MP 16-17 MEMO ALGEBRE GENERALE I STRUCTURES ALGEBRIQUES USUELLES I.1 Lois de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2 Structure de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.3 Structures d’anneau et de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 2 II GROUPE SYMETRIQUE II.1 Transpositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2 Décomposition d’une permutation en produit de cycles à supports disjoints . . . . . . . . . . . . II.3 Signature d’une permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 4 5 IIIDENOMBREMENT 6 IV NOMBRES COMPLEXES 7 V TRIGONOMETRIE V.1 Périodicité et symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.2 Formules d’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.3 Transformation d’un produit en somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.4 Transformation d’une somme en produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.5 Lignes trigonométriques de l’angle double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.6 Linéarisation de polynômes trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.7 Autre transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 8 8 8 9 9 9 VI ARITHMETIQUE DANS ZZ 10 VIIPOLYNOMES 11 VII.1 Propriétés arithmétiques de IK [X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 VII.2 Dérivation et racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 VIII FRACTIONS RATIONNELLES Document de 14 pages 14 25 juin 2016 MEMO ALGEBRE GENERALE I. I.1 I. STRUCTURES ALGEBRIQUES USUELLES STRUCTURES ALGEBRIQUES USUELLES Lois de composition interne Définition 1 Soit E un ensemble non vide. On appelle loi de composition interne sur E toute application de E × E dans E. Pour (x, y) ∈ E 2 , au lieu de f (x, y) , on note x ∗ y, x + y ou x y l’image du couple (x, y) par une loi de composition interne. Quasiment par convention, une loi de composition interne notée +, est commutative (et appelée addition). Dans ce §, E est un ensemble non vide muni d’une loi de composition interne ∗. Définition 2 On dit que la loi ∗ est associative si elle vérifie ∀ (a, b, c) ∈ E 3 , a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c On dit que la loi ∗ est commutative si elle vérifie ∀ (a, b) ∈ E 2 , a ∗ b = b ∗ a On dit que l’élément e de E est neutre pour la loi ∗ si ∀a ∈ E, a ∗ e = e ∗ a Il y a unicité de l’élément neutre. Si la loi ∗ a un élément neutre e, on dit que l’élément a de E est symétrisable, ou inversible, s’il existe un élément a′ de E tel que a ∗ a′ = a′ ∗ a = e Lorsque la loi ∗ est associative le symétrique, ou l’inverse, de tout élément de E est unique. Une partie A de E est dite stable par la loi ∗ si elle vérifie A ∗ A ⊂ A, c’est-à-dire ∀ (a, b) ∈ A2 , a ∗ b ∈ A Propriété I.1 Si la loi ∗ a un élément neutre e, et si a et b sont deux éléments symétrisables de E, alors a ∗ b est symétrisable et (a ∗ b)′ = b′ ∗ a′ . Remarque I.1 Si a est un élément symétrisable, ou inversible, on note souvent a−1 son symétrique. Les lois usuelles, telles que +, ×, ∆, ont généralement leurs propres notations et terminologies. I.2 Structure de groupe Définition 3 On appelle groupe la donnée d’un couple (G, ·) où G est un ensemble non vide et · une loi de composition interne sur G vérifiant : • · est associative • la loi de composition interne · admet un élément neutre dans G • tout élément de G est symétrisable dans G Par abus de langage, on dit aussi que G est un groupe. Le groupe G est dit commutatif (ou abélien) lorsque · est commutative. Définition 4 Soit (G, ·) un groupe. On appelle sous-groupe de G toute partie non vide H de G stable par la loi · et telle que la loi induite sur H par · munisse H d’une structure de groupe. 