b - Académie de Nancy-Metz

3ème
NOTIONS DE PROBABILITES
F3
 Dans un casino, un jeu de roulette simplifié (non truqué) est numéroté de 1 à 10,
avec les numéros 1 à 5 en rouge et les numéros 6 à 10 en noir.
a) Quelles sont les issues possibles ? Sont-elles équiprobables ?
b) La boule s’arrête sur le 7, puis on relance la boule. Peut-on encore tirer un 7 ?
c) Quel est l’événement contraire de « tirer un nombre rouge » ?
 Recopie et complète la solution :
Enoncé : on tire un dé à 6
faces non truqué.
a) Quelles sont les issues
possibles ?
b) Sont-elles équiprobables ?
c) On tire un nombre pair, puis on
relance le dé. Peut-on encore tirer un
nombre pair ?
d) Quel est l’événement contraire de
« tirer un nombre pair » ?
Solution :
a) Les … possibles sont : 1 ; … ; … ;
… ; … et 6.
b) Le dé n’est pas …, donc chaque
… a la même ... de … : les issues
sont donc …
c) Chaque tirage est … du …
précédent. On peut donc … de
nouveau un … …, et avec la même
…
d) Soit on … un … pair, soit on tire
un … ….
Donc l’évènement … de « tirer un
nombre … » et donc « … un …
impair ».
 Pour chacune des situations suivantes, dis s’il s’agit
d’une expérience aléatoire, en justifiant :
a) Obtenir une bonne note à un contrôle.
b) Tirer la dame de cœur dans un jeu de 32 cartes.
c) Transformer un essai au rugby.
d) Gagner à un tirage au sort.
 Une roue de loterie est partagée en 6
secteurs identiques. On s’intéresse au
nombre obtenu.
a) Quelles sont les issues (ou résultats)
possibles ? Sont-elles équiprobables ?
b) Au 1er tour de roue, on obtient 6.
A-t-on la même probabilité d’obtenir de nouveau 6 au
2ème tour de roue ?
c) Explique quel est son événement contraire.
 On lance un dé à 8 faces non truqué.
a) Quelles sont les issues (ou résultats)
possibles ? Sont-elles équiprobables ?
b) Au 1er lancer de dé, on obtient 5. On
relance le dé. Peut-on encore obtenir 5 ?
A-t-on plus de chance d’obtenir un autre nombre ?
c) Quel est son événement contraire ?
 Un événement aléatoire est une expérience qui a plusieurs résultats (ou issues)
possibles que l’on ne peut pas prévoir avec certitude car elles dépendent du hasard.
 La probabilité d’un événement représente sa chance de se réaliser.
 Deux événements sont dits équiprobables quand leur probabilité sont égale
(c’est-à-dire qu’ils ont la même chance de se produire).
 Deux événements sont dits contraires quand la somme de leur probabilité vaut
1 : un des deux événements doit forcément se produire.
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6

3ème
CALCULER DES PROBABILITES
F3
 Un jeu de 32 cartes est composé de 4 « familles » : pique et trèfle (de couleur noire), cœur et
carreau (de couleur rouge). Dans chaque famille, il y a 3 figures : valet, dame et roi.
On tire une carte au hasard, calcule la probabilité des évènements suivants :
a) La carte tirée est une dame.
b) La carte tirée est une figure rouge.
c) La carte tirée n’est pas une figure rouge.
 Recopie et complète la solution :
Enoncé : on tire une carte au hasard dans
un jeu de 32 cartes.
a) Calcule la probabilité P1
de l’évènement A « tirer un
valet ».
b) Calcule la probabilité P2 de
l’évènement B « tirer un trèfle ».
c) Déduis-en la probabilité P3 de
l’évènement C« ne pas tirer un trèfle ».
Solution :
a) Il y a 4 … dans le … de cartes.
Le … total de … est …, donc :
P1 = …
32 = 1  …
…  4 = 1
8.
Il y a … chance sur 8 de … un …
b) Il y a … … dans un jeu de … …,
donc :
P2 = 8
… = 1  …
…  8 = 1
4.
Il y a … chance sur 4 de … un …
c) Les … B et C sont contraires, donc :
P3 = 1 – P2 = 1 – … = 3
…
Il y a … … sur 4 de ne pas … un …
 Une urne contient 12
boules vertes et 4 boules rouges.
Une autre urne contient 1 boule
vertes et 2 boules rouges.
a) Calcule la probabilité de tirer une boule
verte dans la première urne.
b) Calcule la probabilité de tirer une boule
verte dans la deuxième urne.
c) Dans quelle urne a-t-on le plus de chances de tirer
une boule verte ?
 Une roue de loterie est partagée
en 6 secteurs identiques. On s’intéresse
au nombre obtenu.
a) Calcule la probabilité d’obtenir un nombre pair.
b) Calcule la probabilité d’obtenir un nombre inférieur
ou égal à 5.
 On lance un dé à 6 faces non truqué.
a) Calcule la probabilité d’obtenir un nombre impair.
b) Calcule la probabilité d’obtenir un nombre
strictement supérieur à 4.
c) Déduis-en la probabilité d’obtenir un nombre
inférieur ou égal à 4.
 Un événement aléatoire est une expérience qui a plusieurs résultats (ou issues)
possibles que l’on ne peut pas prévoir avec certitude.
 La probabilité d’un événement représente sa chance de se réaliser.
 Une probabilité est un nombre entre 0 et 1, souvent écrit sous forme de fraction.
 Quand deux évènements sont contraires, la somme de leur probabilité vaut 1.
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INFO
Pense à justifier
tes réponses avec
une phrase et un
calcul !
INFO
Pense à calculer
le nombre total
de boules !

