Postulats de la mécanique quantique

Postulats de la mécanique quantique
E C O L E N AT I O N A L E S U P É R I E U R E D E T E C H N I Q U E S AVA N C É E S
L A B O R AT O I R E D E M AT H É M AT I Q U E S A P P L I Q U É E S
- p. 1/16
Etat quantique
- p. 2/16
Etat quantique
→ Mécanique classique : Trajectoire du système dans l’espace des phases.
- p. 2/16
Etat quantique
→ Mécanique classique : Trajectoire du système dans l’espace des phases.
→ Expérience :
un quanton ne peut pas avoir de trajectoire ;
son état est déterminé par la mesure ;
le résultat d’une mesure est de nature probabiliste.
- p. 2/16
Etat quantique
→ Mécanique classique : Trajectoire du système dans l’espace des phases.
→ Expérience :
un quanton ne peut pas avoir de trajectoire ;
son état est déterminé par la mesure ;
le résultat d’une mesure est de nature probabiliste.
→ Prise en compte de l’expérience : cadre quantique
un quanton est associé à un ensemble H d’états dans lesquels il peut se trouver ;
cet ensemble possède la structure d’un espace vectoriel :
Si Ψ ∈ H et Φ ∈ H alors Θ = αΦ + βΨ ∈ H
Θ est la superposition de Ψ et Φ : la mesure de Θ peut donner Ψ ou Φ
La seule chose que l’on peut calculer est une probabilité de transition
P (Ψ → Φ)
- p. 2/16
Relier cette probabilité à un produit scalaire...
2
P (Ψ → Ψ) = 1 et P (Ψ → Θ) = |(Ψ, Θ)| ≤ 1
- p. 3/16
Relier cette probabilité à un produit scalaire...
2
P (Ψ → Ψ) = 1 et P (Ψ → Θ) = |(Ψ, Θ)| ≤ 1
Remarques fondamentales
Les états Ψ et Λ = αΨ + βΨ sont les mêmes : classe d’équivalence des états
quantiques. Par convention, on associe un état à un vecteur unitaire.
(Ψ, Θ) ∈ R : trop limité, on envisage donc le cas (Ψ, Θ) ∈ C, cela ne pose pas de
2
problème car la seule quantité qui possède un sens physique est |(Ψ, Θ)|
- p. 3/16
Relier cette probabilité à un produit scalaire...
2
P (Ψ → Ψ) = 1 et P (Ψ → Θ) = |(Ψ, Θ)| ≤ 1
Remarques fondamentales
Les états Ψ et Λ = αΨ + βΨ sont les mêmes : classe d’équivalence des états
quantiques. Par convention, on associe un état à un vecteur unitaire.
(Ψ, Θ) ∈ R : trop limité, on envisage donc le cas (Ψ, Θ) ∈ C, cela ne pose pas de
2
problème car la seule quantité qui possède un sens physique est |(Ψ, Θ)|
Souhait
il serait intéressant de pouvoir représenter ces vecteurs par des fonctions du temps,
des coordonnées généralisées et/ou des impulsions : Ψ
Ψ (q, t) ∈ C avec q ∈ Rℓ .
- p. 3/16
Relier cette probabilité à un produit scalaire...
2
P (Ψ → Ψ) = 1 et P (Ψ → Θ) = |(Ψ, Θ)| ≤ 1
Remarques fondamentales
Les états Ψ et Λ = αΨ + βΨ sont les mêmes : classe d’équivalence des états
quantiques. Par convention, on associe un état à un vecteur unitaire.
(Ψ, Θ) ∈ R : trop limité, on envisage donc le cas (Ψ, Θ) ∈ C, cela ne pose pas de
2
problème car la seule quantité qui possède un sens physique est |(Ψ, Θ)|
Souhait
il serait intéressant de pouvoir représenter ces vecteurs par des fonctions du temps,
des coordonnées généralisées et/ou des impulsions : Ψ
Ψ (q, t) ∈ C avec q ∈ Rℓ .
Dans ces conditions,
Z
Z
2
(Ψ, Ψ) = Ψ (q, t)Ψ (q, t) dq = |Ψ (q, t)| dq < ∞
Z
2
ainsi H = Ψ (q, t) de Rℓ × R → C, t.q.
|Ψ (q, t)| dq = 1
H est un espace de Hilbert.
- p. 3/16
Postulat 1
L’état d’un système quantique est représenté par un vecteur, normé à l’unité,
d’un espace de Hilbert.
La probabilité de transition entre deux états est donnée
par le carré du module du produit scalaire entre ces deux états.
Le produit scalaire qui permet de définir la norme sur cet espace est
Z
(Ψ, Φ) = Ψ (q, t)Φ (q, t) dq
- p. 4/16
Grandeurs physiques : A
S : Ensemble des résultats possibles d’une mesure de A.
= Spectre de A , continu ou discret mais réel !
Supposons que S = {a1 , a2 , · · · , an , · · · } soit discret.
- p. 5/16
Grandeurs physiques : A
S : Ensemble des résultats possibles d’une mesure de A.
= Spectre de A , continu ou discret mais réel !
Supposons que S = {a1 , a2 , · · · , an , · · · } soit discret.
Hyp ∃Ψn : état dans lequel la mesure de A donne à coup sûr an
- p. 5/16
Grandeurs physiques : A
S : Ensemble des résultats possibles d’une mesure de A.
= Spectre de A , continu ou discret mais réel !
Supposons que S = {a1 , a2 , · · · , an , · · · } soit discret.