1/14 MEMO ALGEBRE GENERALE I. STRUCTURES ALGEBRIQUES USUELLES Par exemple, G et {e} sont des sous-groupes de G (resp. le plus grand et le plus petit pour l’inclusion). Propriété I.2 Soit (G, ·) un groupe et H un sous-groupe de G. Les deux groupes (G, ·) et (H, ·) ont le même élément neutre et tout élément de H a le même symétrique dans G et dans H. Théorème 1 Caractérisation d’un sous-groupe Soit (G, ·) un groupe d’élément neutre e (pour tout élément x de G, on note x−1 le symétrique de x dans G) et H une partie de G. Les assertions suivantes sont équivalentes : • H est un sous-groupe de G • H est stable par la loi ·, e ∈ H et ∀x ∈ H, x−1 ∈ H • H est stable par la loi ·, H = ∅ et ∀x ∈ H, x−1 ∈ H • H = ∅ et ∀x, y ∈ H, x · y −1 ∈ H Remarque I.2 Pour prouver que (G, ·) est un groupe, on peut penser à prouver qu’il s’agit d’un sous-groupe d’un groupe connu. I.3 Structures d’anneau et de corps Définition 5 On appelle anneau la donnée d’un triplet (A, +, ×) où A est un ensemble non vide et + et × deux lois de composition interne sur A vérifiant : • (A, +) est un groupe commutatif • (A, ×) est un monoïde dont l’élément neutre, noté 1, est appelé l’élément unité de l’anneau • la multiplication × est distributive par rapport à l’addition + Lorsque de plus la multiplication est commutative, l’anneau est dit commutatif. Dans ce §, (A, +, ×) est un anneau. Proposition I.1 Identités remarquables. Soient n un entier naturel et a, b, c, d des éléments de A qui commutent deux à deux. n n k On a la formule dite du binôme : (a + b)n = k=0 n ak bn−k . Notamment, on obtient k=0 = 2n . 2n n−1 On a aussi an − bn = (a − b) n k k (−1) ak b2n−k . ak bn−1−k et ainsi a2n+1 + b2n+1 = (a + b) k=0 k=0 Notamment, si 1 désigne l’élément unité de A, pour tout élément x de A, on a n (1 + x)n = k=0 n k n−1 xk 1 − xn = (1 − x) 2 2 xk k=0 2 Sans oublier l’identité de Lagrange : (a c + b d) + (a d − b c) = a + b2 c2 + d2 qui a une interprétation géométrique. At last but not least : a3 + b3 + c3 − 3 a b c = (a + b + c) a2 + b2 + c2 − a b − b c − c a . Définition 6 L’élément a de A est dit inversible lorsqu’il existe un élément a′ de A vérifiant a a′ = a′ a = 1. On note généralement a′ = a−1 . 2/14 MEMO ALGEBRE GENERALE I. STRUCTURES ALGEBRIQUES USUELLES Proposition I.2 L’ensemble des éléments inversibles de l’anneau (A, +, ×) , noté A∗ ou U (A), est un groupe multiplicatif d’élément neutre 1. Définition 7 On appelle corps la donnée d’un triplet (IK, +, ×) où IK est un ensemble non vide et + et × deux lois de composition interne sur IK vérifiant : • (IK, +, ×) est un anneau vérifiant 1 = 0 • (IK \ {0}, ×) est un groupe commutatif. On précise parfois que le corps est commutatif. Dans le cadre du programme, un corps est toujours commutatif. 3/14 MEMO ALGEBRE GENERALE II. GROUPE SYMETRIQUE II. GROUPE SYMETRIQUE Dans ce §, sauf cas particulier, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 et INn = [[1, n]]. L’ensemble des permutations de l’ensemble INn , noté Sn , est un groupe pour la loi de composition des applications, généralement notée multiplicativement, appelée groupe symétrique d’ordre n : il s’agit d’un groupe d’ordre n!. II.1 Transpositions Définition 8 Soient i, j ∈ [[1, n]], i = j. La permutation τ de INn définie par τ(i) = j, τ (j) = i et ∀k ∈ E, k = i, k = j, τ(k) = k