3ème
DEVELOPPER UN PRODUIT
N3
 Développe et réduis les expressions suivantes :
A = – 5  (x + 4) ; B = (5 x – 6) (3 x + 7) ; C = 2 x 2 – (x + 2) (x – 8).
C
A
B
 Recopie et complète :
Enoncé : développe et réduis :
A = – 3 (5 x – 4) ;
B = (2 x – 8) (4 x – 7) ;
C = x – (x + 7) (5 x – 3).
Solution :
A = – 3 (5 x – 4)
= – 3  … x + (– …)  (– …)
= – … x + … ;
B = (2 x – 8) (4 x – 7)
= …x  4 x + 2…  (–…) + (–…)  4 x + (– 8)  (–…)
= …x … – …x – …x + …
= 8… 2 – …x + … ;
C = x – (x + 7) (5 x – 3)
= x – [x  …x + x  (–…) + 7  …x + 7  (–…)]
= x – (5…… – …x + 35… –…)
= x – (5…… + …x –…)
= x – 5…… – …x + …
= – 5…… – …x + …
 Développe et réduis :
A = 5 (2 x – 7) ;
B = – 4 (– 3 x + 1) ;
C = 4 – 3 (x – 5) ;
D = 5 x – 5 (– 2 x + 1) ;
E = 2 (3 x + 5) – 4 (x + 2).
 Développe et réduis :
A = (x + 3) (x + 4) ;
B = (2 x – 3) (– x + 2) ;
C = (– 4 x + 3) (2 x + 1) ;
D = (7 x – 2) (5 x – 4) ;
E = (– 3 x – 4) (8 x – 7).
 Développe et réduis :
A = 5 + (2 x – 7) (4 – 3 x) ;
B = 3 – (4 x + 1) (– x + 2) ;
C = 5 x – 1 + (2 x – 3) (3 x + 1) ;
D = 4 x 2 – (– 5 x + 2) (x – 3) ;
E = (2 x – 3) (x + 5) – 4 (2 x – 1).
Développer un produit, c’est le transformer en somme.
Il y a deux développements à connaître :
k  (a + b) = k  a + k  b = ka + kb.
(a + b) (c + d) = a  c + a  d + b  c + b  d = ac + ad + bc + bd.
Les flèches montrent bien que l’on « distribue » la multiplication à chaque terme
entre parenthèses. On passe à chaque fois d’un produit à une somme.
INFO
INFO
Pour m’aider à
développer, j’ajoute
des flèches au crayon.
Au C, je développe et réduis
le produit entre
parenthèses. Comme elles
sont précédées du signe –,
je change le signe des 3
termes entre parenthèses
quand je les supprime.
Au A, tu dois
distribuer – 3, pas
seulement 3 !
INFO
Après chaque
produit, tu écris
toujours le signe + !
INFO
Au C et au , développe le
produit entre crochets, puis
réduis-le. Quand il est réduit, tu
supprimes les parenthèses :
quand il y a un signe – devant,
tu dois changer les signes des
termes entre parenthèses !

