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UNIVERSITÉ CHEIKH ARTA DIOP DE DAKAR
[J} [J} [J} [J} [J} [J}
,
FACillTE DES SCIENCES ET TECHNIQlJES
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DEPARTEMENT OE MATHEMATIQlJES ET INFORMATIf/lJES
Présentée par:
Moustapha SOKHNA
Pour obtenir le grade de Docteur de 3 e cycle
Soutenue le 31 Juillet devant la Commission d'examen:
Président: Chérif BADJI
Membres
: Professeur
: Mamadou SANGHARE
: Chargé d'Enseignement UCAD
Mamadou Makhtar DIOP : Maître - assistant UCAD
Magatte THIAM
: Maître - assistant agrégé UCAD
,~
REMERCIEMENTS
Je rends grâce à ALLAH de m'avoir gratifié de parents models, d'une femme
exemplaire et d'enfants sympatiques.
Je remercie Monsieur le Professeur chérif BADJI de ['honneur qu'il m'a fait en
acceptant de présider ce jury.
Je tiens à remercier très sincèrement Monsieur le Professeur Mamadou
SANGHARE. Il a accepté avec générosité, patience et disponibilité de guider mes pas à
la recherche. Je lui exprime ainsi toute ma reconnaissance.
Monsieur Mamadou Makhtar DIOP, s'est toujours intéressé à mes travaux. Je
le remercie d'avoir bien voulu accepter de participer à ce jury.
Je voudrais remercier Monsieur Magatte THIAM de l'intérêt qu'il a toujours
porté à la formation des jeunes et d'avoir bien voulu accepter de participer à mon jury de
thèse.
J'adresse également mes vifs remerciements à tous les participants au séminaire
d'Algèbre et à travers eux tout le personnel du département, enseignants comme
personnel administratif.
PLAN
PAGES
INTR ODU CTIO N.... ....... ....... ....... ....... .....
1
RAP PELS ....... ....... ....... ....
4
CHA PITR E I -
Intro duct ion
l - Anneaux noet hérie ns... ...... ...... ...... .....
5
II - Modules sous -eng endr és... ...... ...... ......
13
CHA PITR E II - S-GROUPES ABELIENS
18
Intro duct ion
19
l - Groupes vérifiant la propriété (S).. ...... ......
II - Caractérisation des S-gr oupe s..... ...... ......
29
CHA PITR E III - S-M ODU LES ...... ...... ......
30
Intro duct ion
l - Modules vérifiant lapro priét é (S).. ...... ...... 32
II - Caractérisation des S-modu les.. ...... ...... .... 34
BIB LIO GRA PHI E.... ...... .....
43
INTRODUCTION
Soient K un corps commutatif, E un espace vectoriel sur K, nous savons déjà
que les conditions suivantes sont équivalentes.
1°)
E est un espace vectoriel de dimension finie sur K.
2°)
Tout endomorphisme surjectif de E est un automorphisme.
3°)
Tout endomorphisme injectif de E est un automorphisme.
Soient A un anneau (non nécessairement commutatifj, M un A-module il
gauche et a[M] la catégorie des modules M sous engendrés.
Dans [5] il est démontré les propositions suivantes:
Si N élément de a[M] est noethérien alors tout endomorphisme surjectif cie
a)
N est un automorphisme.
Si N élément de a[M] est at1inien alors tout endomorphisme injecl if de N
b)
est un automorphisme.
Si N
c)
élément de
a[M]
est de longueur finie alors tout endomorphisme
injectif ou
surjectif est un automorphisme.
Cependant les réciproques de ces propositions sont en général fausses. En effeL
le Zè-module 1O est tel que, tout endomorphisme de 1O est un automorphisme. alors que
j'ensemble 1O, considéré comme Zè-module, n'est ni artinien ni noethérien.
L'objet de notre étude est de trOLlYer une caractérisation des modules M qlll
sont tels que si un élément de a[M] vérifie la propriété (S) alors il est noethérien. Ces
modules seront appelés S-modules. Rappelons qu'un module M sur un anneau A est dit
vérifier la propriété (S) si tout endomorphisme surjectif de M est un automorphisme
de M.
2
Pour faire celle étude, nous commencerons par rappeler quelques résultats
préliminaires importants que nous avons jugé indispensables pour mieux aborder le
reste de ['exposé. Nous étudierons ensuite, dans le second chapitre, les groupes
commutatifs qui vérifient la propriété (S) et les S-groupes commutatifs.
Dans la demière partie de notre exposé, nous étudierons les modules qUI
vérifient la propriété (S) et nous tenterons de donner une caractérisation des S-moc1ules.
3
CHAPITRE 1
RAPPELS
Introduction
Ce chapitre contient les définitions et notations que nous utiliserons tout au
long de ce travail. Nous y développerons également quelques résultats simples dont
nous ferons usage constamment.
Et dans tout ce travail, sauf mention expresse du contraire, tous les anneaux considérés
sont supposés associatifs, non nécessairement commutatifs, et unitaire d'élément unité
1 :j:. O. Les homomorphismes d'anneaux sont supposés transformer l'élément unité en
l'élément unité. Le mot module désignera un module à gauche unitaire. Si A est un
anneau, AA désigne l'ensemble A muni de sa structure de A-module.
On désignera par A-mod la catégorie des A-modules.
4
§l - ANNEAUX NüETHERIENS
Définition 1-1
On dit qu'un module M sur un anneau A est noethérien (resp artinien) s'il
vérifie les conditions équivalentes suivantes:
a)
tout ensemble non vide de sous-modules de 1\1 ordonné par inclusion possède
un élément maximal (resp. minimal)
b)
toute suite croissante (resp. décroissante) de sous-modules de M est stationnaire.
L'anneau A lui-même est dit noethérien (resp. artinien) si AA est noethérien
(resp. artinien).
Un groupe abélien G est dit noethérien (resp. artinien) si G considéré comme
~-module
est noethérien (resp. artinien).
Proposition 1-1
([211, p. 62)
Pour qu'un module M soit noethérien il faut et il suffit que tout sous-module
de M soit de type fini.
Démonstration
- La condition est nécessaire:
Soit N un sous-module de M ; si N'est un élément maximal de l'ensemble
sous-modules de type fini de N, on a quel que soit x
E
N, N' + Ax == N' d'où N' = N
- La condition est suffisante:
Soit (P n) une suite croissante de sous-modules de M ; P =
UPn
est un sous-module de
n
M engendré par un nombre fmi d'éléments (XI, .... ,x p), il existe donc un entier m tel que
pour tout i,
Xi E
Pm, et donc pour tout n:2: m on a Pn = Pm = P.
5
Définition 1-2 :
On dit qu'un A-module M est de longueur finie s'il existe une suite
(0)
=
Mo c MI c. .... c Mn = M de sous-modules de M tels que
'lM
M'f-I/ i soit un
A-module simple pour O:s; i:s; n-I.
Proposition 1-2 ([21] p.63)
Pour qu'un A-module 1\1 soit de longueur finie il faut et il suffit qu'il sail
noethérien et artinien.
