Ex5

TD MECANIQUE
Correction
Exercice 5 : Voyage Terre – Mars
1. Sur l’orbite de transfert de Hohmann d’excentricité e et le paramètre p, r =
p
,
1+e cos θ
M
b
b
V
α
θ
A
b
b
S
b
T
p
Au périgée, T sur la figure, θ = 0 et alors r = rT = 1+e
.
p
De même à l’apogée, θ = π, r = rM = 1−e . On en déduit
rT
1−e
rM − rT
=
⇒e=
= 0,21 ⇒ p = rT (1 + e) = 182.106km.
rM
1+e
rM + rT
2. Lors du voyage, le vaisseau parcourt la moitié de l’ellipse donc sa durée τ correspond à une
demi période TH du vaisseau sur l’orbite de Hohmann.
Et, d’après la troisième loi de Kepler,
3
2
2
T
TT2
4τ 2
1 rT + rM 2
T
=
⇒ 3 = rT +rM 3 ⇒ τ =
TT ≃ 0,71TT
a3 Terre
a3 Hohmann
rT
2
2rT
( 2 )
où TT est la période de révolution de la Terre autour du soleil (1 an). On en déduit τ ≃ 8 mois
et 20 jours.
3. Le vaisseau étant dans un état lié (trajectoire circulaire ou elliptique),
s s
2k 1
1 2 k
1
1
1
k
= 2GMS
−
−
Em = − = Ec + Ep = mv − ⇒ v =
2a
2
r
m r 2a
r 2a
Au voisinage de la Terre,
q sur l’orbite circulaire c’est à dire avant l’allumage des moteurs r =
−
S
rT = a d’où v(T ) = 2GM
puis toujours en r = RT mais sur l’orbite elliptique 2a = rT + rM
rT
q
1
].
d’où v(T + ) = 2GMS [ r1T − rT +r
M
q
q
2rM
S
(
− 1) ≃ 3 km.s−1 .
On en déduit au niveau de la Terre ∆vT = GM
rT
rT +rM
q
q
2rT
S
Aux environs de Mars par le même type de calculs, ∆vM = GM
(1
−
) ≃ −2,7 km.s−1
rM
rT +rM
k
4. Dans le cas d’un mouvement circulaire de rayon Em = − 2a
= − GM2rS m d’où
1
1
rM − rT
GMS m 1
− ) = GmMS
≃ 1,55.1011 J.
(
r
rM
rT
2
rM rT
5. Pour ne pas manquer le rendez-vous, il faut que M se situe en A au même instant que V , c’est
à dire à t = τ .
M étant animé d’un mouvement circulaire uniforme, sa vitesse angulaire est T2πM = π−α
avec
τ
d’après la troisième loi de Kepler,
2
rM 32
TT2
2τ rT 3 TM
=
⇒
T
=
T
⇒
α
=
π
1
−
( ) 2 ≃ 45,3˚
H
T
3
rM
rT3
rT
TT rM
∆Em = Em (M) − Em (T ) = −
1