£ % CEAR-4375 j COMMISSARIAT A L'ENERGIE ATOMIQUE ™ 6 5 6 a THEORiE CINETIQUE STOCHASTIQUE DE L'INTERACTION D'UN PLASMA D'ELECTRONS AVEC UNE ONDE ELECTROMAGNETIQUE INTENSE par Gérard Dl BONA, Christian MASSELOT Centre d'Etudes de Limeil Rapport CEA-R-4375 1972 Ha SERVICE DE DOCUMENTATION i C.E.N-SACÙY B.P.h-2, 91-GIF-sur-YVFJTE-France PLAN DE CLASSIFICATION DES RAPPORTS ET BIBLIOGRAPHIES CEA Phyiique tblodque Pfcytiqueatomlqu» el moltcuhire Phy»lque de 1'itlt condeni* Phytiqn# det piumu et rtictton» t&emioaudtairei Aitrophytique.çotoiwJojieetriyojuwmenUciMmkpiei C invention ill rede d'énergie Pnydque da b u t a températures Phy^qoe de» toute» «nergjt* B fi B B B B B B B B B 11 12 13 1* 15 16 21 22 23 24 25 B 30 AnalyHcUnitqiwetUolopIque rnOmiemtDfii]e,chlinieorginiqueetphyiico>chIink ftt&odikrde et àtaét leicUtks Chimie toui nyonnement Corrotlos Traitement ilu cornbuitfble Mftaax M iHfcfet ( jredactionet fab&tUctt) MéUux tt lUligN (structure ei propriété» phydquei) Cfnmiquet et ecrraeti Utllim puotlquei tt entra imtédiux Ei&Uâ«nyo»>etaesttwi}etproeiiiit»tphyriqiin deamitfdiiuc Science! de 11 terre C 10 ActiamSenmdittiM externe reMolojje C 20 Action dti ndlofeotopet et leur cinétique C 30 C 40 C 50 UiIIisitlandejtriceundintlefKleaceiileUvJe Science! de la vie ; lutiei étudei R»,IJop«tect]on et environnement 0 iO D 20 Iwt^wifttiEarcïtdatiyoaaenieoa Applic4tloMd(!liotopeietdeinyo»iteroenti E E E E E E E E B E E It 12 13 14 15 16 17 20 30 40 50 TheraiodynainiiiuoetmécanJqueikfflttJdei Cryogénie InttalIiliontpUotesetUhontalrei ExplwioiB nucKdrtt UuttllstlciijpouririinlpuIttlondemttÉrliitxradjaictirt AccéUnteuri Eaau. dei matériaux ftfacteun nucittlnt (en général) Réacteur» nucléaire! (typei) InitrumenUtjan Efihienli tt déchet! radioactif» F F F F F F 10 20 30 40 SO 60 Ecaîwnîe U&litotion nucléaire Documentation oaslsai» Sa-ïï^^ito et contrôle Mét&odei Kitbemitiquei et code» de Ralral DJven L§ diffusion, i titn d'échange, des rapports et bibliographies du Commissariat i l'Energie Atomique est assurée par le Service de Documentation, CEP'Saciay, 8.P. rf 2, 91 - Gif-sur-Yvette (France). Ces rapports *>î bibliographies sont également en vente à l'unité auprès de la Documantatfon Française, 31, quai Voltaire, 75-PARIS (Vit»}. Reports and bibliographies of the Commissariat è l'Energie Atomiqua are available, on an mehange btsis, front the Service de Documentation, CEN-Saclay, B.P. n" 2, 91 - Gif-sur-Yvette (France}. Individuel reports and bibliographies are sold by thit Documentation Française, 31, quai Voltaire, 76 - PARIS (VII*}. - Rapport CEA-R-4375 - Centre d'Etudes de Limeil THEORIE CINETIQUE STOCHASTIQUE DE L'INTERACTION D'UN PLASMA D'ELECTRONS AVEC UNE ONDE ELECTROMAGNETIQUE INTENSE Gérard DI BONA, Christian MASSELOT - Décembre 1972 • CEA K 4375 DI BONA Gérard MASSELOT Chrlttimn 3on»»alra L axainan eaa profil* da donatté «t dn «myemtar* da e a r t s l w » aspirjaiteai (J intaracHoa la»ar*i»aUaro nawnat da attoW la domain* da eaa • J a m a * Laa hypothec», a> ootra sMdHa ptnntttant * • dé^aloppor IBM th*o ria applictUa an fénéral at VWiracium d no cbaaap dl»Rtr*aMcnéUqa* fort • w e w n l a a v a eltaatnaa, won Baaatiqna at nan ralMMata, at an partlcuUak M S tmtantctioM laMr-MMtlmr I * H I M an évidanaa d'à* naUt paxanètr* d« dtvalopamtant M M a i w i s f a » e%ra*téH«* ! • * inMraatloM fori*» H o w *t« « • m » c * typo d'istorafeU* f a r M I ndthoda otoekaoltdB» dériva* d* call» da BTRATOHOVtCH. Hods a»»»»»*» «ter* « M «ttrarcid* d>oen»ftloaa qui pant ttra,, lonftda k 1*«H» #am « M M W I I 4 M fbwrtlono da probabilité par rapport an paraiaatro précité at « l e a a » davoloppomaat «a c a M a r das fonctions da °btt«ttt nljtai aiftat "an ayawlar ordra on an )tu da davx tqimtiooa equations oorrdlatloi»* On obttant | * n * n u i t la ayMawa La da Jau « eolation* E°wvarnant 1 •tttts^L * réonlatlon r ' tartaric tioa d ua plasma Kvac MM 0«J« Ida élértroniapiétlqiM clcrtroniapiatlqBa forta aoadutt aoaduH *u calcul du da •Ion da l'équation t a r a * ij« frlctiaa at da jllfaalon Veonatlon d évolution da la fonction da r / 4 CSA R.487S - DI BONA t^trard, VUSSKLUT Chrtatisn c 1 STOCHASTIC icgçrric rmcmx o r THB INTEEAÇTIOK O» AN BLBCTROH PLAflkU. WTti^XJKTWmx «UBCTROMÀGWBTK' V A S F C SHOMBTT - A n u n c } of <dniHj and tenaaratart d U f t m a * Jar soma axptri m a a u OH l a a w latorMttcnr wWi m a t e r allowa to Voe*»« tfc» tansa at thcaa p l M i M Tha aaaaaaaHanat aT our niodol allata a s to dairy oat a 01801» that can b e aesMat fMarvUr w lea latareotipo of * stroa* otootrHSc-aatte^flcld - i t h a- aUsasasl, B I B ajisattam and Hon rolattvistla p t e * * * aad p*rtic»«tfîy -to iMar wMUr IBaafcactioaaVfA^oiaaQ dlmansloBltM «awpalov oarsmrtae £»S1* trodaaod « M a * «MM loAs-fccHont tk* «tTooj IstarsAiftapa, « 4 auriy «t*a Mod or lstaraçatoli Ky waahé-of » ctoeltfotU watbod M U W I m STiWTOKOTTCH «*»!• » * «kWn « idtpsjWay at «VHU'MW wbtch «ad W twotao by axpasdlmf pralM^UMr m l w H w 4 M >«BMMt M tn« Aboro^MftbNMi par*»»*»!; »raT by s s t e f slarikor WaSaMUaièV «orralation ta^" •a^ThW, ta Krsl ordtr, « H t at two DUoHn S W t i a a a «MpMHal (bo syaw^P>C *MaB»H t l w Oftayot. of t u a oat of aoaaWoaa Utm**im c o m w u t l o a «I tfco fftedoa and d t t ^ l o ^ D lorsM wMch a p p t w i « S D | O4O»BUOB oquation tor t b * o M parUeJa dJatrthvUM l { TABLE DES MATIERES PREMIERE PARTIE : EQUATIONS CINETIQUES I - Introduction H - Modèle théorique II. 1 - Liens avec l'expérience H. 2 n, 3 H, 4 n. 5 - Hypothèses de notre modèle Normalisation Densités de probabilité et fonctions de distributions Méthode de STRATOKOVICH modifiée par KAM CHUEN SO III - Application de la méthode de STRATONOVICH m.1 Kl. 2 m. 3 m. 4 - Solution du système \ = F° {%. t) Changement de variable Equation de STRATONOVICH Transformation Inverse IV - Equations cinétiques IV, 1 - Introduction IV. 2 - Equation d'évolution de f IV. 3 - Equation d'évolirtion de g ,, IV.4 - Equations cinétiques DEUXIEME PARTIE : FRICTION ET DIFFUSION I - Introduction S - Changement de variables DI - F r i c t i o n TV - D i f f u s i o n V - Equation d'évolution de t. VI - C o n c l u s i o n - Anxwxe - Bibliographie f di*trOitiUM B&BpU gouvernant i* système * j premier ortfre C»1U 4qmtion d «-OIMUM a poor Itoatt* 1 Cquatiao Ot BALESCJ U3NÀRD l o n q » I on MWWI* la « * • • » «aferlaar C « i » l m r i t t J 1 S o r f U JUoaiqua Frstic* ^ t n B î 0 l t s t a T Û r p 3 luaettoo gawanOM * * * * j " * ' ' * & i * «^BÎatJon e«MtiJâ tarif l»t» u n u x b B « t l f p l f « i — H o c »(i«n th. mifrml ftald la talM» afjtal ta «« ^ \ M p8 ConaiLtMrUt t n a w J h AMCBK"* • T-—Ti^ll' \ .WMtQl Frcnce ' ? *- Q PREMIERE PARTIE EQUATIONS CINETIQUES I - INTRODUCTION Nous nous intéressons à l'interaction d'un plasma d'électrons avec une onde éleciromagnétique datas laquelle les électrons acquièrent une énergie Y.' supérieure on Égaie à îeur énergie tnermique KT . Nous supposons en outre que la fréquence m de l'onde est supérieure ou égale à Is fréquence plasma tu . Quelques auteurs se sont intéressés à ce problème en utilisant ]&B méthodes de théorie cinétique classique [ î . 