
entre 12 s et 16 s ; entre 0,0 s et 16 s.
Trouve la vitesse instantanée à 6,0 s et à 9,0 s.
Calcule la vélocité instantanée à 14 s.
4,0
2,0
0
8. a)
50
b)
5,0
Figure 20
Le graphique
vélocité-temps
Fais des liens
9. Des recherches ont montré que les conducteurs n’ayant
pas consommé d’alcool prennent en moyenne environ 0,8 s
pour appliquer les freins après avoir aperçu un danger.
La figure 21 présente les temps de réaction approximatifs
de conducteurs qui ont bu quelques bières. Recopie
le tableau 3 dans ton cahier et utilise les données
du graphique pour déterminer la distance de réaction.
3,0
40
d (m) [E]
4,0
Reviens sur ce que tu as fait à la question 17 de Mise
en pratique et utilise un miroir plan pour vérifier la
précision avec laquelle tu as tracé les tangentes dont
tu t’es servi pour trouver les vélocités instantanées.
Décris comment tracer des tangentes à la courbe aussi
précises que possible.
Temps de
réaction (s)
Détermine la vitesse moyenne entre 4,0 s et 8,0 s ;
entre 0,0 s et 8,0 s.
2,0 3,0
t (s)
Mets en pratique tes connaissances
5. La figure 19 présente le mouvement idéal d’une automobile.
a)
1,0
2,0
1,0
0
30
1
2
3
4
Nombre de bières
5
Figure 21
L’effet de la bière
sur les temps
de réaction des
conducteurs
Tableau 3 Les données de la question 10
20
Vitesse
10
Distance de réaction
sans alcool 4 bouteilles 5 bouteilles
0
4,0
8,0
t (s)
12
16 Figure 19
Le graphique
position-temps
17 m/s (60 km/h)
?
?
?
25 m/s (90 km/h)
?
?
?
33 m/s (120 km/h)
?
?
?
La cinématique
17
1.2
L’accélération en une
et en deux dimensions
As-tu remarqué, lorsque tu es en voiture, qu’il faut accélérer sur la
rampe d’accès de l’autoroute pour y entrer sans danger (figure 1) ?
Les conducteurs subissent une accélération chaque fois qu’ils
accroissent ou réduisent la vitesse de leur véhicule et qu’ils changent
de direction.
On a craint que les véhicules utilisant des ressources énergétiques alternatives ne puissent accélérer aussi rapidement que
ceux à moteurs traditionnels utilisant des combustibles fossiles.
Toutefois, de nouveaux modèles permettent de dissiper ces craintes.
Par exemple, la limousine électrique présentée à la figure 2 peut
atteindre rapidement la vitesse requise sur une autoroute.
Figure 1
Lorsqu’elles entrent sur la voie
rapide d’une autoroute, les automobiles et les motocyclettes accélèrent
plus facilement que les camions.
LE
SAVAIS-TU
?
La suraccélération
Il arrive que l’accélération instantanée varie, comme lorsqu’une fusée
est lancée dans l’espace. Le taux de
variation de l’accélération est appelé
« suraccélération » ; il peut être
a
déterminé grâce à la relation t
ou en calculant la pente de la
courbe sur un graphique
accélération-temps. Quelle est
l’unité SI de la suraccélération ?
accélération ( a ) taux de variation
de la vélocité
accélération moyenne (amoy)
variation de la vélocité divisée
par l’intervalle de temps associé
à cette variation
accélération instantanée
accélération à un instant particulier
18
Chapitre 1
Figure 2
Cette limousine électrique expérimentale, d’une masse
de 3,0 103 kg, peut faire 300 km avec une charge
d’une heure de sa batterie au lithium.
L’accélération et l’accélération moyenne
en une dimension
L’accélération est le taux de variation de la vélocité. Puisque la vélocité est une quantité
vectorielle, l’accélération est aussi une quantité vectorielle. L’accélération moyenne,
aav , est la variation de la vélocité divisée par l’intervalle de temps associé à cette variation :
vf vi
v
amoy t
t
où vf est la vélocité finale, vi est la vélocité initiale et t est l’intervalle de temps.
L’accélération à un instant précis, ou accélération instantanée — souvent appelée
seulement accélération — est donnée par l’équation :
v
a lim t→0 t
v
Autrement dit, si t s’approche de zéro, l’accélération moyenne s’approche de
t
l’accélération instantanée.
Comme tu pourras le constater dans les problèmes suivants, toute unité de vélocité
divisée par une unité de temps donne une unité pour l’accélération moyenne et l’accélération instantanée.
Section 1.2
PROBLÈME 1
Une voiture de course accélère de l’état de repos jusqu’à 96 km/h [O] en 4,1 s. Détermine
son accélération moyenne.
PRATIQUE
Les symboles comparés
Nous utilisons déjà les symboles
vmoy et v pour représenter la vélocité moyenne et la vélocité instantanée. De la même façon, nous
utilisons amoy et a pour représenter
l’accélération moyenne et l’accélération instantanée. Lorsque
l’accélération est constante,
l’accélération moyenne et l’accélération instantanée sont égales
et le symbole a peut être utilisé
pour chacune des deux.
Solution
vi 0,0 km/h
vf 96 km/h [O]
t 4,1 s
amoy ?
vf vi
amoy t
CONSEIL
96 km/h [O] 0,0 km/h
4,1 s
amoy 23 (km/h)/s [O]
L’accélération moyenne de la voiture est de 23 (km/h)/s [O].
