Mouvements à forces centrales

Lycée G. Monod, MPSI, Physique-Chimie
28 mars 2017
Mouvements à forces centrales
1.2
Dans ce chapitre, il s’agit de montrer en quoi les lois qui ont été vues durant
les chapitres précédents du cours de mécanique permettent de comprendre
le mouvement des planètes et satellites.
1
#„
Appliquons le théorème du moment cinétique à L O ( M ), où M est un point
#„
matériel soumis à une force centrale F :
#„
d LO
# „ #„
#„
= OM ∧ F = r F (r ) #„
u r ∧ #„
ur = 0.
(2)
dt
#„
Donc L O est un vecteur constant ou invariant du mouvement.
Propriétés générales des mouvement à force centrale
1.1
Force centrale : définition et cadre
Conservation du moment cinétique Si le mouvement est à forces centrales,
son moment cinétique par rapport au centre de force O est une constante
(vectorielle) du temps, déterminé par les conditions initiales :
#„
Force centrale Soit un objet modélisé par un point matériel M, et soit F une
#„
force agissant sur M. S’il existe un point O tel que F soit à chaque instant
# „
#„
colinéaire à OM, alors F est une force centrale et O est appelé le centre de
force.
#„
F
O
M
#„
#„
# „
L O (t) = const = L O (0).
#„
ur
(3)
1.2.1
Planéité du mouvement
# „
# „
#„
#„
#„
On rappelle que L O = OM ∧ m #„
v donc à tout moment OM (t) ⊥ L O où L O =
# „
const. Le mouvement a donc nécessairement lieu dans le plan contenant O et
#„
othogonal à L O .
•
•
Planéité du mouvement Un mouvement à forces centrales est plan : il a
lieu dans le plan contenant le centre de forces O et orthogonal au moment
cinétique par rapport à O.
#„
Restriction pour le chapitre Nous nous restreindrons au cas où la force F
est telle que :
−−→ #„
• sa norme F ne dépend que de la distance r = kOMk : F = F (r ) #„
ur ;
#„
• F est conservative.
#„
La force F dérive donc d’une énergie potentielle E p qui n’est fonction que de
r:
dE p
#„
F = F (r ) #„
u r et F (r ) = −
(r ).
(1)
dr
Exemples de telles forces
#„
• La force gravitationnelle F (r ) = −G m1 m2 #„
u
r2
1 q1 q2
4πe0 r2
Conservation du moment cinétique
Remarque Dans le cas où le moment cinétique est nul, le mouvement a lieu
selon une droite passant par O.
#„
LO
#„
uz
O
r
#„
uz
•
r
#„
#„
• La force électrostatique F (r ) =
ur
#„
• La force de rappel élastique F (r ) = −k(r − l0 ) #„
ur
1
•
M
#„
v
#„
u
#„
ur
θ
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1.2.2
28 mars 2017
1.3
Loi des aires
#„
Comme on suppose que la force F est conservative, l’énergie mécanique Em
se conserve d’après le théorème de l’énergie mécanique :
Plaçons-nous dans le repère cylindrique en choisissant le vecteur #„
u z suivant
#„
#„
L O . Écrivons l’expression de L O dans ce repère :
.
.
# „
#„
.
L O = OM ∧ m #„
v = r #„
u r ∧ m(r #„
u r + r θ #„
u θ ) = mr2 θ #„
u z.
Conservation de l’énergie mécanique
Em =
(4)
.
Donc la quantité r2 θ est une constante : on l’appelle constante des aires et on la
note C.
1.3.1
1 2
mv + E p (r ) = constante.
2
(6)
Energie potentielle effective
Dans l’expression ci-dessus, on peut exprimer différemment v2 en utilisant
l’expression de la constante des aires. En coordonnées cylindriques :
Constante des aires Dans un mouvement à forces centrales, si on se place
.
en coordonnées cylindriques, la quantité C = r2 (t) θ (t) est une constante du
temps appelée constante des aires.
.
.
.
v2 = r 2 + (r θ )2 = r 2 +
C2
.
r2
(7)
Donc l’énergie mécanique peut s’écrire sous la forme :
# „
Interprétation Quelle est l’aire dA balayée par le vecteur position #„
r = OM
lors d’un intervalle élémentaire de temps dt (c’est-à-dire entre t et t + dt) ?
La quantité dθ est la différence θ (t + dt) − θ (t). Au premier ordre en dθ (ou
en dt, c’est équivalent), cette aire est celle du triangle OMH, c’est-à-dire 21 r ×
r tan(dθ ), qui s’approxime (toujours au premier ordre) en dA = 21 r2 dθ.
Em =
1 .2
m C2
.
mr + E p (r ) +
2
2 r2
(8)
.
Le terme r correspond à la variation strictement radiale du mouvement.
Énergie potentielle effective Il s’agit de la quantité définie par :
#„
uθ
H • M0 (t + dt)
•
O
•
dθ
r
•
M(t)
Aire de la partie grisée : dA =
Eeff
p (r ) = E p (r ) +
L’intérêt de cette quantité est qu’elle contient toute la dépendance de Em en
r, et que nécessairement :
Em > Eeff
(10)
p (r ),
1 2
r dθ + O(dθ 2 )
2
dA
1 dθ
C
= r2
= = constante.
dt
2 dt
2
(9)
L’énergie mécanique s’écrit, pour un mouvement à forces centrales :
.
