Uniformisation de l`espace des feuilles de certains feuilletages de

“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 351 — #1
Bull Braz Math Soc, New Series 44(3), 351-391
© 2013, Sociedade Brasileira de Matemática
Uniformisation de l’espace des feuilles de
certains feuilletages de codimension un
Frédéric Touzet
Résumé. Dans cet article, nous étudions, sur des variétés Kähler compactes, les feuilletages holomorphes (éventuellement singuliers) dont le fibré conormal est pseudoeffectif. En utilisant la notion de courant à singularités minimales, nous montrons que
l’on peut munir canoniquement l’espace des feuilles d’une métrique à courbure constante négative ou nulle dont les éventuelles dégénerescences sont localisées le long d’une
hypersurface invariante “rigidement plongée” dans la variété.
Mots-clés: feuilletages holomorphes, fibré en droite pseudo-effectif.
Abstract. This paper deals with codimension one (may be singular) foliations on compact Kälher manifolds whose conormal bundle is assumed to be pseudo-effective. Using
currents with minimal singularities, we show that one can endow the space of leaves
with a metric of constant non positive curvature wich may degenerate on a “rigidly”
embedded invariant hypersurface.
Keywords: holomorphic foliations, pseudo-effective line bundle.
Mathematical subject classification: 37F75.
1 Introduction
1.1
Un critère d’intégrabilité
Soit M une variété kählerienne compacte (toujours supposée connexe dans
la suite).
Une distribution holomorphe de codimension 1 (éventuellement singulière),
notée F , sur M correspond à la donnée d’une section ω holomorphe non triviale
de 1 (M) ⊗ L où L est un fibré en droites holomorphe. D’un point de vue
dual, on peut également définir un tel objet par un sous faisceau cohérent saturé
Received 9 December 2011.
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 352 — #2
352
FRÉDÉRIC TOUZET
TF de T M (i.e.: T M/TF est sans torsion) de rang n − 1 (n = DimC M) qui
est en l’occurence le sous faisceau annulateur de ω. Ce sous faisceau TF est
communément appelé faisceau tangent de F .
Le théorème suivant, dû à Jean-Pierre Demailly précise les hypothèses “minimales” de positivité que l’on peut faire sur le fibré L (plus exactement sur son
dual) pour que cette distribution définisse un feuilletage holomorphe de codimension 1.
Théorème 1.1. [10] Soit M une variété compacte Kähler et ω une section
holomorphe non triviale de 1 (L) où L est un fibré en droite dont le dual L ∗ est
pseudo-effectif.
Alors la forme ω est intégrable, i.e.: ω ∧ dω = 0.
Rappelons à cet effet quelques définitons.
Définition 1.2. La classe de cohomologie α ∈ H 1,1 (M, R) est dite pseudoeffective si α peut être représentée par un courant positif fermé de bidegré
(1, 1).
On dira alors qu’un fibré en droites holomorphe L est pseudo-effectif si c1 (L)
est pseudo-effective ou, de façon équivalente, si l’on peut implanter sur L une
métrique h(x, v) = |v|2 e−2ϕ(x) où le poids local ϕ est une fonction plurisousharmonique (psh pour faire bref).
Le courant T est alors égal à la forme de courbure d’une telle métrique
(éventuellement singulière) suivant la formule:
T =
−i
i
∂∂ log h = ∂∂ϕ.
π
2π
(1)
Dans l’énoncé du Théorème 1.1, on retrouve un résultat classique lorsque
L = O(D) où D est un diviseur effectif:
∗
Théorème 1.3. Toute forme holomorphe sur une variété kälherienne compacte
est fermée (donc en particulier intégrable).
Dans ce qui suit, on se propose de préciser la structure des distributions (a
posteriori intégrables) vérifiant les hypothèses du théorème de Demailly. Soit
ω ∈ H 0 (M, 1 (M) ⊗ L) \ {0} représentant une telle distribution. Puisque la
somme d’une classe effective et d’une classe pseudo-effective reste pseudoeffective, on peut toujours se ramener au cas où ω est régulière en codimension
1, i.e.: son lieu d’annulation est un sous-ensemble analytique de codimension
≥ 2 qui coïncide alors avec le lieu singulier Sing F de la distribution. Le fibré
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 353 — #3
UNIFORMISATION DE L’ESPACE DES FEUILLES
353
L représente alors le fibré normal NF de la distribution et, par hypothèse, son
dual, le fibré conormal NF∗ , est pseudo-effectif.
Dans la suite il sera également commode de regarder alternativement NF∗
comme le sous faisceau inversible de 1 (M) dont les générateurs locaux sont
des formes s’annulant en restriction à la distribution et dont le lieu singulier est
de codimension au moins 2.
1.2
Remarques et exemples
Les exemples les plus basiques sont donnés par les feuilletages définis par des
formes holomorphes.
D’autres exemples, plus intéressants mais bien connus par ailleurs peuvent
être construit de la façon suivante:
Soit G = P S L(2, R) et 1 le disque unité. Soit 0 ⊂ Aut (1)2 = G 2 un réseau
irréductible cocompact sans torsion. Par le théorème de densité de Borel, la
projection de 0 sur chaque facteur est d’image dense et les feuilletages horizontal et vertical sur 12 descendent donc sur le quotient en des feuilletages minimaux dont le fibré conormal est par construction pseudo-effectif; ce procédé
peut s’étendre en toute dimension et on peut aussi considérer des analogues
singuliers (feuilletages modulaires de Hilbert dont l’étude est notamment abordée dans [19]). Stricto sensu, ce n’est pas le fibré conormal mais plutôt le fibré
conormal logarithmique qui est pseudo-effectif dans ces cas. Il serait d’ailleurs
intéressant d’élargir nos résultats au cadre logarithmique.
Notons que la propriété de pseudo-effectivité de NF∗ persiste par pull-back
sous des opérations telles qu’éclatements et revêtements (ramifiés ou non)
et plus généralement par n’importe quel morphisme non dégénéré (i.e. dont
l’image n’est pas contenue dans une feuille). A titre d’exemple basique, on peut
considérer un feuilletage linéaire défini par une forme holomorphe sur un tore
T de dimension 2. Effectuons un premier éclatement π0 en un point p0 ∈ T
et soit E 0 le diviseur exceptionnel. Le feuilletage pull-back est défini par la
forme ω0 = π0 ∗ ω qui s’annule en exactement un point p1 de E 0 et le modèle
local de la singularité correspondante du feuilletage est du type xdy + yd x.
En éclatant p1 , on obtient un second diviseur exceptionnel E 1 . C’est une courbe
rationnelle d’auto-intersection −1 invariante le long de laquelle π1 ∗ ω0 s’annule
avec multiplicité égale à 1. En d’autres termes, le fibré conormal du feuilletage
ainsi obtenu est égal à O(E 1 ) et est donc réduit à sa partie négative dans sa
décomposition de Zariski.
On peut aussi remarquer qu’il est possible d’obtenir des feuilletages à fibré
conormal pseudo-effectif avec un lieu singulier non trivial et sans hypersurface
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 354 — #4
354
FRÉDÉRIC TOUZET
invariante. Par exemple, il suffit de prendre un revêtement ramifié de 12 / 0 le
long d’une hypersurface lisse admettant des points de tangence avec le feuilletage
minimal et régulier décrit ci-avant et de considérer le feuilletage pull-back.
L’auteur avoue ne pas connaître d’exemples substantiellement différents de
ceux précités et il n’est sans doute pas déraisonnable, ne serait ce que dans le
cas lisse, de donner un classification précise des feuilletages à fibré conormal
pseudo-effectif, ce à quoi le présent article ne vise malheureusement pas.
1.3
Rappels et notations
Si T est un (1, 1) courant positif fermé, on désignera par {T } sa classe de co1,1
homologie dans
P H (M, R).
Soit d =
D∈Div(M) λ D D un élément
P de Div(M) ⊗ R auquel on peut
associer le courant d’intégration Td = D∈R λ D [D].
On posera alors {d} := {Td } et [d] := Td .
Donnons une formulation plus précise du Théorème 1.1.
Soit T un courant positif dont la classe de cohomologie {T } dans le groupe
de Néron-Séveri réel est égale à c1 (NF∗ ).
On peut alors trouver (voir Définition 1.2) un recouvrement U de M par des
ouverts trivialisants pour NF∗ , une métrique h sur NF∗ , telle que pour un choix
de générateurs locaux ωU au dessus de U ∈ U, on ait
h(x, ωU ) = e−2ϕU (x)
où ϕU est un potentiel local psh de T , i.e.: T = πi ∂∂ϕU .
Sur deux ouverts de U d’intersection non vide, on a ωV = gU V ωU où le
cocycle multiplicatif {gU V } représente NF . Les conditions de recollement de la
métrique imposent donc e−2ϕV (x) = |gU V |2 e−2ϕU (x) sur U ∩ V . On obtient par
conséquent que e2ϕU ωU ∧ ωU = e2ϕV ωV ∧ ωV .
On a ainsi exhibé une (1, 1) forme positive globalement définie
ηT =
i 2ϕ
e ω∧ω
π
(2)
∗
à coefficients L ∞
loc où la 1 forme holomorphe ω est un générateur local de NF
et ϕ un potentiel local psh de T .
Remarque 1.4. En dehors de Sing F , ηT peut s’interprèter comme la forme
volume d’une métrique hermitienne définie sur NF et dont la forme de courbure
est −T .
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 355 — #5
UNIFORMISATION DE L’ESPACE DES FEUILLES
355
Remarque 1.5. Il est facile de constater que ηT est bien définie à multiplication
près par un réel positif; en effet, supposons qu’il existe une (1, 1) forme globale
η0 sur M qui s’écrive localement comme πi e2ψ ω0 ∧ ω0 où ω0 est un générateur de
NF∗ et ψ un potentiel psh de T . On peut donc écrire (localement) que ω0 = h 1 ω
et ψ = log(|h 2 |) + ϕ où h 1 , h 2 sont holomorphes inversibles.
Par suite, η0 = e H ηT où H : M → R s’écrit localement 2(log |h 1 | + log |h 2 |).
En particulier H est pluriharmonique et donc constante par compacité.
L’intégrabilité de F résulte alors immédiatement de l’égalité suivante, établie dans [10]:
dω = −∂ϕ ∧ ω
(3)
et qui entraîne le
Lemme 1.6.
et
dηT = 0 (au sens des courants)
(4)
T ∧ω =0
(5)
dont nous ferons usage par la suite.
Pour fixer les idées, précisons comment on peut établir la relation (3) en
admettant l’intégrabilité de F pour laquelle on renvoie le lecteur à [10] ou
encore [7].
Soit θ une forme de Kähler sur M. Considérons le courant  = −∂∂(ηT ∧
n−2
θ ) où n est la dimension complexe de M. Au voisinage d’un point non situé
dans l’ensemble singulier Sing F du feuilletage, on peut écrire en coordonnées
holomorphes locales ω = f dz où f est holomorphe inversible. Sur U = M \
Sing F , on obtient donc que
 = −∂∂ e2ϕ+2 log | f | dz ∧ dz ∧ θ n−2
est positif (l’exponentielle d’une fonction psh est psh). Par ailleurs, iηT ∧ θ n−2
est un courant positif à coefficients localement bornés; il est donc dominé par
cθ n−1 pour c > 0 assez grand. En utilisant alors le principal résultat de [1] et
le fait que Sing F est de codimension au moins deux, on conclut que  est une
mesure positive sur M tout entier et que finalement  = 0 par exactitude.
On peut donc en déduire qu’au voisinage d’un point régulier, e2ϕ+2 log | f | est
pluriharmonique dans les feuilles et finalement constante car l’exponentielle
d’une fonction psh est pluriharmonique si et seulement si cette fonction est
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 356 — #6
356
FRÉDÉRIC TOUZET
constante. Puisqu’on a montré que ϕ + log | f | ne dépend que de la variable z,
on obtient, en appliquant l’opérateur ∂, que
∂ϕ ∧ ω +
df
∧ ω = 0.
f
Comme dff ∧ ω = dω, l’identité (3) est donc vérifiée sur le complémentaire
de Sing F , donc sur M car ∂ϕ est à coefficients L 1loc (ϕ étant psh).