PROBLÈME 2
CONSEIL
Une motocycliste qui roule à 23 m/s [N] freine, produisant une accélération moyenne
de 7,2 m/s2 [S].
a)
Quelle est la vélocité de la motocycliste après 2,5 s ?
b)
Démontre que l’équation dont tu t’es servi en a) respecte les dimensions.
Solution
a)
vi 23 m/s [N]
amoy 7,2 m/s2 [S] 7,2 m/s2 [N]
t 2,5 s
vf ?
v v
t
f
i
De l’équation amoy ,
vf vi amoy t
23 m/s [N] (7,2 m/s2 [N])(2,5 s)
PRATIQUE
Les orientations positive
et négative
Au problème 2, l’accélération
moyenne de 7,2 m/s2 [S] est l’équivalent de 7,2 m/s2 [N]. Dans
ce cas, l’orientation positive du
mouvement est vers le nord :
vi = +23 m/s [N]. Ainsi, une
accélération positive vers le sud
est l’équivalent d’une accélération
négative vers le nord et elles
représentent toutes les deux un
ralentissement. Le ralentissement
est parfois appelé décélération,
mais, pour éviter les erreurs
de signe dans les équations, nous
utiliserons dans ce texte le terme
« accélération négative ».
23 m/s [N] 18 m/s [N]
vf 5 m/s [N]
La vélocité finale de la motocycliste est de 5 m/s [N].
b)
Nous pouvons mettre un point d’interrogation sur le signe d’égalité pour indiquer
que nous cherchons à vérifier si les dimensions des deux côtés de l’équation sont
les mêmes.
?
?
vf vi amoy t
l ? l
l
2 t
t
t
t
l ? l
l
t
t
t
La dimension du côté gauche de l’équation est identique à celle du côté droit.
La cinématique
19
Mise en pratique
Saisis bien les concepts
1. Lesquelles des unités suivantes peuvent être utilisées pour exprimer une
Réponses
4. 2,4
m/s2
5. a)
[vers l’avant]
2,80 s
b)
accélération ?
a) (km/s)/h
2. a)
96,1 km/h
6. 108 km/h [vers l’avant]
7. 42,8 m/s [E]
b)
b)
mms2 c)
Mm/min2
d)
km/h2 e)
km/min/min
Peut-on avoir en même temps une vélocité vers l’est et une accélération
vers l’ouest ? Si « non », explique pourquoi. Si « oui », donne un exemple.
Peut-on avoir une accélération lorsque la vélocité est nulle ? Si « non »,
explique pourquoi. Si « oui », donne un exemple.
3. Un vol de rouges-gorges migre vers le sud. Décris le mouvement du vol à
un instant où l’accélération est a) positive, b) négative et c) nulle. Prends le sud
comme orientation positive.
4. Partant de la ligne de départ, un coureur sur piste atteint une vélocité de 9,3 m/s
[vers l’avant] en 3,9 s. Détermine l’accélération moyenne du coureur.
5. La Renault Espace est une voiture de série qui peut passer de l’état de repos à
26,7 m/s avec une accélération moyenne incroyable de 9,52 m/s2.
a) Combien de temps prend cette voiture pour atteindre la vitesse de 26,7 m/s ?
b) Quelle est sa vitesse en km/h ?
c) Démontre que l’équation dont tu t’es servi en a) respecte les dimensions.
6. L’espadon est le plus rapide de tous les poissons. S’il accélère à un taux de
14 (km/h)/s [vers l’avant] pendant 4,7 s à partir de sa vélocité initiale de 42 km/h
[vers l’avant], quelle est sa vélocité finale ?
7. Dans un tournoi de tir à l’arc, une flèche qui atteint sa cible subit une accéléra-
tion moyenne de 1,37 103 m/s2 [O] pendant 3,12 102 s, puis s’arrête.
Détermine la vélocité de la flèche lorsqu’elle frappe la cible.
Tableau 1 Les données
position-temps
t (s)
0
2,0
d (m) [E]
0
8,0
4,0
32
6,0
72
8,0
128
La représentation graphique d’un mouvement
uniformément accéléré
Un hors-bord, initialement stationnaire, accélère uniformément pendant 8,0 s et se
déplace de 128 m [E] pendant ce temps. Le tableau 1 contient les données positiontemps à partir de la position de départ. La figure 3 présente le graphique position-temps
correspondant.
140
120
tangente à
t = 7,0 s
d (m) [E]
100
Figure 3
Sur ce graphique position-temps
représentant le mouvement du
bateau, les tangentes à quatre
instants différents donnent
les vélocités instantanées à ces
instants. (Le calcul de la pente
n’est pas montré ici.)
20
Chapitre 1
80
tangente à
t = 5,0 s
60
tangente à
t = 3,0 s
40
tangente à
t = 1,0 s
20
0
2,0
4,0
t (s)
6,0
8,0
Section 1.2
Rappelle-toi que la pente d’une courbe à un instant précis sur un graphique positiontemps donne la vélocité instantanée (section 1.1). Puisque la pente varie continuellement,
on a besoin de plusieurs valeurs pour déterminer comment la vélocité varie en fonction du temps. On peut trouver la pente en appliquant, entre autres, la « technique de la
tangente », selon laquelle plusieurs tangentes à la courbe sont tracées en différents points
et les pentes de ces tangentes sont calculées. Le tableau 2 fournit les vélocités instantanées déterminées à partir des pentes ; la figure 4 présente le graphique vélocité-temps
correspondant.
