Ch9: probabilités

1S-Chapitre 9: Probabilités
I Expérience aléatoire
I-A Définition
Une expérience est dite aléatoire lorsque l’on ne peut pas prévoir l’issue de l’expérience.
I-B Description d’une expérience aléatoire
1) L’univers E :Définition
L’univers E est constitué de toutes les issues possibles.
Notation : E = {e 1 , e 2 , · · · · · · , e n }
2) Issue : est tout résultat possible d’une expéérience aléatoire.
I-C Probabilité
1) Loi de probabilité
On associe à chaque issue sa probabilité P (e) :
0 ≤ P (e i ) et P (e 1 ) + P (e 2 ) + · · · · · · + P (e n ) = 1
2) Evénement : soit deux évènements A et B
• A et B sont des parties de E .
• Ā : évènement contraire de A. Contient toutes les issues qui ne réalisent pas A .
• A ∩ B : évènement dont les issues réalisent A et B .
• A ∪ B : évènement dont les issues réalisent A ou B .
Ā
A∩B
A∪B
3) Calculs :
• P (A) =
nombre d’issues favorables à A
nombre d’issues possibles
¡ ¢
• P Ā + P (A) = 1
• P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ) − P (A ∪ B ) ; si A et B sont incompatibles : P (A ∩ B ) = 0
I-D Application :
une urne contient 34 billes indiscernables au toucher, 20 sont blanches et numérotées de 1 à 20, 14 sont rouges
et numérotées de 1 à 14. On tire au hasard une bille de l’urne.
On considère les évènements suivants :
A :"obtenir 1 bille blanche" ;B : "obtenir 1 bille numérotée 1" ; C :"obtenir 1 bille qui porte un numéro pair".
¡ ¢
1. Déterminer P (A), P Ā ,P (B ) et P (C ) .
2. Définir par une phrase chacun des évènements suivants : A ∩ B et A ∪C .
3. Calculer P (A ∩ B ) et P (A ∪C ).
4. Déterminer l’évènement B ∩C . Que peut-on en déduire concernant les évènements B et C ?
5. Calculer P (B ∪C ) .
Mme Bessaguet
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1S-Chapitre 9: Probabilités
II Variable aléatoire
II-A Définition
Lorsuqu’on associe à chaque issue d’un univers E d’une expérience aléatoire un nombre réel, on dit qu’on
définit une variable aléatoire sur E .
Remarques : soit X la variable aléatoire
• X (E ) = {x 1 , x 2 , · · · , x m } est l’ensemble des valeurs prises par X .
• L’évènement "X prend la valeur x i " se note (X = x i ) et sa probabilité P (X = x i ).
II-B Loi de probabilité d’une variable aléatoire
1. Définition : soit E l’univers sur lequel a été définie une loi de probabilité P . Soit une variable aléatoire X sur E ,
prenant les valeurs {x 1 , x 2 , · · · · · · , x k }.
Définir la loi de probabilité de X , c’est donner la valeur de P (X = xi ) pour tout i (1 ≤ i ≤ k).
2. Présentation synthétique d’une loi de probabilité :
Valeur x i prise par X
x1
x2
···
x1 = k
probabilité p i
p 1 = p (X = x 1 )
p 2 = p (X = x 2 )
···
p k = p (X = x k )
p1 + p 2 + · · · + pk =
k
X
pi =
i=1
k
X
P (X = xi ) = 1
i=1
3. Application 1 :un joueur lance un dé deux fois de suite. Si, lors du deuxième lancer, il obtient un numéro double
du numéro obtenu au premier lancer, il marque deux points ; s’il obtient le même numéro, il ne marque aucun
point ; s’il obtient un numéro inférieur, il perd un point, et, dans les autres cas, il marque un point.
On note X la variable aléatoire qui, à chaque issue de l’expérience, associe le nombre de points gagnés ou perdus. Définir la loi de probabilité de X .
Solution :
Lancer 2
xi
Lancer 1
P (X = x i )
4. Application 2 :
On donne la loi de probabilité d’une variable aléatoire dans le tableau ci-contre.
Déterminer les réels p 1 , p 2 , p 3 et p 4 , sachant qu’ils sont en progression arithmétique
de raison 0, 1.
Mme Bessaguet
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p1
p2
p3
p4
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III Paramètres d’une variable aléatoire
III-A Activité : "calcul du gain moyen"
Dans une fête foraine, un joueur mise 2e, puis il tire au hasard une boule dans une urne qui contient 6 boules
rouges , 3 boules blanches et 1 boule noire.Les boules sont indiscernables au toucher. Chaque issue est donc
....................
Si le joueur tire la boule noire, il gagne 4e, s’il tire une boule blanche, il gagne 3eet s’il tire une boule rouge, il perd
sa mise.