Terminons ce paragraphe par quelques points de vocabulaire sur les feuilletages (voir aussi en début de Section 4 pour le cas local).
Définition 1.7. Soit M une variété complexe munie d’un feuilletage holomorphe
F de lieu singulier (nécessairement de codimension ≥ 2) noté Sing F .
Soit E un sous-ensemble de M \ Sing F . Le saturé de E est par définition
le plus petit sous ensemble de M, noté E sat , qui contient la feuille Lm passant
par chaque point m ∈ E.
Lorsque E = E sat , on dira que E est saturé.
On dira enfin que E ⊂ M est invariant par le feuilletage si E \ Sing F est
saturé.
1.4
Enoncé des résultats
Le courant T introduit précédemment peut en fait être choisi sous une forme très
particulière; c’est d’ailleurs l’objet du résultat central de ce papier qu’on peut
énoncer comme suit:
Théorème Principal
Soit F un feuilletage holomorphe (éventuellement singulier) de codimension un
sur M Kähler compacte. On suppose que son fibré conormal est pseudo-effectif.
Soient T et ηT les courants intoduits en Section 1.1 et 1.3. On peut alors choisir
le courant T de sorte qu’en dehors d’une hypersurface H “rigidement” plongée
dans M et invariante par le feuilletage, on ait
T = εηT
(6)
où ε ∈ {0, 1}.
En dehors de H , l’égalité (6) indique, par des résultats classiques d’ellipticité,
que T est de classe C ∞ .
On en donnera un sens plus précis en Section 3, Th. 1 en explicitant notamment ce qu’est H .
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 357 — #7
UNIFORMISATION DE L’ESPACE DES FEUILLES
357
Remarque 1.8. Au voisinage d’un point régulier m du feuilletage appartenant
à M \ H , les feuilles de F sont données par les niveaux d’une submersion z
et il existe donc une fonction lisse sous-harmonique ϕ ne dépendant que de z
telle qu’au voisinage de m,
T =
i
∂ 2ϕ
∂∂ϕ et
= εe2ϕ
π
∂z∂z
ce qui munit l’epace local des feuilles d’une métrique de courbure nulle ou −1
(modulo normalisation) suivant que ε = 0 ou 1.
Dans la terminologie des feuilletages, F est donc soit transversalement
euclidien, soit transversalement hyperbolique sur M \ (H ∪ Sing(F )); cet
aspect sera détaillé dans la Section 6.
On va établir l’identité (6) en deux étapes décrites dans les deux prochaines
sections: d’abord dans sa version cohomologique en combinant la décomposition de Zariski à la Boucksom et le théorème de l’indice de Hodge, puis en
concluant par le théorème du point fixe de Leray-Shauder-Tychonoff.
Dans ce but, il nous semble utile de rappeler les notions de courants à singularités minimales, de courants invariants par un feuilletage et de faire le lien entre
ces différents objets.
2 Courants invariants par holonomie et décomposition de Zariski
2.1
Courants invariants
Définition 2.1. Soit F un feuilletage holomorphe de codimension 1 (éventuellement singulier) sur une variété M complexe et T un courant positif fermé de
bidegré (1, 1) défini sur M. On dira que T est F -invariant (ou invariant par
holonomie de F ) si au voisinage de tout point de M, on a
T ∧ω =0
où ω désigne une 1 forme holomorphe définissant localement le feuilletage.
Au voisinage d’un point régulier du feuilletage où celui-ci est décrit par
l’équation {dz = 0}, un tel courant s’exprime donc sous la forme T = ia(z)dz ∧
dz où a est une mesure positive.
Remarque 2.2. Pour qu’un courant positif T défini sur M soit F -invariant, il
suffit qu’il soit F invariant en dehors d’un sous ensemble analytique propre
E invariant par le feuilletage F . C’est en effet une conséquence du théorème
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 358 — #8
358
FRÉDÉRIC TOUZET
d’extension de Skoda-El Mir et du théorème du support: Soit T̃ l’extension
triviale (cf. [27]) de T|M\E à M; le courant T̃ est clairement F -invariant sur M.
Par ailleurs T̃ = T si E est de codimension ≥ 2 (noter que dans ce cas, E n’a
pas besoin d’être saturé). On peut donc supposer que E est une hypersurface
invariante par F . Dans cette situation,
X
T = T̃ +
ci [E i ]
i
où les ci sont des constantes ≥ 0 et les E i sont les composantes irréductibles
de E (voir [27], Remarque 3, p. 372).
En particulier T est bien F -invariant sur M.
Dans la mesure où nous cherchons à produire des métriques tranverses au
feuilletage invariantes par holonomie et à courbure constante (dans un sens qui
reste à préciser) et présentant la plus forte régularité possible, il est assez naturel
de considérer la classe plus restreinte des courants à singularités minimales dont
nous rappelons maintenant la définition (voir par exemple [3]).
2.2
Décomposition de Zariski
Soit M une variété kählerienne compacte et γ une (1, 1) forme fermée lisse.
Dans une classe de cohomologie fixée α ∈ H 1,1 (M, R), considérons l’ensemble
α[−γ ] des (1, 1) courants fermés T tels que T ≥ −γ . On a donc
T = β + i∂∂ϕ
(7)
T1 = β1 + i∂∂ϕ1 , T2 = β2 + i∂∂ϕ2 .
(8)
où β est une (1, 1) forme fermée lisse telle que {β} = {T } = α et ϕ une fonction quasi-plurisousharmonique, c’est-à-dire qui s’exprime localement comme
la somme d’une fonction psh et d’une fonction lisse. Ceci permet de définir,
selon la formule habituelle (voir [3]), le nombre de Lelong 2(T, x) de T en
n’importe quel point x ∈ M et le nombre de Lelong générique 2(T, Y ) sur un
sous-ensemble analytique Y .
Soient maintenant deux courants T1 , T2 ∈ α[−γ ]; on peut donc écrire
Définition 2.3. On dira que T1 est moins singulier que T2 et on note T1 T2
s’il existe une constante réelle C telle que
ϕ2 ≤ ϕ1 + C.
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 359 — #9
UNIFORMISATION DE L’ESPACE DES FEUILLES
359
Notons que cette propriété est indépendante des choix de βi , ϕi et que définit donc une relation de pré-ordre sur α[−γ ].
Proposition 2.4. (cf. [3]) (α[−γ ], ) admet un plus petit élément.
Ce plus petit élément est appelé courant à singularités minimales (dans la
classe (α[−γ ])). Il n’est bien entendu pas unique, cependant, deux courants à
singularités minimales ont même nombre de Lelong en chaque point.
Plus généralement, il résulte directement des définitions que si
T, T 0 ∈ (α[−γ ], )
avec T à singularités minimales, on a pour tout x ∈ M
2(T, x) ≤ 2(T 0 , x).
(9)
2(T1 , x) ≤ 2(T2 , x) pour tout x ∈ M.
(10)
Comme autre conséquence immédiate, remarquons que si T1 ∈ α[−γ1 ], T2 ∈
α[−γ2 ], avec γ1 ≥ γ2 , sont à singularités minimales, alors
Dans le cas particulier où γ est nulle, on parlera de courant positif à singularités minimales.
Définition 2.5. ([3], Definition 2.2, Remark 1, p. 51) Soit α une classe pseudoeffective, on dira que α est nef en codimension 1 ou nef modifiée si, pour une
forme de Kähler fixée θ , il existe pour tout ε > 0, un courant Tε ∈ α[−εθ ] lisse
en dehors d’un sous-ensemble analytique de codimension ≥ 2.
Cette définition est évidemment indépendante de la métrique considérée.
Comme conséquence, notons que si Tε désigne un courant à singularité minimale dans α[−εθ ] (α nef modifié), l’ensemble Fε = {x ∈ M|2(Tε , x) 6= 0}
est contenu dans un ensemble analytique de codimension 2 et Fε ⊂ Fε0 dès que
ε ≥ ε0 .
Ainsi qu’il est rappelé dans [3] (Remark 2, Remark 3, p. 51-52), le cône nef
modifié coïncide avec le cône nef si M est une surface et on ne peut pas prendre
en général ε = 0 dans la Définition 2.5.
Suivant ([3]), on notera MN le cône formé par les classes nefs modifiées.
Définition 2.6. ([3]) Soit A une famille finie de p diviseurs premiers distincts:
A = {D1 , . . . , D p }. On dira que cette famille est exceptionnelle si le cône
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 360 — #10
360
FRÉDÉRIC TOUZET
convexe engendré par les {Di } n’intersecte le cône nef modifié MN qu’à
l’origine.
Théorème 2.7. ([3]) Soit α une classe pseudo-effective, il existe alors une
unique décomposition de la forme
α = {N (α)} + Z (α)
(11)
où Z (α) est nef en codimension 1 et N (α) (la partie négative) est un R diviseur
effectif dans Div(M) ⊗ R:
N (α) =
p
X
i=1
λi Di
(12)
telle que la famille A = {D1 , . . . , D p } soit exceptionnelle.
Cette décomposition est par ailleurs unique et les coefficients λi sont déterminés suivant la formule:
λi = sup 2(Tmin,ε , Di )
ε>0
(13)
où Tmin,ε désigne un courant à singularités minimales dans la classe α[−εθ ].
Définition 2.8. ([3]) La décomposition précédente s’appelle décomposition
divisorielle de Zariski de la classe pseudo-effective α.
Remarque 2.9. Soit D un diviseur premier. Posons λ D = supε>0 2(Tmin,ε , D).
Compte-tenu de la définition de Z (α), λ D est non nul si et seulement si D ∈
{D1 , . . . , D p }. De plus, λ D ≤ 2(T, D) pour tout courant positif tel que
{T } = α et cette inégalité peut rester stricte même lorsque T est à singularités minimales (voir [3], Remark 3, p. 52). Nous verrons cependant que l’égalité
est atteinte dans la situation qui est la nôtre.
Définition 2.10. La dimension numérique ν(α) de la classe pseudo-effective
α est le plus petit entier n ∈ {0, . . . , Dim M} tel que Z (α)n+1 = 0 (dans
H 2(n+1) (M, R)).
Quand α = c1 (L), L fibré en droite, ν(α) est un analogue numérique de la
dimension de Kodaira de L. A cet effet, rappelons la définition de celle-ci.
Définition 2.11. Soit X une variété complexe compacte et soit L un fibré en
droite sur X .
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 361 — #11
UNIFORMISATION DE L’ESPACE DES FEUILLES
Soient
R(L) =
+∞
X
m=0
et le corps des fractions homogènes
Q(L) =
nl
i
lj
361
H 0 (X, L ⊗m )
o
, li , l j ∈ H 0 (X, L ⊗m ), m ≥ 0 .
On définit alors la dimension de Kodaira κ(L) de L comme le degré de
transcendance de Q(L) avec κ(L) := −∞ si R(L) = C.
On a donc κ(L) ≤ n = DimC (X ) et κ(L) = n si L est ample.
Proposition 2.12. ([3]) Soit α pseudo-effective et N (α) =
négative; alors
Pp
i=1
λi Di sa partie
i) La décomposition divisorielle α = {N (α)} + Z (α) coïncide avec la décomposition de Zariski classique lorsque M est une surface; en particulier, elle est rationnelle (i.e. N (α) est un Q diviseur effectif si α est une
classe rationnelle).
ii) La famille ({D1 }, . . . , {D p }) est libre dans H 1,1 (M, R). En particulier,
p est au plus égal au nombre de Picard ρ(M) de la variété.
iii) Pour tout i, on a λi ≤ 2(T, Di ) quel que soit le courant fermé positif
tel que {T } = α. En particulier,
p
X
i=1
2.3
λi [Di ]
est le seul courant positif représentant {N (α)}.