2, 3 } . Noue abordons ce problème de manière différente à l'aide de méthodes stochastiques,, Lea aquations d'évolution des fonctions de distributions sont obtenues par la méthode de STBATONOVICH [ 4 ] généralisée par KAM-CHUEN SO {S] et OGUNLANA [ù] . Nous supposons que la farce déterministe due au champ électrique est responsable clu mouvement non perturbé et les fluctuations dues aux interactions entre pariictiles résultent d'une force stochastique faible. L'ordre de grandeur de cette derniôre esl doniM* par le pro^jil a ces petits paramètres e = — -= utilisé par ftOSTOKSîî [ 7 ] [cf. aussi î 3 i et qui repréD 3/2 •ente l'inverse du nombre de particules contenues dans une sphere de DEBYE, ci E ~ (—— ) n i K T qui représente la petitesse de l'énergie thermique par rapport à l'énergie de l'électron dans Tonde. On obtient alors une Hiérarchie d'équations qui dépendent les unes ^3s autres. Un développement des fonctions de distribution par rapporf aux paramètres c et c n et un dévelop- pement en "Cluster" des fonctions de corrélation conduisent au premier ordre a un jes; de deux équations gouvernant le système. L'équation de FOKKER-PLANK quia déjà été obtenue [9, 103. correspond a la solution de ce système dans le cas où les particules qui interagiseent sur une particule tc-st suivent une trajectoire non perturbée. C - MODELE THEORIQUE II.1 - Liens avec l'ennérience Les hypothèses de notre modèle permettent le développement d'une théorie aDplicable à l'interaction d'un champ électromagnétique fort avec un plasma classique, non quantique et non relativiste. Cette situation est réalisée dans certaines expériences d'interaction LASERMATEHE. L'examen des profila de densité et de température qui correspondent à de telles expériences permet de situer ïe domaine des plasmas qui noas intéressent. Prenons l'exemple de l'interaction d'un faisceau laser avec une cible de deuterium solide, La focalisation du faisceau 1 l'Intérieur de la cible permet une concentration de l'énergie dans un domaine 6ont le diamètre ne dépasse pas quelques dizaines de microns, Les profils de densité et température sont donnés par un des modèles hydrodynamiques qui décrivent l'évolution du phénomène à partir du moment où le milieu s'étend en direction du laser [ I I ] {voir Figure 1). FIGURE 1 T. quelques centaines d'eV 4C5.V 0 „ n e 3.10 a: 5.Î0 . ) déflJ X ration < hoc La zone non perturbés est constituée par un solide à forte densité et à température presque nulle, La zone sous choc est a forte densité et à température non négligeable. La zone de détente est constituée par un plasma dont la densité est faible devant celle du solide. Nous avons entrepris l'étude du plasma situé dans cette derclire zone. La température est de l'ordre de quelques, centaines d'eV et I» densité qui correspond bu transfert d'énergie onde-plasma le plus Intéressant est la densité de coupure n • 1 0 dan» le C M d'un laser «a néodyme dont la fréquence <ïe rayonnement eat so ~ 1,8,10 5 2 1 3 e / c m -. rsd/s. Ceci nous permet de situer le plasma dans le diagramme densité température proposé par 2.L. DELCflOK f l 2 3 (voir Figure 2J. // - O FIGURE fogT 2 e logn Q Ionosphère couche F Q décharge gazeuse à faibfe Intensité £Q décharge gazeuse à forte intensité tf& Intérieur des naines bfanches ^ cas étudié ici • électrons dans les métaux fti peut constater que ce domaine correspond a un plasma classique non quanttque et non relativists. Remarquons en outre que le paramètre de développe ment des fonctions de distribution habituellement utilisé C, •> s- est inférieur a l'unité" dans la zone considérée. nX L'Interaction forte s e r a caractérisée par l e rapport de l'énergie thermique OCT) à D n électron dans l'onde. Noua avons tracé à température constante l'évolution de ce rapport en fonction <* > l'Intensité a u champ électrique de l'onde l a s e r (voir Figure 3). Pour; des températures de l'ordre de quelques centaines d'eV et pour des champs électriques d'intensité supérieure â 10 V/cm le rapport •==— est inférieur ft l'unité. E Ceci correspond à un L a s e r de puissance de i GW focalisé sur un domaine de 10 u de diamètre ou de puissance l u GW pour un diamètre de 30 \i ce qui est en bon accord avec les réalisations expérimentales actuelles. - 8 - H.2 - Hypothèses de notre modèle Quelques auteurs s e sont Intéressés & l'Interaction d'un plasma avec une onde électromagnétique d'intensité moyennement forte e s otDisant les méthodes de théorie cinétique classique. En Î9S5 ALBINIet HAND ( 1 3 ] ont développé de a calculs d'absorption non linéaire d'un rayonnement haute-fréquence par un plasma à partir de la force de friction dynamique qui agit s u r une particule en tenant compte des effets collectifs et de l'émission d'ondes plasmas par les particule» rapides. En 1965 également SH.IN Cl] s'est intéressé & l'interaction d'un plasma avec un champ électromagnétique haute fréquence de forte Intensité. Partent de l'équation de VLASOV et supposant que la fonction de distribution & l'équilibre est déterminée par : il en déduit une équatles da dispersion qui tient compte des effets collectifs, S étudie le taux de croissance des instabilités pour différents domaines de fréquence, mala il ne tient pas compte de l'influence des corrélations sur le comportement des instabilités. En 1868 KAW et SALAT [ 2] qui travaillent dans l'équipe de DAWSON ont étudié les effets non-linéaires résultant de îa propagation d'une onde électromagnétique modérément forte. L'étude est faite dans le ca; où la fréquence de î'orde est voisine de îa fréquence plasma * . Une simulation numérique confirme l'hypothèse de l'augmentation de l'absorption par les effets non linéaires mis un évidence dans le modèle de DAWSON. Enl9ÏO, SANKABTIN £ 3 ] a étudié, en partant de la hiérarchie B . B . C . K. Y . , l'influence dea corrélations entre Ions s u r la conduct!vite d'un plasma soumis à un champ électromagnétique H. F, intense et ceci en supposant la masse des iona Infinie. A la mé-me date, BABUEL PEYBtSSAC calcule le champ électrique induit dans un plasma MaxweHieo pour un champ extérieur E cos sa ¥ en utilisant la méthode de DAWSOSOBEBMAN. Le champ E étant supposé fort, 1-auteur utilise l'approximation de RAKD et calcule un coefficient d'absorption qu'il compare a ceux de DAWSON-OBERMAN et de ALBÏNI-RAND. Contrairement a CBB Buteurs qui utilisera des méthode*; de théorie cinétique classique, nous abordons ce problème de manière différente a l'aide de méthodes stochastiques. Nous ollonu développer maintenant les principales hypothèses qui nous ont conduits BU modèle théorique que nous allons présenter. - Dans la mesure oè la vitesse des particules reste faible devant ceUe de îa lumière, on peut négliger l'influence du champ magnétique haute fréquence sur le mouvement des particules. Ceci eat le cas pour un plasma non nuantique et non relativists. - On supposera en outre que la longueur d'onde des oscillations de plasm» est faible devant îa longueur sur laquelle l'intensité de l'onde électromagnétique forte varie notablement. Ceci noue permet d« faire l'Hypothèse de l'homogénéité spatiale. ~ La fréquence w du champ électromagnétique eat grande devant la fréquence de collision v ce qui nous pe-met de négliger l'influence des collisions fortes sur les échelles de temps considérées. - La fréquence œ de l'onde est supérieure mais voisine de la fréquence plasma u> . - Les ions sont iromobflau et constituent un fond uniforme chargé d'assurer la neutralité du milieu. - Le paramètre de développement habituel qui a été utilisé s<-,tamment par ROSTOKEB [7] est supposé petit « 1 1 - Les électrons acquièrent dans l'onde électromagnétique une énergie W— supérieure à l'énergie thermique KT : KT , ^ < ' - Entre deux collisions fortes, îa trajectoire d'un électron est principalement déterminée par sa vitesse initiale V . après le choc eî le champ éleetriqse extérieur. En réalité, chaque électron Buhlt l'influence de ses voisins et sa trajectoire réelle sera modifiée par les interactions coulomblennes. La solution d'un tel problème ost extrêmement complexe et noua avons été amenés à recherche*' un modela plus sjmple. Noua supposons «lue ia trajectoire moyenne des électrons est déterminée par le champ électrique da l'onde. Lea interactions entre les particules se traduisant par des fluctuation autour de la trajectoire moyenne BinuaoHale, La force déterministe due au champ électrique est responsable du mouvement non perturbé et les fluctuations dues aux Interactions entre particulee résultent d'une force stochastique faible. Dans ces conditions, l'équation du mouvement d'un électron s'écrit : r\j Position et vitesse du } - —— Ê électron. cos tut où —"* E cos tut est 1B force déterministe importante Uée au eaamp électrique extérieur et —— E ( i , t) est la force stochastique faible due aux interactions des particules. H. 3 - Hormalisatictî Nous allons expliciter maintenant le paramfe-re qui définit l'ordre de grandeur de la force stochastique, L'Équation du mouvement d'un électron s'écrit : 5 - F ° t t , *)+ c F ( s , t) (n.4) Si l'on Introduit le potentiel Coulonablen : 1 "*) IV \i On peut alors écrire : Narmal&ona l'Équation CE. 13 