Interro amphi
U
NIVERSITE
P
ARIS
1
P
ANTHEON
-S
ORBONNE
Licence de Sciences Economiques – deuxième année
Division 1 – Sujet 1
29 novembre 2016 – durée 1h15
Exercice 1 (9 points)
On considère le système d’équations linéaires
1) Déterminer la matrice des coefficients et la matrice élargie du système
. On notera
la matrice des
coefficients et
la matrice élargie. (
0,5pt+0,5pt
)
et
2) Définir le rang d’une matrice puis déterminer
et
. (
1pt+1pt+1pt
)
Rang=nombre maximum de colonnes ou de lignes linéairement indépendantes que l’on peut trouver
dans la matrice
!
!
!
"#$
!
!
!
car la matrice triangulaire obtenue par la méthode du pivot contient un zéro sur sa
diagonale principale :
%&'
(
%( et que les deux premières colonnes de
ne
sont pas proportionnelles
!
!
)
!
"#$
!
!
!
car la sous matrice de
formée par les colonnes 1, 2 et 4 de la matrice obtenue par la
méthode du pivot est une matrice triangulaire d’ordre 3 sans aucun zéro sur sa diagonale principale.
3) En déduire si le système
admet une solution unique, une infinité de solution ou aucune solution.(
1pt
)
Quand (comme c’est ici le cas) le rang de la matrice élargie est strictement supérieur au rang de la
matrice des coefficient le système n’admet aucune solution car cela signifie que la colonne des
membres de droite n’est pas une combinaison linéaire des colonnes de la matrice des coefficients.
4) On considère maintenant le système
*
+
,
. Déduire des résultats précédents si le système
admet une solution unique, une infinité de solution ou aucune solution. (
1pt
)
Dans ce cas, le rang de la matrice élargie est égal au rang de la matrice des coefficients car on
n’augmente pas le rang en ajoutant le vecteur nul : au moins une solution. Comme la matrice
est
singulière, on peut en déduire que le système admet dans ce cas une infinité de solutions.
On peut aussi diire que comme la matrice n’est pas de pleinrang, ses colonnes sont liées ce qui par
définition implique que le système a une infinité de solutions.
5) Sans calcul, mais en utilisant les résultats précédents, montrer que les colonnes de la matrice
forment une base de -
que l’on notera .
. (
1pt
)
Les deux premières colonnes de
ne sont pas proportionnelles et (comme c’est le second membre du
système S
1
) on sait que la troisième n’est pas ne combinaison linéaire des colonnes de
est donc n’est
pas une combinaison linéaire des 2 premières colonnes de
. La matrice
comporte donc 3 vecteurs
libres de -
. Ses colonnes forment bien une base de -
.
6) On considère le système
*/
. Que représente le vecteur * par rapport au vecteur /
0 (
1pt
)
Ce vecteur représente les coordonnées du vecteur /
dans la base .
.
7) Déterminer * (faisable sans calcul). (
1pt
)
Normalement facile à voir sans calcul que /
maissi on ne voit pas :
/
1&23
4/
4/
1
4/
)
!
!
1
)4/
)
)
!
"#$
!!
!
!
1
/
)
)
)1
Exercice 2 (3 points)
1) Soit
. Après avoir donné la définition, montrer que les colonnes de
sont
orthogonales deux à deux. (
1pt
)
Deux vecteurs *' 5sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire *65est nul.
avec *65
67
7
7
7
7
7
.
Vérifions :
•
6
: les colonnes 8
et 8
sont orthogonales
•
6
: les colonnes 8
et 8
sont orthogonales
•
6
: les colonnes 8
et 8
sont orthogonales
2) Définir et calculer la norme des colonnes de
. (
1pt
)
La norme du vecteur *
est 9*9:
On calcule :
• ;
;<
<
• ;
;:=(
<
• ;
;<
<
.
3) A partir des colonnes de
> définir une base orthonormée de -
(
1pt
)
Les colonnes de
étant orthogonales deux à deux, pour former une base orthonormée, il suffit de
diviser chacun de ces vecteurs par sa norme pour obtenir des vecteurs à la fois orthogonaux deux à
deux et de norme unitaire.
On définit alors : .?@
>@
>@
A
Avec @
<B
<B
B
C
D
<B
B
<B
B
E
F
,
@
<B
<B
B
C
D
<B
B
<B
B
E
F
@
Exercice 3 (8 points)
Soit l’application 3=G( définie par : 3=*(H* avec H
et *
1)
Déterminer sans calcul le rang de 3=G(et donner une base de l’image de 3=G(.Que représente IJ3 par
rapport à K0
(0,5 pt + 0,5 pt+0,5 pt)
• 3
: en effet, H est une matrice d’ordre 3 telle que les
deux premières colonnes ne sont pas proportionnelles (HL( mais les colonnes 2 et 3
sont proportionnelles (H%(
• Les colonnes de H forment donc un système générateur lié de IJ3. Pour en extraire une base,
on supprime un vecteur linéairement dépendant des autres. Ici, on peut tout simplement
supprimer le dernier.