Tableau 2 Les données
vélocité-temps
t (s)
v (m/s) [E]
0
0
1,0
4,0
3,0
12
5,0
20
7,0
28
v (m/s) [E]
40
30
20
10
0
2,0
4,0
t (s)
6,0
8,0
Figure 4
Le graphique vélocité-temps d’un mouvement uniformément
accéléré est une droite. Comment pourrais-tu déterminer
l’accélération instantanée, l’accélération moyenne et le
déplacement du bateau à partir de ce graphique ?
L’accélération peut être donnée par la pente de la courbe sur une graphique
v
vélocité-temps, qui est . Dans cet exemple, la pente — donc l’accélération —
t
est 4,0 m/s2 [E]. La figure 5 présente le graphique accélération-temps correspondant.
a (m/s2) [E]
12
8
4
0
2,0
4,0
t (s)
6,0
8,0
Figure 5
Le graphique accélération-temps d’un mouvement uniformément accéléré est une droite horizontale. Comment
pourrais-tu déterminer la variation de la vélocité sur un
intervalle de temps donné à partir de ce graphique ?
Quelles autres informations peut-on tirer des graphiques vélocité-temps et accélérationtemps ? Comme tu l’as vu plus tôt, l’aire sous la courbe d’un graphique vélocité-temps
représente la variation de position (ou le déplacement) dans l’intervalle de temps
pour lequel l’aire est calculée. De la même façon, l’aire sous la courbe d’un graphique
accélération-temps représente la variation de vélocité dans l’intervalle de temps pour
lequel l’aire est calculée.
La cinématique
21
PROBLÈME 3
La figure 6 présente le graphique accélération-temps d’une voiture qui accélère en
passant de la première à la troisième vitesse. On considère que la vélocité initiale est nulle.
a)
Utilise les informations fournies par le graphique pour déterminer la vélocité finale
pour chaque vitesse. Trace le graphique vélocité-temps correspondant.
b)
À partir du graphique vélocité-temps, détermine le déplacement de la voiture par
rapport à sa position initiale après 5,0 s.
t1
a1
4
a
(m/s2) [S]
t2
t3
A1
2
a3
A2
1
A3
0
Figure 6
Le graphique accélération-temps
a2
3
2
1
3
4
5
6
7
8
9
t (s)
Solution
a)
L’aire sous chaque segment du graphique accélération-temps donne la variation de
la vélocité dans l’intervalle de temps correspondant.
A1 a1t1
A2 a2t2
(4,0 m/s2) [S] (3,0 s)
(3,0 m/s2) [S] (2,0 s)
A1 12 m/s [S]
A2 6,0 m/s [S]
A3 a3t3
(1,5
Atotale A1 A2 A3
m/s2 [S])
12 m/s 6,0 m/s 6,0 m/s
(4,0 s)
A3 6,0 m/s [S]
Atotale 24 m/s
La vélocité initiale est v1 = 0,0 m/s. La vélocité finale en première vitesse est
v2 = 12 m/s [S], en deuxième vitesse v3 = 18 m/s [S] et en troisième vitesse
v4 = 24 m/s [S].
La figure 7 présente le graphique vélocité-temps correspondant.
t1
t2
t3
v (m/s) [S]
30
Figure 7
Le graphique vélocité-temps
22
Chapitre 1
v4
20
v3
v2
10
v1
0
A5
A4
1
2
3
4
5
t (s)
6
7
8
9
Section 1.2
b)
L’aire sous chaque droite du graphique vélocité-temps donne la variation de la position dans l’intervalle de temps.
1
A4 v2 v1 (t1)
2
1
(12 m/s [S]) (3,0 s)
2
A4 18 m [S]
1
A5 v2(t2) v3 v2(t2)
2
1
(12 m/s [S]) (2,0 s) (18 m/s [S] 12 m/s [S]) (2,0 s)
2
A5 30 m [S]
(L’aire A5 peut aussi être trouvée en utilisant l’équation de l’aire d’un trapèze.)
Le déplacement de la voiture après 5,0 s est de 18 m [S] + 30 m [S] = 48 m [S].
On donne une petite poussée à un chariot placé sur un plan incliné, comme à la figure 8 ;
le chariot roule vers le haut, s’arrête, puis redescend. Un détecteur de mouvement
se trouve au bas du plan pour générer les graphiques position-temps, vélocité-temps et
accélération-temps. Pour le mouvement qui se produit après l’application de la force
-t, v-t et a-t pour :
de poussée sur le chariot, esquisse l’allure des graphiques d
a) une orientation positive vers le haut
b) une orientation positive vers le bas
a)
Observe le mouvement et les graphiques correspondants ; compare tes prévisions avec
les résultats obtenus.
Attrape le chariot dans son mouvement vers le bas avant qu’il ne frappe
le détecteur de mouvement.
détecteur de
poussée initiale
mouvement
sur le chariot
v (m/s) [O]
La représentation
graphique d’un
mouvement accéléré
0
b)
Figure 8
Un détecteur de mouvement te permet de vérifier tes prévisions graphiques.
v (km/h)
[vers l’avant]
0
c)
Saisis bien les concepts
8. Explique comment faire pour déterminer
a)
b)
l’accélération moyenne à partir d’un graphique vélocité-temps ;
la variation de vélocité à partir d’un graphique accélération-temps.