Em = 12 mr2 + Eeff
p (r ).
#„
ur
.
Vitesse aréolaire On appelle vitesse aréolaire l’aire balayée par le vecteur
# „
position OM par unité de temps. D’après ce qui précède :
varolaire =
m C2
.
2 r2
car 21 mr2 > 0. Les mouvements possibles correspondent donc aux r vérifiant
cette condition.
(5)
1.3.2
États libres et états liés
On distingue deux types de mouvements :
Loi des aires Dans un mouvement à forces centrales, la vitesse aréolaire est
constante et vaut C/2.
• Si les r vérifiant la condition (10) sont bornés (figure de gauche), mouvement est qualifié d’état lié (au centre de force).
2
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• Dans le cas contraire (figure de droite), le mouvement est qualifié d’états
libre.
Eeff
p
Eeff
p
État lié
Em
Une ellipse est une courbe plane définie comme le lieu des points M tels
que dont la somme des distances à deux points fixes F et F 0 , dits foyers, est
constante. Cette constante est appelée longueur du grand axe et notée 2a.
Sur la figure, on a donc : FM + MF 0 = FM0 + M0 F 0 . Notations :
État libre
• a est appelée demi-grand axe ;
Em
• b est appelée demi-petit axe ;
0
2
2.1
r accessibles
rmin
r
rmax
r accessibles
0
rmin
• c est la distance entre le centre de l’ellipse et l’un des deux foyers.
r
L’équation cartésienne de l’ellipse est :
y2
x2
+ 2 = 1.
2
a
b
Forces newtoniennes et lois de Kepler
Définition
L’excentricité de l’ellipse, notée e, est définie par e = c/a =
Force newtonienne On appelle force newtonienne une force centrale de la
κ
#„
u r , où r = OM est la distance du point matériel au centre de
forme F = − 2 #„
r
force et κ est un une quantité indépendante de r.
2.2.2
κ
#„
u r est associée à l’énergie
Énergie potentielle associée La force F = − 2 #„
r
potentielle :
κ
E p (r ) = − .
(11)
r
Lois de Kepler
2.2.1
Ellipse
√
a2 − b2 /a.
Historique
Les lois ci-dessous ont été découvertes par le savant allemand Johannes Kepler à partir des observations et mesures de la position des planètes faites
par l’astronome danois Tycho Brahe, mesures qui étaient très précises pour
l’époque.
Copernic avait soutenu en 1543 que les planètes tournaient autour du Soleil,
mais il s’appuyait sur le mouvement circulaire uniforme, hérité de l’antiquité
grecque.
Les deux premières lois de Kepler sont publiées en 1609 et la troisième en
1618. Les orbites elliptiques, telles qu’énoncées dans ses deux premières lois,
permettent d’expliquer la complexité du mouvement apparent des planètes
dans le ciel sans recourir aux « épicycles », « excentriques » et autre « équant »
des modèles copernicien et ptoléméen.
Ces lois seront justifiées théoriquement par Isaac Newton à la fin du 17ème
siècle, suite à sa découverte de la théorie de la gravitation universelle.
Exemples Force gravitationnelle (κ = G m1 m2 ) et la force électrostatique
1
(κ = − 4πe
q1 q2 ) sont des forces newtoniennes.
0
2.2
(12)
y
M
M0
b
F
c
F0
a
2.2.3
x
Lois de Kepler
Historiquement, les lois de Kepler ont été énoncées pour les planètes en orbite autour du Soleil, mais nous les généralisons ici à tout satellite en orbite
autour de tout astre.
3
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La courbe de Eeff
p (r ) est tracée ci-dessous. Son minimum correspondant à
dEeff
κ
m C2
p
rmin = r0 est déterminé par l’équation
(r0 ) = 0 soit 2 =
d’où
dr
r0
r03
m C2
κ2
κ
r0 =
. Et Eeff
=−
.
p (r0 ) = −
2
κ
2
r0
2mC
A2 A1
S
B1
a
B2
Considérons le mouvement d’un point matériel M d’énergie mécanique Em .
Suivant la valeur de Em , il y a plusieurs mouvements possibles.
• Si Em < Eeff
p (r0 ), aucun mouvement n’est possible.
P
.
• Si Em = Em,0 = Eeff
p (r0 ), alors r = 0 : il n’y a aucune variation radiale de
2
la trajectoire. Celle-ci est donc un cercle de rayon r0 = mκC .
• Si Em = Em,1 < 0, les seules valeurs de r accessibles sont celles telles que
r10 ≤ r ≤ r100 : la trajectoire est comprise entre deux cercles de rayons r10 et
r100 , il s’agit d’un état lié.
On peut montrer (mais ce n’est pas au programme de MPSI) que ces
trajectoires sont des ellipses, c’est la 1ère loi de Kepler.
• Si Em = Em,1 ≥ 0, toutes les valeurs de r supérieures à r2 sont accessibles.