est appelée transposition de support {i, j} , notée (i j). Remarque II.1 Les transpositions de INn sont des éléments d’ordre 2 de Sn . Proposition II.1 Les transpositions engendrent Sn . II.2 Décomposition d’une permutation en produit de cycles à supports disjoints Définition 9 Soient p appartenant à [[2, n]], a1 , a2 , . . . , ap des éléments distincts de INn . La permutation γ de INn définie par γ(a1 ) = a2 γ(a2 ) = a3 . . . γ(ap−1 ) = ap γ(ap ) = a1 ∀x ∈ E, x ∈ / {a1 , a2 , . . . , ap } =⇒ γ(x) = x est appelée un cycle de longueur p ou un p-cycle, et est noté (a1 a2 . . . ap ). L’ensemble {a1 , a2 , . . . , ap } est appelé le support du p-cycle γ. Propriété II.1 Les p-cycles de INn sont des éléments d’ordre p de Sn . Définition 10 Un cycle γ de longueur n est aussi appelé une permutation circulaire de INn . Dans ce cas, il existe a appartenant à INn tel que l’on ait γ = a γ (a) · · · γ n−1 (a) et INn = a, γ (a) , . . . , γ n−1 (a) . Remarque II.2 Si γ est une permutation circulaire de INn , alors pour tout élément x de INn , on a γ = x γ (x) · · · γ n−1 (x) ainsi que INn = x, γ (x) , . . . , γ n−1 (x) . Propriété II.2 Deux cycles de INn , de supports disjoints, commutent. Théorème 2 Soit σ ∈ Sn \ {idINn } . Il existe une famille de cycles (γ 1 , . . . , γ r ) , et une seule (à l’ordre près), dont les supports sont deux à deux disjoints, telle que σ = γ 1 γ 2 . . . γ r . Remarque II.3 Si γ est le p-cycle (a1 a2 . . . ap ), on peut écrire γ = (a1 a2 ) (a2 a3 ) . . . (ap−1 ap ) : le théorème de décomposition en produit de ”cycles disjoints” fournit une démonstration de la proposition II.1.. 4/14 MEMO ALGEBRE GENERALE II.3 II. GROUPE SYMETRIQUE Signature d’une permutation Définition 11 Soit σ ∈ Sn . On appelle inversion de σ tout couple (i, j) d’éléments de [[1, n]] vérifiant i < j et σ(i) > σ(j) : on dit aussi que le couple (i, j) présente une inversion pour la permutation σ. En notant I(σ) le nombre d’inversions de σ, on appelle signature de σ l’élément de {−1, +1}, noté ε(σ) défini par ε(σ) = (−1)I(σ) . Une permutation de signature égale à +1 (resp. −1) est dite paire (resp. impaire). Remarque II.4 ε (idINn ) = 1. Pour toute transposition τ de INn , ε (τ) = −1. Théorème 3 L’application ε : Sn σ −→ {−1, +1} est un morphisme de groupes, c’est-à-dire −→ ε(σ) ∀σ, ρ ∈ Sn , ε(σ ρ) = ε(σ) ε(ρ) Définition 12 L’ensemble des permutations paires de INn est le noyau de ε. C’est un sous-groupe de Sn appelé le groupe alterné d’ordre n, noté An . n! . Dans le cas n 2, l’ordre de An est 2 5/14 MEMO ALGEBRE GENERALE III. DENOMBREMENT III. DENOMBREMENT Etant donné un entier naturel n, la factorielle de n (ou ”nfactorielle”), est l’entier naturel, noté n!, défini par 0! = 1 et si n est non nul n! = n × (n − 1)!. n Si n est non nul, on a ainsi n! = 1 × 2 × · · · × n = k. k=1 Proposition III.1 Soient (p, n) ∈ IN2 et F, E deux ensembles finis de cardinaux respectifs p et n. Alors E F est fini et card E F = np Il s’agit aussi du nombre de p−listes d’éléments de E. Proposition III.2 Soient (p, n) ∈ IN2 et F, E deux ensembles finis de cardinaux respectifs p et n. L’ensemble des injections de F dans E est fini. On note Apn son cardinal et on a Apn = n (n − 1) · · · (n − p + 1) Apn est aussi le nombre de p−listes d’éléments deux à deux distincts de E. En particulier pour p > n, on a Apn = 0. n! Lorsque l’on a p n, ceci s’écrit : Apn = . (n − p)! Définition 13 Avec ces notations, Apn est aussi appelé le nombre d’arrangements (sans répétition) de p éléments