9. Décris le mouvement représenté par chacun des graphiques de la figure 9.
d)
a (m/s2) [N]
0
Mise en pratique
t (s)
d
(cm) [S]
À TOI d’expérimenter
0
t (s)
t (s)
t (s)
Figure 9
Les graphiques de la question 9
La cinématique
23
10. Le tableau 3 résume les observations faites sur un bébé qui rampe et qui subit une
Réponse
accélération constante sur plusieurs intervalles successifs de 2,0 s.
a) Trace le graphique vélocité-temps de ce mouvement.
b) Utilise les informations fournies par ton graphique vélocité-temps pour tracer
le graphique accélération-temps correspondant.
12. 132 m [S]
Tableau 3 Les données de la question 10
t (s)
0,0
v (cm/s) [E]
2,0
10
4,0
15
20
6,0
15
8,0
10
10
5,0
12
0,0
11. La figure 10 présente le graphique accélération-temps d’un joueur de ligne de
a (m/s2) [E]
football qui a été poussé par d’autres joueurs à partir d’une vélocité initiale nulle.
Trace le graphique vélocité-temps correspondant.
1,5
1,0
0,5
0
–0,5
–1,0
–1,5
t (s)
1,0
2,0
3,0
4,0
Figure 10
Le graphique
accélération-temps
12. Détermine le déplacement de la voiture après 9,0 s à partir du graphique vélocité-
temps de la figure 7.
Fais des liens
13. Les graphiques accélération-temps présentés aux figures 6, 9b) et 10 représentent
des situations idéales de mouvement uniformément accéléré.
a) Que signifie « idéales » ici ?
b) Cite un avantage à présenter des exemples en situation idéale, plutôt que réelle,
dans un texte qui traite de notions fondamentales de physique.
c) Retrace le graphique de la figure 6 afin de respecter de façon plus précise le
mouvement réel d’une voiture qui accélère.
La résolution des problèmes de mouvement
uniformément accéléré
v
vf
vi
0
t
∆t
Figure 11
La figure représentée sur ce
graphique est un trapèze. L’aire sous
la droite est donc le produit de la
longueur moyenne des deux côtés
vi vf
parallèles, , et de la distance
2
perpendiculaire entre eux, t.
24
Chapitre 1
vf vi
L’équation définie pour l’accélération moyenne, amoy , n’inclut pas le
t
déplacement. Tu as vu que nous pouvons déterminer le déplacement en déterminant
l’aire sous la courbe d’un graphique vélocité-temps. Nous pouvons combiner cette observation avec l’équation définie pour l’accélération moyenne pour trouver d’autres équations utiles à l’analyse du mouvement uniformément accéléré. Souviens-toi que, lorsque
l’accélération est constante, a amoy, nous utilisons alors le symbole a pour représenter l’accélération.
La figure 11 présente le graphique vélocité-temps d’un mouvement uniformément accéléré dont la vélocité initiale est vi. L’aire sous la droite est l’aire d’un trapèze,
1
d (vf vi)t. Cette équation, sans la variable a , peut être combinée avec
2
l’équation définie pour l’accélération moyenne pour trouver trois autres équations,
chacune incluant quatre des cinq variables possiblement associées à un mouvement uniformément accéléré.
Par exemple, pour obtenir une équation de laquelle t est éliminé, nous omettons la
notation vectorielle ; ainsi, nous évitons le problème mathématique posé par la multiplication de deux vecteurs. Nous pouvons maintenant reformuler l’équation définie
pour l’accélération moyenne pour obtenir t, puis substituer t pour trouver d :
Section 1.2
vf vi
a t
vf vi
t a
1
d (vf vi )t
2
1
vf vi
(vf vi )
a
2
vf2 vi2
d 2
a
2ad vf2 vi2
Par conséquent, vf2 vi2 2ad .
De la même façon, la substitution peut être utilisée pour trouver les deux équations
finales desquelles les variables vf et vi sont éliminées. Les cinq équations ainsi obtenues
pour un mouvement uniformément accéléré sont présentées dans la tableau 4. Tu peux
vérifier que les transformations et les substitutions sont valables en te servant de l’analyse dimensionnelle ou de l’analyse des unités pour ces équations.
Tableau 4 Les équations du mouvement uniformément accéléré
Variables impliquées
Équation générale
Variable éliminée
a, vf, vi, t
vf vi
a t
d
, vi, a, t
d
vit 1 a (t )2
d
2
vf
, vi, vf, t
d
vmoyt
d
a
ou
1 d (vi vf)t
2
vf, vi, a, d
vf2 vi2 2ad
t
, vf, t, a
d
vft 1 a (t )2
d
2
vi
PROBLÈME 4
Un motocycliste, roulant initialement à 12 m/s [O], passe à une vitesse supérieure et
accroît sa vitesse pendant 3,5 s avec une accélération constante de 5,1 m/s2 [O]. Quel
est le déplacement du motocycliste durant cet intervalle de temps ?
Solution
vi 12 m/s [O]
a 5,1 m/s2
[O]
t 3,5 s
?
d
vit 1a(t)2
d
2
1
(12 m/s [O])(3,5 s) (5,1 m/s2 [O])(3,5 s)2
2
73 m [O]
d
Le déplacement du motocycliste est de 73 m [O].
