PDF文?

UNIVERSITÉCHEIKH ARTA DIOP DE DAKAR
[J}[J}[J}[J}[J}[J}
, ,~
FACillTE DES SCIENCES ET TECHNIQlJES
[J}[J}[J} [J} [J}
DEPARTEMENT OE MATHEMATIQlJES ET INFORMATIf/lJES
Présentée par:
Moustapha SOKHNA
Pour obtenir le grade de Docteur de 3e cycle
Soutenue le 31 Juillet devant la Commission d'examen:
Président: Chérif BADJI
: Professeur
Membres : Mamadou SANGHARE : Chargé d'Enseignement UCAD
Mamadou Makhtar DIOP : Maître - assistant UCAD
Magatte THIAM : Maître - assistant agrégé UCAD

REMERCIEMENTS
Je rends grâce à ALLAH de m'avoir gratifié de parents models, d'une femme
exemplaire et d'enfants sympatiques.
Je remercie Monsieur le Professeur chérif BADJI de ['honneur qu'il m'a fait en
acceptant de présider ce jury.
Je tiens àremercier très sincèrement Monsieur le Professeur Mamadou
SANGHARE.
Il aaccepté avec générosité, patience et disponibilité de guider mes pas à
la recherche. Je lui exprime ainsi toute ma reconnaissance.
Monsieur Mamadou Makhtar
DIOP, s'est toujours intéressé àmes travaux. Je
le remercie d'avoir bien voulu accepter de participer à ce jury.
Je voudrais remercier Monsieur Magatte THIAM
de l'intérêt qu'il atoujours
porté àla formation des jeunes et d'avoir bien voulu accepter de participer àmon jury
de
thèse.
J'adresse également mes vifs remerciements àtous les participants
au séminaire
d'Algèbre et àtravers eux tout le personnel du département, enseignants comme
personnel administratif.

PLAN
PAGES
INTRODUCTION.....................................
1
CHAPITRE I -
RAPPELS.........................
4
Introduction
l - Anneaux
noethériens..........................
5
II -Modules
sous-engendrés.....................
13
CHAPITRE
II
-S-GROUPES ABELIENS
18
Introduction
l - Groupes vérifiant la propriété
(S)..............
19
II -Caractérisation des
S-groupes.................
29
CHAPITRE
III
-
S-MODULES..................
30
Introduction
l - Modules vérifiant lapropriété
(S)..............
32
II
-Caractérisation des S-modu
les..................
34
BIBLIOGRAPHIE...............
43

INTRODUCTION
Soient Kun corps commutatif, E un espace vectoriel sur K, nous savons déjà
que les conditions suivantes sont équivalentes.
1°) Eest un espace vectoriel de dimension finie sur K.
2°) Tout endomorphisme surjectif de Eest un automorphisme.
3°) Tout endomorphisme injectifde Eest un automorphisme.
Soient A
un anneau (non nécessairement commutatifj, M un A-module il
gauche et a[M] la catégorie des modules Msous engendrés.
Dans [5]
il est démontré les propositions suivantes:
a) Si Nélément de a[M] est noethérien alors tout endomorphisme surjectif cie
Nest un automorphisme.
b) Si Nélément de a[M] est at1inien alors tout endomorphisme in je cl if de N
est un automorphisme.
c) Si Nélément de a[M] est de longueur finie alors tout endomorphisme
injectif ou
surjectifest
un automorphisme.
Cependant les réciproques de ces propositions sont en général fausses.
En effeL
le Zè-module 1O est tel que, tout endomorphisme de 1O est un automorphisme. alors que
j'ensemble
1O, considéré comme Zè-module, n'est ni artinien ni noethérien.
L'objet
de notre étude est de trOLlYer une caractérisation des modules Mqlll
sont tels que
si un élément de a[M] vérifie la propriété (S) alors il est noethérien. Ces
modules seront appelés S-modules. Rappelons qu'un module Msur
un anneau Aest dit
vérifier
la propriété (S) si tout endomorphisme surjectif de Mest un automorphisme
de M.
2

Pour faire celle étude, nous commencerons par rappeler quelques résultats
préliminaires importants que nous avons jugé indispensables pour mieux aborder
le
reste de ['exposé. Nous étudierons ensuite, dans le second chapitre, les groupes
commutatifs qui vérifient la propriété (S) et les S-groupes commutatifs.
Dans
la demière partie de notre exposé, nous étudierons les modules qUI
vérifient la propriété (S) et nous tenterons de donner une caractérisation des S-moc1ules.
3