Chapitre -VI : Mouvement dans un champ de force centrale

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Chapitre -VI : Mouvement dans un champ de force centrale
conservative
I. Force Centrale
1) Définition
On appelle force centrale, ou champ de force central, une force agissant sur un point matériel
dans (R) galiléen possédant les propriétés suivantes :
a) Elle toujours portée par la droite joignant le point matériel à un point fixe O.
b) Son module (sa norme) ne dépend que de la distance r =‖  ‖au point O.
Le point O s’appelle le centre de force.
Autrement dit : 
 est une force centrale si :
Si  , 
est dirigée vers le centre O, c’est une force centrale d’attraction.
Si  , 
est dirigée dans le sens de 
, c’est une force centrale de répulsion.
Attraction Répulsion
2) Exemples
 La force gravitationnelle (de Newton) est une force centrale
conservative (Soleil – planète, Terre – satellite). Elle varie
en
. Elle est toujours attractive.
= 
Avec K
< 0 ,
231-11 smkg6,67.10 
G
 La force électrostatique (de Coulomb) est une force centrale conservative. Elle varie en 
.
= 
Avec K = 
 , 
K < 0 si  et sont de signes opposés pour une force attractive.
K > 0 si  et  sont de même signe pour une force répulsive. K< 0
M
M

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3) Quelques propriétés des forces centrales
Quand un point matériel se déplace dans un champ de force central, on a les propriétés
suivantes :
 La trajectoire (ou orbite) du point matériel est plane c’est-à-dire que le point se
déplace dans un plan (xOy par exemple).
 Le moment cinétique du point se conserve :
=
 Le vecteur-position du point matériel ou rayon vecteur balaye des aires
proportionnelles au temps pour les balayer (loi des aires) :
4) Conservation du moment cinétique
a) Intégrale première du moment cinétique
Le moment cinétique du point M par rapport à un point O dans le référentiel R est défini par :
 =
 m 
D’après le théorème du moment cinétique appliqué à M en O fixe dans (R) galiléen,
on a : 
Donc 
 est indépendant du temps
= m
 avec   = 
 , (
2
C
est la vitesse aréolaire)
 et 
 sont donc indépendants du temps
b) Mouvement plan
Comme 
 = 
, 
 est orthogonal au plan formé par 
 et
.
 et 
restent constamment perpendiculaire à   (ou 
 ).
Le plan   et 
est fixe car 
est une constante.
Autrement dit le point M décrit un mouvement plan : il appartient au
plan contenant O de normale  (à tout instant).
Donc, la trajectoire d'une planète dans un cadre idéal (en
négligeant les interactions avec les autres corps célestes) est
plane.
Dans le plan de la trajectoire de M en coordonnées polaires (r(t), (t)) :
, 
 = 
= 

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   Appelée intégrale première du mouvement
Remarque :
Il est évident que, lorsque r varie, varie puisque  et donc  varie aussi. Le
mouvement est bien plan et non rectiligne.
c) Loi des aires
En coordonnées polaires (r(t), (t)), la surface élémentaire est : 
,
Comme  
  =   d’où
 = 
 est la vitesse aréolaire.
Le rayon vecteur balaye des aires égales pendant des temps égaux.
Les surfaces balayées pendant le même
intervalle de temps t sont égales :
A1 = A2
Les aires balayées pendant des durées égales sont égales, ce qui explique l’accélération de M
lorsqu’il se rapproche du centre de force et son ralentissement lorsqu’il s’en éloigne.
La vitesse angulaire de rotation est d’autant plus forte que le mobile est proche du centre.
La surface totale balayée :
 = 
   = 
 donc 
 T étant la période du mouvement
5) Formules de Binet
a) Première formule de Binet
C’est une formule qui relie le module de la vitesse du point matériel à l’équation de la
trajectoire.
, 
 or   =  alors  
On pose 
 et   =   d’où  
Et 
 = 
Donc 
 = 

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Qui a pour module : v² =‖  ‖=
)²+ ( = 
² [
)²+
C’est la 1ère formule de Binet, ou formule de Binet relative au module de la vitesse.
On peut ainsi accéder à v² directement en connaissant la trajectoire.
b) Deuxième formule de Binet
C’est une formule qui relie l’accélération du point matériel à l’équation de la trajectoire.
D’après le PFD on a:
= (   = 
 = 
Comme  est une force centrale, sa composante selon 
est nulle.
Donc  = 0  
= ( 
32
3
22
3
24
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
)(
)(
uC
r
r
r
r
r
dud
uC
dud r
C
dud
C
d
du
C
d
d
drd dt
d
dt
rd
r
Donc
= (   =
)( 32
2
2
22 uC
dud
uC 
Ou 
=
)( 2
2
22
dud
uuC 
C’est la 2ème formule de Binet (ou formule de Binet relative à l’accélération)
6) Energie potentielle
On considère une force centrale 
, 
Pour un déplacement infinitésimal :
d
 est une force centrale, elle est conservative, donc dérive d’un potentiel.
 et  
 =  
est l’énergie potentielle dont dérive .
Remarque :
Comme W(
=
= d
d= = 
Exemple : interaction newtonienne :
r
u
rk
F
²

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Ep est définie par 
 =
22 r
k
r
k
Donc Ep(r) =
rk rk
cte
avec Ep( ) = 0 ( comme référence des potentiels)
Dans le cas gravitationnel, Ep(r) =
rmGm 21
Dans le cas coulombien, Ep(r) =
r
qq
0
21
4
7) Conservation de l’énergie mécanique
D’après ce qui précède, l’énergie mécanique  se conserve, on peut écrire :
 =  +  = 
 = Cte
En utilisant la 1ière formule de Binet v² =  ² [
)²+
On a : 
)²+  avec u = 
8) Détermination de l’orbite à partir de la force centrale
Si on connaît le champ de force, c’est-à-dire  est donné, on peut déterminer l’orbite de la
trajectoire donnée par l’équation r( ) ou r(t) et (t) qui sont les équation paramétriques en
fonction du temps.
En effet d’après le PFD : 
= (   = 
 = 
on a
 ( I )
 ( II )
L’équation ( I ) n’est que 
 , en utilisant la 2ième formule de Binet
=
)( 2
2
22
dud
uuC 
 et en posant r = 1/u , l’équation ( I ) devient
)( 2
2
22
dud
uuC 
= 
 ou
 u
dud 2
2
En fonction de r :
 r
d
dr
rd rd )²(
2
2
2
Autre relation :
Quand on connaît r(t), on peut accéder à  à partir de la relation  donc 
qu’on intègre entre to et t