La cinématique
25
PROBLÈME 5
Une fusée lancée verticalement, à partir du repos, atteint une vélocité de 6,3 102 m/s
[vers le haut] à une altitude de 4,7 km au-dessus de la rampe de lancement. Détermine
l’accélération de la fusée pendant ce mouvement, en supposant qu’elle est constante.
Solution
4,7 km [vers le haut] 4,7 103 m [vers le haut]
d
vi 0 m/s
vf 6,3 102
a ?
m/s [vers le haut]
Nous décidons que l’orientation [vers le haut] est positive. Puisque t n’est pas donné,
nous utilisons l’équation
vf2 vi2 2ad
vf2 2ad
v2
a f
2d
(6,3 102 m/s)2
2(4,7 103 m)
a 42 m/s2
Puisque la valeur de a est positive, l’accélération est de 42 m/s2 [vers le haut].
PROBLÈME 6
Avant de s’immobiliser, une pierre de curling glisse sur la glace et subit une accélération
constante de 5,1 cm/s2 [E] en se déplaçant de 28 m [O] par rapport à sa position initiale.
Détermine a) sa vélocité initiale et b) la durée du déplacement.
Solution
La figure 12 montre que l’orientation de l’accélération est opposée à celle du mouvement
de la pierre et que l’orientation positive a été choisie vers l’ouest.
a = 5,1 cm/s2 [E]
vf = 0
Figure 12
La situation du problème 6
28 m [O]
d
vf 0 m/s
a 5,1 cm/s2 [E] 0,051 m/s2 [E] 0,051 m/s2 [O]
t ?
vi ?
vf2 vi2 2ad
0 vi2 2ad
vi2 2ad
vi 2ad
2)(28
2(0
,051
/s
m
m)
vi 1,7 m/s
La vélocité initiale est vi 1,7 m/s [O].
Chapitre 1
vi = ?
∆ d = 28 m [O]
a)
26
+ orientation
Section 1.2
b)
N’importe laquelle des équations pour un mouvement uniformément accéléré peut
être utilisée pour trouver t.
vf vi
a t
vf vi
t a
0 1,7 m/s [O]
0,051 m/s2 [O]
t 33 s
L’intervalle de temps pendant lequel la pierre de curling ralentit et s’arrête est de 33 s.
Mise en pratique
Saisis bien les concepts
14. Tu connais la vélocité initiale, le déplacement et l’intervalle de temps pour un
certain mouvement uniformément accéléré. Laquelle des cinq équations de
base utiliserais-tu pour trouver a) l’accélération et b) la vélocité finale ?
15. Démontre que l’équation du mouvement uniformément accéléré de laquelle t
a été éliminé respecte les dimensions.
16. Reformule l’équation du mouvement uniformément accéléré de laquelle l’accé-
lération moyenne a été éliminée de manière à a) isoler t et b) isoler vf .
Réponses
19. 44 m/s [O]
20. 4,6 104 m/s2 [N]
21. a)
15 m [vers l’avant]
b)
8,3 m/s [vers l’avant]
22. a)
5,60 1015 m/s2 [O]
9,39 109 s
17. En utilisant l’équation de l’accélération constante et l’équation du déplacement
b)
exprimée en termes de vélocité moyenne, trouve l’équation du mouvement
uniformément accéléré
a) de laquelle la vélocité finale a été éliminée ;
b) de laquelle la vélocité initiale a été éliminée.
24. 0,13 s
18. On frappe un volant de badminton, lui donnant ainsi une vélocité horizontale
de 73 m/s [O]. La résistance de l’air provoque une accélération constante de
18 m/s2 [E]. Détermine la vélocité du volant après 1,6 s.
19. Une balle de baseball se déplaçant horizontalement à 41 m/s [S] est frappée par
le bâton du frappeur et sa vélocité devient 47 m/s [N]. Elle est en contact avec le
bâton pendant 1,9 ms et subit une accélération constante durant cet intervalle.
Quelle est l’accélération ?
20. Alors qu’elle s’élance du bloc de départ, une sprinteuse subit une accélération
constante de 2,3 m/s2 [vers l’avant] pendant 3,6 s. Détermine a) le déplacement
de la sprinteuse et b) sa vélocité finale.
21. Un électron voyageant à 7,72 107 m/s [E] pénètre dans un champ de force qui
réduit sa vélocité à 2,46 107 m/s [E]. Son accélération est constante et son
déplacement durant l’accélération est de 0,478 m [E]. Détermine
a) l’accélération de l’électron ;
b) l’intervalle de temps pendant lequel il y a accélération.
Mets en pratique tes connaissances
22. Décris les manipulations expérimentales qui te permettraient de déterminer
l’accélération d’un livre glissant jusqu’à un obstacle sur un banc du laboratoire
ou sur le plancher. Quelles variables pourrais-tu mesurer et comment pourraistu calculer l’accélération ? Si c’est possible, fais l’expérience.
Fais des liens
23. Le temps de réaction peut être crucial, surtout lorsqu’il s’agit d’éviter un accident
d’automobile. Tu conduis à 75,0 km/h [N] lorsque tu aperçois un véhicule
immobilisé 48 m droit devant toi. Tu freines, t’arrêtant juste à temps pour éviter
l’impact. Les freins provoquent une accélération constante de 4,80 m/s2 [S].