Démonstration
La condition est nécessaire:
Soit n la longueur de M ; toute chaîne croissante (resp. décroissante) de sous-modules
de M a une longueur inférieure ou égale à n.
La condition est suffisante:
La condition aliinienne permet de construire une suite strictement croissante
(0)
=
Mo
C
MI c ....
C
Mi
C
M i+ 1 telle que les modules quotients
Mi~i
simples; la condition noethérienne entraîne l'existence d'un entier n tel que Mn
=
soient
M.
Définition 1-3
Un A-module M est dit indécomposable s'iJ n'existe pas 2 sous-modules non
nuls Ml et M 2 de M tels que M = MI EB M 2 .
Proposition 1-3 ([21] p. 64)
Soit M un A-module de longueur finie.
n
1°)
M=
EB Mi, où les Mi
sont des sous-modules indécomposables.
i=l
6
m
1
EB M.
Soit M
. 1 )
une autre décomposition de M
en somme directe de
)=
modules indécomposables. Alors!TI:= n, et il existe une permutation s de {l, ... ,n} et
un automorphisme f de M tels que f(M'j):= MS(j).
Proposition 1-4
/121
Soit A un anneau tel que tout A-module est somme directe de A-module de
type fini, alors A est artinien.
Définition 1-4
Un idéal bilatère l de A est dit nilpotent s'il existe un entier n>
a tel que
III = (0).
Proposition 1-5 ([5], p. 71)
Soit A un anneau possédant un idéal bilatère nilpotent J tel que A/J soit
artinien de radical nul. Pour tout
A-module M
les conditions suivantes sont
équivalentes:
a)
M est de longueur finie.
b)
M est artinien.
c)
M est noethérien.
Corollaire 1-6
Soit A un anneau artinien. Pour tout A-module M les conditions suivantes
sont équivalentes:
a)
M est de longueur finie.
b)
M est artinien.
c)
M est noethérien.
En effet, le radical 9, de l'anneau A est un idéal bilatère et nilpotent et
est artinien.
7
A/~H
Définition 1-5 :
On dit qu'un
A-module M est projectif (resp injectif) si et seulement si tout
diagramme de A-module
g/
M
l'vI
~
~N-----.,~Pl>
L
(resp 0 ---~I> N
0
~L
f
)
f
Où f est surjectif (resp. injectif) se plonge dans un diagramme commutatif de la forme
M
y~
(resp.
O--.~
h
~L
N
f
Théorème 1-7 ({21] p.11)
Pour un A-module P, les conditions suivantes sont équivalentes:
a)
P est un A-module projectif
f
a --+M'----' M ~ ~ O
b)
Toute suite exacte
est scindée.
c)
P est isomorphe à un facteur direct d'un A-module libre.
Démonstration
a => b
Considérons le diagramme suivant:
p
L
M~P
~O, comme p est projectif, il existe un homomorphisme h
dans M tel que [oh = 1P ; on en déduit que M = hep) EB ker f, et la suite est scindée.
8
b => c Car P est un module quotient d'un module libre.
c => a Car tout module libre est projectif et tout facteur direct d'un module projectif est
projectif.
Définition 1-6
Un sous-module N d'un module M est dit superflu dans M si, pour tout sousmodule L de M, la relation N + L == M implique L == M.
Soit M
un module et soit P
un module projectif on dit que P
est une
enveloppe projective de M s'il existe un homomorphisme surjectif f de P sur M tel
que ker f soit superflu dans P.
Si un module admet une enveloppe projective alors cette enveloppe est unique à un
isomorphisme près.
Définition 1-7
On appelle anneau parfait à gauche ou, simplement parfait, tout anneau A sur
lequel tout module admet une enveloppe projective. L'anneau est dit semi-parfait si tout
A-module à gauche de type fini possède une enveloppe projective.
Définition 1-8
On dit qu'un ensemble X d'un anneall A est T-nilpotent à gauche si pour toute
suite (a l1 )I1EN d'éléments de X, il existe no
E
N tel que aoa l······ a no
:=
0
Théorème 1-8 ([21] p.l30)
Soit A un anneau. Les conditions suivantes sont équivalentes
a)
A est parfait
b)
Les idéaux à droite monogènes de A
vérifient la condition de chaîne
descendante
c)
i) le radical IJ\ de A est T-l!ilpotent à gauche
ii) l'anneau NIJ\ est semi-simple.
9
Théorème 1-9 ([21] p.21)
Pour un A-module E les conditions suivantes sont équivalentes
a)
E est un A-module injectif.
b)
Pour tout idéal l de A et tout homomorphisme f: l - - > E, il existe un
élément x
c)
E
E tel que f(a)
=
ax pour tout a
E
l
E est facteur direct de tout module le contenant.
Définition 1-9
On dit qu'une extension E d'un module M est une extension essentielle de M
si, pour tout sous-module N de E, la relation N
ri
M = {O} implique N
=
(0).
On dira aussi que M est un sous-module essentiel de E. On appelle enveloppe injective
d'un module M toute extension essentielle injective de M. elle sera noté E(M) ou if.
On sait que tout module admet une enveloppe injective unique à un isomorphisme près.
Proposition 1-10 [12]
Soit A un anneau. Si tout A-module est contenu dans une somme directe de
modules de type fini, alors A est artinien.
Proposition 1-11 ([21] p.92)
Sur un anneau noethérien A, tout A-module injectif est somme directe de
A-module injectifs indécomposables.
Proposition 1-12 ([24])
Soit A un anneau noethérien tel que tout A-module indécomposable injectif
soit de type fini. Alors A est artinien.
Démonstration
Soit M un A-module. On peut plonger M dans son enveloppe injective M qUI
est, d'après le Théorème 1-11, somme directe de A-modules indécomposables injectifs
(de type fini). Il résulte donc du Thèorème 1-10 que A est artinien.
10
Définition 1-10
On dit qu'un anneau est local s'il n'admet qu'un seul idéal à gauche maximal.
Théorème 1-13 ([6] p. 151)
Tout anneau commutatif aliinien est un produit d'anneaux artiniens locaux.
Théorème 1-14 (27J
Soit M ==
EB Mi
(1)
iEl
Un somme directe de modules indécomposables
Mi ( i
E
1) de type
dénombrable et à anneau d'endomorphismes local. Alors toute autre décomposition de
M admet un raffinement isomorphe à la décomposition Cl).
Proposition 1-15 ([21] , p. 64)
Soit M un A-module indécomposable différent de (0) de longueur finie, alors
End A M est un anneau local.
Définition 1-11
Soit A un anneau. On dit qu'un A-moduleM est un cogénérateur de A-mod si
tout
A-module peut êtrQ plongé dEU'ls un produit direct de copies de M. Un module M
est dit L-injectif si toute somme directe de copies de M est injective.
Théorème 1-16 ([18])
Si un atmeau A admet un cogénérateur dénombrable injectif, alors A est
noethérien.