par ; fÎ - ^r v . v v* s . . -L-t* Four la j ' particule, le système <H.l) s'écrit : • E cos (ut - - H devient alors : 1 c m c J „* î . — . E cos t - —— . m o V _ se xj k=*-i a ^ * (n.8) Oil constate alors que , 'I*. ,X *V E B o r——} 1 B , t—=-i , l K T (— l ' - S M ^ . . ^ ) . ^ ' Nous avons ci-deasus le produit de trois termes * ~ •— qui représente le rapport de l'énergie thermique à l'énergie de l'électron dans l'onde et qui est plus petit que 1. * J / K f = 1/n \ _ qui est le paramètre habituel de développement et qui lui aussi est Inférieur à 1, * 1— / S qui représente le rapport \ / X_ que nous allons expliciter : 1/2 *E 1/2 ^ • ^ ' d'où finalement • l-^-l • ( - 4 - 1 • <TSr > • «: «s V Le système (H, 8) devient alors On pourra alors considérer que c « 1 d'une part dans la mesure où u> est voisin de m , ou P bien d'autre part dans la mesure où m/ w n'est pas trop grand par rapport à s e „ . Nous avons ainsi mis en évidence le paramètre e posé au départ, Ce petit paramètre nous sera utile pour effectuer les développements nécessaires. H. 4 - Densité de probabilité et fonctions de distributions Four définir les densités de probabilité et les fonctions de distributions simples ou conditionnées, nous suivrons la notation de KAM-CHUEN-SO [ 5 ] qui nous a paru la plus claire. 5 = (x, v) est un vecteur à six dimensions. Soit D n y . {?,, t-; . . . . ; Ç , t.) la densité de probabilité de trouver leB particules JJ en g. au temps t (k = 1, J). Ici u_ . . . y représentent une suite de j nombres pris dans la suite (1, 2, . . . . N). (Si l'on ne considère que des distributions symétriques, ni ors on peut supprimer les indices lorsque ceux-ci sont distincts). Par exemple : (S, . i, ; 5p > *o i §q ' tq) représentent la densité de probabilité de trouver "1.1, la particule 1 en S à t, et en g à t et la particule 3 £ Enfin définissons : - 14 - -• • La-densité da probabilité.tie trouver les particules p sachant que les particules u ' sont en 5 ' ' m Par exemple : D à d 1 c à t (m l, m m e t r t i /a '^1 *1 / ^ ? *?' ^i ^ a 5, a t. Bâchant que la particule p . est en S l a à r o D a b f l l t â l 2 on g à t (n = 1, . . . J ) ,,,k). P 2* de trouver la particule p en Nous pouvons supprimer les indices dans les raffines conditions que celles définies ci-dessus. Etant donné le nombre de particules contenues dans le volume V du système, il est utile d'introduire les fonctions de distributions à j particules (j < N), fj K , S j . t) » V^D (S t : J . . . ; Çj t) De manière analogue, on définira des fonctions de distributions conditionnelles : ( 5 ej/k i'V*-- avec iVj/sW'iï.-.iS'fc.ty i +k < N . n . 5 - Méthode de STRATONOVICH modifiée par KAM CHUEN SO Nous allons dans ce paragraphe retracer la méthode de STRATONOVICH [4] modifiée par KAM CHUEN SO. STRATONOVICH part de l'équation i " e F (x,t) et suppose que F n'est pas conditionnée par la valeur initiale de la variable aléatoire X (t). Ceci n'est pas correct dans le cas général notamment s i la force stochastique ç F est due au champ Coulomblen. Par contre, KAM CHURN SO [ 5] spécifie la valeur initiale de la variable aléatoire, ce qui modifie les résultats de STRATONOVICH. L'équation de départ est : avec la condition Initiale & = F(x,t) x (o) • x Posons : Z=x(t) - Ï Q - e Zj + c 2 Z + ..,. (H.10) 2 et développons F (x,t) fa série de TAYLOR : e F fe,t) =• c F (x , t l + G • £ £ O 03C 2 (x ,t) [ c Z , + t z . + , „ ] O 1 £ (H.11) De plua, nous avons : Z « i = G F (3£ , t) = e Z j + c 2 Z En identifiant les deux développements ci-dessus, on obtient : Z . - F (x ,t) soit Z.,j (x ,t) - I F (at^t'Jdf o ÔF ( Ï ,t) = —-— Z, soit 2 Z, 1 3 ^o* ' [ dt ( t ) ""aî V " I Ftv»*)*' SI Z et Y représentent deux variables aléatoires, notons D _ ( t ) (z) la densité de probabilité de la variable aléatoire Z (t) et D_... (z/Y = y) la densité de probabilité de la vaZi(tJ riable aléatoire Z (t) sachant que Y y. Nous allons définir la fonction caractéristique conditionnelle ( (u/Y = y), c'està-dire : ? (u/Y = y) = < e / Y = y> n l u Z z = /e = 1 '+ i U Z D (z/Y=y)dz z Z *—!n •= 1 ' n <Z / Y = y > r En Inversant, on trouve : D (z/Y-y).-i- / z = ^T - [1 + Si Z - X on a : 2 /e-'° [l+ E a-1 (- - ^ - ) a e - i u z f z ° ^ ( / Y = z|du (H. 13) y <Z°/ï-y>d„ < z " / Y = y > ] 6 fa) z Y D x <* / Y - y) - r> k - y I Y - y) z Moyennons a : r Y dans (11,13), on obtient : D„ (s) . [ 1 + C n-1 - i - (. _ i _ ) "•' a 1 < z" / Y • x > ] D (I) Posons alors : X » X (tl . Y = X (ol D x (x) • D <x, t) D „ ( y ) •:"iy. o) • {1 + L) D (x, o) 1+L-1+ E -i-(. J-) n=l * n < "/X(o) • X > Z a On peut donc écrire : ^ - D (x.t) • £ D (x,o| • L (1 + L ) - ' D (x.t) Comme Z = c Z + c Z - , o n a d ' a p r è s (11.14) â l ' o r d r e 2 en e L "- c ^ - < Z / X ( o ) - « > . 2 +c (--^) et (1 + L ) " 1 . 1 s 2 "^ <Zj Z /X(o)-x> 1 2 - L + O(B ) <Z 2 / X(o)"x > 3 +o(c ) En combinant (H.16) et (11.17) : L(l + L ) " 1 - - '-fc<i /X(o)-x> - o l 2 ^-<Z /X(o)-!> 2 2 3 + c (- ^ - ) < Z / X (o) • * >(. - 2 - ) < Zj / X (o) » i > -K, (. ) x ! . ( - ^ • | < i Z , U Z 2 / X | o | . 0 * (--^-l < t S Z Z 1 1 /X(o)-*> - (- -^-1 (- ^ j ) < « Zj / X (o) - ! > < « Z, / X (ol - i > )l ] *'-fï '-~bï ' ' Z, /Xtol • ! > ] < £ Z L /X(o)-»> 3 + o(c ) • c(--^)<Z + 2 1 /X(o).x> + t ( - - ^ | K [ Z j . Z, / X [ o ) - x ] a e (--^)«z /X!=)->> 2 2 f t ! - " ^ ) t'--^-) <z + où / x ( o ) - i > ] < Zj / x ( o ) » i > L lll'l K [ A. B / X (o) " s ] = < AB / X (o) = x > - <A/x(o) = x x B / X ( o ) = x> Substituons les fonctions Z, et Z , nous trouvons : i. (i I L ] ' 2 1 » + I (-"Jj) + F - '(-~1-)< 2 f * d . t ) / x ( o ) - x> T I K [ F k , t | , F ( x , t j J / X l o ] . ! ] dtj 2 t a = '--fc' j" <^^ F,.,t )/X,o). ,o, o 2 +o (-^)[{-^-) <F(«,t)/X(o)-« ] / 1 I 1 3 dtj<F(i.t )/X(o)-i>+o(£ ) 1 Si F n'est pas affecté par la specification de X (o) les termes trois et quatre de l'expresaion de droite se combinent pour donner : oD fr.t) St - '-f- + t) * t + c 2 2 c < -&-J I a» Jo ~tï "at ' F ? a ] , ' ' ' ' g | * . V / X ( o ) • * > dt t ] K t F ta,t), F (it.tj) / X (o) - i ] otj '*'" Ce calcul effectua pour l'équation C< F f e . t ) / X ( o l - z > • ! x (o> : "*" / ' F '""'i' ' x <o) "" > d , i I ° '*'" m. is) pour une dimension pmit être généralise à plusieurs dimensions ; Ç - e F (ç, t) où § = [ * ] . Dans ces conditions l'équation d'évolution de la fonction de distribution à une particule s'écrit : ht F v «.H • - e S -ri /!(o)-S>do] «^ + - [ < F , / 5 (o) - 5 » + « S_ . . « - . •t-^-<Fj/5(o> ={>] où F . = F. (Ç , t + o J et où / £ J-. '-til' K [ F , . F. / | ( o ) . S ] d„ < F j ^ / S M " ! >do a K[Ç, n ] < 5 f i > - < Ç > < f i > fj (S, t) est la fonction de corrélation. Nous avons noté < F . / 5 (o) = Ç > la moyenne conditionnelle de F sachant qu'à t = o , ?(o) = ç . Nous allons appliquer cette méthode à notre problème. - 19 - i n - APPLICATION DE LA METHODE DE STRATONOVICH Nous avonfl donc a traiter l'équation (11,1) : (H.1) et pour cela nous utiliserons la méthode de STBATONOVICH [ 4 ] , généralisée par KAMCHUENSO [5] et par OGUNLANA [ 6 ] . Nous allons tout d'abord chercher un changement de variable nous permettant d'obtenir un système du type Ç • «Flî.t) Nous traiterons ensuite ce système par la méthode de STRATONOVTCH puis nous reviendrors aux variables initiales. Rappelons que : 7 F (Sj » t) • < 1 F°(5 ] ) E " "m" o Le système | C 0 S *"* t) J = ( F ) (5 t J 2° 1 ' = P ° {§ , t) s'écrit alors : Notons S (t, t , Ç ) la solution de ce système qui vaut g £f F COS lUt - COS t U t n à t , noua avons + (t-t ) sin u;t ] ' rt n (m. 2) afin d'alléger l'écriture, nous poserons : E (t ( a l n E o l " V " ' mTT o *l " s l a •" V C08 lUt. - COS Ult _ 8 m 1 ^ • v v - ^ . — - 4 — - * l'i-y»'"»^! On peut alors écrire : x. + (t - t 1 v , - Ê (t, t , t } 3 (t, t . ç ) o j o IH.2 - Chaneement de variables c'est-à-dire : Si l'on note par 5 , S , S" 0 , F° les composantes de C . , S , S" et F , (ji = 1, 2), noua constatons alors que : ÔS "ât 3 - 1 2 + t s F °v v=l v as"* r^~ " ° * Mv D o u r M =i- 2 En effet s * 1, ~ + . Polir „ . 1 — : 2 S„ F_„ ° s—s,i ' V 1 '» '-S •<• v as, S eE + v + (t - 1 ) O 2. c 0 6 ujt » 0 * . » s s i »ïj _o + F". 