Il s’agit d’un état libre, le point M peut s’éloigner infiniment de O.
On peut montrer (ce n’est pas non plus au programme de MPSI) que ces
trajectoires sont des hyperboles lorsque Em > 0 et des paraboles lorsque
Em = 0.
Un satellite S est en orbite autour d’une planète P. Cette orbite est elliptique
de demi-grand axe a, et le rapport T 2 /a3 (où T est la période de révolution)
est indépendante de l’orbite. Le satellite parcourt les portions d’orbite A1 A2
et B1 B2 en un même temps : les aires coloriées sont égales.
Première loi de Kepler Les satellites parcourent des trajectoires elliptiques
dont l’astre attracteur occupe un des foyers.
Deuxième loi de Kepler Ces trajectoires sont parcourues conformément à
la loi des aires.
Eeff
p
Troisième loi de Kepler Les carrés des périodes de révolution T 2 et les cubes
des demi-grands axes a3 des trajectoires sont dans un rapport constant pour
toutes les orbites, donc pour tous les satellites :
T2
= cste,
a3
(13)
où cste ne dépend que des caractéristiques de l’astre attracteur.
2.3
Trajectoires et vitesses cosmiques
2.3.1
Mouvements possibles pour une force newtonienne attractive
0
m C2
1 .2
κ
eff
m r + Eeff
.
p (r ) avec E p (r ) = − +
2
r
2 r2
r10 r0
r100
r
r2
Em,1
On se focalise ici sur le cas où κ > 0 (la force newtonienne est attractive).
L’énergie mécanique s’écrit alors :
Em =
m C2
2 r2
Em,2
Em,0
(14)
4
−
κ
r
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2.3.2
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Comme G = 6,67 × 10−11 N · m2 · kg−2 et MT = 5,98 × 1024 kg, on obtient en
appliquant la formule (17) :
r
2
3 G MT
' 35 800 km.
(18)
ageost. =
4π 2
Cas d’une trajectoire circulaire due à la force gravitationnelle
On considère un point matériel de masse m soumis à la force gravitationnelle
due à un astre de masse M, tel qu’un satellite attiré par un astre. On se focalise
sur le cas d’une trajectoire circulaire de rayon a. Il s’agit d’un cas particulier
d’ellipse tel que a = b.
.
2.3.4
Énergie mécanique Comme r (t) = a, r = 0 et Em = Eeff
p ( a ), qui est aussi
eff
le minimum de E p (r ). Cette valeur a été calculée au paragraphe précédent :
Em = − κa avec κ = G Mm, soit :
Em = −
G Mm
.
a
Première vitesse cosmique La 1ère vitesse cosmique notée v1∗ est définie comme
la vitesse minimale que doit avoir un point matériel pour être en orbite autour
de la Terre à altitude basse.
(15)
Pour la déterminer, on considère une orbite circulaire de rayon égal à celui de
κ
la Terre R T . On reprend la projection du PFD (16) suivant #„
u r : m a ω2 = 2
a
κ
avec a = R T . Comme la vitesse vaut v = R T ω, on trouve : (v1∗ )2 =
,
mR T
soit :
Relation entre période et rayon Écrivons le PFD dans le repère cylindrique,
en sachant que r (t) = a :
..
..
.
κ
. .
u θ = − 2 #„
u r − m r θ + 2 r θ #„
m #„
a = m r + r θ 2 #„
ur
r
.. #„
.2 #„
κ
⇒ −m a θ u r + m a θ u θ = − 2 #„
u r.
(16)
a
..
Vitesses cosmiques
s
v1∗
=
G MT
.
RT
(19)
.
• Suivant #„
u θ , θ = 0, autrement dit la vitesse angulaire ω = θ est constante
et le mouvement est circulaire uniforme.
Comme θ (t) = ω t, la période de révolution T est donnée par 2π = ω T
et vaut T = 2π/ω.
κ
• Suivant #„
u r , on a donc m a ω 2 = 2 , donc, en écrivant ω = 2π/T et
a
κ = G Mm :
T2
4π 2
,
=
3
GM
a
Deuxième vitesse cosmique La 2ème vitesse cosmique notée v2∗ est définie
comme la vitesse de libération d’un point matériel au départ de la Terre, autrement dit la vitesse minimale permettant de s’éloigner indéfiniment de la
Terre.
Comme on l’a vu, cette vitesse correspond à une énergie mécanique nulle, or
κ
1
1
. Donc m (v2∗ )2 −
cette énergie prise à la surface de la terre vaut m v2 −
2
RT
2
G MT m
= 0 et :
RT
(17)
ce qui correspond à la troisième loi de Kepler.
s
2.3.3
v2∗
Altitude des satellites géostationnaires
Déterminons l’altitude d’un satellite géostationnaire. Celui-ci est défini
comme ayant une position fixe dans le référentiel terrestre, ou encore comme
étant en permanence à la verticale d’un même point de la Terre. Ce point est
par conséquent nécessairement situé sur l’équateur !
Sa période de révolution T est donc la même que celle de la planète bleue, à
savoir 24 h environ ou 86400 s.
5
=
2G M T
.
RT
(20)