Théorème 1-17 ([12])
Un A-module injectif M est un co générateur de A-mod, si M contient une
copie de chaque représentant des classes des A-modules simples.
Théorème 1-18 ([211)
Un anneau artinien à droite et noethérien à gauche est artinien à gauche.
Il
Théorème 1-19 «21])
Tout anneau artinien à droite est noethérien à droite.
Théorème 1-20 ([21] p.79 )
Pour un anneau A les conditions suivantes sont équivalentes:
a)
A est artinien
b)
i) A est noethérien
ii) Pour tout idéal premier P de A, l'anneau AlP est simple.
Définition 1-12
Soit A un anneau. On dit que A vérifie une identité polynomiale, s'il existe un
entier n et un polynôme P
of:.
0 en les variables non commutatives Xl, X 2,.... , X n à
coefficients dans le centre C de A tels que, pour tout al, ...... ,an
P(al, ...., an)
=
E
A, l'on ait
O.
Si de plus l'un des coefficients de P est inversible dans A, on dira que A est à identité
polynomiale ou tout simplement que A est un P.I. anneau.
Exemple
1°)
Tout anneau commutatif est un P.I. anneau
2°)
Soit M2(K) l'almeau des matrices carrées d'ordre 2 sur un corps commutatif K.
Si X, Y, Z sont des éléments de M 2(K) on a (XY - YX)2 Z - Z (XY - YX)2
=
0
donc M2(K) vérifie l'identité polynômiale (Xl X 2 - X 2 xlix3 - X3 (X j X2 - X2X\)2
12
=
O.
§2 - MODULES SOUS-ENGENDRES
Définition 1-13
Soient A un anneau et M un A-module. On dit qu'un A-module N est
engendré par M s'il existe un ensemble A et un épimorphisme f: M(Al - - > N.
Un A-module K est dit sous-engendré par M si K est un sous-module d'un module
engendré par M.
On note par cr[M] la sous-catégorie pleine de la catégorie
les A-modules sous-engendrés par M.
Si M = As alors cr[M] = cr[As ] = A - mod
Définition 1-14
Soient A un anneau et M un A-mod.
Un A-module P est dit progénérateur dans cr[M]. Si P est projectif, de type fmi et
générateur dans cr[M].
Définition 1-15
Un A-module M est dit uni sériel si le tréillis de ses sous-modules est une
chaîne ; sériel s'il est somme directe àe modules unisériels et il est de type de
représentation sérielle si tout module de cr[M1 est sériel.
Définition 1-16
On dit qu'un A-module M de longueur finie est de type de représentation fmie
s'il existe seulement dans cr[M] un nombre fini de modules indécomposables non
isomorphes deux à deux.
Proposition 1-21 ((28])
Soit M un A-module de longueur finie alors les propositions suivantes sont
équivalentes.
a) M est de type de représentation sérielle
b) Il existe un progénérateur P de cr[M] et EndA(P) est un anneau artinien sériel.
13
Définition 1-17
On dit qu'un A-module M vérifie la propriété (S) si tout endomorphisme
surjectif de M est un automorphisme.
Définition 1-18
Un sous-module H d'un A-module M est dit complétement invariant dans M,
si pour tout A-endomorphisme f de M, on a f(H) ç H.
Proposition 1-22 ((24])
Soit M un A-module somme directe de sous-modules Hj
a)
Si M vérifie la propriété (S), alors, pour tout j
b)
Si, pour tout j
E
E
UE
J).
J Mj vérifie la propriété (S)
J, Hj est complétement invariant dans M alors M vérifie la
propriété (S) si et seulement si chaque Hj
UE
J) vérifie la propriété (S).
Démonstration
a)
Soit jo
E
J et soit f Jo
un endomorphisme surjectif de .H Jo . Soit f un
endomorphisme surjectif de M prolongeant f . à"M tel que l'image réciproque de
Ja H.
Jo
par f
soit incluse dans H . . Si M
Jo
vérifie la propriété S
automorphisme de M et, par conséquent, f.
alors f
est un
est nécessairement un automorphisme
Jo
de H Jo'
b)
Supposons que chaque Hj
UE
J)
est complétement invariant dans M
et
vérifie la propriété S.
Soit f un endomorphisme surjectif de M. Pour tout j
E
J la restriction fj de f
à Hj est un automorphisme de Hj. Il en résulte que f est un automorphisme.
Proposition 1-23 ([24])
Soit M un A-module produit direct de modules Hj U E J)
a)
Si M vérifie la propriété S,
b)
Si Hom (Hi, Hj)
= 0,
seulement si tout j
E
~lors,
pour t('ut j
pour tout (i,j)
E J2
E
J, Hj vérifie la propriété (S).
avec i:l:- j alors M vérifie S si et
J, Hj vérifie la propriété (S).
14
Démonstration
Chaque Hj (j
E
J) est isomorphe à un facteur direct de M.
a) est donc une conséquence de la proposition 1-22
b) résulte de l'égalité End M
=
TI
End A Hj .
JE]
Cette partie b) serait aussi vérifiée si tout homomorphisme surjectif de Hi dans
Hj (j
* i)
était nul.
Proposition 1-24 ([24])
Soit M un A-module. Si H est un sous-module complétement invariant de M
tel que H et M/H vérifient la propriété S alors M vérifie la propriété (S).
Démonstration
Soit f un endomorphisme de M. H étant complétement invariant dans M on a
le diagramme commutatif suivant:
p
H---·~
M
H---~~
M - - D > M/H
--~~
M/H
p
où p est la surjection canonique de M sur M/H ; i est l'injection canonique de H
dans M.
Supposons que H et MIH vérifient la propriété (S) et que f
relation:
ï op = pof
implique alors que
ï
est surjectif. La
est surjectif, donc bijectif, car MIH vérifie
la propriété (S).
On déduit de la bijectivité de f la relation:
(\Ix E M, f(x) EH<=> x EH). ,.
Ce qui implique, f étant surjectif, que f' est surjectif. Il en résulte que fi est bijectif,
car H vérifie la propriété (S).
15
Soit y
E
M tel que f(y) =
f '(y) = f(y) =
°
E
H. D'après la relation *, on a y
E
H. De la relation
° on a y = 0, car f' est bijectif. On en conclut que f est bijectif.
Définition 1-19
Soit M un A-module, on dit que M est un S-module si tout module de cr[M),
vérifiant la propriété (S) est noethérien.
Un anneau A est un S-anneau si AA est un S-module
Un groupe abélien G est un S-groupe si G considéré comme
~-module
est un
S-module.
Théorème 1-25 [22]
Soit A
un anneau dont les idéaux à gauche et les idéaux à droites sont
bilatères. Les conditions suivantes sont équivalentes:
1°)
A est un S-anneau à gauche
2°)
A est artinien à gauche et tout idéal à gauche de A est principal.
3°)
Tout A-module est somme directe de modules cycliques
4°)
A est artinien à droite et tout idéal à droite de A est principal
5°)
Tout A-module est somme directe de A-module cyclique
6°)
A est un S-anneau à droite.