2 '"i oïj (m.7) as" - r r at Pour M » 2 : 2 + t - v - ÔS e E e E ——-— cos ujt - 2 F° —z* v a ç 1 j COB v Effectuons maintenant le changement de variables suivant T, = t S, = S(t, t n.) T^ 1 • S" ( t . t . 5 1 o On peut alors écrire an,, 2 at ' as 6 s u l v d t At or d'après (H.1), nous avons : d n —Ai d as"' . ._M_ * a B t 2 s v " 1 a a s" P Jv + F ) (F° 5 C v v et si l'on tient compte de (m. 7), 11 reste : dn, u as P ( n , . e ) • F <s <t. t , n . ) , ( c , j\,<v M V • ^ . 1 , , . B . i ! ^ tut = 0 Alors (II, 9) devitTrt « d 6 3\J i n . 3 - Equation de STRATONOVICH Le système (IILll) peut être traité par la méthode de STRATOKOVICH, ce qui nous permet d'écrire l'équation que doit satisfaire la densité de probabilité D (ru , 5 }, Noua noterons T|, la M composante du vecteur TI- de la particule n" 1 (avec p » l , 2), -D<n ,B ) - [ < 3J,/*!<*„> = Tij : »*u + e Z< * ' < t T^ o " ? v l ff o ) = 1 ll > d ° + c 2 S a v „ u, v a v (t % n 1*1 t / tij ( t ) n Q 1 *' ln & T 1 a n a î l ïv > do où 5* signifie que la fonction est évaluée à (t + c ) et où K eet la fonction de corrélation K(ff. B) = < a 0 > - < a> < B > notons en outre que toutes les moyennes utilisées sont conditionnelles, c'est-à-dire que les moyennes du type < > / f[ (t ) ir > sont calculées avec des densités de probabilité conditionnelles. En utilisant l a définition de *$ , on peut écrire ; n c ? • Notons que F ^ = F ^ , 0 + T) - F (S (t, t , T)). t + o). Q Nous allons pouvoir calculer maintenant, un à un, tous les termes du membre de droite dans (m.12) : . Framler terme f "l|i u i u i ° m ax V ° "i - Deuxième terme T *(-=-] f -«J '«I J «o > [T + o - t Id,, 2 • '-^' - £ - / < -*T- V „, (i ) • „ , > - . 0 l o i - Troisième term a P. v "lM 1M a n : ° sï ,) - J t -z sï ' - — / [ K[E\ s ''1 2 ^l- -) — z * Il ''1 o — I »1 K [ E . E ( r+ . t ) do 0 ' ° ' / i, (t i • n , 3 / n j (t >- m ] ( T + « - t ) d o o K : E , E / n (t 1-n, ] d„ (] o - Quatrième terme E t - c-f—<»/i, c )-i,>] / < „ / i i i< i""i 0 "1 /•• av ax J J_ _>_ C-Ï— v a v 0 "<1 f <E/t, (t ) = t, >] 1 o 1 - t -e / J - <E! / t l V " l t - e t > d " > d ° HI. 4 - Transformation Inverse Nous avons obtenu l'équation d'évolution de D (n . T ), mais en fait c'est D (Ç t) qui nous intéresse. Afin de trouver l'équation d'évolution D (g , t) nous allons effectuer la transformation Inverse de (m. 8) qui permet de passer des TI aux Ç : n - S (t , t , Ç ) Q la densité de probabilité s'écrit : 1 D ( „ , Z ) = D {S' (t . 1 \ Q , g), t) - J D (g , t) où J est le Jacoblen. Pour effectuer cette transformation inverse, nous allons avoir besoin de a h(tij.C) a h i s , , t) a ç. quelque soit la fonction h . U-l ah<[ t] + z E D'après (in. 4), on voit que x »- a h (; . t} -^ De même, d'après (ni. 6), on trouve que : et par conséquent le Jacoblen est : \ D 1 ' d'oo • (n , . c ) - D (C , . t) et d'après (m. 18), U vient : 2 at D(!. . t)+v, "l iBB.,11 COS (Il t 31. av. Appliquons maintenant la transformation inverse au membre de droite d - Premier terme - Grâce à {m. 13), on obtient pour (m. 14) : s E - « - '„> -t - V - < i h »„> " °i =• • -t « • •«„> - V - < / Si "„> • "i > ( v "l " *1 " l 'l + E E o "' V *>• "1 - o "' V xz »-°ir op » < 'o . ( » s / a -Tj5— > / l 1 i, x *« —r TU , . < » . ( ° , ) ' 5 / a ^ - > " Y -Vl'*'"!0 J ° P < V>. ( , ) ' } / a -g5-> / v ,.<•,.. e j- Y l °P< "" - ( » 5 / a STT- > "P(°l- o + ) ) T < ' i s . 1°;) l / a op < " » . ( » ' S / (9 T "m) j n o l î a-âj-> <—>" < . A - 5 - .( > - 1) (-s-) *"* . / » P ( ° , - ° + ») < "» . ("») ' i /°a-j=ç- > e -5-A-ii I i- i r .7 / — (°t -1) "is _ (-^-) + _ - T - . < » - " '—> + msnq° "° *UO&BJ smpni vi BQ - auija} aingfxnoQ - m *v J1 - i 2 .(-?") m car f ° / - i ~ a ° p^ <-ff-E / t ft av, \ - t —2 au tt„)-«, > «do aï, « ' ° ^ 0 , E étant fonction de x, et t uniquement. - Troisième terme - On a de môme, à partir de (m, 16) : . 2 » 2 f° - <-=-) :* ° 1 r, i i , / K [ E , E II ( t ) • » : odo+f t. - « 5 1 - J _/[=• V ! * . ^ 3 ( d ° - Quatrième terme - Enfin, a partir de (IH. 17), il vient -1-5"' - J f I - < Ê / ! j « „ ) • • , >] 4rlt-!r<Ë/5 [ t J - a , >) _/ <Ë / S j i y • » ! >.4> I < Ë / 5 , (t ) • « . > d 0 f Finalement, compte tenu de (m. 21 ) et de la définition de la fonction de distribution aune particule, l'Équation (m. 12)devient : •fj- " ' i ( ? , . t) + V, . —$- - - ^ B ! ! ) 1 ' ° ' ° 2 >v", i î , | 2 e ^i s v . 2 3 i • i , 1 o E I I V 1 t ] • r ° < -E / a J t - t l 5, (t ) -a. >à i C T l O o * Précisons un peu ce que signifie E on avait par définition 1 j S, (t_î o. > / J.lT v 3 "1 /"" J i »- i t -> 5~ < / l >j -- Jt^-I » 8 I I RV a v < - ~ E /{ it ] . i. > „ ( ! „ ( , I f »» » Ir ° m cos « t ( < / ! , t o • «. >',) + (-r-i - * - " »*l"l I V + HH -^- E „ — m . o : E (r^ , Z ^ = Ê (S (tj , t . Tjj), tj) . Q Effectuons le changement de variables : 1 »l! » S" (^ . t , Q *1 sur la fonction E = t C + a ) - 1 - E [S(t ) l °E<f|, » Ê* ( S ? 1 't . t . B,). K x o l + a) 1 x + o . t . S" (tj , t , S ) , tj +<r ] 0 o : Alors (EL 4) et (m. 6) combinées, nous donnent : 1 a i 1 J 1 S [ t j + <J. t , S" (tj, t . Tl ) ] Q o ] l +E (t + o , t.) / (m.27) £ représente donc le champ au temps (t. + T ) en un point où se trouverait la particule 1 au temps t, + a si elle avait suivi le mouvement non perturbé. Pour terminer ce paragraphe., nous allons réécrire (£11,26) sous la forme que nous utiliserons par la suite, c'est-à-dire en faisant t = 0 et en remplaçant les vecteurs par leurs composantes. Ainsi nous écrirons : f a 3 l Vl ' 7T, = Vla f i ~^ où a est gommé de 1 à 8 (Convention : Indices répétéB deux fois dans le mStne terme a 3 S ). o= 1 L'équation (m. 26) devient donc : a at -^«•V'i. a o h ' E T^7--ir „„™"«iTv7;" 5 "m" 7S^<<V 1<°>- °1 >V e +( 2 a E I /" ° -=-' 1Î7,, ( ./ 8„ <5^ V -O ' 1,,.^, {/ ^ "'-m-'" o v { / , l o C 1 8 ] 2 K E v°)-"i>°°°<ij E t < , B „ / 5 «•) • o, ] o d, . j t K [ E E B E | ! i j / 5 - ' t - ' ^ [ti^-< a/ l«»-"L + 2 E ! 'i"' -i^7 ( t ^ 7 < a ' l « > ' - ° l 3 ] S t l ( o ) . ^ : d ^ 0 S l < |,'!ll1-1>«*'iJ t E / < „/5 (o)-« >d«,. J, t B I 1 1 ÏV - EQUATIONS CINETIQUES IV. 1 - Introduction Nous avons trouvé, au Chapitre HE, l'équation d'évolution (M.26) de la fonction de distribution à une particule f, . D'autre part, noua aurions très bien pu appliquer la méthode de STBATONOVICHavec la densité de probabilité D ( ! t j / ç , , t . ) ; cette fonction aurtit satisfait l i a rnSme équation que D (Ç- . t ) d'où il résulte que g, , ( t , t- / e_ , t„) satisfait à l'équation (m, 28) avec la condition supplémentaire r 5 W • 2 imposée sur toutes les moyennes, c'est-à-dire : E ! - t T^7 < a ' 1 ( o ! ! " "l • W " 2 » «1/1 1 ] d • ' t ' » , , ' , ^ , l . / ' V . . " ! ^ ' - ^ ' ' <V-«2 » '«l/l ! e + 2 6 E f° a E '-S-! T v ^ j ; . , ( 1 2 S a l 2 KCE ^ V . f U , , /., " -^ l < ^7 B„'«l °>-^' "2>-5 =-'» ''e / E 2 ( S ( 1 ! ]d 1 : a „/5l "'-"l' 2 y 2 '" ./. e C E ^ rff < V l <•» " «I' h <V-VJ / < ,A«>>" V«2 <V B < ( ( -* — [ - î V . V « i " ' . - « i - « 2 y s > a B :l ! / . " V i (o) , v ' i V f , ! • * « i / i (IV.l) On aurait de la marne manière des équations d'évolution analogues pour g. ,- , g, .. i e t c . , . Toutes ces equations ne sont pas indépendantes, ainsi dans (m. 28), il intervient g, ,, dans les moyennes conditionnelles ; de môme dans (IV. 1 ), il apparatt & , dans ces mSnu moyennes. Afin de pouvoir calculer f. , nous allons devoir effectuer un certain nombre de développements en fcnction du paramètre g = y c , s , , IV. 1 . 