parmi n. Corollaire III.1 Soient F, E deux ensembles finis de même cardinal n. L’ensemble des bijections de F sur E est fini de cardinal égal à n!. Notamment le nombre de permutations de E est égal à n!. Définition 14 Soit n un entier naturel, E un ensemble fini de cardinal n et p ∈ IN. On appelle combinaison sans répétition de p éléments de E toute partie de E de cardinal p. Avec ces notations, l’ensemble Pp (E) des combinaisons sans répétition de p éléments de E est fini n de cardinal noté Cnp ou . p n n L’entier est appelé coefficient binomial d’indices n et p. Pour p > n, on a = 0. p p Par convention, lorsque p < 0, on pose Propriété III.1 Formule de Pascal. On a ∀ (n, p) ∈ IN2 , n p = 0. n p = n−1 p−1 n =⇒ n p + n−1 p Proposition III.3 On a ∀ (n, p) ∈ IN2 , p 6/14 = n! p! (n − p)! MEMO ALGEBRE GENERALE IV. NOMBRES COMPLEXES IV. NOMBRES COMPLEXES Pour tout réel θ, on pose eiθ = cos θ + i sin θ. On obtient ainsi les formules d’Euler eiθ + e−iθ eiθ − e−iθ sin θ = 2 2i L’utilisation de la formule d’Euler fournit un procédé de linéarisation (ce n’est pas toujours le meilleur). Par exemple : ∀n ∈ IN, ∀θ ∈ IR, n n 1 iθ 1 1 n n n −iθ n cos θ = n e + e = n exp (i (2 k − n) θ) = n cos ((2 k − n) θ) . k k 2 2 2 ∀θ ∈ IR, cos θ = k=0 k=0 On a la formule de Moivre : ∀n ∈ IN, ∀θ ∈ IR, cos (n θ) + i sin (n θ) = (cos θ + i sin θ)n , ce qui permet d’exprimer cos (n θ) en fonction de cos θ (polynômes de Tchebychev de première espèce) et sin (n θ) comme le produit de sin θ et d’un polynôme de cos θ (polynômes de Tchebychev de seconde espèce). k2π , k ∈ [[0, n − 1]]. Soit n ∈ IN∗ . Les racines nmes de l’unité dans C sont les nombres exp i n ∗ n iθ Ainsi pour tout (ρ, θ) ∈ IR+ × IR, les solutions dans C de l’équation z = ρ e sont les nombres k2π √ n ρ exp i θ+ , k ∈ [[0, n − 1]]. n Etant donné z, z = x + i y, x, y ∈ IR, on pose exp (z) = exp (x + i y) = ex ei y , que l’on note aussi ez . On a alors : ∀z, z ′ ∈ C, exp (z + z ′ ) = exp (z) exp (z ′ ) . L’exponentielle ne s’annule pas sur C. Etant donné (ρ, θ) ∈ IR∗+ × IR, l’équation ez = a admet une infinité de solutions (notées x + i y, x, y ∈ IR) dans C données par : x = ln ρ y ≡ θ [2 π] . Soient a, b, c ∈ C, a = 0 et z1 , z2 ∈ C. Une condition nécessaire et suffisante pour que z1 et z2 soient b c les racines de l’équation a z 2 + b z + c = 0 est que l’on ait : z1 + z2 = − z1 z2 = . a a 7/14 MEMO ALGEBRE GENERALE V. TRIGONOMETRIE V. TRIGONOMETRIE Les fonctions sinus et cosinus, notées respectivement sin et cos, sont définies sur IR à valeurs dans [−1, +1] dérivables, périodiques de période 2π. Par exemple la relation ei x e−i x = 1 fournit l’identité remarquable cos2 (x) + sin2 (x) = 1. π La fonction tangente, notée tan, définie sur IR privé des points de la forme + k π, k ∈ ZZ, par 2 sin(x) , est périodique de période π. tan(x) = cos(x) La fonction cotangente, notée cotan, définie sur IR privé des points de la forme k π, k ∈ ZZ, par cos(x) 1 cotan(x) = = , est périodique de période π. sin(x) tan(x) A partir de la dérivée de la fonction tangente et de cette définition, on obtient la dérivée de la 1 cotangente sur son ensemble de définition, à savoir : cotan ′ (x) = − 2 = −1 − cotan 2 (x). sin (x) V.1 Périodicité et symétrie Sous réserve d’existence des quantités apparaissant ci-dessous, on a les relations suivantes : cos(−x) cos(π + x) cos(π − x) π cos +x 2 π −x cos 2 V.2 = cos(x) = − cos(x) = − cos(x) = − sin(x) = sin(x) sin(−x) = − sin(x) tan(−x) = − tan(x) sin(π + x) = − sin(x) tan(π + x) = tan(x) sin(π − x) = sin(x) tan(π − x) = − tan(x) π π sin + x = cos(x) tan + x = − cotan(x) 2 2 π π sin − x = cos(x) tan − x = cotan(x) 2 2 Formules d’addition On a les relations suivantes : cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b) cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) sin(a − b) = sin(a) cos(b) − cos(a) sin(b) tan(a) + tan(b) ainsi que tan(a + b) = (sous réserve d’existence de ces quantités). 