Proposition 1-26 ( [26] )
Soit M
Proposition 1-27
n
Soit M = EB M. tel que
. 1 1
1=
Hom(A, B)
sous facteurs de Mi et Mj, 1S; i, j S;n avec i
= 0, où A
* j. Si X
et B sont respectivement des
est un sous-module de M, alors
n
X=
EB X.
. 1
1=
avec Xi des sous-modules de Mi·
1
Proposition 1-27 [26]
EB Mi
Soit M =
alors les conditions suivantes sont équivalentes
iE!
a)
Pour k, j
E
I, k
* j, il n'existe pas d'isomorphisme entre
16
Mk et Mj
b)
Pour k, j
I, k:t; j, Hom (A k , Aj ) = 0 pour tout A k ,Aj sous facteurs respectifs
E
de Mi, Mj.
c)
Pour k
d)
Pour k
E
E
I, k :t; j, cr[M k]
I, cr[M k]
(\
(\
cr[Mj] = 0
k
cr[M k ] = 0 où M =
Et>
Mj.
JE]
j:t;k
e)
Pour tout N Eo[M] il existe un unique Ni appartenant à O[Mi] , i E I, tel que
N =
Cf> H
iE]
17
CHAPITRE II -S-GRüUPES ABELIENS
Introduction
On dit qu'un groupe vérifie la propriété (I) si tout endomorphisme injectif de
ce groupe est surjectif.
L'étude de ces groupes avait commencé depuis 1945. R.A. BEAUMONT [3]
avait prouvé que tout groupe commutatif de torsion de type fini vérifie la propriété 1. Et
à la même année 1. KAPLANSKY montra dans [15] que tout module de rang fini sur
un anneau commutatif principal intègre vérifie la propriété (1). Mais il faut attendre
1962 pour que P. CRAWLEY construisit dans [9] un exemple de groupe commutatif
infini vérifiant la propriété (I). Et c'est en 1995 qu'une étude des groupes vérifiant la
propriété S a commencé avec M. SANGHARE. Il a prouvé dans [24] que si un groupe
commutatif de torsion réduit vérifie la propriété (1) ou la propriété CS) alors
son cardinal sera soit fini soit égal à 2 No
Ce chapitre est une synthèse de ces différents résultats auxquels nous apportons notre
modeste contribution.
Nous y montrons que tout groupe divisible qui vérifie la propriété S est sans
torsion et est dénombrable et que de tels groupes sont isomorphes à qy où n
E
tN *.
Nous y étudions également les S-groupes commutatifs et nous montrons que si
G est un S-groupe abélien, alors il existe un nombre fini d'entiers premiers positifs
PI < P2 <... < Pn tels que tout groupe abélien M appartenant à cr[G] s'écrit sous la
n
forme M ==
EB M p.
i=l
où pour tout i( 1 ::; i ::; n) M p. est la composante Pi primaire
1
l
deM.
18
§1 - GROUPES VERIFIANT LA PROPIUETE (S)
Définition 11-1
On dit qu'un groupe G est un groupe sans torsion si pour tout x
tout n
E
E
G et pour
est dit divisible si, pour tout n E f}.j+ et pour tout g E
a, il existe
t'N, la relation nx = 0 implique x = 0 ou n = O.
Définition II-2
Un groupe
h
E
G tel que nh
a
= g.
Exemples
0 des nombres rationnels est divisible.
1)
Le groupe additif
2)
Soit p un entier premier. On note ?l(p"") le groupe commutatif engendré par
des éléments non nuls Co, Cl,'" .. , C n •••• vérifiant: pC o = 0 et pour tout
i
E
IN+ pCi = Ci-l. ?l(p"") est un groupe divisible.
,-
Remarque
Un sous-groupe d'un groupe divisible n'est pas nécessairement divisible
(?l,+ est un sous-groupe non divisible 0).
Théorème 1-1
Un groupe commutatif G
naturel non nul n on a : nG
=
est divisible
SI
et seulement
SI,
pour tout entier
G.
Démonstration évidente
Théorème 11-2 ([13] , V.I , p. 104)
Tout groupe commutatif divisible est somme directe de copies de
?l(p""), où p parcourt un ensemble de nombres premiers.
19
0 et de
Théorème 11-3
Le groupe Z::':(PCO) ne vérifie pas la propriété (S).
En effet, l'application
. hp : ?l(PCO) --> ?l(PCO)
x~->px
est un endomorphisme surjectif de ?l(p"') qui n'est pas injectif.
Proposition 11-4
Tout groupe divisible vérifiant la propriété (S) est sans torsion.
Démonstration
Soit G un groupe divisible vérifiant la propriété (S) et soit n
E
tN*. G étant
divisible l'application ho : G --> G est surjective
x - - > nx
Comme G vérifie la propriété (S), il en résulte que ho est injective d'où nx
= 0 si et
seulement si x = O.
Proposition II-S
Soit G un groupe divisible. Alors G vérifie la propriété (S) si et seulement si
G est somme directe d'un nombre fini de copies de 0.
Démonstration
La condition est suffisante:
Car si G est somme directe d'un nombre fini de copies de 0 alors End G ::: Mo(O).
La condition est nécessaire:
Supposons que G vérifie la propriété (S) d'après la proposition II-4 G est
sans torsion. Il en résulte que G est somme directe de copies de () (nécessairement en
nombre fini).
Corollaire II-6
Tout groupe divisible vérifiant la propriété (S) est dénombrable.
En effet, une somme finie d'ensemble dénombrable est dénombrable.
20
Remarque
Nous savons déjà que si un groupe sans torsion divisible vérifie la propriété (S),
alors il est dénombrable.
Nous allons montrer qu'il n'en est pas le cas pour tous les groupes sans torsion.
Définition II-3
On dit qu'un nombre cardinal m* > No est fortement inaccessible si :
i)
pour toute famille de cardinaux (mk)kEK avec
on a:
L
IKI
< m* et mk < m* vk
E
K
mk < m*
kEK
pour tout cardinal n < m* ,on a: 2n < m*.
ii)
Définition II-4
On dit qu'un ensemble {GkhEK de groupes sans torsion non réduit à 0 est un
système rigide si pour tout (k" k2)
E
K2, Hom (G k ,G k ) =
1
k]
=
k2
=
a si
kl"* k2 et si
2
k, Hom (Ok, Ok) = End Ok est un sous-anneau de 0 c'est à dire que tout
,-
endomorphisme d'un groupe d'un système rigide est une multiplication par un élément
de O.
Proposition II-7 ( [24])
Il existe un groupe sans torsion infini non dénombrable vérifiant la
propriété (S). Plus précisément, pour tout cardinal infini et inférieur au premier cardinal
fortement inaccessible, il existe un groupe sans torsion de cardinal
a
a 2 vérifiant la
propriété (S).
Lemme II-S ([13] VII p. 130)
Pour tout cardinal infini a inférieur au premier cardinal fortement inaccessible,
il existe un système rigide constitué de 2 u groupes de cardinal a.