Quel a été ton temps de réaction ?
La cinématique
27
L’accélération en deux dimensions
Une accélération en deux dimensions se produit lorsque la vélocité d’un objet se déplaçant dans un plan subit une variation d’intensité ou une variation d’orientation, ou
encore une variation simultanée d’intensité et d’orientation. Dans la situation illustrée
à la figure 13, un préposé à l’entretien des parcs pousse une tondeuse sur le gazon autour
d’une plate-bande en forme de croissant à une vitesse constante de 1,8 m/s. La tondeuse
accélère-t-elle ? Oui : l’orientation de la vélocité de la tondeuse varie, même si son intensité
ne varie pas.
L’équation de l’accélération moyenne introduite pour un mouvement en une dimension s’applique aussi à un mouvement en deux dimensions. Ainsi,
vf vi
v
amoy t
t
Il est important de se rappeler que vf vi est une soustraction vectorielle. L’équation peut
aussi être appliquée aux composantes vectorielles. Ainsi,
v
vfx vix
amoy,x x t
t
et
vy
vfy viy
amoy,y t
t
où, par exemple, vfy représente la composante y de la vélocité finale.
N
Figure 13
Lorsque la tondeuse à gazon suit
le bord de la plate-bande à vitesse
constante, elle accélère :
l’orientation de son mouvement
varie constamment.
E
direction de
la tondeuse
v B = 1,8 m/s [15° E-N]
B
A
vA = 1,8 m/s [27° S-E]
PROBLÈME 7
La tondeuse à gazon de la figure 13 prend 4,5 s pour se déplacer de A à B. Quelle est son
accélération moyenne ?
+y
N
+x
E
−vAy
Solution
−vA
β
vBx
vAx
vBy
vB
vA 1,8 m/s [27° S-E]
t 4,5 s
vB 1,8 m/s [15° E-N]
amoy ?
Commençons par trouver v, requis dans l’équation de l’accélération moyenne. Dans ce
cas-ci, nous choisissons de travailler avec les composantes vectorielles, bien que d’autres
méthodes puissent être utilisées (comme la loi des sinus et des cosinus). La soustraction
vectorielle, v vB (vA ), est présentée à la figure 14. En prenant les composantes :
vx vBx (vAx )
vB sin v (vA cos b )
Figure 14
La détermination de l’orientation
de la variation du vecteur vélocité
28
Chapitre 1
1,8 m/s (sin 15°) 1,8 m/s (cos 27°)
vx 1,1 m/s
Section 1.2
et
vy vBy (vAy )
+y
N
vB cos v (vA sin b )
+x
E
1,8 m/s (cos 15°) 1,8 m/s (sin 27°)
vy 2,6 m/s
∆vx
En utilisant la loi de Pythagore :
v2 vx2 vy2
∆vy
∆v
v2 (1,1 m/s)2 (2,6 m/s)2
f
v 2,8 m/s
Trouvons maintenant l’orientation du vecteur illustré à la figure 15 :
1,1 m/s
f tan1 2,6 m/s
Figure 15
Les vélocités et leurs composantes
pour le problème 7
f 23°
L’orientation est [23° O-N].
Pour calculer l’accélération moyenne :
v
amoy t
2,8 m/s [23° O-N]
4,5 s
amoy 0,62 m/s2 [23° O-N]
L’accélération moyenne est de 0,62 m/s2 [23° O-N].
Mise en pratique
Saisis bien les concepts
24. Une automobile avec une vélocité de 25 m/s [E] passe à une vélocité de 25 m/s
[S] en 15 s. Calcule son accélération moyenne.
25. Un navire dont la vélocité initiale est de 6,4 m/s [E] subit une accélération
moyenne de 2,0 m/s2 [S] pendant 2,5 s. Quelle est sa vélocité finale ?
26. Comme le montre la figure 16, une rondelle de hockey rebondit sur la bande.
La rondelle est en contact avec la bande pendant 2,5 ms. Détermine l’accélération moyenne de la rondelle durant cet intervalle.
vi= 26 m/s
N
vf= 21 m/s
22°
25. 2,4 m/s2 [45° S-O]
26. 8,1 m/s [38° S-E]
27. 7,3 103 m/s [75° N-O]
28. 17 m/s [10° au-dessus
de l’horizontale]
29. amoy,x 9,0 102 m/s2 ;
amoy,y 2,5 102 m/s2
E
22°
Réponses
Figure 16
Le mouvement de la rondelle
27. Le passager d’une montgolfière lance une balle à une vélocité initiale inconnue.
La balle accélère à 9,8 m/s2 [vers le bas] pendant 2,0 s ; à cet instant, sa vélocité
instantanée est 24 m/s [45° sous l’horizontale]. Détermine la vélocité initiale
de la balle.
28. À 15 h, un camion roulant sur une autoroute sinueuse a une vélocité de
82,0 km/h [38,2° E-N] ; à 15 h 15, il a une vélocité de 82,0 km/h [12,7° S-E].
En considérant que les x positifs sont orientés vers l’est et les y positifs vers
le nord, détermine les composantes x et y de l’accélération moyenne pendant
cet intervalle de temps.
La cinématique
29
L’accélération en une
et en deux dimensions
RÉSUMÉ
•
•
•
L’accélération moyenne est le taux de variation moyen de la vélocité.