1 - Développement en cluster Introduisons un développement de la fonction de distribution en cluster, nous avons D (B r \ -. ç , t ) - D « j . tj) D ( Ç , t ï + P « j 4 j 5 t ) 2 2 2 a 2 (nr.2) 2 i^J^k <rv.3> Nous supposerons que par rapport à e , P est d'ordre un alors que T est d'ordre supérieur. Notons qu'à l'ordre zéro nous avons, par exemple : »<V*i : î j ' V a D 7\ ( 5 17 i'V f - 41 i -1 2 f{5 i* W (! «l/l 1 * *1 ' W (IV V "7"^ ' I ' V V * V D «1'V f 5 ( I V ° l< l*V - 5) 8 ) et pour une marne particule : » i<! .V«i-*i>" 1/ 1 D ( T (t fi W » [ * i - v i ' r V + ê„(t' .t ,t )]. u ; ; - v , , « V V 1 1 ] 1 IIV.7) IV.1.2 - Dévelgpj»ment_de la fonction de distribution a une particule En première approximation, nous avons supposé que les trajectoires des électrons étalent la superposition d'un mouvement «ictiligne et d'un mouvement sinusoïdal. Soit f°_ la fonction de distribution à une particule dans ce cas. Nous noterons 6f< l'écart apporté par les fluctuations : t = f i + ûfj x (IV.8) L'équation du mouvement avait fait apparaître la force F + eF qui nous montre que les fluctuations sont d'ordre c par rapport au mouvement non perturbé. Q eBt donc logique de penser que ÔF. est aus&l d'ordre e . Nous aurons de même pour g , g : g l/l + " °i/l 6 g l/l où g... est d'ordre Ë . Nous avons vu dans les développements en cluster qu'à l'ordre zéro g . était égal a f- , par conséquent (IV. 8) B'êcrit : D h/l f ! + ( I V ^l/l - 9 > IV. 2 - ^-..uation d'évolution de f Dans tout ce qui va suivre nous allons supposer qu'il y a homogénéité epitiale, c'est a-dire que : -S^- = o (rv.io) ce qui entraîne notamment : P a » ( ï , - x, > 1 "V " " ' j " 1 a Nous allons, duns ce paragraphe et dans le suivant, utiliser les coordonnées normalisées Introduites en (11,3) mais afin d'alléger l'écriture, nous noterons les coordonnées normalisées sans * , réservant ce signe aux anciennes coordonnées. On aura ainsi : N V _N_ * n X^ —— Or d'après le paragraphe n . 3 , d o n c 3 3 X *E y *E X ( °o D , ' D 3 2W 1/2 — - . {-jsp—) W n E a 3 - ^ - =n X ( - ^ - ) 3 ( 2 W E ) 3 / 2 - -J-- (IV 12) E y Compte tenu de l'homogénéité spatiale, l'équation (m. 28) s'écrit avec les coordonnées normalisées : 3 *1 a o O 2 2 - e + « a a » " l o " l l / v 2 a a v a v ia l« X l a l S X a s K a a a s a f l i d tinr " s r ^ / s, w • », J »'i a - » "la a b l a *i 3», t - r = r - 7 ^ / î , (o) - ^ ] , d . » ' " l a 1B ' ^ ' K f° v v a f" - œ 2 S i» S l a 2 »,— J av 2 J V *io " I B l a f° *lo * J ^ *l„ a i -m lB 2 + « -r|—Cr^-<7-rr-/S,(ol-«. >3 f < — l î - / s , ( o W >dcf. a v lo a v B I 1 ( lo * J » -m a i (iv.l 16 où nous avons remplacé la limite inférieure (- t) de l'Intégrale par (- œ) puisque noua nous Intéressons à des temps longs comparés au temps de corrélation. De plus, nous avons posé : S : 't " JA ' l " J' - 2 J-2 U, - i , | Rappelons que * . est relié aux coordonnées ordinaires par Noue allons maintenant étudier les différents termes de (IV. 13) en effectuant les développements proposés au paragraphe précédent et en ne conservant que les termes d'ordre 1». Terme du type A = s < ^ T _ / 5 i ( o ) = °i Ce terme s'écrit at, A-s<—*-/ fN •c S, loi - . at[ï î J J-2 , • T > - c -ï(t,)] L—LJ '° / u a S « fi ' - :, (t.) ' ' / { lo) • s, > g,,, l/L ( 5 ] ,, i / a i . aiS - ï l a,,. «1/1 < V V ° 1 ' ° > ^ 2 J t o l d î j 15 W- ' Nous avons utilisé ci-dessus l'hypothèse de l'indlscernabiltté des particules. Pour que ce terme aoit d'ordre un. Il faut calculer g, >. à l'ordre un. e 2 - Terme du type B B 5 01 "* «"=£ T ^ - ' ' ' " " ' 8 2 I 8 1 1 « « IT ' < t 1„ TT- I ! « » • ^ > • 1 —T7 J +c < J k-2 L ! a«<»i-V — la 2 8 < | î 3 5 ï H i — — / Î, Co) - ^ : lH.,..j,.i ll t„l ,l )-» l — / { (o)"«j> *1B 1 8 I H-D(N-Z) / ! 1 1 1 | 8 l-'2' 'IC»!*' j . - g , » ! * . . ! . . ! . ! - ^ ] ( S l d d • 82/l 2- l'5'3.* *"/«I''" !2 5'3 1 2 I B ! d -» 1 ajtuj +7j o- »„(•, +«. tj . V - » ' 3 1 2 2 D • 2.2/l W W ' V > ' « 2 d ! , 2 (IV. : 1B No. s allons maintenant ëtudter séparément lee deux derniers termes de l'équation (IV.16) ci-dessvj : a) Terme contenant %„,. 2 Compte tenu du fait que {N - 1) (N-2) / V = 1 / s'écrit : 2 e Y* , le terme contenant g . 2 ; ; j _ f " " i - 2» 1 4 v J »tvv-g,y..\.v-;',i 9l »-i« •« 2 / i « ! ! -« ie , = ! l .' *«/'H.»)<'5 s l «', 2 Cependant, nous avons : ( S S «2/1 2 ' *2 = 3 ' S ! h • V = V D(l) et en développant en cluster à l'ordre l : 2 = V [D<2)D(3) + P [2,3] + g ^ j Mala P|l,3) + ~ ^ P (U ] P U,j) •= D (i.j) - D (i) D (j) ce qui entraîne que : B l 2/l . - a i j (aifj (3) * r (a.3) + tj l a i s , , , (a/il + f, [ » « , „ (2/1) 2 Reportons ceci dana B et tenons compte du fait que ftifc, a / -i) f ( S l d 1V Ç 1 ° ° g r i ! c 0 à 1 , h o m °e^ n é i t é spatiale. H reste alors I 1 Bl & î {ïj - x ) 2 t ( , + l • l SV l ° %/l car a S [Xj + v^ o- - ' T* } ~^, 2 2 E Q (t + o , t , t ^ - J£' ] L ( 5 l 2 l'5'3.t 1 + ,)dS d . r ( 2 , 3 ) . V D ( 2 , 3 ) . V D 12/3) D (3) • fj 13) g , ^ (2/3) 2 1 *^> 2 5 3 3 b) Terme contenant D_ „«, Ce terme s'écrit : 2 2 _ L _v. D • 2.2/i l ! > l g [ 1 : 2' i ! ; i- a» t t ' - i " / o 2 JH[; +7 «--g,lt +<..i . i < i' '" 1 ! a d t 1 , 1 1 y-î 2 Pour que ce terme soit d'ordre un, 11 faut donc prendre D . . - à l'ordre zéro, c'est-à-dire d'après (IV. 7) : On obtient alors pour B» : =2-7- J 4/ ll!2 B*./ ' - V "^ Finalement, nous pouvons écrire, d'après (IV,17) et (IV. 18) : c < W > ^ ; T^"» -I - / J - ^ f + l ! l ! + • i "'3' 'i °> h p. 2 - i / ' s ' 'a ° , j a » !>! - ï ) 2 ) d % ^ d «'s a i [ ï , - ï , + (ï, - »,) » : '1 >»a- 1 , u l a Notons qu'à l'ordre cherché, ce terme ne dépend plus de la condition g {o) 1 a>, 'la a», at, —« / ! (o) • ^ > - < — i ^o " IB l 8 B al. —-i- " l | 2 B o. : 3°- Terme^du typo : Ce terme va e'ecrire : , / a «fi,- ï J "7 J " l « *"> 2 • W C (S [ 8 " ' V v - > . ' • • 'i-'i'-* 1 ] °"« 2 ' ,,,,,, 3 Pour que ce terme C sott d'ordre un. Il faut forcément que l'un des deux g /- soit d'ordre zéro ; mais alors il sera égal à f.. et l'Intégrale sera nulle par homogénéité spatiale : 1 C = 0 à l'ordre considéré. Compte tenu des résultats précédents, l'équation d'évolution de f (IV. 13) se ht. a. ,.••••rir./.: a , i y.oo 3 v l o 3 ï l ( 7-00 B a " î . B "la a i *ie *1B la S I 1B Si l'on tient compte de : » 8«, 8«,_ 2 3 1, 8 », 3« 0 > t L 8" 5 J ^r„ T ^ - > - < T ^ ^ - ^^17 c > *< T*T<. T „ 7- ^ " <T et de : ae H 3 3 t 2 a s l s t t 3 X lo l f f 1 ( r 1B at, t Ô X ° r d après la définition de $- a ^ â X lo p lB on obtient : 3t, E &f aï, / as. » *i „ »«i , (IV. 2| ou les différentes moyennes sont obtenues grâce à (1V.15) et (IV.19). A l'ordre un (rv.15) et (1V.19) s'écrivent : B», l i a 5 < «<•, - » ! a 1 , " " T . ' ' °'"° ' " 7"J " " ^ r 2 •'° atj l 5 aB t + 3- l » j lg l 6 Sl/ ( J «l/l<5 ' l/°l-<>)<'5 2 - - / asixj-ij) S '' /5' .' 2 1 3 + 1 2 - - . a i [ ^ +^ o -B (t + „ , t . ) - i ) 1 x tl »l<15 ''5'3 2 a ! (ï. - ï_) / a « S - ï + (ï - v ) o ) où l'on a tenu compte de l'homogénéité spatiale et des développements {IV, 8 ) et (IV. 9). o ] - 41 - IV. 3 - Equation d'évolution de g Toujours en utilisant les coordonnées normalisées, l'équation {IV. 1) s'écrit : Ç { V 2 V = S >dc g 2 r / l (IV. 21) Nous allons maintenant étudier les différents termes de cette éuqtlon en ne conser­ vant que ceux d'ordre un. 1"- Terme du typo : A " e < | 4^;' i ( 0 ) ! | 5 > -v 2"2 '' 2 Ce terme s'écrit : N A • e < I J = 3 3 i [ï - î î I [>! • *' 8 I (t I ] ' / «i <«> " «i . 5 2 (t ) " 5 2 2 > la 2 (t!) J " l / 2 < 5 ' , 3 - j / a l ' 0 : ! d 2 - y € 3 te, - * • , ) où nous avons ienu compte de l'indiscernabiUté des particules et du fait que (N - 2) / V = — e y Nous allons maintenant regarder séparément les deux termes de A : a) Terme en gj-.g Nous savons que par définition : soit & l'ordre considéré : g l3/l'.2) . ' 1 / 2 - V D(1)D<2)D(3) + E D (i) P (j, k) + o (e ) = M." l^Tf-k _ D ( l ) D ( 2 ) . + P ( l , 2 ) + o{e ) J D(1)D(2|D<3) + g 1 / 2 (3/1,2)- D ( 1 ) D ( 2 ) E D(l)P(j,k)-t-o(s ) C- _PJl 21_ 2 i , e D(1)D(2) [ D (1) D (2| D (3) (1 - V LU (3| • - Jj (3) + g D ( l A 1 ) H- (3/D + S D ( 2 ' '• 7 , . | » I ' DBPruH.1.1] J ) (3/2) i ; i où nous avons utilisé le fait que : P(l.l) * D U - D (1) D(jl Grâce à (IV, 22),le terme en g^ , s'écrit : -V J i^T— « l / < S - ' l / ' V W « S !î S , / «#(«, -ï„) °7J A. t-'i'Vi'-^/i'Vi /^.o) + « l A (! .l /! .V]«t 3 1 2 En tenant compte de l'homogénéité spatiale P y 2 J * : â i t S ^ -%/l«3.' l/«l'°" 2 "T " J # lu l t . \ : S a» g lo , i/i'V (IV. 23) b) Terme en^ p ^ 2 2 Nous constatons que ce terme eat déjà d'ordre un, par conséquent 11 faut prendre D ,. _ a l'ordre zéro. Or : D ( 5 D 2/i.2 K ' - *i ' V ° 2 : 3 W ; n V *1 l • ° '• V V D [ V D i { 2 , t) 2 et à l'ordre zéro : D (a,,.) D B . y t [S'a - î a ' 6 [ I , X v E f 2 " 2 " 2 <VV - o "l • 2 • V 6 tv a - 7, ( t . - y * g It,.!,,!,)] 2 - v - E (t, , y 2 o ] 1 (S .,. « , / » , . O i t , , y « ' , 3 z-^-^f'VV ^ ' " • i - i ^ > i - ' i l " . t i ' V ' Alors le terme A cherché devient grâce à (W. 23) et {IV. 24) : SlS, •«1/l'V'l /«2- V ' 3 + < - Ï . - T ft. - t ) + £ (t ,t ' ' 2 A t ) ] ° ' ' ' . . (IV.25) 2°- Terme du type a«. •••« < — •'•£..