Lemme II-9 ([24])
Soit G un groupe sans torsion tel que tout endomorphisme de G
multiplication par un élément de O. Alors G vérifie la propriété (S).
21
soit une
Démonstration
Comme G
est sans torsion et comme tout endomorphisme de G
est une
multiplication des éléments de G par un certain élément de 0, il en résulte que tout
endomorphisme non nul de G est injectif. Par conséquent, tout endomorphisme surjectif
de G est un automorphisme de G.
Démonstration de la proposition II-7
Soit a un cardinal infini inférieur au premier cardinal fortement inaccessible
et soit {Gd kE K un système rigide tel que
\KI
=
2(J. et
le k 1= a,
Vk
K
E
Lemme II-8. D'après le Lemme II-9, chaque {Gd (kEK) vérifie la propriété (S).
Donc, comme {G
k} k E K
est un système rigide, il résulte de la proposition (1-23) que
le groupe libre de torsion G =
Il
G k vérifie la propriété (S) et on a
ICi =
a 2a .
kEK
Définition 11-5
On dit qu'un groupe G est de torsion si tout élément de G est de torsion. Ce
:.-
qui revient à dire que tout élément non nul de G est d'ordre fini.
Définition II-6
Soit p > 1 un entier premier. On dit qu'un groupe commutatif de torsion G est
un groupe p-primaire ou un p-groupe si l'ordre de tout élément de G est une puissance
entière de p. On sait que tout groupe commutatif de torsion G est somme directe de
sous-groupes primaires G p où G p est le plus grand sous-groupe p-primaire de G.
G p est appelé la p-composante de G.
Proposition II-lO
Soit G un groupe commutatif de torsion. Alors G. vérifie la proposition (S) si
et seulement si pour tout entier premier p la p-composante
propriété (S).
22
G p de
G
vérifie la
Démonstration
G = EB G p et comme les Gp sont cornpiétement invariants dans G d'après la
proposition 1-22 nous avons le résultat.
Définition 11-7
On appelle sous-groupe de torsion d'un groupe commutatif G et on note T(G)
le sous-groupe de torsion maximal de G.
Corollaire 11-11 ([24])
Si G est un groupe commutatif tel que T(G) et G/T(G) vérifie la
propriété (S) alors G vérifie la propriété (S).
Démonstration
Comme T(G) est complétement invariant dans G donc d'après la
proposition 1-24, le corollaire est démontré.
Définition 11-8
Un groupe G est dit réduit si le seul sous-groupe divisible de G est {O}.
Proposition 11-12
Soit G un groupe de torsion. Si G vérifie la propriété (S) alors G est fini ou
No
<
101
No
~2
.
Pour démontrer cette proposition, nous allons rappeler quelques résultats.
Proposition 11-13 ([24])
Soit G un p-groupe infini dénombrable réduit. Alors G admet un facteur direct
qui est somme directe d'une famille infinie de groupes cycliques non triviaux.
Lemme 11-14 ([13] V.II p. 65)
Tout p-groupe réduit infini dénombrable se décompose en somme directe d'un
nombre infini de groupes non triviaux.
23
Définition 11-9
Soit G un groupe. Un sous-groupe H de G est dit sous-groupe pur de G si,
pour tout n
E~
on a nG n H == nH. Si G est un p-groupe et x un élément de G, on
appelle hauteur de x dans G, et on note h(x), le plus grand entier n (s'il existe) tel que
x
E
pnG, sinon on note h(x) == 00.
Lemme 11-15 ([13] VJ p. 117)
Soit G un groupe. Si x est un élement de G d'ordre p et de p hauteur finie,
alors x peut être plongé dans un facteur direct cyclique et fini de G.
Démonstration de la proposition II-13
D'après le Lemme II-14, G peut s'écrire sous forme de ,somme directe de
groupes non triviaux Gk (kEK), avec K infini. Comme les Gk (kE K) sont tous réduits,
pour tout k
E
K il existe un élément Xk dans Gk d'ordre p et de hauteur finie. Il en
résulte alors du Lemme II-15 que tout kE K, Gk admet un facteur direct fini cyclique
H k contenant Xk.
EB
Soit H ==
Hk. H est facteur direct de G;
kEK
Définition 11-10
Un sous-groupe B d'un groupe G est appelé sous-groupe de base de G si et
seulement si
i)
B est somme directe de groupe cycliques
ii)
B est un sous-groupe pur de G
iii)
G/B est divisible.
Définition II-Il
Soit G
un groupe arbitraire et p
un entier premier. Un système {adkEK
d'élément de G ne contenant pas 0 est dit p-indépendant si pour tout sous-système
{al, ... ,as) et pour tout entier r, la relation: (nI al + .... + ns as)
nj
E
~
E
prG avec nj aj:;t 0
implique pr divise nj (j == 1, ... ,s). On vérifie que tout système p-indépendant
d'un p-groupe est contenu dans un système p-indépendant maximal.
24
Proposition 11-16 ([13] V.I p. 136)
Soit {akheK un système p-indépendant d'un p-groupe. Alors le sous-groupe
engendré par ce système est pur dans O.
Démonstration
Soit H
le sous-groupe de 0 engendré par {adkeK. Soit
Supposons x :t: O. Il existe alors nI, .... , ns E71 tels que x
avec njaj:t: O,j
=
=
x
E
H n
(niaI + ....+noas)
pfO.
E
plO,
1, ....,s.
Comme {adkeK est indépendant, il existe des entiers mj E71, j == 1, ... s, tels que
nj == pfmj et on a : x == pf (mlal + ... + msa s)
E
pfH. H est donc pur dans O.
Lemme 11-17 ([13] V.I p. 137)
Si
{adkeK
est un système p-indépendant d'un p-groupe 0, alors le sous-
groupe engendré par ce système est un sous-groupe de base de O.
Démonstra tion
Posons Ok
= {ad
alors le sous-groupe H engendré par {ak he K est une somme
des G k qui sont cycliques.
i)
D'après la proposition II-16 H est pur
ii)
O/H est divisible
Théorème II-18 ([13] V.I p. 137)
Tout p-groupe possède un sous-groupe de base.
Preuve
Soit {adkeK un système p-indépendant maximal de O. D'après le lemme
précédent, le sous-groupe B engendré par ce système est un sous-groupe de base de G.
Soit 0 un p-groupe et B un sous-groupe de base de O. Ecrivons B ==
EB
B n où
nEN*
pour tout n
E
îN* B n
~
EB
7l(pn). Et avec ces notations on a :
Jn
25
==---_.__.._ ._----------_.._.._._--"_..._.---_._.
_.~
. _._-_.- - - - - - - - - - - - - - - - - -
Lemme 11-19 ([13] V.I p. 138)
Tout entier m
E
tN*, le groupe BI EB .......EB Bm est un facteur direct de G.
Preuve
Soit m
E
tN*. G/B étant divisible, on a prnG/B
=
G/B.