1 − tan(a) tan(b) V.3 Transformation d’un produit en somme On a les relations suivantes : cos(a) cos(b) = sin(a) sin(b) = sin(a) cos(b) = V.4 1 (cos(a + b) + cos(a − b)) 2 1 (cos(a − b) − cos(a + b)) 2 1 (sin(a + b) + sin(a − b)) 2 Transformation d’une somme en produit On a les relations suivantes : cos(p) + cos(q) = 2 cos 8/14 p+q 2 cos p−q 2 MEMO ALGEBRE GENERALE V. TRIGONOMETRIE cos(p) − cos(q) = −2 sin sin(p) + sin(q) = 2 sin sin(p) − sin(q) = 2 sin V.5 p−q p+q sin 2 2 p+q p−q cos 2 2 p−q p+q cos 2 2 Lignes trigonométriques de l’angle double Pour tout réel x, on a les relations suivantes : cos(2x) = cos2 (x) − sin2 (x) = 2 cos2 (x) − 1 = 1 − 2 sin2 (x) sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) et sous réserve d’existence de ces quantités : cos(2 x) = V.6 1 − tan2 (x) 1 + tan2 (x) sin(2 x) = 2 tan(x) 1 + tan2 (x) tan(2 x) = 2 tan(x) 1 − tan2 (x) Linéarisation de polynômes trigonométriques Les relations rappelées précédemment permettent de linéariser des polynômes trigonométriques, c’est-à-dire des expressions de la forme cosm (x) sinn (x), où m et n sont des entiers naturels, afin par exemple d’en obtenir des primitives ou la dérivée. V.7 Autre transformation Si a, b et θ sont trois réels, vérifiant a2 +b2 = 0, on transforme la quantité a cos(θ)+b sin(θ) en in√ a b sin(ϕ) = . troduisant le réel c défini par c = a2 + b2 . On peut alors définir un réel ϕ vérifiant cos(ϕ) = c c Ainsi on obtient a cos(θ) + b sin(θ) = c cos(θ − ϕ). 9/14 MEMO ALGEBRE GENERALE VI. ARITHMETIQUE DANS ZZ VI. ARITHMETIQUE DANS ZZ C’est le théorème de division euclidienne qui permet de faire de l’arithmétique dans ZZ. Théorème : Division euclidienne dans ZZ. Soit (a, b) ∈ ZZ×IN∗ . Il existe un et un seul couple d’entiers relatifs (q, r) vérifiant : a = b q+r, 0 q (resp. r ) est appelé le quotient (resp. le reste) de la division euclidienne de a par b. r < b. Etant donnés a, b, a, b ∈ ZZ, l’algorithme d’Euclide fournit une démonstration et un procédé constructif du PGCD de a et b, noté a ∧ b, ainsi que d’un couple d’entiers relatifs (u, v) tels que a u + b v = a ∧ b. Le théorème de Bézout permet de caractériser les couples d’entiers premiers entre eux et le théorème de Gauss en est une conséquence. On définit ensuite le PPCM de a et b, noté a ∨ b, qui vérifie (a ∧ b) (a ∨ b) = |a b| . De plus tout entier naturel supérieur ou égal à 2 admet une ”unique” décomposition en produit de facteurs premiers : on peut l’utiliser pour obtenir une expression du PGCD et du PPCM de deux entiers relatifs. 10/14 MEMO ALGEBRE GENERALE VII. POLYNOMES VII.POLYNOMES (IK [X] , +, ·, ×) est une algèbre sur IK de dimension infinie dénombrable dont la suite (X n )n∈IN est une base appelée la base canonique de IK [X] . Tout polynôme P de IK [X] s’écrit de manière unique +∞ an X n (les coefficients sont presque tous nuls). P = n=0 VII.1 Propriétés arithmétiques de IK [X] L’existence d’une division euclidienne dans IK [X] permet ici aussi de faire de l’arithmétique. Théorème : Division euclidienne dans IK [X] . Soient A, B ∈ IK[X], B = 0. Il existe un et un seul