memo algebre generale

MP 16-17
MEMO ALGEBRE GENERALE
I STRUCTURES ALGEBRIQUES USUELLES 1
I.1 Lois de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.2 Structure de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.3 Structures d’anneau et de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
II GROUPE SYMETRIQUE 4
II.1 Transpositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II.2 Décomposition d’une permutation en produit de cycles à supports disjoints . . . . . . . . . . . . 4
II.3 Signature d’une permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
IIIDENOMBREMENT 6
IVNOMBRES COMPLEXES 7
V TRIGONOMETRIE 8
V.1 Périodicité et symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
V.2 Formules d’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
V.3 Transformation d’un produit en somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
V.4 Transformation d’une somme en produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
V.5 Lignes trigonométriques de l’angle double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
V.6 Linéarisation de polynômes trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
V.7 Autre transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
VIARITHMETIQUE DANS ZZ 10
VIIPOLYNOMES 11
VII.1 Propriétés arithmétiques de IK [X]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
VII.2 Dérivation et racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
VIIIFRACTIONS RATIONNELLES 14
Document de 14 pages 25 juin 2016

MEMO ALGEBRE GENERALE I. STRUCTURES ALGEBRIQUES USUELLES
I. STRUCTURES ALGEBRIQUES USUELLES
I.1 Lois de composition interne
Définition 1 Soit Eun ensemble non vide.
On appelle loi de composition interne sur Etoute application de E×Edans E.
Pour (x, y)∈E
2
,au lieu de f(x, y),on note x∗y, x +you x y l’image du couple (x, y)par une
loi de composition interne.
Quasiment par convention, une loi de composition interne notée +,est commutative (et appelée
addition).
Dans ce §, Eest un ensemble non vide muni d’une loi de composition interne ∗.
Définition 2 On dit que la loi ∗est associative si elle vérifie
∀(a, b, c)∈E
3
, a ∗(b∗c) = (a∗b)∗c
On dit que la loi ∗est commutative si elle vérifie
∀(a, b)∈E
2
, a ∗b=b∗a
On dit que l’élément ede Eest neutre pour la loi ∗si
∀a∈E, a ∗e=e∗a
Il y a unicité de l’élément neutre.
Si la loi ∗a un élément neutre e, on dit que l’élément ade Eest symétrisable, ou inversible, s’il
existe un élément a
′
de Etel que
a∗a
′
=a
′
∗a=e
Lorsque la loi ∗est associative le symétrique, ou l’inverse, de tout élément de Eest unique.
Une partie Ade Eest dite stable par la loi ∗si elle vérifie A∗A⊂A, c’est-à-dire
∀(a, b)∈A
2
, a ∗b∈A
Propriété I.1 Si la loi ∗a un élément neutre e, et si aet bsont deux éléments symétrisables de
E, alors a∗best symétrisable et (a∗b)
′
=b
′
∗a
′
.
Remarque I.1 Si aest un élément symétrisable, ou inversible, on note souvent a
−1
son symétrique.
Les lois usuelles, telles que +,×,∆,ont généralement leurs propres notations et terminologies.
I.2 Structure de groupe
Définition 3 On appelle groupe la donnée d’un couple (G, ·)où Gest un ensemble non vide et ·
une loi de composition interne sur Gvérifiant :
• · est associative
•la loi de composition interne ·admet un élément neutre dans G
•tout élément de Gest symétrisable dans G
Par abus de langage, on dit aussi que Gest un groupe.
Le groupe Gest dit commutatif (ou abélien) lorsque ·est commutative.
Définition 4 Soit (G, ·)un groupe.
On appelle sous-groupe de Gtoute partie non vide Hde Gstable par la loi ·et telle que la loi
induite sur Hpar ·munisse Hd’une structure de groupe.
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MEMO ALGEBRE GENERALE I. STRUCTURES ALGEBRIQUES USUELLES
Par exemple, Get {e}sont des sous-groupes de G(resp. le plus grand et le plus petit pour
l’inclusion).
Propriété I.2 Soit (G, ·)un groupe et Hun sous-groupe de G.
Les deux groupes (G, ·)et (H, ·)ont le même élément neutre et tout élément de Ha le même
symétrique dans Get dans H.
Théorème 1 Caractérisation d’un sous-groupe
Soit (G, ·)un groupe d’élément neutre e(pour tout élément xde G, on note x
−1
le symétrique de
xdans G) et Hune partie de G.
Les assertions suivantes sont équivalentes :
•Hest un sous-groupe de G
•Hest stable par la loi ·, e ∈Het ∀x∈H, x
−1
∈H
•Hest stable par la loi ·, H =∅et ∀x∈H, x
−1
∈H
•H=∅et ∀x, y ∈H, x ·y
−1
∈H
Remarque I.2 Pour prouver que (G, ·)est un groupe, on peut penser à prouver qu’il s’agit d’un
sous-groupe d’un groupe connu.
I.3 Structures d’anneau et de corps
Définition 5 On appelle anneau la donnée d’un triplet (A,+,×)où Aest un ensemble non vide
et +et ×deux lois de composition interne sur Avérifiant :
•(A,+) est un groupe commutatif
•(A,×)est un monoïde dont l’élément neutre, noté 1,est appelé l’élément unité de l’anneau
•la multiplication ×est distributive par rapport à l’addition +
Lorsque de plus la multiplication est commutative, l’anneau est dit commutatif.