Soit a un élément arbitraire de G. On a
a = b + pmc ,où b
G = (B \ EB
El;)
Posons Grn
EB
=
E
B et cEG, d'où
B m) + (
EB
Bq + pmG)
q>m
Bq + pmG et soit x
q>m
Comme x
Comme x
E
(B 1EB '" .. ED Bm) I Î G rn
G m, on a x = y + pm z , où y
E
E
EB
Bq et Z
E
G.
q>m
B, il en résulte que pll1 z E B. On déduit alors de la pureté de B dans G et
E
de la structure de B que pm z E
EB
Bq. Donc
q>m
X E
(BI EB ....... EB Bm)
IÎ (
EB
Bq) = {O} d'où g = BI EB ....... EB B m) EB Grn .
q>m
Théorème 11-20 ([13] V.I p. 146)
Soient G un p-groupe réduit et B un sous-groupe de base de O. Alors
101 $IBI No .
Preuve
Comme G/B est un p-groupe divisible, on a G/B =
EB
Gj où pour tout
JEJ
chaque j
E
J, Gj:::: 7l(pCC)
que, pour tout n E tN*
Cjn
il existe une suite d'éléments Cjl, Cj2,....., Cjn de G tels
= p(n+l) Cjn+l + bjn , bjn E B. S'il existait deux éléments
distincts i et j de J tels que les suites (bjl , bj2 ,...., bjn, .....) et (b i !, b i2 ,...... , b in , .....)
soient égales, alors en posant, pour tout entier n E tN*.
Xn
=
Cjn - Cn et en remarquant que le sous-groupe engendré par les Xn (n E tN*) est
isomorphe à
7l(pCC) (car Vn E tN* Xn = pn+1 Xn+I), G contiendrait un sous-groupe
divisible distinct du groupe {O}. Ce qui contredit le fait que G est réduit.
26
On en déduit que
III ~ III BI = IBINo
N*
. Comme, pour tout jE
J·IG j
1
IG
= No, il en résulte que
1
~ lB IN0
Après ses rappels nous pouvons établir le résultat suivant:
Lemme II-2I ([24])
Soit G
un p-groupe réduit infini dénombrable. Alors G
ne vérifie pas la
propriété (S).
Preuve:
En vertu de la proposition II-13, G
admet un facteur direct H
qui est
n
isomorphe à une somme directe de groupes cycliques II (p k) , nk E t'N*, où la suite
(nk)kEbJO est croissante. Montrons que H ne vérifie pas la propriété (S).
Ecrivons H
=
n
EB
ll. CP k) Pour k E t'N, soit g n
kEN
un isomorphisme de
k+l.
n
n
-n
n
n .
ll(pk+l)/pk+l kll(p k+l)surll(p k) et soit cP
n
n
nk +1
n
est la surjection canonique de ll( p k+!) sur ll( P k+l)/ P k+!
n
=gn
-n
k+l
0poùp
n
k ~(p k+!)
n
ll( p k+l) -----..~ ll( pk)
p
n
n
LZ( p k+l)/ P k+l
-n
n
k ~(p k+!)
n
Posons
cP~ :ll( pl) - - > {O}
la famille (CPn )
définit sur H un
k kEN*
endomorphisme sUljectif qui n'est pas injectif.
27
Démonstration de la proposition 11-12
Soit G un groupe de torsion qui vérifie la propriété (S), G est donc réduit
proposition 11-4. D'après le lemme 11-21,
EB
de G. Ecrivons B ==
ICi i: No. Soit B
B n où, pour tout n E rN*, En ==
D'après le lemme 11-19, les B n (n
Par conséquent
IBI
E
EB lL(pn) .
Jn
I1EN*
résulte que les B n (n
un sous-groupe de base
E
rN*) sont des facteurs directs de G. Il en
rN*) vérifie la propriété (S) donc, pour tout n
~ No.
D'où, en vertu du Théorème 11-20,
28
ICi
E
rN, B n est fini.
~ IBI N 0
== 2 N o .
§2 - CARACTERISATION DES S-GROUPES
Théorème 11-22
Si G est un S-groupe abélien, alors il existe un nombre fini d'entiers premiers
positifs PI < P2 <... < Pn tels que tout groupe abélien M appartenant à O'[G] s'écrit
n
sous la fom1e M
EB M p.
=
i==l
où pour tout i(l ~ i ~ n)
M p . est la composante Pi
1
1
primaire de M.
Démonstration
Soit x
E
G . Posons < x > le sous-groupe de G engendré par x. Alors
0'[ < x >] est une sous catégorie pleine de O'[G], et, par conséquent, < x > est un
S-groupe. Soit n
E
IN tel que < x > =: ?ln. Alors cr[ < x >] = O'[?lnJ = ?ln-modo
Comme ?l n'est pas un S-anneau (car 0 est un ?l-module non noethérien qui vérifie
la propriété (S) ) donc n> 1. Il en résulte que x est un élément de torsion, ce qui montre
EB
que G est un groupe de torsion. Soit G ==
pEfP
p-primaire de G, où fP
Gp la décomposition.
est un ensemble d'entier premiers positifs: et Gp
composante p-primaire de G. Pour tout P
< zp > :::: Zp. Alors le groupe H =
E
&'J, soit
zp
'1::
{O} la
un élément de Gp tel que
œ
Zp est un élément de
pEP
O'[G], qui vérifie la
propriété (S). H est donc noethérien. Par conséquent P est fini. Soit M un élément de
O'[G], comme
O'[M:] est une sous-catégorie pleine de cr[G], M est un S-groupe donc,
d'après ce qui précède, M
est un groupe de torsion. Soient
éléments de P et soit, pour tout entier i (1
~
i ~ n) . M p. la composante Pi primaire
1
n
de M. Alors M = ,
EB M p..
i=l
1
29
Pl< P2< ...... <Pn
les
CHAPITRE III - S-MüDULES
INTRODUCTION
L'étude d'un anneau A à travers la catégorie des A-modules a toujours suscité
un grand intérêt chez bon nombre de chercheurs.
En 1951 COHEN et KAPLANSKY ont donné dans [8] une caractérisation
complète des anneaux commutatifs artiniens à idéaux principaux. Ils montrent que ces
anneaux sont identiques aux anneaux qui sont tels que tout A-module est somme directe
de A-modules cycliques. Dans le cas où l'anneau A est non nécessairement commutatif
CHASE [7] a montré en 1960 que si tout A-module est somme directe de A-module de
type fini alors A est artinien à gauche. En 1979 ZIMMERMAN HUISGEN dans [29] a
montré que les anneaux qui sont tels que tout module est somme directe de module de
type fini sont identiques aux anneaux dont tout module est somme directe de modules
indécomposables.
En 1993 SANGHARE
et KAIDI AMIN ont poursuivi une étude que
ARMENDARIZ, FISCHER et SNIDER avaient en:tamée dans [2]. Ils ont étudié les
anneaux pour lesquels tout module qui vérifie la propriété (S) est noethérien. Et ils ont
montré que dans le cas commutatif ces anneaux sont identiques aux anneaux déjà
étudier par COHEN et KAPLANSKY.