On aura la base : .
M#N
>
O
• IJ3 est un sous-espace vectoriel de -
de dimension 2 : c’est un plan vectoriel de -
.
•
2) Enoncer le théorème des dimensions. En déduire la dimension du noyau de 3=G(. Donner une base du
noyau de 3=G(.
(0,5pt+0,5pt+1pts)
3&JP'3&JQ1&JP'3
Pour former une base de P'3, il faut un vecteur non nul
tel que
R
S
Par exemple T
T
T
U
.
On en déduit que P'3VW
X, sous-espace vectoriel de -
engendré par la base
Y$ZN
O
3) Quand dit-on qu’une application est injective ? surjective ? bijective ? (0,75pt)
L’application 3=[( est-elle injective ? surjective ? bijective ? (
0,75pt
)
• Une application est injective si les éléments de l’ensemble d’arrivée Kont au plus un antécédent dans
l’ensemble de départ Q. C’est le cas lorsque P'3\
+
,
]U&JP'3U3&JQ.
Ici on a &JP'3 : l’application 3=^( n’est pas injective
• Une application est surjective si les éléments de l’ensemble d’arrivée Kont au moins un antécédent
dans l’ensemble de départ Q. C’est le cas lorsque IJ3KU3&JK
Ici on a 3%&JK : l’application 3=^( n’est pas surjective
Une application est bijective si elle est à la fois injective et surjective : l’application 3=^( n’est pas
bijective
4) En déduire si le système H*5 admet une solution unique, une infinité de solution ou aucune
solution lorsque 5_
.
(1 pt)
Si 5`IJ3, le système admet une infinité de solutions mais si Si 5aIJ3, le système n’admet aucune
solution.
Ici, 5_
`IJ3 : le système admet une infinité de solutions.
5) Soient .
>
>
O'
. Montrer que . forme une base de -
.
(1 pt)
!
!
!
!
car la matrice triangulaire obtenue par application de la méthode du pivot est une matrice
triangulaire qui ne comporte aucun zéro sur sa diagonale principale.
Pour former une base de -
>il faut 3 vecteurs linéairement indépendants de -
, ce qui est le cas des
vecteurs du système . puisque ..
6) On admet que
b
. Déterminer la matrice c représentative de H par rapport à la
base .
(1pt)
La matrice c représentative de H dans la base . est définie par : c
b
H.
On calcule :
U
NIVERSITE
P
ARIS
1
P
ANTHEON
-S
ORBONNE
Licence de Sciences Economiques – deuxième année
29 novembre 2016 – durée 1h15 – sujet 2
Exercice 1 (9 points)
On considère le système d’équations linéaires
1) Déterminer la matrice des coefficients et la matrice élargie du système
. On notera
la matrice des
coefficients et
la matrice élargie. (
0,5pt+0,5pt
)
et
2) Définir le rang d’une matrice puis déterminer
et
. (
1pt+1pt+1pt
)
Rang=nombre maximum de colonnes ou de lignes linéairement indépendantes que l’on peut trouver
dans la matrice
)
!
!
)
!
"#$
!
!
!
car la matrice triangulaire obtenue par la méthode du pivot contient un zéro sur sa
diagonale principale :
%&'
(
%( et que les deux premières colonnes de
ne
sont pas proportionnelles
) )
!
!
) )
!
"#$
!
!
!
car la sous matrice de
formée par les colonnes 1, 2 et 4 de la matrice obtenue par la
méthode du pivot est une matrice triangulaire d’ordre 3 sans aucun zéro sur sa diagonale principale.
3) En déduire si le système
admet une solution unique, une infinité de solution ou aucune solution.(
1pt
)
Quand (comme c’est ici le cas) le rang de la matrice élargie est strictement supérieur au rang de la
matrice des coefficients le système n’admet aucune solution car cela signifie que la colonne des
membres de droite n’est pas une combinaison linéaire des colonnes de la matrice des coefficients.
4) On considère maintenant le système
*
+
,
. Déduire des résultats précédents si le système
admet une solution unique, une infinité de solution ou aucune solution. (
1pt
)
Dans ce cas, le rang de la matrice élargie est égal au rang de la matrice des coefficients car on
n’augmente pas le rang en ajoutant le vecteur nul : au moins une solution. Comme la matrice
est
singulière, on peut en déduire que le système admet dans ce cas une infinité de solutions.
On peut aussi dire que comme la matrice n’est pas de plein rang, ses colonnes sont liées ce qui par
définition implique que le système a une infinité de solutions.
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
/
16
100%