•
•
La pente de la droite sur un graphique vélocité-temps représente l’accélération.
•
L’analyse mathématique du mouvement uniformément accéléré met en cause
cinq variables et cinq équations, chaque équation exprimant une relation entre
quatre des cinq variables.
•
Pour un mouvement en deux dimensions, l’accélération moyenne est déterminée
en utilisant la soustraction vectorielle v vf vi divisée par l’intervalle de
temps t.
L’accélération instantanée est l’accélération à un instant précis.
La technique de la tangente peut être utilisée pour déterminer la vélocité instantanée sur le graphique position-temps d’un mouvement accéléré.
L’aire sous la courbe d’un graphique accélération-temps représente la variation
de vélocité.
Section 1.2 Questions
Saisis bien les concepts
6. Décris le mouvement représenté par chacun des
1. Donne les conditions sous lesquelles l’accélération instan-
tanée et l’accélération moyenne sont égales.
graphiques de la figure 17.
a)
b)
2. Peut-on avoir une vélocité vers le nord et une accélération
vers l’ouest ? Si « non », explique pourquoi. Si « oui », donne
un exemple.
d
v
3. Un avion supersonique volant de Londres en Angleterre
jusqu’à la ville de New York change sa vélocité de
1,65 103 km/h [O] à 1,12 103 km/h [O] lorsqu’il se prépare à atterrir. Ce changement nécessite 345 s. Détermine
l’accélération moyenne de l’avion a) en kilomètres-heure
par seconde et b) en mètres par seconde au carré.
4. a)
b)
Esquisse un graphique vélocité-temps, avec un intervalle de 4,0 s, pour une voiture se déplaçant dans une
dimension, avec une vitesse croissante et une accélération décroissante.
Explique comment déterminer l’accélération instantanée à t = 2,0 s sur ce graphique.
0
t
0
t
c)
v
0
t
Figure 17
5. Le tableau 5 fournit les données position-temps d’une
personne soumise à une accélération constante à partir
de l’état de repos.
a) Trace les graphiques vélocité-temps et accélérationtemps correspondants.
b) Utilise au moins une équation du mouvement
uniformément accéléré pour vérifier le calcul final
de l’accélération en a).
Tableau 5 Les données position-temps
30
t (s)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
d (m) [O]
0
0,26
1,04
2,34
4,16
Chapitre 1
7. Une automobile en déplacement à 26 m/s [E] ralentit
avec une accélération moyenne constante de 5,5 m/s2.
Détermine sa vélocité après 2,6 s.
8. L’accélération de freinage maximale d’une voiture est
constante et égale à 9,7 m/s2. La voiture s’immobilise 2,9 s
après que le conducteur a freiné à fond. Détermine sa
vitesse initiale.
Section 1.2
9. Utilise l’information fournie par le graphique vélocité-temps
v (m/s) [O]
de la figure 18 pour tracer les graphiques position-temps
et accélération-temps correspondants.
15
10
5
0
–5
–10
–15
a)
b)
c)
4,0
8,0
t (s)
12
À quel instant après l’apparition du feu vert C et V
ont-elles la même vélocité ?
À quel instant après l’apparition du feu vert C
dépasse-t-elle V ? (Indice : leur déplacement doit être
égal à cet instant.)
Détermine le déplacement par rapport à l’intersection
lorsque C dépasse V.
15. Un oiseau prend 8,5 s pour voler de la position A à la
position B en suivant la trajectoire décrite à la figure 20.
Détermine son accélération moyenne.
vB = 7,8 m/s [25° N-E]
Figure 18
A
10. Un sauteur à ski, partant du repos, glisse sur une pente
pendant 3,4 s avec une accélération constante de 4,4 m/s2
[vers l’avant]. Détermine a) la vélocité finale du sauteur
et b) son déplacement.
11. Un électron accélère uniformément à partir du repos pour
atteindre une vélocité de 2,0 107 m/s [E] en se déplaçant
de 0,10 m [E].
a) Quelle est l’accélération (constante) de l’électron ?
b) Combien de temps prend l’électron pour atteindre
sa vélocité finale ?
12. Durant un intervalle de 29,4 s, la vélocité d’une fusée passe
de 204 m/s [vers l’avant] à 508 m/s [vers l’avant]. En
supposant que cette fusée a une accélération constante,
détermine son déplacement durant cet intervalle de temps.
13. Une balle quitte le canon d’un fusil avec une vélocité de
4,2 m/s [vers l’avant]. Le canon mesure 0,56 m.
L’accélération transmise par l’explosion de la poudre à
canon est uniforme tant et aussi longtemps que la balle
est dans le canon.
a) Quelle est la vélocité moyenne de la balle dans le
canon ?
b) Sur quel intervalle de temps l’accélération uniforme se
produit-elle ?
102
B
vA = 4,4 m/s [31° S-E]
N
E
Figure 20
16. Un hélicoptère se déplaçant horizontalement à
155 km/h [E] exécute un virage graduel et, après 56,5 s,
vole à 118 km/h [S]. Quelle est l’accélération moyenne
de l’hélicoptère en kilomètres-heure par seconde ?