Nous avons essayé de généraliser dans la catégorie
CJ[M] étudiée par
WISBAUER [28] quelques uns de ces résultats qui ont été obtenus dans la catégorie
des A-modules.
1°) Proposition III-I
Un anneau A est un S-anneau
SI
et seulement
SI
tout A-module est un S-
module.
2°) Proposition III-9
Tout sous-module d'un (S)-module est un (S)-module.
30
3°) Proposition 111-11
Soit M =
œ Mi une somme directe de module Mi tel
que pour tout i,
iE.1
j
E
I, i "* j a[MiJ n a[Mj] = 0 alors M est un (S)-module si et seulement si Mi est un S
module pour tout i
E
1.
4°) Proposition 111-15
Soit A un anneau et M A-module. Si M est un S-module alors
Si un module simple admet une enveloppe projective alors celle-là est simple.
5°) Proposition 111-17
Soit A un anneau dont les idéaux à gauches et les idéaux à droites sont
bilatères.
Soit M un A-module tel que a[M] admet un progénérateur alors les conditions suivantes
sont équivalentes.
1)
M est un S-module.
2)
M est un SI-module.
3)
M est de type de représentation finie.
4)
Tout élément de a[M] est somme directe de module cyclique.
6°) Proposition 111-18
Sur un anneau semi-simple tout A-module est un S J-module.
31
§1 - MODULES VERIFIANT LA PROPRIETE (S)
Proposition 111-1
Soient A un anneau et M un A-module. Si M est noethérien alors M vérifie la
propriété (S).
Démonstration
- M est noethérien, donc quelque soit 1'homomorphisme f de M il existe no
\in:2: no Ker
r
E
IN tel que
= kerr+ l .
- Soit f un épimorphisme de M, Xl un élément de kerf et X2 un élément de M tel que
f(X2)=Xj.
On désigne par (x n) nEN la suite définie par: r(x n) = 0 et r-l(x n)
=
XI .Pour
I
n :2: no on a : 0 = r+ (X n+l) = f(Xn+l) = XI
d'où f est un automorphisme.
Proposition 111-3
[19]
Soit A un anneau commutatif, tout A-module de type fini vérifie la
~-
propriété (S).
Ce résultat n'est pas vrai en général si A n'est pas un anneau commutatif.
Par exemple si A est l'anneau des endomorphismes d'un espace vectoriel V de
dimension infinie sur un corps K, alors le A-module AA qui est de type fini ne vérifie
pas la propriété (S).
Il est aussi évident que si M n'est pas de type fini même si A est commutatif la
proposition est fausse.
Il suffit de prendre M comme espace vectoriel de dimension infinie sur un
corps commutatif.
Corollaire 111-4
Soit G un groupe commutatif de type fini alors
G vérifie la propriété (S).
32
En effet: G est donc un 7l-module de type fini
Proposition 111-5
Tout module projectif indécomposable vérifie la propriété (S).
Démonstration
Soit P un A-module projectif indécomposable et soit f un endomorphisme
surjectif de P. D'après le ~.m_~.JI.7) la suite exacte
0-----+ ker f -----+ P ~ P -----+ 0 est scindée.
Il en résulte que ker f est un facteur direct de P donc ker f = {O}.
Définition IIl-1
Un A-module M est dit de type dénombrable s'il peut être engendré par un
sous-ensemble dénombrable.
Proposition 111-6
Si M est un module somme directe de modules projectifs indécomposables de
type dénombrable deux à deux non isomorphes et à anneaux d'endomorphisme local,
alors M vérifie la propriété (S).
Démonstration
Soit M = EB Mi, où les Mi
iE!
Ci
E
1) sont indécomposables projectifs à anneaux
d'endomorphisme local deux à deux non isomorphes, et soit f un endomorphisme
surjectif de M. Comme f(M) = M est projectif on a:
M = ker f EB M' , où M' :.:: M
donc d'après la proposition III-S, ker f= {O}.
33
§2 - CARACTERISATION DES S-MODULES
(
On rappelle qu'un A-module M est un S-module si tout module de a[M] qui
vérifie la propriété CS) est noethérien.
A est un S-anneau si AA est un S-module.
Proposition III-S
Soit A un anneau.
A est un S-anneau si et seulement si tout A-module est un S-module.
Démonstra tion
Supposons que A soit un S-anneau. Soit M un A-module et N un élément de
a[M] qui vérifie la propriété CS).
Comme N est un A-module alors N est noethérien, il en résulte donc que M est
un S-module.
La réciproque est évidente.
Remarque
Tout espace vectoriel sur un corps commutatif est un S-module.
Proposition III-9
Soit M un A-module et N un élément de a[M]. Si M est un S-module alors N
est un S-module.
Démonstration
a[N] étant une sous catégorie pleine de a[M]. Si K est un élément de a[N] il
sera donc élément de a[M], comme M est un S-module si K vérifie la propriété CS) il
sera alors noethérien.
34
Remarque
Bien qu'un sous-module d'un S-module soit un S-module. Un sous-anneau
d'une S-anneau n'est pas nécessairement un S-anneau.
En effet: L'anneau des matrices carrées d'ordre 3 sur un corps commutatif M 3 (K) est
un S-anneau alors que son sous-anneau.
n'est pas un S-anneau.
B est un anneau commutatif et son radical de Jacobson J non principal.
Corollaire III-ID
Soit M' l'image homomorphe d'un A-module M. Si M est un S-module alors
M'est un S-module.
Démonstration
D'après la proposition III.9 M'étant l'image homomorphe de M, donc
M'E a[M]
est un S-module.
Proposition 111.11
Soit M = Et> Mi une somme directe de modules Mi tel que pour tout i, j
iEl
i
;j;
j
a[Mi] n a[Mj] = O.
Alors M est un S-module si et seulement si Mi est un S-module pour tout i
35
E
1.
E
l,
Démonstration
La condition est nécessaire:
Tout Mi module est un sous-module de M donc d'après la proposition nI.9 Mi
est un S-module pour tout i
E
1.
La condition est suffisante:
Soit N un élément de cr[M] vérifiant la propriété CS). D'après la
proposition 1.26 N
=
EB
ici
N avec Ni
E
cr[Mj], comme N vérifie la propriété CS) alors
d'après la proposition 1-22 Ni vérifie S pour tout i
E
1. Il en résulte donc que N est
noethérien.
Proposition 111.12
Soit A un anneau et M un A-module. Si M est un S-module alors il existe dans
cr[M] un nombre fini de modules simples non isomorphes.
Démonstration
Soit {Ni LeI un système complet de représentants des classes d'isomorphie de
modules simples de cr[M]. Posons N = EB Nj. Comm~ N vérifie la propriété CS) alors
.
ici.
N est noethérien il est donc de longueur finie par conséquent 1 est finie.
Corollaire
III~13
Soit A un S-anneau . Alors pour tout A-module M il existe dans cr[M]. un
nombre fini de modules simples non isomorphes.