couple (Q, R) d’éléments de IK[X] tels que : A = B Q + R, deg(R) < deg(B). Cette opération est appelée division euclidienne (ou suivant les puissances décroissantes) de A par B. Q et R s’appellent respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de A par B. Etant donnés A, B, A, B ∈ IK [X] , l’algorithme d’Euclide fournit une démonstration et un procédé constructif d’un PGCD D de A et B, ainsi que d’un couple de polynômes (U, V ) tels que A U+B V = D. Le théorème de Bézout permet de caractériser les couples de polynômes premiers entre eux et le théorème de Gauss en est une conséquence. On définit ensuite un PPCM M de A et B qui vérifie M D = A B. De plus tout polynôme de IK [X] non constant admet une ”unique” décomposition en produit de facteurs irréductibles : on peut l’utiliser pour obtenir une expression d’un PGCD et d’un PPCM de deux polynômes. Le corps (C, +, ×) étant algèbriquement clos, les polynômes irréductibles de C [X] sont ceux de degré 1. Les polynômes unitaires irréductibles de IR [X] sont ceux de degré 1 et ceux de la forme X 2 + a X + b, avec a2 − 4 b < 0. On ne sait pas expliciter tous les polynômes irréductibles de Q [X] . VII.2 Dérivation et racines On définit la dérivation (formelle, il s’agit d’algèbre !) des polynômes. On définit de même les dérivations successives et on obtient la formule de Taylor. Théorème : Formule de Taylor Soient IK un sous-corps de C , P ∈ IK[X] et α ∈ IK. +∞ On a P (X) = k=0 P (k) (α) (X − α)k ou encore P (X + α) = k! +∞ k=0 P (k) (α) k X (les deux sommes sont k! finies). Avec les notations précédentes, la formule de Taylor fournit un procédé de calcul des coordonnées du polynôme P (X + α) dans la base canonique de IK [X] . Par ailleurs, elle fournit la caractérisation de la multiplicité d’une racine d’un polynôme. Ainsi, étant donnés α, α ∈ IK, m, m ∈ IN∗ , les assertions suivantes sont équivalentes : • α est racine de P de multiplicité m • P (α) = P ′ (α) = · · · = P (m−1) (α) = 0 P (m) (α) = 0 • P (α) = 0 et α est racine de P ′ de multiplicité m − 1 11/14 MEMO ALGEBRE GENERALE VII. POLYNOMES Formule de Taylor Soient n ∈ IN, IK un sous-corps de C, P ∈ IKn [X] et h ∈ IK. Alors n P (X) = k=0 P (k) (h) P ′ (h) P (n) (h) (X − h)k = P (h) + (X − h) + · · · + (X − h)n k! 1! n! On a de même n P (X + h) = k=0 P (k) (h) k P ′ (h) P (n) (h) n X = P (h) + X +···+ X k! 1! n! On écrit ce qui précède sous la forme +∞ ∀P ∈ IK[X], P (X) = k=0 P (k) (h) (X − h)k k! +∞ P (X + h) = k=0 P (k) (h) k X k! Algorithme de Hörner : Etant donné (α, P ) ∈ IK × IK [X] , l’algorithme de Hörner a pour objet le calcul de P (α) . Si on a n ak X k , il s’écrit : P = k=0 B := 0; f or k from n to 0 by − 1 do B := A[k] + B ∗ alpha : od : B; Relations coefficients-racines : Soit P, P ∈ IK[X], un polynôme scindé sur IK non constant, de racines α1 , α2 , . . . , αn (non nécessairement distinctes). Ainsi P = an X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 = an (X − α1 ) . . . (X − αn ) avec an = 0. En développant, on obtient P = an X n − σ1 X n−1 + σ 2 X n−2 + · · · + (−1)n σn où l’on pose ∀k ∈ [[1, n]], σk = αi1 αi2 . . . αik 1 i1 <i2 <...