3ème
DEVELOPPER AVEC UNE IDENTITE REMARQUABLE
N3
 Développe et réduis les expressions suivantes :
A = (x – 5) (x + 5) ; B = (y – 9) 2 ; C = (6 x + 2) 2.
A
B
C
 Recopie et complète :
Enoncé : développe et réduis les expressions
suivantes :
D = (x + 5) 2 ;
E = (y + 3) (y – 3) ;
F = (4 t – 7) 2.
Solution :
D = (x + 5) 2 = … 2 + 2  …  … + 5 …
= … 2 + … x + 25 ;
E = (y + 3) (y – 3) = … 2 – 3 … = … 2 – … ;
F = (4 t – 7) 2 = (4 t) … – …  …  7 + … 2
= … t … – 56 … + …
 Développe et réduis les expressions
suivantes :
A = (x + 1) 2 ; B = (y + 3) 2 ; C = (x + 9) 2 ;
D = (n + 6) (n – 6) ; E = (x + 1) (x – 1) ;
F = (x – 1) 2 ; G = (t + 5) 2 ; H = (x – y) 2.
 Développe et réduis les expressions
suivantes :
J = (5 x + 2) 2 ; K = (4 x – 1) 2 ; L = (2 y + 3) 2 ;
M = (5 n + 7) (5 n – 7) ; N = (3 – 4 x) (3 + 4 x) ;
P = (9 y – 2) 2 ; R = (5 – 6 x) 2 ; S = (2 x – 3 y) 2.
 Calcule de tête en rédigeant les calculs comme
dans l’exemple :
49 2 = (50 – 1) 2 = 50 2 – 2 50 1 + 1 2
= 2 500 – 100 + 1 = 2 401
21 2 = ? 19 2 = ? 19  21 = ?
89 2 = ? 91 2 = ? 91  89 = ?
201 2 = ? 199 2 = ? 199  201 = ?
 Recopie et complète :
a) (x + …) 2 = … + … + 25 ;
b) (y – …) 2 = … – … + 1 ;
c) (z + …) 2 = … + 8 z + … ;
d) (n + …) (n – …) = … – 49 ;
e) (… + 4) 2 = 9 x 2 + … + … ;
f) (… – 5) 2= 16 x 2 – … + …
 Sur la copie de Khadija, on
peut lire le calcul suivant :
Khadija a commis une grosse
erreur !
Qu’a-t-elle oublié ?
 Développe et réduis chaque expression :
A = 15 x – (x + 7) 2 ;
B = x (x – 1) – (x – 2) 2 ;
C = (x + 2) (x – 2) + (x + 1) 2 ;
D = (x + 3) 2 – (x – 2) 2.
E = (x + y) 2 – (x – y) 2.
Il faut connaître les trois identités remarquables suivantes :
(a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2
(a – b) 2 = a 2 – 2 a b + b 2
(a + b) (a – b) = a 2 – b 2
Dans les deux premières identités, 2 a b est appelé « le double produit ».
INFO
INFO
Attention aux
parenthèses
autour de 6 x !
(6 x) 2 = 36 x 2.
2  6 x  2 = 2  6  x  2
= 2  6  2  x = 24 x.
INFO
Attention au signe
moins devant une
expression : il faut
la développer
entre
parenthèses !
Attention :
9 x 2 = (3 x) 2
INFO

AB
C
D
EF
G
H
IJ
J
CG
8 cm
4 cm
8 cm
AB
C
D
ST
RU
WX
VY
A
BC
D
E
FG
H
IJ
K
L1 cm
3 cm
R
UT
S
V
YX
W
3 cm
MN
O
P
3 cm
6 cm
4 cm
4 cm
3ème
SECTIONS DU PAVE DROIT
G4
 ABCDEFGH est un pavé droit que l’on a coupé
par un plan parallèle à l’arête [GH], avec IH = 3 cm.
a) Quelle est la nature de la section IJCD ?
b) Dessine-la en vraie grandeur.
c) Calcule son aire, puis arrondis-la au mm2 près.
GH CDIJ
ABCDEFGH ADHE
ID IH HD ID
ID DC
CDIJ
IHD CDIJ
IH
D
C
J
IHD H
 Recopie et complète :
Enoncé : ABCDEFGH est un
cube d’arête 8 cm. Les points I
et J sont les milieux respectifs
de [AD] et [BC]
a) Quelle est la nature du quadrilatère IJGH ?
b) Dessine-le en vraie grandeur.
c) Calcule IG, puis son arrondi au mm près.
Solution :
a) On a … le cube par un … … à l’arête […].
La … IJGH obtenue est donc un …
b)
c) ABCDEFGH est un …, donc sa … BCGF
est un …, donc JCG est un triangle … en …,
donc on peut utiliser le … de …
JG … = …2 + …2 = 4 … + 8 … = … + … = …
Donc JG = …  … (en cm).
 Dans la figure suivante, on a représenté la
section d’un pavé droit
par un plan parallèle à
l’arête [ST].
BT = 15 cm, CT = 8 cm
et ST = 13 cm.
a) Quelle est la nature de la section obtenue ?
b) Calcule la longueur BC.
 Les figures ci-dessous représentent un cube
d’arête 4 cm et un pavé droit coupés par un plan
parallèle à une arête.
a) Quelle est la nature des sections IJKL et
MNOP ? Justifie.
b) Représente ces sections en vraie grandeur.
c) Calcule LK et PM, puis l’arrondi à l’unité de
l’aire de chaque section.
 La section d’un parallélépipède rectangle (ou pavé droit) par un
plan parallèle à une face est un rectangle superposable à cette face.
Cas particulier : dans un cube, la section obtenue est un carré.
 La section d’un pavé droit (et d’un cube) par un plan parallèle
à une arête est un rectangle.
INFO
A
D
H
E
P
I
J
K
L
B
C
F
G
A
D
H
E
P
I
J
K
L
B
C
F
G
AD
C
B
E
FG
H
J
I
7 cm
2 cm
4 cm
3 cm
Reproduis et complète
ce dessin avec les
bonnes dimensions !
L’outil idéal est le
compas !
INFO