Décomposition de Zariski pour les feuilletages
Reprenons nos hypothèses initiales: la variété ambiante est kählerienne compacte et munie d’un feuilletage holomorphe F dont le fibré conormal NF∗ est
pseudo-effectif.
D’après les formules (4) et (5), nous disposons de deux courants positifs
fermés F -invariants, à savoir T et ηT , le premier apparaissant comme la “forme
de courbure” (au signe près) de la métrique transverse définie par le second (au
sens de la remarque (1.4)).
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 362 — #12
362
FRÉDÉRIC TOUZET
Puisque ηT est à coefficients localement bornés, la classe {ηT } est nef et
pour tout (1, 1) courant positif fermé 4, le produit extérieur
4 ∧ ηT
(14)
4 ∧ ηT = 0
(15)
est bien défini en tant que (2, 2) courant par la formule usuelle (puisque 4 est
d’ordre 0 et ηT à coefficients L ∞
loc ). En particulier
si 4 est F -invariant (par exemple, 4 = T ou 4 = ηT ).
Par ailleurs, on peut définir sur M un (2, 2) courant fermé
S4 =
i
∂∂(ψ4),
π
où ψ est un potentiel local psh de ηT . Ceci a bien un sens car ηT est à coefficients
∞
L∞
loc , donc ψ est continu et en particulier dans L loc . D’après ([11], Corollary 9.2),
S4 est un courant positif fermé tel que
{S4 } = {ηT }{4}
(16)
{4 ∧ ηT } = {4}{ηT }
(17)
{ηT }2 = 0.
(18)
Lemme 2.13. Soit 4 un courant positif fermé de bidegré (1, 1). On a S4 =
4 ∧ ηT (au sens défini dans (14)). En particulier,
et
Démonstration. Il suffit d’établir cette égalité localement. Sur un voisinage
U assez petit d’un point m ∈ M muni de coordonnées locales (z 1 , . . . , z n ),
ψ est limite décroissante de fonctions psh lisses de la forme ψε = ψ ? χε où
(χε )ε>0 est une famille de noyaux régularisants ([15], Theorem 2.9.2). Par le
théorème de convergence dominée, il en résulte que πi ∂∂(χε 4) a pour limite
S4 quand ε tend vers 0.
Par ailleurs, on a
ηT =
X
i 2ϕ
e ω∧ω =
e2ϕ ωi j dz i ∧ dz j
π
i, j
où les ωi j sont des fonctions continues.
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 363 — #13
UNIFORMISATION DE L’ESPACE DES FEUILLES
363
On obtient donc que
X
i
∂∂(χε 4) =
(e2ϕ ωi j ) ? χε dz i ∧ dz j .
π
i, j
Par un calcul élémentaire, on vérifie que les (e2ϕ ωi j ) ? χε (z) convergent vers
e
ωi j (z) pour tout z ∈ U (utiliser que e2ϕ est psh) et sont uniformément
bornées par rapport à ε (quitte à diminuer U ). En réinvoquant le théorème de
convergence dominée, on peut conclure que S4 = 4 ∧ ηT . L’égalité (17) résulte
alors de (16) et l’égalité (18) de (16) et (15).
2ϕ(z)
Proposition 2.14. Soit 4 un (1, 1) courant positif F -invariant (par exemple,
4 = T ). Considérons la décomposition de Zariski
α = {N (α)} + Z (α)
avec α = {4} (par exemple, α = c1 (NF∗ ) = {T }).
On a alors les propriétés suivantes.
i) Les composantes Di de la partie négative N (α) sont des hypersurfaces
invariantes par le feuilletage; en particulier, Z (α) peut être représentée
par un courant positif 40 également F -invariant.
ii) Z (α) est proportionnelle à {ηT }.
iii) La classe Z (α) est nef et Z (α)2 = 0.
iv) La décomposition est orthogonale: {N (α)}Z (α) = 0. Plus précisément,
pour toute composante Di de N (α), on a {Di }Z (α) = 0.
v) Dans H 1,1 (M, R), le R espace vectoriel engendré par les composantes
{Di } de {N (α)} n’intersecte la droite vectorielle réelle engendrée par
{ηT } qu’à l’origine.
vi) La décomposition est rationnelle si M est projective et α est une classe
rationnelle (par exemple, α = c1 (NF∗ )).
vii) Tout (1, 1) courant positif fermé représentant α est nécessairement F invariant.
Corollaire 2.15. Soit H une hypersurface invariante par le feuilletage et
H1 , . . . , Hr ses composantes irréductibles; la famille {H1 , . . . , Hr } est exceptionnnelle si et seulement si la matrice (m i j ) = ({Hi }{H j }{θ }n−2 ) est définie
négative, θ désignant une forme de Kähler fixée sur M.
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 364 — #14
364
FRÉDÉRIC TOUZET
Pr
Démonstration. Posons α =
i=1 {Hi } et supposons la famille exceptionnelle, ce qui revient à dire que α = {N (α)}. La négativité de (m i j ) résulte
alors de (17), (15), (18) combinés avec le point v) de la Proposition 2.14 et le
théorème de Hodge-Riemann (dont on rappelle l’énoncé à la page suivante).
(m i j ) définie négative; la partie positive de α
Réciproquement, supposons P
est alors de la forme Z (α} = ri=1 μi {Hi } avec 0 ≤ μi ≤ 1. D’après iii) de
la Proposition 2.14 et compte tenu des hypothèses faites sur (m i j ), ceci n’est
possible que si μi = 0 pour tout i et implique bien que la famille est exceptionnelle.
Remarque 2.16. La propriété ν(c1 (NF∗ )) ≤ 1 énoncée dans iii) n’est rien
d’autre qu’une version numérique du théorème de Bogomolov-CastelnuovoDe Franchis:
Théorème 2.17. ([23]) Soit M une variété projective et F un feuilletage de
codimension 1; alors κ(NF∗ ) ≤ 1 et en cas d’égalité, F est une fibration
au-dessus d’une courbe.
Signalons qu’il existe des feuilletages à fibré conormal pseudo-effectif tel
que
κ(NF∗ ) = −∞ 6= ν(c1 (NF∗ ) = 1
dont les prototypes sont les feuilletages minimaux (c’est-à-dire à feuilles denses)
sur certaines surfaces de type général uniformisées par le bidisque (voir [5] et
Section 1).
On peut démontrer la Proposition 2.14 via le théorème de la signature de
Hodge-Riemann.
Considérons à cet effet la forme bilinéaire symétrique q définie sur
Z
1,1
0
H (M, R) par q(c, c ) = −
c ∧ c0 ∧ {θ }n−2 ,
θ étant une forme de Kähler fixée sur M.
M
Théorème 2.18 (Hodge-Riemann). Notons P l’ensemble des classes primitives
dans H 1,1 (M, R):
P := c ∈ H 1,1 (M, R)|c ∧ {θ }n−1 = 0 .
Alors la forme q est définie positive sur l’hyperplan P .
Afin de détailler la preuve de la proposition précédente, voici d’abord une
remarque préliminaire:
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 365 — #15
UNIFORMISATION DE L’ESPACE DES FEUILLES
365
Lemme 2.19. Soit M Kähler compacte, θ une forme de Kähler et
β ∈ H 1,1 (M, R)
une classe nef modifiée, alors q(β, β) ≤ 0.
Démonstration. Par définition, il existe pour ε > 0 arbitrairement petit un
(1, 1) courant positif fermé Tε lisse en dehors d’un ensemble analytique de
codimension 2 et tel que {Tε } ∈ β + ε{θ }. Suivant ([11], Corollary 9.2), il
en résulte que Tε ∧ Tε est bien défini en tant que (2, 2) courant positif fermé et
que {Tε }2 = {Tε ∧ Tε }. Le lemme s’obtient alors par passage à la limite.
Preuve de la Proposition 2.14.
i) Soit
X
D
2(4, D)[D] + R
la décomposition de Siu du courant 4. Puisque 4 est F -invariant, on
obtient que chaque diviseur premier D tel que 2(T, D) 6= 0 est une
séparatrice du feuilletage (de façon équivalente, le courant d’intégration
[D] est F -invariant).
Soit
α = {N (α)} + Z (α)
la décomposition divisorielle; compte tenu de la propriété iii) de la Proposition 2.12, chaque
P Di est nécessairement F -invariant. Par suite, le courant positif 4 − λi [Di ] représentant Z (α) est également F -invariant.
ii) D’après le Lemme 2.19, on a q(Z (α), Z (α)) ≤ 0 et q({ηT , ηT } ≤ 0 (on
rappelle que ηT est nef ). D’autre part, en utilisant i) et les formules (17) et
(15), on obtient que q({ηT }, Z (α)) = 0. La forme symétrique q est donc
semi-négative en restriction au R-espace vectoriel V engendré par Z (α)
et {ηT }; suivant Hodge-Riemann, on a donc nécessairement dim V = 1.
iii) Conséquence du point i), de (18) et du fait déjà observé que {ηT } est nef.
iv) Conséquence de i), (17) et (15).
v) Soit W (resp. W + ) le R-espace vectoriel (resp. le cône convexe) engendré
par les {Di }. Soit α1 ∈ W + \ {0}. Par définition, α1 ∈
/ MN et n’est
donc pas colinéaire à {ηT }. Puisque {ηT }2 = 0, on obtient par ailleurs que
{ηT } ∈
/ P . Il existe donc u ∈ P \ {0} et λ ∈ R tels que α1 + λ{ηT } = u.
De la propriété iv), on déduit alors que q(α1 , α1 ) = q(u, u) > 0.
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 366 — #16
366
FRÉDÉRIC TOUZET
Par ailleurs, on a q({Di }, {D j }) ≤ 0 si i 6= j (car {Di }{D j } est la classe d’un
cycle effectif de codimension 2 dont le support est Supp Di ∩ Supp D j ). Soit
maintenant α2 ∈ W \ {0}. On a donc
α2 =
p
X
i=1
ai {Di }
où les ai sont des réels non tous nuls. Il en résulte que
q(α2 , α2 ) =
p
X
i=1
≥ q
ai 2 q({Di }, {Di }) + 2
p
X
i=1
|ai |{Di } .
X
i< j
ai a j q({Di }, {D j })
Pp
Cette dernière quantité est bien strictement positive puisque i=1 |ai |{Di } ∈
W + \ {0}. En particulier, α2 n’est pas colinéaire à {ηT }.
On peut reformuler ce résultat en disant que la projection de W sur P parallèlement à la droite dirigée par {ηT } est une isométrie et n’est pas dégénérée,
ce qui nous conduit au
Lemme 2.20. La forme q est définie positive sur W . En particulier, α 2 n’est
pas nulle (et plus précisément q(α, α) > 0) lorsque N (α) n’est pas triviale.
vi) Supposons maintenant que M est projective; on peut choisir la forme
de Kähler θ de telle sorte que la forme q soit rationelle, i.e.: à valeurs
rationnelles sur E Q = N S(M) ⊗ Q où l’on note N S(M) le groupe de
Néron-Séveri de la variété. Soit VQ l’espace vectoriel engendré par les
{Di }. Compte tenu des propriétés ii)...v) et du lemme précédent, {N (α)}
doit coïncider avec la projection de α parallèllement à VQ ⊥ , en particulier
λi ∈ Q pour tout i.
vii) Le cas α = c1 (NF∗ ) est déjà traité en appliquant (5) à un courant positif
T = πi ∂∂ϕ tel que {T } = c1 (NF∗ ).
Plus généralement, soit S un (1, 1) courant positif fermé tel que {S} = α.
D’après (9) et (10), le courant S0 := S − N (α) est un courant positif représentant Z (α). D’après le point i) de la proposition, et il suffit alors de montrer
que S0 est F -invariant. En utilisant (17), (18) et ii), on constate par ailleurs que
le (2, 2) courant positif fermé ηT ∧ S0 est identiquement nul.