Remarque
La condition pour que cr[M] possède seulement Cà un isomorphe près) un
nombre fini de modules simples n'est pas en général suffisante pour que M soit un
S-module.
En effet si A est un anneau commutatif local non artinien on sait qu'il existe un
seul module simple Cà un isomorphisme près) dans cr[AA]' Mais A n'est pas pour autant
un S-anneau.
36
Proposition 111-14
Soit M un S-module, alors tout module indécomposable M-projectif est
noethérien.
Démonstration
Soit P un module indécomposable projectif de cr[M]. D'après la
proposition 111-5 P vérifie la propriété (S), or M est un S-module il en résulte que P
est noethérien.
Proposition III-15
Soit A un anneau et M un A-module. Si M est un S-module alors
L'enveloppe M projective de tout module simple, s'il existe, est
noethérien.
Démonstra tion
Soit P un module simple de cr[M) qui admet une enveloppe projective. Pour
démontrer que son enveloppe M projective P est noethérien il suffit de montrer que
P
est indécomposable.
Posons P = Pl El;) P2 et f un homomorphisme surjectif de
soit superflu dans
P dans P tel que kerf
P. Soit fi la restriction de f sur Pi . On suppose fi :;t: 0, comme
simple alors fi est surjectif donc P2 c ker f qui superflu dans
Pest
P donc P2 = O.
Définition 111-3
On dit A-module M est local s'il possède un sous-module propre maximum N.
N est le radical de M.
Proposition III-16
Soit A un anneau commutatif et M un A-module si M est un S-module local
ou de type fini alors M est noethérien.
37
Démonstration
Si M est de type finie d'après la proposition 111-3 M vérifie la propriété (S) il
en résulte que M est noethérien.
Si M est local on pose N le radical de M si x
E
M \ N alors M = Ax donc il est
noethérien.
Définition 111-4
Soit A un anneau et M un A-module. On dit que M est un St-module si tout
élément de cr[M] qui vérifie la propriété (S) est de longueur finie.
Théorème 111-17
Soit A un anneau dont les idéaux à gauches et les idéaux à droites sont
bilatères.
Soit M un A-module tel que cr[M] admet un progénérateur. Alors les
conditions suivantes sont équivalentes:
1°)
M est un S-module
2°)
M est un SI-module
3°)
M est de type de représentation fini.
4°)
Tout élément de cr[M] est somme directe de modules cycliques.
Preuve
1 => 3 . Soit P un progénérateur de cr[M] et soit x
E
P. On a cr[Ax] = AlI - Mod où
I=Ann(x ) comme le A-module Ax est un S-module (Proposition 111-9), il en résulte
que l'anneau quotient AlI est un S-anneau or Ax vérifie la propriété (S) donc, d'après la
proposition (1.25) Ax est de longueur finie. Il en résulte que M est de type de représen-
tation finie.
3 => 2 évident
2 => 1 évident
38
1=>4
M est un S-module donc d'après la première partie P =
simple et \fi
:;é
n
œ
i=1
AXj avec AXj
j AXj et AXj non isomorphes.
n
Soit N E cr[M] alors N = .EB
1=1
N avec Ni E AI Ann(xi) - mod
(proposition 1-26) Comme P est un S-module alors l'anneau AlAnn(xi) est un Sanneau (proposition III-11) et donc Ni est somme directe de module cyclique
(proposition 1-25)
4 => 1 Soit N =
EB
Ni un élément de cr[M] somme directe de sous-modules cycliques
iE l
Ni (i El). Si N n'est pas noethérien, alors, l'ensemble des classes d'isomorphie des
modules cycliques de cr[M] étant fini, il existe une sous-famille infinie d'énombrables
de la famille des
(N.). _T
1 h::.l
,
constituée de sous-modules cycliques de N deux à deux
isomorphes.
Posons (N~ )nEN cette sous-famille. Pour tout n ~l soit ~n un isomorphisme de N' n sur
N' n.] et soit
~o
l'application nulle de N' 0 dans K ==
EB
N' n • Il est clair que l'application
n~O
~=
l
~n est un endomorphisme surjectif non injectif du module K élément de cr[M].
n
Comme K est un facteur direct de N, il en résulte que N ne satisfait pas à la
condition (S)
Définition III-5
Soit A un anneau et M un A-module. On dit que le A-module M est semisimple si M est somme directe de modules simples.
Un anneau A est dit semi-simple si AA est semi-simple
Théorème III-18
39
Sur un anneau semi-simple tout A-module est un sJ-module.
Pour démontrer cette proposition, nous allons rappeler quelques définitions et résultats.
Proposition 1II-19 ([21] p.76)
Pour un anneau A les conditions suivantes sont équivalentes:
a)
A est semi-simple.
b)
Tout A-module est semi-simple.
Remarque
Un anneau semi-simple n'admet qu'un nombre fini de module simple deux à
deux non isomorphes.
Définition 111-6
Soit S un sous-module simple d'un module M, on appelle composant
isotypique de type S d'un module M la somme N des sous-modules de M isomorphes
à S.
Proposition III-2Ü
Soit M un A-module semi-simple.
a)
M est la somme directe de ces composantes isotypiques.
b)
Les composants isotypiques de M sont stables par tout endomorphisme de M.
Démonstration
a)
évident.
b)
Posons M
n
=
.œ (.œ
1=1
J=Jj
NJl.) avec
œ
j=J;
N j le composant isotypique de
1)
Soit f un endomorphisme de M on suppose qu'il existe x
1
f(x)
E
N
2
avec
il :;t i2.
40
E
N
tel que
N Il
~ M ~ M ~ N i2 , P 0
foi est un homomorphisme non nul de module
simples donc c'est un isomorphismes ce qui contredit l'hypothèse il
"* i2•
Proposition 1II-21 ([21])
Soient M =
Et> M· un A-module somme directe de modules de type fini
iE!
1
isomorphes à un même module S, D l'anneau des endomorphismes de S. Alors EndAM
est isomorphe à l'anneau des endomorphismes du D-module libre D(l).
Démonstration du théorème 111-18
Soit M un A-module et N un élément de cr[M] qui vérifie la propriété (S). Pour
montrer que M est un SI-module il suffit démontrer que N est de longueur finie .
n
Comme N est semi-simple (Prop.1I1-19) alors N
= EB
$ NI. où
i=l J=J
J
EB
j=Ji
NI. est le
J
composant isotypique de type Ni de N (Proposition 111:20).
Comme N vérifie la propriété (S) alors .œ N I. vérifie la propriété (S)
J
J=Ji
"v'i =1, ..., n (Proposition 1-22 ). Soit D le corps des endomorphismes du module simple
Ni d'après la proposition 111.21.
End A (.Et> NI• ) est isomorphe à l'anneau des endomorphismes du D-espace
J
J=Ji
vectoriel D(Ji).
Comme
. EB
J= Ji
N I·. vérifie la propriété CS) alors Ji est finie. Il en résulte que N est longueur
J
finie.
41
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