*. »i T^/l W-= ;! iys 1 -16 1 2 ! ! Ce terme s'écrit : © = e < j.k-3 j *k / î . (o) • a, ; ? , (t.) - 5 , ^ H 2 . . [ . , - ^ i y : : ° 'k-3 [- ^i»- E + 1 t ''i °- i- 0 "la < | 1 -*i.''i^" "lB / S, (o) • «, : ! 2 (1,1 " 5 > 2 © N 2 a S [ï t -ï B x k =3 2 Hj)] a K ^ +7 o - E lt t o a la 1 + », t , t ) t t -- l« k t *<•] *ie / 5, (ol = a, ; 5, (t ) - 5 , > © + Vj o - Ê +e < E ' { • / S, M • ^ ; 5 (t ) • 5 2 2 2 © < "ïi ^ / 5j <°) • V 5 ! 2 <V * 2 » Etudions maintenant séparément les cinq termes ci-dessus : a) Terme © H s'écrit : rv -L. ftlliisll. ; g >»t»i+5 - • *2/2 «3 ' *1 ' h ' \ + 0 / °l ' ° : Ç g { t 0 g t t | i+ ' i' i -*4 d 2' V % d S 4 ] » Or à l'ordre un, g, , se met sous la forme : 13.4/1.21 2 / 2 V D ( 1 2 ) D ( 1 , D 0 1 2 D a D (1) D(J) P (k.n) + o ( ) C l J s 1 cD 2 D(l )D(2)DO)D(4) + S 2 B l + + n u i niai D| D p ° + " wfrm <»°< > < »*«> < - B & ' •, ^.j * „ » «> ^ u ° k f > < e 2 | ] , t (3) », (4) . - 4 t j (31 fj ( 4 } + T r D ( 3 , 4 ) + V - g - ( y D (2, 4] + V - g - j j y D ( 2 , 3 ) 2 + V f. 13) », (4) - T l ( î ) ° C " ! i - V - l - j r y D (1.3) Alors en reportant dans (î) et en tenant compte de l'homogénéité spatiale, il reste : S i (ïj - ï ) » t [ ï j • Vj o - S 3 (tj + o . «j . t,) - ï o 4 ] / .v'D(ç .t 3 2 i ; l ,t 4 1 + ,)d5 3 d , 5 2 V D ( 5 . t, 1 5 , t j + i 7 l - V D ( { . t, / 5 S 4 3 4 . t +<,)D(S , t j + o ) ; 4 + t = » (5 .«i °>>'l/l<V l 1 / 5 4 , + 4' l ''> e i°- ,,V°-W-» ] 4 t + d5 . », « . ^ + »>«,,, < V S / « 4 ' l » > 3"54 4 b) Terme © H s'écrit : a • T v 2 JI - Ta iÏ nD : • • + l d Ç • 3 . 3 / 1 . 2 « 3 ' «1 « ' s • *1 » ' "l • » ' «2 • 2 > 3 Pour que ce terme soit d'ordre un, 11 faut donc prendre D D • 3.3/l,2 ( ! , 3- l ; t < *&; - : - " o+s it, + °. v t,) j 3 a ; '3''l*''/' l'° o s W .. «'» à l'ordre zéro, c'est-à-dire : • [ï-3 - ; - s « • „ . v i . D 5 . 3 o I ( 3 v d'où c) Terme (3) n est d'ordre c donc U faudra utiliser pour le calculer la densité de probabilité D a , 3 / i , 2 à" l'ordre z i r o , c'eBt-à-dire : n i f (? > 4 + o) 6 [ * ' , - z x 3 2 - v W +Ê 2 0 ft t .t ) r 2 2 . 6 [v' - v - Ë ( 2 2 o V t ) ] 2 et alors, par homogénéité spatiale ; 3} [ ï +7 a-S (t +o, 1 . t . ) - ï , ] dç. = 0 •1-3-'!-—3 / le terme (5) est donc nul & l'ordre considéré, d) T e r m e © Pour les me me a raisons, ce 'erme est nul à l'ordre considéré. c) Terme © Ce terme est d'ordre deux, on va donc le négliger. n reste finalement d'après (IV. 26) et (IV. 27) : o « ( x , -x / ) ! 3. ai [ x . +ï: C - E !—! (t t „ _°-J 8 »*la *1 t . t, > - x J t !—! i- i (s , , + <,). i » B ' /" 8»(ï. - ï _ ) ' «1/1 + d! iS <WVi »> ' 4*:t J ,,,„ 3 ai [x. - x - të - v ) 0-] (ÏV.23) d ', '!, . ' , ) 5 „ On constate. Ici aussi, que ces termes ne dépendent plus des conditions 5, (o) a*. a«, de, n a, et 3». 3"- Terme du type : C - ' 2 < T ^ / 5 - <•> - v «s <V • «2 » < ' '^t / ! l ( < , ' '° i ; Ï 2 " 2 , - ! 2 > D'après (IV. 25) ces termes seront nuls à l'ordre considéré, soit parce que certains de à termes qui les composent sont d'ordre deux, soit à cause de l'homogénéité spatiale. Finalement, l'équation (IV. 21) se réduit & : fç >«!/] «1/1 « i - ' i / «2 • V * ' i . " i | ^ . 2 _ J _ [° »'«i "in J . . ' * ^ . 9»l, ^ > . 0 d ° e i A B 2 a [ ° & *l *1 Mais en regardant (IV. 25) et (IV, 28), on s'aperçoit que l'on doit prendre f* . a l'ordre zéro dans le second membre de l'équation ci-dessus, c'est-à-dire g . » f . H vient a rq «i/i < lo / ! i , o ) s J-co 'l/l ' . . ,, ' a »T^7 ^~ 3 v + «i-«,/5 . V 1 " °l "a"!! 'h> 'i a x *la Ô V 10 1P où les différentes moyenneB sont calculées grace à (IV.25) et (IV.28). A l'ordre un (IV.25) s'écrit : «« -jl^ / « ! « » - -i . S ( t „ I - S > a a , r » » s. - ï.) = -V J — j ^ - s e i / i ' V i / V o " ^ + + f a!(ï - ï ) ~7 J >*L e 1 ^ J Ci - ; 2 6e »/' W W ' s - \ «i - V et (IV.28) est identique a (IV.X9). + Ê o "r V V ] a e l , IV. 4 - Equations cinétiques Nous allons maintenant réécrire les équations [IV. 20) et (IV. 29) en revenant aux coordonnées habituelles non-normalisée s ; (IV. 20) devient : of, (v- , t > eE 5 ' » TvT" V i i o > a a i > f i où l'on a pose : J- œ -«E./tjW^ >--£- J a Bo a g ( x , - x_> é ^ ~ 6 g l/l , Ç l 2 ' l / «t ••> ^2 17 31 f ' » d'après (IV. 15). H appelons que dans le système de coordonnées usuelles : . 2 . _ » 2 /olfi.-x,) o» [ï, +5, o -S ( 2 m J "i« d'après (VL19) et (IV28). "le (t t e , t , t,).ï d 'i VV S ] w 3 l - 3; Quant à l'équation (W. 29), elle devient i r < " W 0 » - W V " 5 2 J t 5 î^ -»8l/l/!3- l/S -V " 3 a t l ' " ' r ' i - ^• • i - V " . « i - V i »*1. 1 1 Retranchona maintenant (IV. 33) et (IV. 30) membre à membre, il vient E ^- B l / 1 (5 .. /! .y I 1 2 + 6,,, - „ „ 'ia^ --^r -»'i u L ' oa . 1 e ; —-—• coa tut,1 r5 — —- ar— m v. = — m v - [ < E / 5 (o)-^ ; V V a 1 8 8,/, T^t" = 5 2 P 81,(5,.!) ». E 5 -< « ' l ( o )= °1 > ] f l (IV. 35) Utilisons enfin le développement {IV, 9) hn * 'i + 6 g i/i aincl qii[> IDS relations (IV. 31) et (IV. 34), H reste : e E b (5 + V ttl h/l 1 • *1 'h ' V n s / " t i t J n m v 5 a i ( 6 la ^ %/l " "m— C0S œ t l 757; 6 g lA * i -*a> a^ ( **i/i ? • *i ' V t ) dg r, la 3 8 3 » «^ l n (Sl .v h «i-v (IV. 36) On aurait évidemment pu écrire l'équation ci-dessus en inversant le rflle de ç et 5„ . On obtiendrait alors, en faisant t = 0 : eE 6 g 7t£" i / i «a • *2 / ?i • » o I V * 2Û 7 ^ 7 6 «1/1 — cos tut- f a«g -î <y] 2 3 t a v m 2a J a v„ , d , ( v «l/l«3' a/°l-° S3 l 2- V "2a ax,_ 1 2 ' 2 Après avoir tronqué notre hiérarchir d'équations, nous sommes arrivés à un système de deux équations (IV.SOJwv iIV.37) à deux incombes, S'il noua était passible de trouver ^1/1 '^2 ' 2 f "l ' ° ' f fi grâce'à (IV.37), on pourrait alors reporter la valeur obtenue dans UV". 30) et l'on auratt ainsi Vite équation d'évolution indépendante pour L , l e n o n c t l o n d e - 53 - V - CONCLUSION Noua pouvons maintenant faire plusieurs remarques sur l'approche que nous venons d'utiliser, La "Particule Test" introduite par EOSTOKER [ 7 ] en 1960 est une pr.. ticule chargée associée à un nuage écran. Le concept physique de nuage écran constitué par un ensemble d'autres particules est de nature statistique. L'image statistique du nuage écran est traduite par la densité de probabilité conditionnelle qut s'Introduit tout naturellement dans les équations etochastlqueo généralisées [15] . En particulier l'équation d'évolution de la fonction de distribution simple est une équation de FOKKEH-PLANCK généralisée. Dans cette équation, l'écrantage est pris directement en compte par les moyennes conditionnelles alors qu'il est habituellement introduit par des considérations physiques dans les équations de FOKKER-PLANCK normales [ 1 6 ] . Le mode 1 stochastique que nous utilisons décrit l'Interaction d'une onde électromagnétique forte avec un plasma. Nous avons supposé que la trajectoire moyenne des électrons résultait de la superposition d'un mouvement sinusoïdal et d'un mouvement reet 11 igné, et que les interactions entre les particules donnaient lieu à des fluctuations autour de cette trajectoire moyenne. Ces hypothèses s'expriment facilement au moyen des équations stochastiques. Nous avons ainsi obtenu au premier ordre un jeu de deux équations gouvernant l'évolution du système. Ce travail est une première étape ; la résolution du jeu d'équations est l'objet de la deuxième partie qui .-me:, entre autre, de trouver l'équation d'évolution de la fonction de distribution à une partie ul , DEUXIEME PARTIE I - INTRODUCTION Dans la première partie de ce rappûil, n^us avons étendu la méthode stochastique de STBATOKOVICH [ 4 ] généralisée par SO [ 5] et OGUNLANA [S] a l'Interaction d'un champ électromagnétique fort avec un plasma d'électrons classique, non quant [que et non relativists. La mise en évidence d'un petit paramètre e , cara. térisant les interactions fortes, nous a permle, grfice à un certain nombre de développements- d'obtenir, au premier ordre, un jt^ de deux équations gouvernant le système ; 3 V J *l-^~) t X 1 / de J - GO : < ; , < "of" - i* l , U e ;l ~Ï--C J 3 V i/i V = : ! -] t ' H ô X d *i / 5 j • ' i * - > 5 d 3 U f > J»(î,1 *- ï3, 'l , ,8" !" (x, 1 - î , * Iv, - J,) 0)_ ° / ~^r- • ' — z ] ! ~ ^ ô n e i / 1 « .t /^,o) a 2 I + 2 ; .