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 367 — #17
UNIFORMISATION DE L’ESPACE DES FEUILLES
367
Soit N := N (c1 (NF∗ )) et Z := Z (c1 (NF∗ )). Traitons d’abord le cas Z = 0.
Le courant T = [N ] représente donc c1 (NF∗ ). Puisque ses potentiels locaux sont
pluriharmoniques en dehors de H = Supp N et ηT est fermée, on peut trouver
au voisinage de tout point m ∈
/ H ∪ Sing F une coordonnée holomorphe z
telle que ηT = idz ∧ dz. L’équation S0 ∧ ηT = 0 implique immédiatement que
S0 est de la forme a(z)dz ∧ dz et donc F -invariant sur le complémentaire de
H ∪ Sing F . Sachant par ailleurs que H est invariante, on peut conclure, d’après
la Remarque 2.2, que S0 est bien F -invariant sur M.
Supposons maintenant Z 6= 0; on peut évidemment supposer Z (α) 6= 0. En
utilisant le point ii), il existe alors λ > 0 tel que Z = λZ (α). Le courant positif
[N ] + λS0 représente donc c1 (NF∗ ), d’où l’invariance de S0 .
Remarque 2.21. Nous pensons que la propriété vi) persiste sans hypothèses de
projectivité mais nous ne connaissons pas de preuves.
Notons qu’en dehors du contexte des feuilletages, la rationalité de la décomposition n’est pas toujours vraie ([9]).
Enfin, il est naturel de conjecturer que le support de la partie négative
N (c1 (NF∗ )) est une hypersurface contractible.
Proposition 2.22. Soit α = c1 (NF∗ ). Supposons que le feuilletage admette en
tout point singulier m une intégrale première holomorphe locale f m (i.e. f m est
holomorphe non constante et vérifie ωm ∧ d f m = 0 où ωm est un générateur
local du conormal de F ); supposons de plus que f m est réduite, alors N (α) est
triviale.
Démonstration. En effet, si f m est réduite, son lieu critique est de codimension au moins deux et les générateurs locaux du faisceau NF∗ peuvent être donnés
par des formes holomorphes fermées qui se recollent donc suivant un cocycle
multiplicatif {gU V } qui représente le fibré NF et qui est donc localement constant
sur les feuilles. D’un point de vue différentiable, la cohomologie de ce fibré est
triviale à partir du rang 1.
On peut donc trouver, pour tout couple d’ouverts (U, V ) du recouvrement
h U ∈ C ∞ (U ), h V ∈ C ∞ (V ) tel que sur U ∩ V , on ait
dgU V
= h U ωU − h V ωV
gU V
avec ωU , ωV des formes holomorphes fermées définissant le feuilletage sur les
ouverts considérés; sur chaque intersection, on a donc
dh U ∧ ωU = dh V ∧ ωV = .
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 368 — #18
368
FRÉDÉRIC TOUZET
La 2 forme différentielle  = (1,1) + (2,0) représente (au sens de de Rham et
à un facteur près) la classe de Chern α ∈ H D2 R (M, C) (voir par exemple [13],
p. 141 ou encore [4] p. 33 pour le cas plus spécifique des feuilletages). Noter
que les composantes (1,1) et (2,0) n’ont pas de raisons particulières d’être dfermées et ne définissent donc pas en général de classe de cohomologie (cf. [4]
p. 33-34, loc.cit).
Puisque ωU ∧ ωU = 0, on a  ∧  = 0 et par suite α 2 = 0. On conclut
par le Lemme 2.20.
3 Construction d’une métrique “canonique” sur l’espace des feuilles
Soit
α = {N } + Z N =
p
X
i=1
λi Di = N (α), Z = Z (α)
la décomposition de Zariski de la classe
On a précédemment établi que
α = c1 (NF∗ ).
– Z est nef,
– tout courant (1, 1) positif représentant N , Z ou α es F -invariant,
– à tout (1, 1) courant positif T tel que {T } = α est canoniquement associée
(modulo multiplication par un scalaire > 0) une (1, 1) forme positive
fermée ηT (formule (2) et Remarque 1.5) et de plus, Z est proportionnelle
à {ηT }. On adoptera donc par la suite la normalisation
lorsque Z 6= 0.
{ηT } = Z
Nous reformulons un peu plus précisément le Théorème Principal présenté
dans l’introduction (Section 1).
Théorème 1 (Avec les notations rappelées en début de Section 3). Soit F un
feuilletage holomorphe de codimension un sur une variété Kähler compacte
dont le fibré conormal NF∗ est pseudo-effectif.
Il existe alors un courant positif T de bidegré (1, 1) invariant par F tel que
{T } = α = c1 (NF∗ ) et
T = [N ] + εηT
(19)
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 369 — #19
UNIFORMISATION DE L’ESPACE DES FEUILLES
369
P
([N ] = i λi [Di ]) où ε = 0 si Z = 0 et ε = 1 sinon.
Ce courant T est unique.
Par ailleurs T est lisse sur le complémentaire de H et est donc à singularités
minimales.
On voit donc que l’hypersurface H (éventuellement vide) dans l’énoncé du
Théorème principal correspond au support de la partie négative N de α.
Démonstration du Théorème 1. Elle est immédiate si Z (α) = 0; nous supposerons donc dorénavant cette classe non triviale.
Commençons par établir l’unicité. Soient
T1 =
i
i
∂∂ϕ1 et T2 = ∂∂ϕ2
π
π
deux courants satisfaisant aux conclusions du Théorème 1. On peut choisir les
potentiels locaux psh ϕi de telle sorte que
u = ϕ2 − ϕ1
soit une fonction bien définie sur la variété M et
ηT2 =
i 2ϕ2
e ω ∧ ω = e2u ηT1 .
π
Plaçons nous au voisinage d’un point m de M.
Soient { f 1 = 0}, . . . , { f p = 0} des équations réduites respectives de
D1 , . . . , D p .
Pp
Les fonctions psh ψk = ϕk − i=1 λi log(| f i |), k = 1, 2 satisfont l’EDP
∂∂ψk =
p
Y
i=1
| f i |2λi e2ψk ω ∧ ω
(20)
et sont donc en particulier continues car le second membre de (20) est dans
L∞
loc . Par suite, u = ψ2 − ψ1 est continue. D’autre part {ηT1 } = {ηT2 }, ce qui
impose {u = 0} 6= 0.
On a
∂∂u = e2(ϕ1 +u) − e2ϕ1 ω ∧ ω
En particulier, u est psh sur l’ouvert {u > 0} qui est donc nécessairement
vide par le principe du maximum. En permutant les indices, on obtient de même
que {u < 0} = ∅. Finalement, u = 0 et donc T1 = T2 .
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 370 — #20
370
FRÉDÉRIC TOUZET
Reste à prouver l’existence; à cet effet, introduisons l’ensemble C formé des
(1, 1) courants positifs fermés T tels que {T } = Z ; c’est un sous-ensemble
convexe et compact de l’espace des courants (pour la topologie faible). Rappelons que ses éléments sont F -invariants. Considérons également le courant
représentant la partie négative N :
[N ] =
p
X
i=1
λi [Di ].
On a donc {T + [N ]} = c1 (NF∗ ).
Suivant la formule (2) et d’après les résultats de la Section 2, on hérite d’une
application β : C → C définie comme suit:
Pour tout T ∈ C ,
β(T ) = ηT +[N ] ,
ce qui a un sens après normalisation {ηT +[N ] } = Z (α) (rappelons en effet que
ηT +[N ] est bien définie à constante multiplicative près et que sa classe {ηT +[N ] }
est proportionnelle à la partie positive Z (α)).
Le Théoréme 1 est alors une simple conséquence du théorème du point fixe
de Tychonoff, compte-tenu du
Lemme 3.1. L’application β ci-dessus est continue (pour la topologie faible).
On peut faire quelques remarques préliminaires qui pourront s’avérer utile
pour la preuve de ce lemme. Considérons un recouvrement (U j ) j∈J de M par
des ouverts de Stein contractiles U j . Sur chaque U j , tout courant fermé positif
de bidegré (1, 1) admet donc un potentiel psh. Quitte à raffiner ce recouvrement, on peut exhiber sur chaque U j une collection de fonctions f j,i ∈ O(U j )
définissant localement Di , i = 1, . . . , p par les équations (réduites) respectives
f j,i = 0 ainsi qu’une forme différentielle holomorphe ω j ∈ H 0 (U j , NF∗ ) telle
que codim {ω j = 0} ≥ 2. Ces formes se recollent sur les intersections U j ∩ Uk
suivant le cocycle multiplicatif (g jk ):
ω j = g jk ωk
qui représente le fibré normal NF du feuilletage. Par hypothèse, il existe sur
chaque U j une fonction psh ψ j telle que sur l’intersection U j ∩ Uk , on ait
e2ψ j ω j ∧ ω j = e2ψk ωk ∧ ωk , ce qui revient à dire que
ψ j − ψk = − log |g jk |.
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 371 — #21
UNIFORMISATION DE L’ESPACE DES FEUILLES
371
Soit S = πi ∂∂ϕ j un courant positif représentant Z (α). En utilisant le lemme
∂∂ pour les courants et le fait que { πi ∂∂ψ j } = c1 (NF∗ ), on aboutit à l’égalité
suivante (en ajoutant si besoin une fonction pluriharmonique à chaque ϕ j ):
X
λi log | f j,i | + u
Pour tout j, ϕ j = ψ j −
i
où u ∈ L 1loc (M). On a donc
ϕ j − ϕk = − log |g jk | −
X
i
λi log | f j,i | +
X
i
λi log | f k,i |
(21)
sur chaque intersection U j ∩ Uk .
En utilisant la compacité de M, le fait qu’une fonction psh est localement
majorée et l’égalité (21) on obtient de plus que
Max j Supx∈U j ϕ j (x) < +∞.
(22)
Démonstration du Lemme 3.1. Soit T ∈ C et (Tn ) une suite de courants de
C convergeant faiblement vers T .
Par compacité de C , on peut supposer que la suite (β(Tn )) converge; il s’agit
alors de montrer que sa limite est précisément β(T ).
Pour tout n, il existe sur chaque ouvert U j une fonction psh ϕn, j telle que
i
∂∂ϕn, j = Tn
π
et qui, en vertu de (21) et (22) vérifie les propriétés suivantes:
ϕn, j − ϕn,k
Max j Supx∈U j ϕn, j (x) = 0,
X
X
= − log |g jk | −
λi log | f j,i | +
λi log | f k,i |
i
i
Il existe par conséquent une suite de réels (cn ) telle que pour tout n, on ait en
restriction à l’ouvert U j :
β(Tn ) = ηTn +[N ] =
i 2ϕn, j +2 Pi λi log | f j,i |+cn
e
ωj ∧ ωj
π
Quitte à extraire une sous-suite, on peut supposer ([14], Théorème 4.1.9) que
pour tout j, (ϕn, j )n∈N converge dans L 1loc (U j ) (et donc faiblement en tant que
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 372 — #22
372
FRÉDÉRIC TOUZET
distribution) vers une fonction plurisousharmonique 8 j telle que sur les intersections U j ∩ Uk , on ait:
X
X
8 j − 8k = − log |g jk | −
λi log | f j,i | +
λi log | f k,i |.
i
i
Par construction, la collection des πi ∂∂8 j donne lieu, par recollement, à un
courant positif qui n’est rien d’autre que T ; en effet, (ϕn, j )n converge faiblement
vers (8 j ) sur U j , donc ( πi ∂∂ϕn, j ) = (Tn ) converge faiblement vers πi ∂∂8 j qui
est alors nécessairement égal à T .
