Exercices pour la MPSI - Page d`accueil

R. Mansuy
Exercices pour la MPSI2
2008-2009
Lycée Louis le Grand
123 rue Saint Jacques
75005 Paris

MPSI20
Avant-Propos
Labor improbus omnia vincit
Virgile
Ce document, destiné à la classe de MPSI2du lycée Louis le Grand pour l’année 2008/2009,
rassemble la plupart des exercices proposés en classe. En fonction des besoins de la classe, certains
exercices ne seront pas traités et d’autres seront ajoutés. Il convient de préciser quelques conseils
méthodologiques :
– Avant de se lancer dans les exercices, il est nécessaire de connaître le contenu du cours
(résultats, démonstrations mais aussi exemples et applications).
– Pour les calculs, l’utilisation de la calculatrice ou d’un logiciel de calcul formel peut être utile
mais ne remplace pas le calcul effectif.
Vous trouverez quelques rappels de Maple tout au long du volume.
– Certains exercices sont plus difficiles et il peut arriver que vous ne sachiez pas les résoudre
en un temps raisonnable. Avant d’abandonner un exercice, vous devez dresser la liste des
points de cours correspondant à l’énoncé et dresser la liste des idées que vous avez eues en
détaillant pourquoi elles ne permettent pas de conclure.
– Il peut rester des erreurs d’énoncé. Si jamais vous pensez en avoir trouvé une, manifestez-vous
auprès de vos camarades pour vérifier vos doutes puis faites m’en part (en classe, sur le forum
http://hx2torch.free.fr ou sur mon adresse électronique [email protected]).
R.M.

Table des matières
0 Avant-Propos ............................................................... 2
Partie I Révisions et Compléments
1 Ensembles et logique élémentaire ........................................... 9
1.1 Logiqueélémentaire....................................................... 9
1.2 Manipulationsd’ensembles................................................. 9
1.3 Imagesdirectesetréciproques.............................................. 10
1.4 Ensemblesordonnés ...................................................... 10
1.5 Raisonnementparrécurrence .............................................. 11
1.6 Dénombrement........................................................... 12
2 Corps des nombres complexes .............................................. 13
2.1 Calculsélémentaires ...................................................... 13
2.2 Équationsalgébriques..................................................... 14
2.3 Applications àlagéométrie ................................................ 15
2.4 Racinesdel’unité ........................................................ 15
2.5 Applications à variable complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Fonctions usuelles .......................................................... 17
3.1 Bijections ............................................................... 17
3.2 Fonctions polynômiales, exponentielles, logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Fonctionscirculaires ...................................................... 18
3.4 Fonctionshyperboliques................................................... 20
4 Géométrie plane ............................................................ 21
4.1 Équations de droites ...................................................... 21
4.2 Géométriedansuntriangle ................................................ 22
4.3 Lignesdeniveau ......................................................... 22
4.4 Autres .................................................................. 23
5 Géométrie de l’espace ...................................................... 24
5.1 Produit vectoriel et produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.2 Lieuxdepoints .......................................................... 24
5.3 Plans,droites ............................................................ 25

6 Équations différentielles .................................................... 27
6.1 Résolution : équations linéaires d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.2 Résolution : équations linéaires d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.3 Résolution : méthodes particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.4 Existence et unicité des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.5 Étude avec le théorème de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7 Arcs paramétrés ............................................................ 31
7.1 Équationsparametriques .................................................. 31
7.2 Équationspolaires........................................................ 32
7.3 Étudemétrique .......................................................... 33
8 Coniques ................................................................... 35
8.1 Définitionsalgébriques .................................................... 35
8.2 Définitionsgéométriques................................................... 35
Partie II Algèbre
9 Structures algébriques ...................................................... 39
9.1 Loisdecompositioninterne................................................ 39
9.2 Groupes................................................................. 39
9.3 Groupessymétriques...................................................... 40
9.4 Anneaux-corps........................................................... 41
10 Arithmétique dans Z........................................................ 43
10.1 Divisibilité............................................................... 43
10.2 PGCD .................................................................. 44
10.3 Équationsdiophantiennes.................................................. 44
10.4 Varia ................................................................... 45
11 Polynômes et fractions rationnelles ......................................... 46
11.1 Arithmétique ............................................................ 46
11.2 Racinesdepolynômes..................................................... 47
11.3 Fractionsrationnelles ..................................................... 48
12 Espaces vectoriels, applications linéaires .................................... 50
12.1 Structured’espacevectoriel................................................ 50
12.2 Étuded’applicationslinéaires .............................................. 51
12.3 Endomorphismesremarquables............................................. 52
13 Espaces vectoriels de dimension finie ....................................... 53
13.1 Familles libres, familles génératrices, bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
13.2 Étuded’applicationslinéaires .............................................. 55
14 Calcul matriciel............................................................. 57
14.1 Premierscalculs.......................................................... 57
14.2 Calculdepuissances ...................................................... 58
14.3 Systèmeslinéaires ........................................................ 59
14.4 Rang,imageetnoyau..................................................... 60
14.5 Varia ................................................................... 61
4

15 Déterminants ............................................................... 62
15.1 Calculs.................................................................. 62
15.2 Déterminantsclassiques ................................................... 63
15.3 Déterminant d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
15.4 Comatrice ............................................................... 64
15.5 Varia ................................................................... 64
16 Espaces euclidiens .......................................................... 65
16.1 Produit scalaire et orthogonalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
16.2 Projections orthogonales, distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
16.3 Matrices ................................................................ 67
16.4 Endomorphismes orthogonaux ou symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
17 Isométries .................................................................. 69
17.1 Isométries vectorielles du plan ou de l’expace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
17.2 Applicationsaffines....................................................... 70
17.3 Isométriesetsimilitudesaffines............................................. 70
Partie III Analyse
18 Suites numériques .......................................................... 75
18.1 Parties de R............................................................. 75
18.2 Convergencedesuites..................................................... 77
18.3 Suitesdéfiniesparrécurrence .............................................. 78
19 Limites et continuité des fonctions réelles ................................... 80
19.1 Fonctionscontinues....................................................... 80
19.2 Équationsfonctionnelles................................................... 81
19.3 Fonctions continues : aspects globaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
19.4 Fonctions uniformément continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
19.5 Fonctionslipschitziennes .................................................. 83
20 Dérivabilité des fonctions réelles ............................................ 84
20.1 Dérivabilité.............................................................. 84
20.2 Dérivabilité à l’ordre n.................................................... 85
20.3 Théorèmes généraux ...................................................... 85
20.4 Convexité ............................................................... 86
21 Formules de Taylor et développements limités .............................. 88
21.1 FormulesdeTaylor ....................................................... 88
21.2 CalculsdeDL............................................................ 88
21.3 Calculsdelimites......................................................... 89
21.4 Applications, études asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
22 Intégration sur un segment ................................................. 91
22.1 SommesdeRiemann...................................................... 91
22.2 Calculs.................................................................. 92
22.3 Suites définies par une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
22.4 Fonctions définies par une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
22.5 Varia ................................................................... 94
23 Intégration sur un intervalle quelconque .................................... 95
23.1 Intégrabilité et calculs d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
23.2 Propriétés déduites de l’intégrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5