-Jr 3 ^i/i'-nT " ^-^- 2 al(x_-x (t)) 2 Si ^1/1 „ 2±-£ 9__£ f ° { v t ) On ae reportera pour les notations à la première partie de ce rapport. Rappelons tout de môme que f est la fonction de distribution à une particule, que f- (v , t) • f (v) à l'ordre zéro en e , et que 6 g , eat défini à partir de la fonction de distribution conditionnelle <Vi f " i + 6 %/i où 6g. ,-, eat de l'ordre 1 par rapport à e. Nous avions de pli.3 posa : . E amplitude maximale du champ électromagnétique externe E cos (ut - cos uit • -Ht - t ) ain lut, ] Le dernier terme de l'équation (1.2) peut être modifié si l'on se souvient qu'il a été obtenu & l'aide d'une t'ensile de probabilité conditionnelle à l'ordre zéro, ce qui revient a considérer rdO les particules suivent jne trajectoire r*in perturbée ginusodale (voir Première Partie, paragraphe IV, 3, équation (IV, 24)). On peut donc écrire : l l o l ' - E (t , o) ° (voir Premiere Partie, paragraphe n i . 2, équation | m . S». Nous u'iliserons désormais cette dernière expression dans l'équation (I, 2). Remarions enfin que l'Équation (1,1 ) peut aussi s'écrire sous la forme : — & v - — : — cos at . a l j", F, v = a l v l représente Je terme <ie friction e( 6'écrtt : ! ' ! . < , ) • "S- <Sl 5, ( » ! - . , > n /" Sîff, - ï > §) représente le terme de diffusion et s'écrit : 2 ( "o , 1 ° 3 1 e /"ilîV.ïal » " v v - ''i-°-'i ••!'•'«] do a -co J a*! . r»,»^*,,) 6 a*! E l / 1 (5 . W ' l 3 + ° | d ! 3 d 5 4 ( (5 .« )15 1 m - - œ J êi, , x. 3 1 3 Nous noua proposons dans ce rapport de calculer -J" et SJ en uttlisant l'équation (1.2) afin do pouvoir-trouver une équation d'évolution da f_ indépendante de l g. . . Pour cela nous allons être amenés l effectuer un changement de variables dans les équations puis à utiliser aur ces dernières des transformations de FOURIER-LAPLACE, H - CHANGEMENT DE VARIABLES Nous allons maintenant effectuer un changement de variables qui va nous placer dans un repère oscillant avec le champ. Dans ce repère les particules seront animées de mouvementé qui Be rapprochent de ceux qu'elles auraient en l'absence de champ extérieur. Ceci nous permet de penser que les techniques do résolution mathâmatiques seront semblables à celles utilisées lorsqu'il n'y a pas de champ extérieur. Effectuons donc le changement de variables : eS y = x - 2 c o 8 ojt sur les différentes équations du chapitre précédent. L'équation (1,1) se transforme donc en : i au, ay, ' s °i ri 5 • ( _, ) se transforme e et où l'on fait la remwque suivante ; Remarque : A l'ordre zéro en e l'équation d'évolution de f, devient celle de f° : fonction de distribution des électrons sans interaction et soumis uniquement au champ extérieur ; Pour chercher la solution de cette équation, effectuons le changement de variables (H.l). On montre aisément que l'équation d'évolution de f se réduit à : D f j ( u , C ) = f° (u . o> = f, t (u) (L'.4) On constate donc que dans le repère (y, u , r), la fonction de distribution indépendante dutempa. Si no as recevons au système <x , v , t), on a alors : r°! (v, t) = f° l ef (v - — ° - sir^t) f . est (11.5) En particulier al on admet que la fonction de distribution initiale avant l'application du champ était maxwelllenne : o - « ' l ^ ' ^ ' t T T K T » V* m _. « P t - ^ ( v + ei — a i r . U ) 2 ] Nous retrouvons Ici un résultat déjà connu il ] . Effectuons maintenant le changement de variable (U. 1 ) sur l'équation (1.2), il i ay 2 0 « CÎa-^-ï^Bs-e,»" !^' s a »2 Û ni & C <"l • l > " m J - co *a e iS""* ( „ J ' t ^ ' ^ a e t r a n f l ' o r m e n t ; e n : J-» J >î, oyj iî. i? 1 Nous allons maintenant calculer ces deux ternies afin de pouvoir, par la suite, trouver l'équation d'évolution rie la fonction de distribution a une particule f, . M - FRICTION Pour pouvoir calculer le terme de friction fr, lu, , C .) nous alloua être amenés h utiliser des transformées de FOURIER ^ur l'espace et de LAPLACE cur le temps. Précisons donc les définitions que nous allons utiliser : - Transformation de FOURIER (2 rf -co „ * I (p ik) •= J - i k . ï e - Transformation de LAPLACE Il (t) = lim a — OD 1 trl. / e p t f /: Si nous examinons l'équation (H. 7) qui permet de calculer 4F" (u , £ ) nous co'istatons qu'il nous ©et nécessaire de connaître 6 g. ,. lr\~ • / 1 , o). Il nous faut donc rea.-"-dre l'équation (II. 6) en 6 g . . Ecrivons cette equation tn.6) en transformées de FOURIER-LAPLACE, U vient ; c t 2 l E " •ll »» 'îl '"2» '"2» f d u s u ° " ««1/1 i / i ">H\ - ' "3S' ' ' 'i l ' 'i "^o j • °> '"3 ik, Sf°(u,) P "V Divisons par (p, + l k . u , ) , puis intégrons sur u [ T » . L . u j aqfti,) 2 " 1 [ • -IT "l f I '• d / aï, "2 "i * i S . S 1 t t 2 3 d 6 " 2 % / , "H • "2 • »1 ' 1 a, • "> J ^ . I k , . » , . ° / l . , , •>) I7Ë—ir p, + ik, . u, ' 1 «^ f ] — J at agiy 2 e«p Ç - l t , • (y - » , ° ,l/jU ).j] _ 1 _ l 'J ti+iï, Posaofl. comme cela se fait habituellement , D (k . p) • 1 - ^ B — J ptiïû qui représente la constante diélectrique. Si noua utilisons maintenant cette définition dans (m. 3), nous obtenons : i 6 e / l/l ( k u l ' 2 ' ° I Tl « i - / eip t - l t . l > - . i ) ] 1 P 1 + 1 1 iS .5 1 ' - " W 1 °%-P.) 1 Nous allons admettre que les corrélations induites par le champ extérieur sont prépondérantes et faire l'hypothèse de disparition des corrélations Initiales. Dans ces conditions l'équatiiji ( m . 5) devient : / d u s 2 ! e i / i ( W ! " T " D i t , p.) " i / " ^ ' °> ~iî (?. - 3 C.) 1 -D(k, , p ) TT-T; 6 i™- ' - 65 - Nous sommes donc maintenait en moeurs d'écrire l'équation (II. 7) : ^r'W'-f J d k 2 1* i ° " P J 'Û7? 7 th (2„) 3 2 ! ~ «^/^^'^/n^.old^ l E "h T tif.Oh- "oj ^ i - A ~?"""' "'l' 'l " l l 7 T t 1 ' k, 3 u n 2 o J f 3 2 dt a irl " ] dU |k u > 2<'eiA l- 2-' l/''a -' 1 )e k, D 2 %-'1> p,*^,.:, p +i5 .ï l l o'flu.) iS, 3 J, k, 3 C P^iEi-n, 2 2 P Pl 2 % J < 2 , ) < i ï l e'"'*'* ' ° i i i - P i\ . ) " ». J < *> ' v* J " ' ) D l k 1 i-Pi' 2 Or le résultat devant être réel, 11 ne reste plus finalement que - - "P [ f *1 *1 (Pj+iïj.UjIC, ' l ee " r,'-.• v - - - -Tç- >» [ J — s Tir - ^ p , . - . + l î ,.n, j ^TPT Iin.8) Si nous revenons maintenant aux coordonnées ( x , v , t ), le terme de friction >l 2 ^,'Vh ) = - —«0^ Im 2 1 * k 2 p + i k , . fy + 1 t eË. m i ) j ainaj^) 1 D (1^ , P ) x (m.î IV - DE-FUSION Pour pouvoir calculer le coefficient cO par l'équation (H. 8) nous allons devoir calculer ' i ( 5 V ( c o) c ei/i "3- i/i4- i Remarquons tout d'abord que dans le développement en cluster de la densité de probabilité D (1.2), ou 1 et 2 représentent respectivement (5 - t . ) ( 5 . O noua avons : e t 2 D(l,2) • D(1)D(2) + P ( l , 2 | 1 ' " J T 'I l n ( 1 "i ( 2 ) * ""O.J) ou F (1.2} est d'ordre 1 en c . D'autre part, on a par définition de la densité de probabilité conditionnelle : D(l,2) • D(2)D(l/2) 1 •$- 2 2 'i <> % / i W ' • - T ~ ' ! (2) [f, (l)+6 m e i / 1 (l/2)] En comparant (IV. 1 ) et IIV.2), on constc'-e donc que : P U , 2) • ~ 1 % (2) o E j ^ d / 2 ) " "^2 ' ° 12) 6 g j / j l l / 2 ) » l'ordre l en e . Par conséquent pour calculer &* , U noua suffit de connaître : L'équation (IV. 36) de la Première Partie de ce rapport nous donne L'équation d'évolution de 6 g,^, H j . \ I ? . t ) «.savoir : 2 2 ! i t ^ / i ' W W •'••T?- »«i/i - ^r='»'*, --V »»,/, n a n S ' ( * * 1 " *-^ " "=" 7 T " J o 6 7ï ( ld 1 «l/l V'l'V2 53 S"!- ! " r ' 2 - '2 1 ' , (5, , t.) l " l • 'l ("V.31 En utilisant le changement de variables (II. 1), cette équation devient E : — ( i/i ii'°i ' i au, I c ,„ , + 2 ' — = ay. ay. J •I ' 2 — .. b B 6 e "1 • T^~ i/i d ! , c i. ( n . = / ^ . < : ' ' - . 3 , ' ° < ' ' i - i » / 1 3 1 2 a»[; -7 -: e -y] 1 2 (n . 6 ) 2 1 — ay. Multiplions maintenant cette équation par I , (u ) K —— 2 Ï ^ p ( " i ' c "l i 3 I îiu i ' i a - J B 2 ï + Ï i - P ^ «1 at[y -y -" < 1 2 2 e 1 - e 2 '] 'us) elle se met alors sous Effcctuona maintenant la transformation do FOURIER-LAPLACE sur l'équation el-dceaus, on obtient : P, Plk, . " "i = V V V "lfll l S »!