Pour une constante réelle c ad hoc, on obtient donc:
β(T ) =
i 2 f j +2 Pi λi log | f j,i |+c
e
ωj ∧ ωj
π
Posons u n = ec−cn β(Tn ); sur U j , on a
u n − β(T ) =
i cY
e
| f j,i |2λi e2ϕn, j − e28 j ω j ∧ ω j
π
i
Fixons une forme test ξ ∈ cm−1,m−1 (U j ) (m = DimC M) et notons K son
support. Compte-tenu du fait que ϕn, j ne prend pas de valeurs > 0 et que 8 j
est majorée sur K (comme fonction psh), on déduit du théorème des accroissements finis qu’il existe une constante D K telle que pour tout n, on ait
Z
|hu n − β(T ), ξ i| ≤ D K
|ϕn, j − 8 j |dμ
K
où μ est la mesure de Lebesgue sur U j . On en déduit que u n converge vers β(T )
sur chaque U j et donc sur M en utilisant une partition de l’unité. Puisque β(Tn )
est par ailleurs convergente, la suite (cn ) admet une limite, nécessairement égale
à c car {β(T )} = {β(Tn )}. On a donc bien que β(Tn ) converge vers β(T ).
4 Analyse locale des singularités
Le but de cette section est de décrire la nature des singularités pouvant
apparaître dans la classe de feuilletages que nous étudions. Il sagit d’une étude
purement locale qui peut éventuellement présenter un intérêt par elle-même.
Les objets considérés ici seront de nature locale et il sera souvent commode
d’adopter le langage des germes, sachant que, par abus de langage, la confusion
sera souvent faite entre “germe” et “représentant d’un germe”.
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 373 — #23
UNIFORMISATION DE L’ESPACE DES FEUILLES
373
On se donne sur (Cn , 0), un germe de feuilletage défini par une forme holomorphe intégrable ω, ainsi qu’une fonction psh ϕ telle que
η = ie2ϕ ω ∧ ω
(23)
soit fermée (au sens des courants) et en particulier F -invariante.
Une intégrale premère (locale) du feuilletage est par définition une fonction
holomorphe, éventuellement multivaluée, définie sur le complémentaire d’un
sous-ensemble analytique invariant par le feuilletage, et constante sur les feuilles.
On rappelle aussi qu’une séparatrice (locale) désigne un germe d’hypersurface
irréductible invariante par le feuilletage.
Théorème 2. Soit F un germe de feuilletage holomorphe de codimension 1
vérifiant la propriété (23) ci-dessus. Q
Alors F admet une intégrale première éléγ
m
mentaire, c’est-à-dire du type f = i=1
f i i où les γi sont des réels positifs et
les f i ∈ On sont irréductibles et premiers entre entre eux deux à deux.
Remarque 4.1. Ceci revient à dire que F est défini
Q par une 1 forme méromorphe
ξ à pôles simples et à résidus positifs sur X = { i f i = 0}:
ξ=
X
γi
d fi
.
fi
Par ailleurs, puisque les γi sont positifs, | f | est bien définie comme fonction
continue au voisinage de 0 et s’annule exactement sur X . En utilisant que | f |
est constante sur les feuilles, on en déduit que toute séparatrice locale est nécessairement une composante de X . Pour les mêmes raisons, l’ensemble singulier
du feuilletage Sing F est nécessairement contenu dans X .
D’après ([8] p. 6), il suffit en fait d’établir le Théorème 2 en restriction à un
2-plan générique; on peut donc supposer que n = 2.
Voici quelques rappels destinés aux lecteurs peu familiarisés avec la réduction des singularités de feuilletage.
Soit F un germe de feuilletage holomorphe singulier défini sur (C2 , 0) par
une 1-forme ω = A(x, y)d x + B(x, y)dy avec {0} = { A = 0} ∩ {B = 0}.
On dira que F admet une singularité réduite (en 0) si dans un système convenable de coordonnées analytiques, le 1-jet de ω peut s’écrire
j 1 ω = yd x + λxdy
où λ est un nombre complexe n’appartenant pas à (Q− )∗ . On peut montrer qu’un
feuilletage réduit admet au plus deux séparatrices (cf. [18] par exemple).
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 374 — #24
374
FRÉDÉRIC TOUZET
Théorème 4.2. ([25], [18]) Il existe une suite d’éclatements ponctuels
π : U → (C2 , 0)
au dessus de 0 tel que le feuilletage pull-back F̃ = π ∗ F n’a que des singularités
réduites.
Le diviseur exceptionnel π −1 (0) sera par la suite appelé arbre de réduction
du feuilletage F et noté A.
Soit E ' P1 une composante irréductible de A.
On dira que E est dicritique s’il n’est pas invariant par F̃ . On peut alors
supposer, quitte à faire des éclatements supplémentaires, que chaque composante
dicritique est partout transverse aux feuilles (et en particulier ne rencontre pas le
lieu singulier de F̃ ).
A contrario, si E est invariant par le feuilletage, elle contient un certain nombre de singularités { p1 , . . . , pn } du feuilletage et on peut lui associer son groupe
d’holonomie projective H E (voir [18]), image de la représentation d’holonomie
π1 (E \ { p1 , . . . , pn }) → Diff(C, 0)
bien définie modulo conjugaison analytique (E est une droite projective et ceci
explique l’emploi de ce terme pour qualifier l’holonomie).
Le feuilletage F est dit dicritique s’il admet une composante dicritique. Cela
revient à dire que F admet une infinité de séparatrices.
On revient maintenant aux hypothèses du début de section (avec n = 2).
La preuve du Théorème 2 s’articule alors comme suit. Considérons le morphisme π de réduction des singularités de F . On sait identifier les feuilletages
à singularités réduites susceptibles d’admettre un courant invariant sans atomes
([6]). Dans le cas présent, où le courant T a une forme très particuliére, cette liste
peut être affinée. En étudiant les germes de courants dépendant d’une variable
complexe de la forme ie2ϕ dz ∧ dz et invariants par un germe de Diff(C, 0), on
peut par ailleurs analyser la structure des groupes d’holonomie projective. On
recolle ensuite ces informations locales et semi-locales (dans l’esprit de ce qui
est fait dans [21]).
Lemme 4.3. Soit T un germe de courant dans (C, 0) de la forme
T = ie2ϕ dz ∧ dz
où ϕ est sous-harmonique; supposons que T soit invariant par un germe de
difféomorphisme holomorphe h ∈ Diff(C, 0) : h ∗ T = T .
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 375 — #25
UNIFORMISATION DE L’ESPACE DES FEUILLES
375
Pour tout voisinage V de l’origine, il existe alors un ouvert U ⊂ V contenant
0 tel que h(U ) = U .
Corollaire 4.4. Soit H ⊂ Diff(C, 0) un sous groupe finiment engendré tel que
pour tout h ∈ H , on ait h ∗ T = T , alors H est analytiquement conjugué à un
sous-groupe du groupe des rotations
R = {z → e2iπλ z, λ ∈ R}
i.e., il existe ϕ ∈ Diff(C, 0) tel que
ϕ −1 H ϕ ⊂ R.
Démonstration (du corollaire). Le théorème du domaine invariant (voir par
exemple [2], chap. I) nous dit qu’un difféomorphisme de (C, 0) est analytiquement conjugué à une rotation si et seulement si il existe une base de voisinages U
de 0 telle que h(U ) = U . En vertu du Lemme 4.3, cette propriété est bien vérifiée
par chaque élément de H . En particulier, H ne comporte pas de germe non trivial
tangent à l’identité et est donc abélien. Il est alors bien connu (cf. par exemple
[16]) que tout sous-groupe abélien de type fini de Diff(C, 0) dont chaque élément
est analytiquement linéarisable est lui-même analytiquement linéarisable.
Preuve du Lemme 4.3. On reprend essentiellement l’argument qui est développé dans ([5], preuve du Lemme 11, p. 590).
Soit h ∈ Diff(C, 0) tel que h ∗ T = T . Supposons par l’absurde qu’il n’existe
aucun ouvert U 3 0 arbitrairement petit tel que h(U ) = U .
Soit Dr ⊂ C le disque ouvert {|z| < r } avec r suffisamment petit.
Soit γ une courbe rectifiable contenue dans un voisinage de 0 ∈ C. Sa
longueur relative à la forme métrique g = eϕ |dz| est donnée par
Z
l g (γ ) = eϕ(z) d H
γ
où H désigne la mesure de Haussdorff de dimension 1; pour a ∈ C, notons
γa le segment [0, a]. Soit K r ⊂ Dr le plus grand sous ensemble de Dr tel que
h(K r ) = K r . La non-existence de domaine invariant par h implique que 0 n’est
pas contenu dans l’intérieur de K r . Il existe par conséquent une suite (an ) de
points de Dr \ K r convergeant vers l’origine ainsi qu’une suite d’entiers relatifs
kn telle que
h kn ([0, an [) ∈ Dr , h kn ({an }) ∈ ∂Dr .
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 376 — #26
376
FRÉDÉRIC TOUZET
Posons 0n := h kn (γan ).
Compte tenu des propriété d’invariance de T , on a
l g (0n ) = l g (γan ),
en particulier l g (0n ) doit converger vers 0. Quitte à prendre une sous suite, on
peut donc supposer que (0n ) converge au sens de Hausdorff vers un compact
connexe K ∈ Dr tel que K ∩ ∂Dr 6= ∅. Si l’on reprend le raisonnement mené
dans ([5], loc. cit.), on obtient que ϕ = −∞ sur K (i.e.: K est contenu dans un
ensemble polaire) et ceci contredit le fait que K est un compact connexe non
réduit à un point (car il contient également l’origine).
Preuve du Théorème 2. Considérons l’arbre de réduction A du feuilletage F
défini sur un voisinage V de l’origine dans C2 par ω = 0.
On notera
π :U →V
le morphisme de réduction, défini sur un voisinage U de A et composé d’une
succession d’éclatements ponctuels.
Par hypothèse, le feuilletage réduit F̃ = π ∗ F admet un (1, 1) courant positif
fermé invariant par holonomie
T̃ = π ∗ T := ie2ϕ◦π π ∗ ω ∧ π ∗ ω.
En effet, au voisinage d’un point de U , on peut écrire π ∗ ω = f ω̃ où { f = 0}
est une équation (non nécessairement réduite) du diviseur exceptionnel et ω̃ un
générateur local de F̃ . On a donc bien T̃ ∧ ω̃ = 0.
De plus, T̃ est encore localement de la forme ie2ϕ̃ ω̃ ∧ ω̃ où ϕ̃ = ϕ ◦ π +
log | f | est psh.
Soit S l’ensemble des séparatices de Fω . Montrons d’abord que A n’admet
pas de composantes dicritiques. En effet, si une telle composante E existait, on
pourrait trouver un système de coordonnées analytiques locales (x, z) tel que
{z = 0} soit une équation locale de E et F̃ soit défini par d x = 0. Par suite, on
aurait T̃ = ieψ(x) d x ∧ d x où ψ est sous-harmonique. Mais π ∗ ω s’annule sur
A et donc en particulier sur E. Ceci implique que ψ ≡ −∞, ce qui n’est pas
possible.
Puisqu’on est dans une situation non dicritique, S est constituée d’une union
finie de p courbes irréductibles.
D’après le Corollaire 4.4 ainsi que ([6], p. 210) et ([18], Th. 2, p. 482), les
singularités qui apparaissent après réduction sont du type Siegel ou Poincaré
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 377 — #27
UNIFORMISATION DE L’ESPACE DES FEUILLES
377
linéarisables, c’est à dire sont données par des formes différentielles qui
s’écrivent à conjugaison analytique près
zdw + λwdz, λ réel non nul
(24)
zdw + λwdz, λ > 0
(25)
et admettent
par conséquent des intégrales premières multiformes du type
R
zw λ = e ξ où
dz
dw
.