<ik n an−k . an n, sont appelées fonctions (polynômes) symétriques élémentaires des et alors ∀k ∈ [[1, n]], σ k = (−1)k k Les quantités σ k , 1 racines de P. Leur importance est due au fait que toute fonction polynôme symétrique des racines du polynôme scindé non constant P est fonction polynôme de σ1 , σ2 , . . . , σn et donc rationnelle des coefficients de P. Formule d’interpolation de Lagrange Soient n ∈ IN∗ et a1 , a2 , . . . , an des éléments deux à deux distincts de IK. Les éléments de IK[X] admettant a1 , a2 , . . . , an pour racines sont les multiples dans IK[X] de n (X−ak ). k=1 Soient b1 , b2 , . . . , bn ∈ IK. Il existe un et un seul élément L de IKn−1 [X] tel que ∀k ∈ [[1, n]], L(ak ) = bk Ce polynôme L est appelé polynôme d’interpolation de Lagrange. Les éléments P de IK[X] vérifiant ∀k ∈ [[1, n]], P (ak ) = bk sont les polynômes de la forme n L+Q (X − ak ), Q ∈ IK[X] k=1 12/14 MEMO ALGEBRE GENERALE VII. POLYNOMES On définit les polynômes d’interpolation de Lagrange ”élémentaires” associés à (a1 , a2 , . . . , an ) par n ∀i ∈ [[1, n]], Li = X − aj a − aj j=1 i j=i caractérisés par les propriétés suivantes 2 et alors ∀ (i, j) ∈ [[1, n]] , Li ∈ IKn−1 [X] et Li (aj ) = δ i,j n L= bi Li i=1 13/14 MEMO ALGEBRE GENERALE VIII. FRACTIONS RATIONNELLES VIII.FRACTIONS RATIONNELLES Le principal résultat pratique à connaître sur les fractions rationnelles est le théorème de la décomposition en éléments simples dans C (X) et dans IR (X) . Théorème : Décomposition d’une fraction rationnelle en éléments simples dans C(X). Toute fraction rationnelle à coefficients dans C est égale à la somme de sa partie entière et de ses parties polaires. P Plus précisément, soit F = une fraction rationnelle irréductible à coefficients dans C, avec Q N deg(Q) 1. Si la décomposition de Q en produit de facteurs irréductibles unitaires s’écrit Q = λ (X−ai )mi avec i=1 λ ∈ C∗ , a1 , a2 , . . . , aN sont des nombres complexes deux à deux distincts et m1 , m2 , . . . , mN des entiers naturels non nuls, alors il existe un et un seul polynôme E à coefficients dans C, une et une mi N c ij . seule famille (cij ) 1 i N de nombres complexes tels que F = E + j (X − a ) i 1 j mi i=1 j=1 Théorème : Décomposition d’une fraction rationnelle en éléments simples dans IR (X) . P Soit F = une fraction rationnelle irréductible à coefficients dans IR avec deg(Q) 1. La déQ composition de Q en produit de facteurs irréductibles (unique à l’ordre près des facteurs) est de la forme p q Q=λ (X − αi )µi i=1 (X 2 + 2 aj X + bj )mj j=1 où α1 , α2 , . . . , αp sont les racines réelles deux à deux distinctes de Q, les trinômes deux à deux distincts X 2 + 2 aj X + bj , 1 j q, sont irréductibles dans IR[X] et µ1 , µ2 , . . . , µp , m1 , m2 , . . . , mq sont des entiers naturels non nuls. Alors il existe E ∈ IR[X] et des familles de réels (λi r ) 1 i p 1 r µi p F =E+ i=1 µi λi r (X − αi )r r=1 q mj j=1 s=1 + (cj s , dj s ) 1 j q 1 s mj tels que cj s X + dj s (X 2 + 2 aj X + bj )s et cette décomposition est unique. La décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle permet de calculer les primitives ou les dérivées successives de la fonction rationnelle associée. Il ne faut pas hésiter à revoir le cours de première année pour se remettre en mémoire les techniques de calcul de la décomposition en éléments simples. Rappelons notamment : • E est le quotient de la division euclidienne de P par Q P (ai ) P (ai ) • valeur du résidu pour un pole simple ci 1 = ′ = avec Q = (X − ai ) Q1 Q (ai ) Q1 (ai ) • penser à un calcul de développement limité pour les parties polaires relatives aux pôles réels au moins doubles • minimiser les calculs en tenant compte de la (im)parité de F, ou si elle est à coefficients réels • si deg F < −1 la somme des résidus est nulle • utiliser des valeurs particulières ou le comportement de la fonction associée au voisinage de ±∞ 14/14