> " P | W ! ° k,. p ) « ï j . ï, P v 2 Jf l * "p TiïT ' ~ / *'a p p k ' " î • "a • l • 2 ' " s • >V (2»| Kkj+k 3 »»1 2 • k, V 2 (p^iïj.^Mp,*!^.:,) Divisons par (p. + 1 k. u ) et intégrons sur u. P [k, , u, , o ; k , u , p ) du. 2 2 2 , , tl-DIkj.p,)] + - T - (2 ») S (k. + k ) | ' , '";> / ^ ; — ; ; — Intégrons sur tig u,, p, ;; le, k, .. u u„ ., pp)) -* ^„j -„. j " du, du P (kj .. «,.„, ^ - p_p -, 7I 2 2 n 2 p Pl | ^ > P 1 + i P ; / " 2 ° V V ° V": k 3 1 -DQ^.P,) D d ^ r l (2 f ) S (k, + kj) f d i ^ f ° (u ) * . •„. v= J E :; „ )) (p, p * n V" J ip lp„ + ii k„ + lk k , ..;I.. ) 2 ) 2+ 2 2 ( 1 1 (IV. 7) 1 Nous allons pouvoir obtenir J d u P (k,, u, , o ; k _ i^, p & grâce à l'équation 2 2 2 (m. Sï. En effet, cette équation, multipliée par — j - i fj lu,J peut s'écrire sous la forme : d u f 2 o J " 7 " 'l '"l' 6 g i / l ' " j ' °2- "2 f-'ï,?, , = /e , ; V'V f °i"'l' -=— —— n 2 D(k , p J o y 2 2 0 > l " Vl e ' " ' W . d 5 — S — yi Pa + I K . - « . i bien sous la (orme : /d« P<V v .il,, v p) a 2 k , k >' i* 2 l f D i° <V •- l k 2 • "a» Si l'on reporta (IV. 8} dans |IV. 7), on obtient finalement : j'"'i<S •-DôçT^ij 1 - D (kj, ' P l p ( k k i ' v "i • P l ) ' Vs 1 ^ . ^ ~ r ? k V Jaujd^^p^, Slkjty v P 2 J D | k p^i^.â, (2 ir > i> " h + 2 > f D (>V P,) 3 2 J " Z 2'" ; Z '"l " V (p^lïj.ïjHp^lï,.^! ;k , « . p ) l 2 1 - D |kj, 2 P l 2 ) D (t . p ) 2 2 f 1°, lu) J» Nous sommes donc maintenant en mesure de calculer et» et pour cela, écrivons l'équation {II. 8) en transformées de POUR 1ER -LAPLACE : 2 k, "o J -a — J <2.| dk 3 (2 2 Ikj.y; - ik .y, 2 « lkj l k —T ~2! ^ - - 1 (k, + k j . ï 3 , 2 e ikj.l»,-»,) < 2 e Ce qui peut aussi s'écrire : •" [° A 1 p ' f J - a d f dp, P , J dk dk J (2 „ ) P, I , 3 I (2 f) p , <C +n> i i j - v f 12 i ""J dkj -a de i k .(u dk, »(kj+k ). s I ! . ] ' (2>| -u l e 2 k^ fc . .(2») 6(k +k U (U3)du 3 e k, y i 3 0 1 2 1 3 En utilisant l"équation (IV.ll) sur P . on obtient : J ^ J o -o, J(2») i - D [i^, p i D ;-1^. p ) t 3 k,* v -z 2 l i « 2 I "p r°„ hs d E 3 '° lu) du (pj t l k j . S X p j - i k 3 | r E ! i -»vv r J- °J 77, -~v œ -îîj.Ujij « J V (2 1» pjie^o) l Dlk,. P } D ( . k . p ] 1 J e I? (u) du ( En regroupant différemment les termes du second membre de l'équation ci-dessus, on peut écrire : o 'J fdpHp, I 1 2 B 1. ] -> - a> J <Pl*P2 i '"2 " ' \ • *1> » g D (kj . pj) D (. kj. p ) f I J ( s - » i k,.u 3 [e k, | e ^ ! "o J (2 *) J |2 « I s /"^_*a 1 j (!i.) ! ( kj 1 . , P l H J p t ' p , o , , f i (u) du •fik .ï](p -ik P l 1 1 . î) l 2 ^ ' 2 e" ° j tiï,.;]ip -iK,.i) 2 Mais nous pouvons constater que : à,.!. rd J ik u a P l dp (2i»l 2 2 - k "-i*- >°i , V (P, t i î j . 3 ; (p -ikj.3) e 2 u c, H i 2 . (C + e) Le terme de diffusion s'écrit donc finalement sous la forme ; o J (2 1 i r ) 2 - œ J (2 ir) Dllt,. p , ) D l - k j , p ] 2 kj J (pj+lkjïllpj-lkj . Si D o J (S*) 3 k\ 1 J {2iwf / DO»!- PjJDi-kj, P ) J P2.lkj.Uj f 1 (u) du ( p + i B . 3 ) ( p - i E . ï> 2 1 1 2 1 En revenant aux coordonnées (at , v, t), •;u peut alors écrire <Pl 1 1 3 " o J ( 2 *> kf J (2 i *) + P2> -1 2 P^-ikj.v^ikj. 1 / fi (v) dv D(kj, p ) D ( - k , p ) J (pj • t k j .7) ( p 1 1 a 2 -Ikj.v V - EQUATION D'EVOLUTION DE fj Nous sommes donc maintenant en mesure de trouver l'équation d'évolution de fen remplaçant dans l'équation (1.6), «JT , et fi> par les expreseions que nous venons de trouver. Dans le système de coordonnées (y , u , C ) nous avons. : • » i ""••*»' »„ 2 aî, • J ( 2 2 „' " ."1 _»_' f j i £LÏ. f JïlJi °o aîj J [!i| ! kj 4 J p^iS^ N (2 1 ir) 2 2 e'"'*" '*' pj-lkj.lj a q Oij) a "l J l kH. j T P , > D ( - V Pj) f J fl <u> du fp,+lï,.3) (Pj-lï,. Ï ) ce qui peut se mettre aoug la forme : =/'"'• ' " »o a ï , J .a,, 3 2 " k, 2 P^iï,.:, > Ik,. P,) d k "% a "o f l aïj'J L 1 +P (2»l _5.5_ » •? I"i' f "Pi "P 2 3 k,' ' J Olkj. Pjl-HJt-kj. p ) • D (kj. P , ) D ( - k j , p ) 2 où l'on a utilise ; «(k., P.) • al, a 2 f j V du f° (u) —••— (21 ii ) 2 2 1 e'"'*" " ' p -iï .û 2 1 1 Dana le système (x , v , t) , on obtient finalement e E St. • t' | vl ,- . t' 1, )' . , v m GE ,E, k, /Pi + 1 i ! ^ • ' i * i - -sr""»«"i ] t i 2 |ï, 'J | ! i ) ' ! i i Ê. d r J •*! d p (2i,) g f S a 2 g i i ^ ^ 2 * * 1 2 _ p - Iî 2 a f î<ln + ein tut. t ) ^ ! Q ( y p ) + Ti(-k , p ) 1 P r eg ' *1+ 2 [ Vj + •—-jg- sin ujtj ] SI nous faisons E D ( f c | 0 l" M ' " * ! - 2 Pj» •> 0 et s i nous utilisons les hypothèses habituelles de l'approxi- mation asyaptotique [ 1 7 ] , cette équation devient l'équation de LENARD-BALESCTJ (voir Appendice). V2 - CONCLUSION L'interaction d'une onde électromagnétique forte avec un plasma a été étudiée à l'aide d'une méthode stochastique dérivée de celle de STRATONOVICH et modifiée par K.C. SO. Les fonctiena de distributions des particules obéissent à une hleV&rchlr d'équations qui peut être brisée à l'aide d'un petit paramètre caractérisant les Interactions fortes. Au premier ordre en e le système est décrit par un JBU de deux équations gouvernant la fonction de distribution a une particule e£ la fonction de distribution conditionnelle. La résolution de ce système nous a permis de trouver l'équation de la fonction de distribution à une particule gouvernant un plasma d'électrons en Interaction avec un champ - 75 - électromagnétique Intense, Noua avons pu mettre en évidence w terme de friction et un terme (Je diffusion qui tiennent compte directement de l'écrantage alors qu'O est habituellement introduit par des techniques de coupure C*0J ou en considérant le plaama comme un diélectrique au moyen de considérations physiques [ 1 8 ] , Cette équation d'évolution a pour limite l'équation de LENABD- EALESCU lorsque l'on supprime le champ extérieur. A N N E X E Dans le cas où E = 0 , le terme de friction s'écrit J ' '' '' 3 »o J | 2 „ 2 " K/ p, • ! • , . » , ' D ( k .'".» Nous allons mairti nant utiliser lea hypothèses habituellement admises dans le c, E = <J ; Toutes les singularités de J p sonl amoriies exponentiel le mem quand t - oo et la saule contribution qui reste provient des autres pdlcu. On a donc : 3V r'V V • IT p ' ' ! ^P f ' % I —h—r J (2 ») - \ Dlkj . - l \ . »,) doit être réeî , nous avons : i D o J «*r k, DtL.-ik.. 8 On peut montrer t 3 que D(k, - I k . j k 2 , 0 ( k i _ f k t t ) 2| v.) ,, f i M . Ï M , . . L'Équation (A, 2) s'écrit doi l î - f -^- v r, F is- lw ' i' De la morae manière, le terme de diffusion s'écrit : 1 1 ". J (2 i l 3 4 kk, " l B1»)*" l.)' JJ (2 f P 2 """I- - ÙMM 4_ f^_ . s, g . r a,, dp j - v - V i t "<, J ( 2 , ) 3 4 k, 2 j (Si,) 2 " l * ^ Pj-lk,.», Dfk,, P j l D f - l ^ , p ) 2 Puisque toutes les singularités de 1/D (u, p) sont amorties exponentlellement, la seule contribution nor nulle quand t — oo provient de (p + p ) = 0. On peut écrire l s limite ssyroptotique de : *» 4 r - - - r ° + i " U(fc, p ) • 0(-k!,-R) i = 4D (kj. p,) D (- kj, - p,) (A. 7) Dans L mesure où la fonction est analytique dans tout le plan nous pouvons repouss e r ïe contour d'intonation ( o - i e s , 3 + i co) en fainant tendre o - 0 On peut poser p = l w + c et (A. 7) devient : tf (kj, it») + U ( - k j , - i-i) ( A • ~b(k,, i ^ D c - k j , -iu.) - 8 ) En utilisant les formules de PLESŒLJ et le fait que ; UO^, iwï + Uf-}^, - iw} - ~* F{- -f-) {A. S) on obtient : dï "> / > I S A ! f*" «• r g* «,->. ©(vp- - » — / g 3— I -j-J C „, ^ - F -jf <-^> |D(k,. l w j | " Puisque 5 ) doit être ;-êel, la seule contribution provient de la fonction de T>1BAC : 1 B o J &w? kj 5 (Dlkj, - i k w K L'équation d'évolution de f s'écrit donc lorsque » , , _^>_ _ s 'l "" "» s r_^_ _^ JU "i J 4 k, (2r) 3 = 0 : 1 iDtkj.-iî,.;,)! ÎFtWj) •t'i'V 2 E 5, 1 -ÏÏT-^'-I'T -- è!°(v,) 1 -T- - -,, + 1 » Sto-i-k, . v ) ] 2 En remarquant que : k, » » " , (»[> \ ' 91°, (vj) a 7, en peut écrire l'équation (A. 12) soua la forme 3 f i s 1 - a ou la fonction J (v. ) est définie par : *°P J V l ll " - T * [ r s r i 4 dk i i 3 • Vv T Ï T • " r < w . ' ' T=T - ,i ] On reconnaît dans l'équation (A, 13) celle de LENAED-BALESCU. BIBLIOGRAPHIE [1] V . P . SILIN Nonlinear H, F, plasms conductivity J . E . T . P . , jïô, 13S5, pp. I5IQ-1518, A survey of Phenomena In Ionized Gases I. A.E.A., Vienna 1968, pp 205-237. T [2] P.K. KAW and A. 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