ξ=
+λ
z
w
Examinons le cas λ < 0 (domaine de Poincaré). Considérons le chemin
z = 0, w = 1 − t, t ∈ [0, 1[. Ce chemin se relève dans les feuilles et définit
une application d’holonomie entre la transversale T1 = {w = 1} ∩ {|z| < a}
et Tt = {w = 1} ∩ {|z| < at −λ } (les chemins relevés “plongent” vers la singularité). Par hypothèse, on a une (1, 1) forme fermée du type (23) qui induit sur
chaque transversale une mesure dont la masse tend vers 0 quand t tend vers 1:
en effet, η est à coefficients bornés et le diamètre de Tt tend vers 0. On a une
contradiction puisque cette masse est par ailleurs indépendante de t en raison
de l’invariance de la mesure par holonomie.
Le domaine de Poincaré et le cas dicritique sont donc exclus.
Les seuls cas qui subsistent sont donc de la forme
En particulier, la conclusion du Théorème 2 est valide si le feuilletage
d’origine F est déjà réduit.
Notons qu’il y a dans ce cas exactement deux séparatrices d’équations respectives {z = 0} et {w = 0}.
Au voisinage d’une composante irréductible de l’arbre de réduction
Soit E ⊂ A une composante irréductible diviseur exceptionnel et H E son
groupe d’holonomie projective évalué sur une transversale T p ' (C, 0). D’après
les observations précédentes, H E est un sous groupe du groupe des rotations
{z → e2iπθ z, θ ∈ R}. Par suite, dzz s’étend par transport holonome en une
forme méromorphe η nulle sur les feuilles sur un voisinage de E \ { p1 , . . . , pn E }
où { p1 , . . . , pn E } = E ∩ Sing F̃ . Noter que { p1 , . . . , pn E } est exactement le lieu
d’intersection de E avec les autres séparatrices locales (dont une partie peut-être
formée de branches locales de A). On explique maintenant comment on peut
étendre η à travers ces séparatrices, en d’autres termes comment on étend η au
voisinage de E.
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 378 — #28
378
FRÉDÉRIC TOUZET
Soit p ∈ E un point régulier voisin de p1 et T p ' (C, 0) un germe de
transversale en p; on peut supposer que la singularité p1 est définie par l’équation
locale (25), que {z = 0} est une équation locale de E et que T a pour équation
{w = 1}. Soit HT le groupe d’holonomie de la singularité p1 évalué sur T ,
obtenu en relevant les lacets
γ : [0, 1] → {|w| = 1} ∩ {z = 0}, γ (0) = γ (1) = (1, 0)
(dans les coordonnées (w, z)).
On vérifie facilement que HT est engendré par h(z) = e2iπλ z qui fixe donc
les formes
dz
dz
et η|T = f (z)
ξ|T =
z
z
où f ∈ O1 , f (0) = 1. Par suite, f ◦ h = f , ce qui assure que f ≡ 1 si λ
n’est pas rationnel et f = g(z q ) si λ = qp est rationnel. Dans les deux cas, η se
prolonge en une fome méromorphe à pôles simples à travers la singularité p1 ,
respectivement f (0)ξ et g(z p wq )ξ dont les résidus sur {w = 0} valent donc λ.
En répétant cette opération au voisinage des autres singularités, on montre
finalement que η se prolonge en une forme méromorphe à pôles simples sur
un voisinage de E dont les résidus sont localisés sur E et les n E séparatrices
transverses en p1 , . . . , pn E . Ces résidus sont par ailleurs positifs.
On veut maintenant généraliser ce procédé de construction au voisinage de
A tout entier (on supposera par la suite A 6 = ∅).
Au voisinage de l’arbre de réduction
Nous rappelons pour ce qui suit la terminologie et les notations adoptées dans
[21], Section 2. Soit Z une zone logarithmique, c’est à dire un sous ensemble
ensemble connexe de A constitué d’une union de composantes irréductibles tel
que sur un voisinage U de Z , F̃ soit défini par une forme méromorphe fermée
η Z à pôles simples. On peut Ry associer la fonction (multivaluée) f Z définie sur
U \ pôles de η Z par f Z = e η Z . Nous supposerons de plus que les résidus de
η Z sont exactement localisés sur Z et sur l’ensemble des séparatrices locales
transverses {S1 , . . . , Sn Z } passant par les points de Z . On supposera également
que ces résidus sont positifs. Le Théorème 2 est clairement établi si Z = A, car
η Z se redescend sur (C2 , 0). On pourra donc considérer que Z 6= A et Z 6= ∅
(cette hypothèse étant justifiée par l’étude précédente).
Considérons une composante E adjacente à Z , ce qui signifie que E est une
composante irréductible de A telle que Z ∪ E soit connexe. En particulier, on
peut supposer que S1 est une branche locale de E. Quitte à multiplier par un réel
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 379 — #29
UNIFORMISATION DE L’ESPACE DES FEUILLES
379
positif, on peut supposer que le résidu de η Z sur S1 est égal à 1. Suivant ([21],
loc. cit.), il existe une base de voisinage U de Z tel que pour tout ouvert U ∈ U,
f Z soit à fibres connexes sur V = U \ {Z ∪ S1 ∪ . . . Sn Z } (plus précisément,
f Z est àR fibre connexe sur le revêtement de V associé au noyau du morphisme
γ → e γ η Z , γ ∈ π1 (V ) où f Z est bien définie comme fonction univaluée).
Choisissons un point m ∈ S1 \ Sing F̃ ainsi qu’une transversale locale Tm '
(C, 0) en m au feuilletage F̃ . On peut choisir une coordonnées locale z de
telle sorte que les différentes déterminations de f Z |Tm soit de la forme λz,
λ ∈ e2iπ G où G désigne le groupe additif engendré par les résidus de η Z . Soit
H ⊂ Diff(Tm ) le groupe {z → gz, g ∈ e2iπ G } et H E le groupe d’holonomie
projective évalué sur Tm . Par connexité des fibres et le Lemme 4.3, on déduit que
H est analytiquement conjugué à un sous-groupe de rotations. Soit u une coordonnée linéarisante sur Tm . D’après l’analyse faite en 4, la forme du
s’étend par
u
transport holonome en une forme méromorphe fermée η E définie sur un voisinage de E, à pôles simples et résidus positifs sur les séparatrices. Remarquons
que
dz
du
= f (z)
u
z
avec la relation fonctionnelle
Pour tout λ ∈ e2iπ G , f (λz) = f (z).
On peut donc distinguer 2 cas:
(26)
a) G n’est pas un sous ensemble de Q. Il en résulte que f est constant, ce
qui signifie que z est une coordonnée linéarisante pour H tout entier. Par
suite (en choisissant u = z), les formes η E et η Z se recollent et définissent
ainsi sur un voisinage de Z ∪ E une forme méromorphe à pôles simples
et à résidus positifs sur les séparatrices locales.
b) G ⊂ Q. Dans cette situation, G est engendré par un rationnel qui s’écrit
sous forme irréductible r = qp . Ceci implique que f Z q est bien définie
comme fonction holomorphe univaluéee au voisinage de Z et s’annule
exactement sur Z ∪ S1 ∪ . . . Sn Z . Par ailleurs, f = g(z q ) en raison de la
propriété d’invariance (26). Ceci permet encore d’exhiber au voisinage de
Z ∪ E une forme méromorphe à pôles simples et à résidus positifs sur
les séparatrices locales. Par construction, cette forme est égale à η E sur
un voisinage de E et égale à g( f Z q )η Z sur un voisinage de Z . De proche
en proche, on étend cette construction au voisinage de A et on a ainsi
démontré le Théorème 2.
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 380 — #30
380
FRÉDÉRIC TOUZET
Nous revenons maintenant au cadre global étudié dans les trois premières
sections.
5 Structure du feuilletage au voisinage d’une hypersurface invariante
Nous réadoptons les notations de la Section 3: α := c1 (NF∗ ) est supposée pseudoeffective et admet α = {N } + Z comme décomposition de Zariski.
On va utiliser la caractérisation des singularités locales donnée par le Théorème 2 afin de préciser la structure du feuilletage F près d’une hypersurface
invariante et plus particulièrement au voisinage de H = Supp N .
Soit p un point de M tel que p ∈
/ H . Quand p est de plus un point régulier
du feuilletage, le faisceau conormal est engendré par dz dans une coordonnée
z adéquate.
La forme positive ηT mentionnée dans le Théorème 1 s’explicite alors
comme suit:
ηT =
i 2ϕ(z)
e
dz ∧ dz
π
avec
1ϕ :=
∂ 2ϕ
= εe2ϕ ,
∂z∂z
avec ε = 0 (cas transversalement euclidien) ou ε = 1 (cas transversalement
hyperbolique).
Rappelons comment sont construites ces structures transverses euclidiennne
ou hyperbolique.
Soit ds 0 la métrique euclidienne standard idu ∧ du sur la droite complexe
U0 = C
et
ds 1 =
i du ∧ du
π (1 − |u|2 )2
la métrique de Poincaré (ainsi normalisée pour être de courbure −1) sur le disque
U 1 = D = {|u| < 1} (plus exactement leurs formes d’aire respectives).
Soit I ε le groupe des isométries conformes de U ε , ε = 0, 1. Il existe au
voisinage de chaque point p ∈
/ H ∪ Sing F une submersion holomorphe f
constante sur les feuilles à valeur dans U ε telle que
ηT = f ∗ ds ε et f est uniquement définie modulo l’action à gauche de I ε . (27)
Supposons maintenant que p ∈ Sing F \ H et soit V un ouvert simplement
connexe de M \ H contenant p. On peut alors généraliser (27) comme suit:
Lemme 5.1. Il existe une unique intégrale première holomorphe f : V → U ε
de F|V modulo l’action à gauche de I ε tel que sur V , on ait
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
ηT = f ∗ ds ε .
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 381 — #31
UNIFORMISATION DE L’ESPACE DES FEUILLES
381
Démonstration. Cela résulte de (27) et le fait que V \ Sing F reste simplement
connexe. On obtient ainsi une intégrale première holomorphe f définie sur V \
Sing F et qui s’étend sur V tout entier par le théorème de prolongement d’Hartogs
(car codim Sing F ≥ 2, ce qui est aussi implicitement utilisé pour la simple
connexité de V \ Sing F ). Notons que le lieu critique de f coïncide sur V avec
Sing F et qu’il ne s’agit donc plus d’une submersion.
Définition 5.2. Le faisceau défini sur M \ H et déterminé par la collection de
ces germes f (lorsque p varie) est appelé faisceau des intégrales premières
admissibles et sera noté I ε . Par construction, c’est un sous-faisceau localement
constant du faisceau structural O M\H .
Il sera également commode d’y adjoindre le faisceau suivant.
Définition 5.3. Le faisceau défini sur M \ H et déterminé par la collection des
dérivées logarithmiques dff , f ∈ I ε est appelé faisceau des dérivées logarithmiques admissibles et sera noté Idε log .
Rappelons (Théorème 2) que le feuilletage possède au voisinage de tout point
p de M une intégrale première “élémentaire” du type
F=
m
Y
i=1
fi i .
γ
Le germe d’hypersurface X p = { i=1 f i = 0} est donc égal à l’union des
séparatrices locales au point p. Cette situation inclut évidemment le cas où F
est régulier en p (on a alors m = 1 et f 1 est submersive au point p).
Qm
Lemme 5.4. Soit V p un voisinage du point p. Quitte à diminuer V p , le feuilletage FV p \X p est alors défini par une section de Idε log qui s’étend en une forme
logarithmique η p sur V p à pôles exactement sur X p . Cette forme η p est par
ailleurs unique.
Démonstration. Si p 6∈ H , on peut trouver au voisinage de p une section
locale f de I ε telle que f ( p) = 0. Par la Remarque 4.1, on a { f = 0} = X p . Par
ailleurs, toute autre section g vérifiant g( p) = 0 est de la forme g = r f , où r
est un complexe de module 1. Par suite, η p = dff convient et est nécessairement
unique.