Dans ce §, (A,+,×)est un anneau.
Proposition I.1 Identités remarquables.
Soient nun entier naturel et a, b, c, d des éléments de Aqui commutent deux à deux.
On a la formule dite du binôme : (a+b)
n
=
n
k=0
n
ka
k
b
n−k
.Notamment, on obtient
n
k=0
n
k= 2
n
.
On a aussi a
n
−b
n
= (a−b)
n−1
k=0
a
k
b
n−1−k
et ainsi a
2n+1
+b
2n+1
= (a+b)
2n
k=0
(−1)
k
a
k
b
2n−k
.
Notamment, si 1désigne l’élément unité de A,pour tout élément xde A,on a
(1 + x)
n
=
n
k=0
n
kx
k
1−x
n
= (1 −x)
n−1
k=0
x
k
Sans oublier l’identité de Lagrange : (a c +b d)
2
+ (a d −b c)
2
=a
2
+b
2
c
2
+d
2
qui a une inter-
prétation géométrique.
At last but not least : a
3
+b
3
+c
3
−3a b c = (a+b+c)a
2
+b
2
+c
2
−a b −b c −c a.
Définition 6 L’élément ade Aest dit inversible lorsqu’il existe un élément a
′
de Avérifiant
a a
′
=a
′
a= 1.
On note généralement a
′
=a
−1
.
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MEMO ALGEBRE GENERALE I. STRUCTURES ALGEBRIQUES USUELLES
Proposition I.2 L’ensemble des éléments inversibles de l’anneau (A,+,×),noté A
∗
ou U(A),est
un groupe multiplicatif d’élément neutre 1.
Définition 7 On appelle corps la donnée d’un triplet (IK,+,×)où IK est un ensemble non vide et
+et ×deux lois de composition interne sur IK vérifiant :
•(IK,+,×)est un anneau vérifiant 1= 0
•(IK \ {0},×)est un groupe commutatif.
On précise parfois que le corps est commutatif. Dans le cadre du programme, un corps est toujours
commutatif.
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MEMO ALGEBRE GENERALE II. GROUPE SYMETRIQUE
II. GROUPE SYMETRIQUE
Dans ce §, sauf cas particulier, ndésigne un entier naturel supérieur ou égal à 2et IN
n
= [[1, n]].
L’ensemble des permutations de l’ensemble IN
n
,noté S
n
,est un groupe pour la loi de composition
des applications, généralement notée multiplicativement, appelée groupe symétrique d’ordre n:il
s’agit d’un groupe d’ordre n!.
II.1 Transpositions
Définition 8 Soient i, j ∈[[1, n]], i =j. La permutation τde IN
n
définie par
τ(i) = j, τ(j) = i et ∀k∈E, k =i, k =j, τ(k) = k
est appelée transposition de support {i, j},notée (i j).
Remarque II.1 Les transpositions de IN
n
sont des éléments d’ordre 2de S
n
.
Proposition II.1 Les transpositions engendrent S
n
.
II.2 Décomposition d’une permutation en produit de cycles à supports
disjoints
Définition 9 Soient pappartenant à [[2, n]], a
1
, a
2
,...,a
p
des éléments distincts de IN
n
.La per-
mutation γde IN
n
définie par
γ(a
1
) = a
2
γ(a
2
) = a
3
. . . γ(a
p−1
) = a
p
γ(a
p
) = a
1
∀x∈E, x /∈ {a
1
, a
2
,...,a
p
}=⇒γ(x) = x
est appelée un cycle de longueur pou un p-cycle, et est noté (a
1
a
2
. . . a
p
).
L’ensemble {a
1
, a
2
,...,a
p
}est appelé le support du p-cycle γ.
Propriété II.1 Les p-cycles de IN
n
sont des éléments d’ordre pde S
n
.
Définition 10 Un cycle γde longueur nest aussi appelé une permutation circulaire de IN
n
.Dans ce
cas, il existe aappartenant à IN
n
tel que l’on ait γ=a γ (a)··· γ
n−1
(a)et IN
n
=a, γ (a),...,γ
n−1
(a).
Remarque II.2 Si γest une permutation circulaire de IN
n
,alors pour tout élément xde IN
n
,on
aγ=x γ (x)··· γ
n−1
(x)ainsi que IN
n
=x, γ (x),...,γ
n−1
(x).
Propriété II.2 Deux cycles de IN
n
,de supports disjoints, commutent.
Théorème 2 Soit σ∈ S
n
\ {id
IN
n
}.Il existe une famille de cycles (γ
1
,...,γ
r
),et une seule (à
l’ordre près), dont les supports sont deux à deux disjoints, telle que σ=γ
1
γ
2
. . . γ
r
.
Remarque II.3 Si γest le p-cycle (a
1
a
2
. . . a
p
),on peut écrire γ= (a
1
a
2
) (a
2
a
3
)... (a
p−1
a
p
) :
le théorème de décomposition en produit de ”cycles disjoints” fournit une démonstration de la propo-
sition II.1..
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