But de l’activité : simuler 1000 parties afin de prévoir le gain moyen du joueur sur une partie.
1. Quels sont les gains possibles : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Pour simuler 1000 parties, on créé une feuille de calcul sur tableur :
Intitulé des cellules : A1 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;B 1 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Modélisation : indispensable avant de créer la feuille de calcul.
La formule choisie pour la feuille de calcul doit générer un nombre ayant la même chance de tirage que la
boule qu’il représente.
On choisit donc, considérant qu’il y a 10 boules au total :
¡
¢
• P Boule rouge = P ( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . )
• P (Boule blanche) = P ( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . )
• P (Boule noire) = P ( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . )
4. Formules choisies selon la modélisation choisie :
• Formule en A2 :doit générer un entier naturel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...........................................................................................................
• Formule en B 2 :doit attribuer le gain adapté à chaque entier
............................................................................................................
• Etendre ces formules jusqu’à la ligne 1001.
5. Loi de probabilité :création du tableau
Textes et formules :
• D1 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• E1 :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D
• F1 :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• G1 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E
F
G
1
2
• D2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• E 2 ;F 2 ;G2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. A partir du tableau ci-dessus, proposer un calcul du gain moyen du joueur par partie :
III-B Espérance, variance et écart-type
1. Définitions :
• Espérance mathématique de la variable aléatoire
X : est le réel E (x) défini par :
E (x) = x1 p1 + x2 p2 + · · · + xn pn =
n
X
xi pi
Soit une variable aléatoire X
de loi de probabilité suivante :
x1
x2
···
xn
Probabilité p 1
p2
···
pn
Valeur
i=1
• Variance de la variable aléatoire X : réel positif noté V (X ) défini par :
V (x) = p1 (x1 − E (X))2 + p2 (x2 − E (X))2 + · · · · · · + pn (xn − E (X))2 =
n
X
pi (xi − E (X))2
i=1
• Ecart-type : σ =
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p
V (X)
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2. Application 3 :pour distribuer les places aux exposants lors d’un marché nocturne, un tirage au sort est organisé
par la municipalité . Les emplacements sont numérotés de 1 à 20. 3 emplacements mesurent 5 mètres de large, 8
emplacements mesurent 3 mètres de large et les emplacements restants mesurent 2 mètres de large. On appelle
X la variable aléatoire qui associe à chaque emplacement sa largeur.
a. Déterminer la loi de probabilité de X .
b. Calculer l’espérance,la variance et l’écart-type de la loi de probabilité de X .
c. Interpréter l’espérance de la loi de probabilité de X .
3. Propriétés :X est une variable aléatoire . Pour tous nombres réels a et b.
• V (aX) = a2 V (X)
• E (aX + b) = aE (X) + b
4. Application 4 : Un loueur de bateaux dispose de six bateaux qu’il loue à la journée. X est la variable aléatoire
qui à une journée donnée associe le nombre de bateaux loués. La loi de probabilité de X est donnée dans le
tabelau ci-contre.
Les frais fixes journaliers s’élèvent à 300eet la marge bénéficiaire de location d’un bateau est de 150e. R est la
variable aléatoire égale au gain de la journée.
a. Exprimer la variable aléatoire R en fonction de X .
b. Calculer l’espérance de X et en déduire l’espérance de R.
xi
0
1
2
3
4
5
6
P (X = x i ) 0, 06 0, 11 0, 18 0, 22 0, 20 0, 15 0, 08
Solutions :
a. R = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. E (X ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Donc :E (R) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV Répétitions d’expériences identiques et indépendantes
IV-A Définition
Deux expériences sont dites indépendantes si le résultat de l’une n’a aucune influence sur le résultat de l’autre.
IV-B Modélisation de la répétition
1. Arbre pondéré :ce type d’expérience peut être modélisé à l’aide d’arbre pondéré. Voici des exemples à deux et
trois issues.
•
Expérience à deux issues A et Ā
Expérience à trois issues A,B et C
p +q =1
p +q +r = 1
2. Propriété :dans un arbre pondéré représentant la répétition d’expériences identiques et indépendantes, la probabilité d’une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat.
3. Application 5 : sur le trajet d’un automobiliste se trouvent trois feux tricolores de circulation. Ces feux fonctionnent de façon indépendante et le cycle de chacun d’eux est réglé de la façon suivante :vert 35 s ; orange :5 s ;
rouge : 20 s.
Calculer la probabilité de l’évènement A :"l’automobiliste rencontre exactement deux feux verts sur son trajet.’
Méthode : calculer d’abord les probabilités d’avoir un feu vert, rouge ou orange. Puis envisager les listes possibles et calculer leur probabilités.
Mme Bessaguet
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