On peut donc supposer p ∈ H .
Traitons en premier lieu le cas où F est régulier en p. On pose
λ = sup 2(Tmin,ε , Hi0 )
ε>0
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 382 — #32
382
FRÉDÉRIC TOUZET
où Hi0 est la composante de H contenant p (on réadopte ici les notations du
Théorème 2.7).
Soit T p ' (C, 0) un germe de transversale en p. La restriction de ηT à T p est
alors de la forme η˜T = πi e2ϕ(z) dz ∧ dz où ϕ est une fonction sous harmonique
sur T p , lisse en dehors de p et vérifiant l’EDP
1ϕ :=
∂ 2ϕ
= εe2ϕ + λδ p
∂z∂z
(28)
où δ p est la masse de Dirac en p.
Sur tout ouvert sectoriel de T p de la forme S = {z 6= 0; α < arg z < α + 2π },
il existe par simple connexité une section f de I ε .
Soit γ : [0, 1] → T p une courbe rectifiable telle que γ (1) = p et γ (t) ∈
S, t 6= 1. Soient t, t 0 ∈ [0, 1[. Puisque η˜T (= f ∗ ds ε sur S) est à coefficients
bornés sur T p et que f envoie isométriquement (S, η˜T ) dans (U ε , ds ε ), il existe
C > 0 tel que pour tout t, t 0 ∈ [0, 1[, la distance (pour la métrique ds ε ) entre
γ (t) et γ (t 0 ) est majorée par C|γ (t) − γ (t 0 )|. Par conséquent, f ◦ γ (t) admet
une limite l dans U ε quand t → 1. Cette limite l ne dépend pas du chemin
parcouru car sinon il existerait γ de la forme précédente tel que f ◦ γ (t) admette
au moins deux valeurs d’adhérence quand t tend vers 1.
Soit f c la section de I ε définie sur S et obtenue par monodromie de f le long
d’un lacet c : [0, 1] → T p \ { p} d’indice 1 au point p. On a donc f c = τ ◦ f ,
τ ∈ I ε avec τ (l) = l, de sorte qu’on peut se ramener au cas où l = 0 et τ est
alors une rotation fixant 0. On obtient alors facilement que f (z) = z μ h(z) où
μ est un certain réel positif tel que e2iπμ soit l’angle de la rotation et h ∈ O∗ .
Quitte à se placer dans une coordonnée holomorphe appropriée, on peut donc
supposer que f (z) = z μ ; on conclut finalement que
i
η˜T = f ∗ ds ε = μ2 |z|2μ−2 dz ∧ dz si ε = 0
π
i
dz ∧ dz
= μ2 |z|2μ−2
si ε = 1.
2
π
(1 − |z|2μ )
(ces égalités, vraies sur T p \ { p} s’étendent en fait sur T p car les mesures impliquées dans les membres de gauche et droite n’affectent pas de masse au
point p).
En particulier, on a μ ≥ 1 (η˜T est à coefficients bornés) et par suite ϕ(z) =
(μ − 1) log |z| + O(1) ce qui entraîne finalement d’après (28) que μ = λ + 1
et donc μ > 1. La forme η p est alors l’extension méromorphe de dff sur T p
(plus exactement sur un voisinage de T p obtenu par par flow-box).
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 383 — #33
UNIFORMISATION DE L’ESPACE DES FEUILLES
383
Il reste à considérer le cas où p ∈ H est également une singularité du feuilletage. On se ramène à la situation précédente; pour ce faire, choisissons p 0
régulier, p 0 ∈ X p , ainsi qu’une transversale T p0 , un secteur S 0 ∈ T p0 , une section
f ∈ I ε (S 0 ) et une forme η p0 définies comme ci-dessus. Pour S 0 convenablement
choisi, la section locale f se factorise à travers une détermination F de l’intégrale
première élémentaire F suivant
f (z) = (ψ(F (z))
α
β
(29)
avec α, β > 0 et ψ un difféomorphisme local de (C, 0). Soit δ > 0 suffisamment
petit et Vδ ⊂ V p la composante connexe de |F| < δ contenant p (et donc p 0 ).
Soit γ : [0, 1] → Vδ \ X p un lacet tel que γ (0) = γ (1) ∈ S 0 et f γ ∈ I ε (S 0 ) le
prolongement analytique de f le long de γ ; d’après la forme de l’égalité (29),
on a encore
lim f γ (z) = 0.
z→0
Par unicité, on obtient alors que dff = f γγ . Il existe donc une section de Idε log
définie sur Vδ \ X p qui se prolonge en la forme logarithmique η p requise au
voisinage de p (utiliser le fait que X p = {|F| = 0} et (29)).
df
Soit K une hypersurface invariante par le feuilletage et K 1 , . . . , K r ses composantes irréductibles.
Posons μi = supε>0 2(Tmin,ε , K i ). On rappelle que μi = 0 si et seulement si
K i * H . L’unicité de la forme logarithmique construite dans la démonstration
précédente fournit immédiatement une version (semi) globale du Lemme 5.4.
Proposition 5.1. Sur un voisinage suffisamment petit V de K ∪ SingF , le
feuilletage FV \K est définie par une section de Idε log qui s’étend en une forme
logarithmique η K sur V dont le résidu le long de K i est égal à μi +1, i = 1, . . . , r
et vaut 1 sur les autres pôles. Cette forme η K est par ailleurs unique.
Remarquons que le support du diviseur des pôles (η K )∞ de η K peut être a
priori plus gros que K (par construction, les pôles de η K sont exactement
localisés sur les séparatrices locales le long de K ∪ Sing F ). En termes d’intersection, ceci se traduit facilement par le
Lemme 5.5. Soit θ une forme de Kähler sur M; pour tout 1 ≤ i ≤ r , posons
X
ai = {K i }
(μ j + 1){K j }{θ }n−2 .
Alors, pour tout i, ai ≤ 0.
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
j
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 384 — #34
384
FRÉDÉRIC TOUZET
De plus, ai = 0 pour tout i = 1, . . . , r si et seulement si Supp (η K )∞ = K
(en restreignant η K sur un petit voisinage de K ).
Nous supposons par la suite que K est de plus connexe et que η K est définie
sur un petit voisinage de K .
Proposition 5.2. La famille {K 1 , . . . , K r } est exceptionnelle si et seulement si
Supp (η K )∞ ! K . En particulier, toute composante connexe de H = Supp N
rencontre une séparatrice locale qui n’est pas une branche locale de H .
Démonstration. Soit (M, {θ }) une polarisation de M fournie par une forme
de Kähler θ . On rappelle (Corollaire 2.15) que la famille {K 1 , . . . , K r } est exceptionnelle si et seulement si la matrice (m i j ) = ({K i }{K j }{ω}n−2 ) est définie
négative.
Supposons que Supp (η K )∞ = K ; on déduit alors du lemme précédent que
{D}2 {ω}n−2 = 0
P
en posant D = i (μi + 1)K i ; la famille n’est donc pas exceptionnelle.
Supposons inversement que {K 1 , . . . , K r } n’est pas exceptionnelle; quitte à
réordonner les indices, il existe 1 ≤ p ≤ r , μ1 , μ2 , . . . , μ p > 0 tels que
X
p
i=1
μi {K i }
2
=0
(conséquence de iii) Proposition 2.14).
En appliquant à nouveau le Lemme 5.5, un simple calcul nous montre que tous
les pôles de η restreinte à un petit voisinage de K̃ := K 1 ∪ K 2 ∪ ∙ ∙ ∙ ∪ K p sont
localisés sur K̃ . Par hypothèse de connexité, on a en fait K̃ = K et donc bien
Supp (η K )∞ = K .
6 Propriétés de l’application développante
Les feuilletages étudiés sont transversalement hyperboliques ou euclidiens en
dehors du support H de la partie négative N (en un sens large car les intégrales
premières locales qui définissent la structure métrique transverse peuvent avoir
un lieu critique non vide, i.e.: F peut présenter des singularités en dehors de H ).
Suivant la théorie générale des feuilletages transversalement homogènes, on peut
donc considérer l’application développante ρ de F , définie sur un revêtement
galoisien π : M0 → M \ H . Cette application est en fait donné par une section globale de π ∗ I ε (bien définie pour un choix approprié de M0 ) et est unique
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 385 — #35
UNIFORMISATION DE L’ESPACE DES FEUILLES
385
modulo l’action de I ε . Rappelons en quelques propriétés (cf. [12]): ρ est holomorphe sur M0 , à valeur dans U ε et submersive en dehors de S = π −1 (Sing F ).
Les feuilles du feuilletage relevé F0 = π ∗ F sont données par les composantes
connexes des niveaux de ρ|M0 \S .
Il existe une représentation r de π1 (M \ H ) dans I ε telle que pour tout (γ , x) ∈
π1 (M \ H ) × M0 , on ait
ρ(γ .x) = r (γ )ρ(x).
Rappelons enfin que la développante est complète si l’image de ρ(M0 ) est U ε .
On pourra noter que ρ(M0 ) = ρ(M0 \ S).
Théorème 3. L’application développante ρ associée aux feuilletage F est
complète.
Nous aurons besoin des deux résultats suivants.
Lemme 6.1. Soit F un feuilletage holomorphe défini au voisinage de 0 ∈ Cn
admettant une intégrale première élémentaire
F=
m
Y
i=1
fi i .
γ
Soit X 1 = { f 1 = 0}, p ∈ X 1 régulier et T p une petite tranversale au feuilletage
en p; alors le saturé de T p par F contient un ouvert de la forme
W\
où W est un voisinage de l’origine.
m
nY
i=1
fi = 0
o
Démonstration. Quitte à remplacer F par l’intégrale première élémentaire
1
F γ1 , on peut supposer que γ1 = 1. Soit F p une branche locale de F au voisinage de p. On peut choisir la transversale T p pour que F p (T p ) soit un disque
D(0, r ) de rayon r > 0, pour r suffisamment petit. D’après ([22], Theorem A)
les fibres de la fonction multivaluée F sont connexes; par conséquent, le saturé
de T p \ { f 1 = 0} est égal à
W\
m
nY
i=1
fi = 0
où W = {|F| < r } est bien un voisinage de 0.
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
o
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 386 — #36
386
FRÉDÉRIC TOUZET
Ce lemme admet, via un simple argument de flow-box la version semi-globale
suivante:
Corollaire 6.2. Soit F un feuilletage holomorphe défini au voisinage d’une
hypersurface invariante connexe K . On suppose F à singularités élémentaires
sur K (i.e., F admet une intégrale première élémentaire au voisinage de chaque
point de K et les séparatrices locales en chaque point de K sont contenues dans
K ). Soit p ∈ K un point régulier et T p une petite tranversale au feuilletage en
p; alors le saturé de T p par F contient un ouvert de la forme W \ K où W est
un voisinage de K .
Démonstration du Théorème 3. Soit C une composante connexe de Supp N ∪
Sing F . Sur un petit voisinage V de C , F est défini par la forme logarithmique
ηC donnée par la Proposition 5.1. Soit H une composante irréductible du lieu
polaire (η)∞ qui n’est pas contenue dans Supp N (il n’y en a qu’un nombre
fini). Soit TH une tranversale au feuilletage en un point p. D’aprés le Corolaire 6.2, le saturé de TH \ { p} contient un ouvert de la forme VH \ (η)∞ où
VH est un voisinage ouvert de (η)∞ . En répétant
cette opération sur les autres
T
composantes, on obtient un ouvert VC = H VH . Soit WC ⊂ VC un voisinage
de C qui ne rencontre aucune des transversales TH . En procédant de même sur
les autres composantes
connexes de Supp N ∪ Sing F , on obtient finalement un
S
ouvert W =
WC . Par construction, c’est un voisinage de Supp N ∪ SingF
qui vérifie le
Lemme 6.3. Soit L une feuille de F non contenue dans Supp N , alors L ∩ (M \
W ) 6= ∅.