Fais des liens
17. Lors d’une compétition, le temps le plus rapide au 100 m
sprint féminin a été de 11,0 s, alors que le temps le plus
rapide pour le relais quatre fois 100 m féminin a été de
42,7 s. Pourquoi serait-il faux de conclure que chacune
des quatre femmes du relais pourrait courir un 100 m en
moins de 11,0 s ? (Indice : pense à l’accélération.)
14. Une voiture (V) et une camionnette (C) sont arrêtées
l’une à côté de l’autre à un feu rouge. Lorsque la lumière
passe au vert, les deux véhicules accélèrent suivant le
mouvement représenté à la figure 19.
v (m/s) [S]
20
Figure 19
Le graphique vélocité-temps des mouvements
de deux véhicules
C
15
V
10
5
0
30
60
90
120
t (s)
150
180
220
La cinématique
31
1.3
accélération due à la pesanteur
( g ) accélération d’un objet qui
tombe verticalement vers la surface
de la Terre
chute libre mouvement d’un objet
vers la Terre sous l’effet de la seule
force de la pesanteur
Figure 1
Aristote (384–322 av. J.-C.)
Figure 2
Galilée (1564–1642)
L’accélération due à la pesanteur
Un plongeur qui saute d’un tremplin de 3 m entre dans l’eau à une vitesse d’environ
28 km/h. Du tremplin de 10 m, par contre, sa vitesse est d’environ 50 km/h. Plus un objet
tombe de haut par rapport à la surface de la Terre, plus grande est sa vitesse à l’atterrissage,
à condition que la résistance de l’air demeure négligeable. L’accélération d’un objet qui
tombe verticalement vers la surface de la Terre s’appelle accélération due à la pesanteur.
Les objets ne subissent pas tous la même accélération vers le sol. Si tu laisses tomber
un bouchon en caoutchouc et une feuille de papier de la même hauteur au même instant,
le bouchon touchera le sol le premier. Toutefois, si tu chiffonnes la feuille de papier pour
en faire une petite boule, le papier et le bouchon arriveront au sol à peu près en même
temps. Donc, si on néglige la résistance de l’air, l’accélération due à la pesanteur en un
endroit donné est constante, et tous les objets qui tombent accélèrent vers le bas au
même rythme. On dit d’un objet qui tombe vers la Terre sans subir d’autre force que la
pesanteur qu’il est en chute libre.
Il y a très longtemps, les gens pensaient que les objets lourds tombaient plus rapidement que les objets plus légers. Ainsi, le philosophe grec Aristote (figure 1), homme de
science, enseignant et autorité scientifique reconnue à son époque, avait observé qu’une
roche tombait plus rapidement qu’une feuille ou qu’une plume. Il a même « prouvé »
que les objets lourds tombaient plus rapidement que les objets légers et qu’une force
était nécessaire à tout mouvement. On a appelé la physique basée sur les principes
d’Aristote « physique aristotélicienne ». (Après Newton, elle est devenue la « physique
newtonienne ».) Les idées d’Aristote, y compris sa théorie sur les objets qui tombent,
ont été acceptées pendant près de 2 000 ans.
L’homme de science italien Galilée (figure 2) a découvert que tous les objets tombaient vers la Terre avec la même accélération, si on ne tenait pas compte de l’effet de la
résistance de l’air. Galilée a fait plusieurs découvertes scientifiques, dont certaines ont mené
à des inventions importantes, comme l’horloge à pendule et le télescope. En utilisant le
télescope, il a pu voir des taches à la surface du Soleil, obtenir des gros plans de cratères
sur la Lune, observer les phases de Vénus et certaines des plus grandes lunes en orbite
autour de Jupiter. Ses observations appuyaient la théorie que la Terre n’était pas au centre du système solaire (théorie géocentrique), mais que les planètes étaient en orbite
autour du Soleil (théorie héliocentrique). Les autorités ecclésiastiques ont refusé d’admettre
cette théorie, et Galilée a été assigné à résidence pour en avoir traité dans ses écrits. En
dépit de cette persécution, il a continué d’écrire sur ses découvertes, ses inventions et ses
théories scientifiques jusqu’à sa mort en 1642, année même de la naissance en Angleterre
d’un autre grand chercheur du nom d’Isaac Newton.
Mise en pratique
LE
SAVAIS-TU
?
La « quintessence »
Aristote associé toute la matière
présente sur la Terre à l’un des quatre
éléments : terre, air, feu ou eau. Ils
croyaient que les objets au-dessus
de la Terre, par exemple les étoiles,
étaient formés d’un cinquième
élément qu’ils ont appelé la
quintessence. Ce terme est dérivé
de « quinte », qui signifie cinquième,
et de « essentia », qui signifie essence.
32
Chapitre 1
Saisis bien les concepts
1. La résistance de l’air est non négligeable pour une parachutiste qui saute d’un avion
et qui tombe vers le sol ; cependant, si la même personne plonge d’un tremplin dans
une piscine, la résistance de l’air est négligeable. Explique la différence.
2. Décris le désavantage qu’il y a à n’utiliser que le raisonnement plutôt que de faire
appel à l’expérimentation pour déterminer la dépendance d’une variable par rapport
à une autre. Illustre ta réponse au moyen d’un exemple.
Mets en pratique tes connaissances
3. Quel montage expérimental permettrait de démontrer que, en l’absence de résistance
de l’air, une plume et une pièce de monnaie tombent vers la Terre au même rythme
lorsqu’on les laisse tomber en même temps ?