EXERCICES DE TRIGONOMÉTRIE Exercice 1 Résoudre, sur , les équations suivantes : 2 3 sin x = 4 2 cos x = 1 2 sin (2x) = cos x Exercice 2 Simplifier au maximum les expressions suivantes : 2 æp ö A(x) = cos(x + p) sin ç - x ÷ - sin (-x) è2 ø B(x) = tan(x + p) - tan x (pour x Î ]- p p ; [) 2 2 2æ pö C(x) = sin ç x - ÷ + sin(p – x).sin(–x) 2ø è æp ö æp ö D(x) = sin ç + x ÷ – sin ç - x ÷ è3 ø è3 ø Démontrer que pour tout x Î : 2 3 æp ö æp ö - sin x sin ç + x ÷ ´ sin ç - x ÷ = 4 è3 ø è3 ø Généralisation : 2 2 sin(a + b) sin(a - b) = sin a - sin b Exercice 3 7p 7p et cos . 12 12 7p p p (On pourra utiliser l'égalité = + ) 12 4 3 En utilisant les formules d'addition, calculer la valeur exacte de sin Exercice 4 Démontrer que pour tout réel x : 4 4 cos x - sin x = cos(2x) Exercice 5 Démontrer que, pour tout réel x différent de k p (k Î ) : 2 sin 3x cos 3x =2 sin x cos x Exercice 6 Démontrer que la représentation graphique de la fonction ¦ définie, sur , par : ¦(x) = cos (2x) + sin x – 1 est située entre les droites d'équation y = –3 et y = 1. Exercices de trigonométrie Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ Exercice 7 Résoudre, dans , l'équation : 3 2 2sin x - 17sin x + 7sin x + 8 = 0 Exercice 8 1. q est un angle (situé dans ]-p ; p]) dont on sait que cos q = - 3 1 et sin q = . Que vaut q (en radians) ? 2 2 p 4 ; p] tel que sin q = . Calculer cos q et tan q. 5 2 2 3. q est un angle situé dans ]-p ; 0] tel que cos q = . Calculer sin q et tan q. 3 4. q est un angle situé dans ]-p ; 0] tel que tan q = 2. Calculer cos q et sin q. 2. q est un angle situé dans [ Exercice 9 Résoudre, dans ]-p ; p[, les équations : 3 2 2cos x - 7cos x + 2cos x + 3 = 0 3 2 2sin x + cos x - 5sin x - 3 = 0 Exercice 10 p = 2 - 1. 8 sin x p pour tout x Î D où D = \ { + kp où k Î } On rappelle que tan x = cos x 2 1. Démontrer que pour tout x Î D : tan(p + x) = tan x Dans cet exercice, on dispose de la donnée suivante : tan En déduire la valeur exacte de tan 9p . 8 2. Démontrer que pour tout x Î D: 1 + tan x = 2 En déduire la valeur exacte de cos 3. Calculer la valeur exacte de cos p p puis de sin . 8 8 1 cos2 x 5p . 8 Exercice 11 J Sur un cercle trigonométrique C, on considère les points A et B tels que : ® ® ® ® 7p 3p ( OI , OA ) = et ( OI , OB ) = – 8 5 Déterminer la mesure principale des angles suivants : A () p 2 ( ) 7p 8 I' O I (0) ® ® ® ® ® ® ( OA , OJ ) ; ( OJ , OB ) ; ( OB , OA ) (On pourra utiliser la relation de Chasles) B Exercices de trigonométrie Page 2 ( ) - 3p 5 J' G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ Exercice 12 r r Dans un repère orthonormé (O, i , j ), on considère les points A et B dont les coordonnées polaires sont : æ pö A(2 ; 0) B ç 2; ÷ è 6ø On considère également le point C dont les coordonnées cartésiennes sont : C(- 3 ; -1) 1. Préciser, sans justification les coordonnées cartésiennes de A. 2. Calculer les coordonnées cartésiennes de B. 3. Calculer les coordonnées polaires de C. 4. Justifier que les points A, B et C sont sur un même cercle de centre O dont on précisera le rayon. 5. Placer, précisément, les points A, B et C sur une figure. 6. Quelle est la nature du triangle ABC ? (Justifier) Exercice 13 Dans cet exercice, on dispose de la donnée suivante : tan 1. Soit x Î ]0 ; p =2- 3. 12 p [. 2 Démontrer que : 2. En déduire que : 1 æp ö tan ç - x ÷ = 2 tan x è ø tan 5p =2+ 3. 12 Exercice 14 1. Résoudre, dans ]-p ; p], l'équation : sin x = sin(2x) Représenter les éventuelles solutions sur le cercle trigonométrique. 2. Existe-t-il un angle aigu q, non nul, ayant même sinus que 2q ? Exercice 15 1+ 5 æ pö cos ç ÷ = 4 è5ø æ 2p ö æ 3p ö Calculer la valeur exacte de cos ç ÷ puis de cos ç ÷ . è 5 ø è 5 ø Dans cet exercice, on donne : Exercice 16 p 1 - cos( 2 x) [: tan x = sin(2 x ) 2 p p . 2. En déduire les valeurs exactes de tan et tan 8 12 1. Démontrer que, pour tout x Î ]0 ; Exercices de trigonométrie Page 3 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ Exercice 17 ABC est un triangle non rectangle. tan(A + B) = -tan C 1. Démontrer que : 2. À l'aide de la relation tan(A + B) = tan A + tan B (que l'on pourra redémontrer au passage), prouver que : 1 - tan A tan B tan A + tan B + tan C = tan A . tan B . tan C Exercices de trigonométrie Page 4 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/