Soit maintenant g 0 une métrique hermitienne sur M et V l’ouvert de M \ H
où F est régulier et où son fibré tangent T F est donc bien défini. Munissons
T F ⊥ de la métrique induite par celle qu’on a implanté sur NF (i.e. associée à
la métrique euclidienne ou hyperbolique transverse). On récupère ainsi sur V
une métrique hermitienne g qui préserve cette décomposition orthogonale (en
général non holomorphe). Soit γg une géodésique locale définie sur un intervalle
I . D’après [24] ou [20], Proposition 3.5, p. 86, γg est orthogonale en chaque
point aux feuilles de F si et seulement si elle est orthogonale à une feuille en
un point et dans cette situation ([20], loc. cit.), toute section de I ε définie au
voisinage de γg envoie γg sur une géodésique de (U ε , ds ε ).
Remarque 6.4. Soit U un voisinage ouvert de Supp N ∪ Sing F . Pour tout
point m de V \ U , il existe δ > 0 tel que la boule de rayon géodésique Bg (m, δ)
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 387 — #37
UNIFORMISATION DE L’ESPACE DES FEUILLES
387
soit bien définie. Par compacité de V \ U , on peut de plus choisir δ indépendamment de m.
On choisira par la suite U = W . Supposons que ρ n’est pas complète. Puisque
son image est ouverte, il existe donc p ∈ ρ(M0 ), p 0 ∈ U ε \ ρ(M0 ) ainsi qu’un
segment géodésique
γ : [0, a] → U ε
(pour la métrique ds ε ) tel que γ (0) = p, γ (a) = p 0 et γ (t) ∈ ρ(M0 ) pour
0 ≤ t < a.
Soit g0 la métrique g relevée sur M0 \ S. Choisissons t0 ∈ [0, a[ tel que
|a − t0 | < δ. Considérons une composante connexe L de p−1 (γ (t0 )); π(L) est
donc une feuille de F non contenue dans Supp N . D’après le Lemme 6.3, il
existe m 0 ∈ L tel que π(m) ∈
/ W et donc tel que la boule géodésique Bg0 (m 0 , δ)
soit bien définie en m 0 . Ceci donne la contradiction recherchée.
Remarque 6.5. Nous pensons que les fibres de ρ sont connexes. Ceci permettrait d’obtenir des informations précises sur la dynamique du feuilletage. Nous
espérons aborder ce problème dans un prochain travail.
7 Le cas des feuilletages à classe canonique (numériquement) triviale
Soit F une distribution éventuellement singulière de codimension 1 sur une
variété Kähler compacte M, dimC M = n (la définition précise est rappelée en
Section 1.1). On considère le fibré déterminant associé
^n−1 ∗∗
TF
det F =
qu’on peut donc voir comme sous faisceau inversible de
est appelé le fibré canonique de F .
On supposera en outre que
(*) on a la condition de trivialité numérique
c1 (F ) := c1 (det F ) = 0
(**) le fibré canonique K M est pseudo-effectif.
Par adjonction, on obtient que
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
K M = K F ⊗ NF∗
Vn−1
TM . Son dual K F
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 388 — #38
388
FRÉDÉRIC TOUZET
en conséquence de quoi le conormal NF ∗ est numériquement équivalent à K M
et est donc pseudo-effectif. En réinvoquant le Théorème 1.1, on peut conclure
que F est intégrable. On désignera encore par F le feuilletage de codimension 1
associé. Il s’agit donc d’une sous classe de la famille de feuilletages considérés
dans cet article; lorsque F est régulier on obtient dans [28] une classification
essentiellement complète (pour faire bref, F provient, à revêtement fini près,
d’un feuilletage linéaire sur le tore ou est une fibration isotriviale).
Comme l’indique le théorème ci-dessous, cette situation est en fait générale.
Théorème 4. Sous les hypothèses ci-dessus, le feuilletage F est nécessairement régulier.
Démonstration. Utilisons la forme positive ηT = ie2ϕ ω ∧ ω introduite en
Section 1 (formule (2)).
On rappelle que ηT est fermée (au sens des courants) et permet donc de produire par dualité de Poincaré-Serre une classe non triviale {β} ∈ H n−1,n−1 (M).
Remarquons qu’on hérite par ailleurs d’une décomposition globale naturelle
η T = α1 ∧ α 2
où α1 = ω, α2 = −ie2ϕ ω vus respectivement comme (1, 0) forme à valeurs
dans NF et courant de bidegré (0, 1) à valeurs dans NF∗ (qui s’interprète comme
forme linéaire continue sur les (n, n − 1) formes à valeurs dans NF ).
On constate que α1 et α2 sont ∂ fermées (c’est évident pour α1 et résulte par
exemple de la formule (3) pour α2 ). Elles induisent donc, puisque ηT est non
nulle en cohomologie, des classes non triviales
{α1 } ∈ H∂1,0 (NF ), {α2 } ∈ H∂0,1 (NF∗ ).
Plus précisément, le cup produit
{α1 }{α2 }{β} ∈ H∂n,n (M)
est non nul (il coïncide en effet avec {ηT } ∧ {β}).
Le théorème résulte alors d’un simple jeu de réécriture; en notant c la classe
de α1 ∧ β dans H∂0,n−1 (K F ), on obtient que
Par suite, on a nécessairement
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
{α2 }c 6= 0
α2 ∧ c̃ 6= 0.
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 389 — #39
UNIFORMISATION DE L’ESPACE DES FEUILLES
389
où c̃ est une forme lisse ∂ fermée de bidegré (0, n − 1) à valeurs dans le fibré
K F représentant c.
Par trivialité numérique, on peut munir K F d’une métrique qui en fait un
fibré en droites hermitien plat.
Relativement à cette métrique (et une métrique kählerienne fixée sur M),
on peut choisir c̃ harmonique. Dans ce cas, par symétrie de Hodge, la forme
conjuguée  := c̃ est holomorphe et ω ∧  donne lieu à une section non nulle
de NF ⊗ K M ⊗ det F = O M .
Cette section ne peut donc avoir de diviseur de zéros sur M. Ceci implique
que le feuilletage F est régulier.
Remarque 7.1. On pourrait plus généralement remplacer (*) par l’hypothèse
det F pseudo-effectif (ce qui est donc le cas pour NF∗ ); lorsque M est projective
et det F n’est pas (numériquement) trivial, des résultats de Miyaoka (voir par
exemple [26]) garantissent que M est uniréglée, ce qui est bien sûr incompatible
avec l’hypothèse (**). Nous pensons que ce type d’obtruction persiste lorsque la
variété ambiante est seulement Kähler compacte mais nous ne connaissons pas
de preuves.
Par ailleurs, on peut montrer que le Théorème 4 reste vrai pour des distributions de codimension quelconque ([17]).
Remerciements. Nous remercions le referee pour avoir signalé un certain
nombre d’erreurs et imprécisions dans les versions précédentes.
Références
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
L. Alessandrini and G. Bassanelli. Plurisubharmonic currents and their extension
across analytic subsets. Forum Math., t. 5 (1993), pp. 577–602.
S. Bochner and W.T. Martin. Several Complex variables. Princeton University
press, (1948).
S. Boucksom. Divisorial Zariski decompositions on compact complex manifolds.
Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), 37(1) (2004), 45–76.
M. Brunella. Birational geometry of foliations. Publicações Matemáticas do
IMPA. [IMPA Mathematical Publications] Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), Rio de Janeiro (2004).
M. Brunella. Feuilletages holomorphes sur les surfaces complexes compactes.
Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), 30(5) (1997), 569–594.
M. Brunella. Courbes entières et feuilletages holomorphes. Enseign. Math. (2),
45(1-2) (1999), 195–216.
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 390 — #40
390
FRÉDÉRIC TOUZET
[7]
M. Brunella, J.V. Pereira and F. Touzet. Kähler manifolds with split tangent
bundle. Bull. Soc. Math. France, 134(2) (2006), 241–252.
D. Cerveau and J.-F. Mattei. Formes intégrables holomorphes singulières. Astérisque, 97 Société Mathématique de France, Paris (1982), 193 pp.
S.D. Cutkosky. Zariski decomposition of divisors on algebraic varieties. Duke
Math. J., 53 (1986), 149–156.
J.P. Demailly. On the Frobenius integrability of certain holomorphic p-forms.
Complex geometry (Göttingen, 2000), 93-98, Springer, Berlin (2002).
J.P. Demailly. L 2 vanishing theorems for positive line bundles and adjunction
theory. Transcendental methods in algebraic geometry. Lectures given at the 3rd
C.I.M.E. Session held in Cetraro, July 4-12, (1994). Edited by F. Catanese and
C. Ciliberto. Lecture Notes in Mathematics, 1646 (1-97).
C. Godbillon. Feuilletages. Études géométriques. Progress in Mathematics, 98.
Birkhäuser Verlag, Basel (1991).
P. Griffiths and J. Harris. Principles of algebraic geometry. Wiley Classics Library.
John Wiley & Sons, Inc., New York (1994), 813 p.
L. Hörmander. The analysis of linear partial differential operators. I. Distribution theory and Fourier analysis. Classics in Mathematics. Springer-Verlag,
Berlin (2003).
M. Klimek. Pluripotential theory. London Mathematical Society Monographs.
New Series, 6. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford
University Press, New York (1991).
F. Loray. Pseudo-groupe d’une singularité de feuilletage holomorphe en dimension deux. Prépublication IRMAR (2005).
F. Loray, J.V. Pereira and F. Touzet. Singular foliations with trivial canonical
class, arXiv:1107.1538, (2011), 68 pages.
J.-F. Mattei and R. Moussu. Holonomie et intégrales premières. Ann. Sc. ENS,
13 (1980), 469–523.
L.G. Mendes and J.V. Pereira. Hilbert modular foliations on the projective plane.
Comment. Math. Helv., 80(2) (2005), 243–291.
P. Molino. Riemannian foliations. Translated from the French by Grant Cairns.
With appendices by Cairns, Y. Carrière, É. Ghys, E. Salem and V. Sergiescu.
Progress in Mathematics, 73. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA (1988),
339 pp.
E. Paul. Feuilletages holomorphes singuliers à holonomie résoluble. J. Reine
Angew. Math., 514 (1999), 9–70.
E. Paul. Connectedness of the fibers of a Liouvillian function. Publ. Res. Inst.
Math. Sci., 33(3) (1997), 465–481.
M. Reid. Bogomolov’s theorem c12 ≤ 4c2 . Proceedings of the International Symposium on Algebraic Geometry (Kyoto Univ., Kyoto, 1977), pp. 623–642, Kinokuniya Book Store, Tokyo (1978).
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]
[17]
[18]
[19]
[20]
[21]
[22]
[23]
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013
“main” — 2013/8/14 — 17:01 — page 391 — #41
UNIFORMISATION DE L’ESPACE DES FEUILLES
391
[24] B.L. Reinhart. Foliated manifolds with bundle-like metrics. Ann. of Math. (2),
69 (1959), 119–132.
[25] A. Seidenberg. Reduction of singularities of the differential equation Ady = Bd x.
Amer. J. Math., 89 (1968), 248–269.
[26] N. Shepherd-Barron. Miyaoka’s theorems on the generic seminegativity of TX and
on the kodaira dimension of minimal regular threefolds. J. Kollár et al., “Flips and
abundance for algebraic threefolds”, Astérisque, 211 (1993).
[27] H. Skoda. Prolongement des courants, positifs, fermés de masse finie. Invent.
Math., 66(3) (1982), 361–376.
[28] F. Touzet. Feuilletages holomorphes de codimension 1 dont la classe canonique
est triviale. Ann. Sci. École Norm. Sup., 41 (2008), 1–14.
Frédéric Touzet
IRMAR
Campus de Beaulieu 35042 Rennes Cedex
FRANCE
E-mail: [email protected]
Bull Braz Math Soc, Vol. 44, N. 3, 2013