Hyp ∃Ψn : état dans lequel la mesure de A donne à coup sûr an
État quelconque Ψ :
état à partir duquel une mesure de A peut donner
un résultat quelconque dans S
- p. 5/16
Grandeurs physiques : A
S : Ensemble des résultats possibles d’une mesure de A.
= Spectre de A , continu ou discret mais réel !
Supposons que S = {a1 , a2 , · · · , an , · · · } soit discret.
Hyp ∃Ψn : état dans lequel la mesure de A donne à coup sûr an
état à partir duquel une mesure de A peut donner
un résultat quelconque dans S
P
→ Ψ est une superposition des Ψn : ∃α1 , α2 , · · · ∈ C, Ψ = αn Ψn
État quelconque Ψ :
n
→ {· · · , αn , · · · } Coefficient de la superposition
- p. 5/16
Grandeurs physiques : A
S : Ensemble des résultats possibles d’une mesure de A.
= Spectre de A , continu ou discret mais réel !
Supposons que S = {a1 , a2 , · · · , an , · · · } soit discret.
Hyp ∃Ψn : état dans lequel la mesure de A donne à coup sûr an
état à partir duquel une mesure de A peut donner
un résultat quelconque dans S
P
→ Ψ est une superposition des Ψn : ∃α1 , α2 , · · · ∈ C, Ψ = αn Ψn
État quelconque Ψ :
n
→ {· · · , αn , · · · } Coefficient de la superposition
P (A = an ) = 1 si αn = 1 et αm6=n = 0 ; P (A = an ) = 0 si αn = 0
- p. 5/16
Grandeurs physiques : A
S : Ensemble des résultats possibles d’une mesure de A.
= Spectre de A , continu ou discret mais réel !
Supposons que S = {a1 , a2 , · · · , an , · · · } soit discret.
Hyp ∃Ψn : état dans lequel la mesure de A donne à coup sûr an
état à partir duquel une mesure de A peut donner
un résultat quelconque dans S
P
→ Ψ est une superposition des Ψn : ∃α1 , α2 , · · · ∈ C, Ψ = αn Ψn
État quelconque Ψ :
n
→ {· · · , αn , · · · } Coefficient de la superposition
P (A = an ) = 1 si αn = 1 et αm6=n = 0 ; P (A = an ) = 0 si αn = 0
2
Interprétation |αn | est la probabilité associée à chaque état Ψn .
P
P
2
⇒ |αn | = αn αn = 1
n
n
- p. 5/16
Grandeurs physiques
1 = (Ψ, Ψ) =
X
αn αn = 1
n
- p. 6/16
Grandeurs physiques
1 = (Ψ, Ψ) =
mais Ψ =
X
n
X
αn αn = 1
αn Ψn
n
- p. 6/16
Grandeurs physiques
1 = (Ψ, Ψ) =
mais Ψ =
donc
X
n
X
n
X
αn αn = 1
αn Ψn
n
αn (Ψn , Ψ) =
X
αn αn
n
- p. 6/16
Grandeurs physiques
1 = (Ψ, Ψ) =
mais Ψ =
donc
X
n
⇒
X
n
X
αn αn = 1
αn Ψn
n
αn (Ψn , Ψ) =
X
αn αn
n
αn = (Ψn , Ψ) ou bien αn = (Ψ, Ψn )
- p. 6/16
Grandeurs physiques
1 = (Ψ, Ψ) =
mais Ψ =
donc
X
n
⇒
X
n
X
αn αn = 1
αn Ψn
n
αn (Ψn , Ψ) =
X
αn αn
n
αn = (Ψn , Ψ) ou bien αn = (Ψ, Ψn )
Conséquence :
- p. 6/16
Grandeurs physiques
1 = (Ψ, Ψ) =
mais Ψ =
donc
X
Conséquence :
n
X
αn αn = 1
αn Ψn
n
αn (Ψn , Ψ) =
n
⇒
X
X
αn αn
n
αn = (Ψn , Ψ) ou bien αn = (Ψ, Ψn )
αn = (Ψn , Ψ) =
Z
Ψn (q, t)Ψ (q, t) dq
- p. 6/16
Grandeurs physiques
1 = (Ψ, Ψ) =
mais Ψ =
donc
X
X
n
X
Conséquence :
αn Ψn
n
αn (Ψn , Ψ) =
n
⇒
αn αn = 1
X
αn αn
n
αn = (Ψn , Ψ) ou bien αn = (Ψ, Ψn )
Z
αn = (Ψn , Ψ) = Ψn (q, t)Ψ (q, t) dq
Z
X
αm Ψm (q, t) dq
= Ψn (q, t)
m
- p. 6/16
Grandeurs physiques
1 = (Ψ, Ψ) =
mais Ψ =
donc
X
X
n
X
Conséquence :
αn Ψn
n
αn (Ψn , Ψ) =
n
⇒
αn αn = 1
X
αn αn
n
αn = (Ψn , Ψ) ou bien αn = (Ψ, Ψn )
Z
αn = (Ψn , Ψ) = Ψn (q, t)Ψ (q, t) dq
Z
X
αm Ψm (q, t) dq
= Ψn (q, t)
=
X
m
αm
Z
m
Ψn (q, t)Ψm (q, t) dq
- p. 6/16
Grandeurs physiques
1 = (Ψ, Ψ) =
mais Ψ =
donc
X
X
n
X
Conséquence :
αn Ψn
n
αn (Ψn , Ψ) =
n
⇒
αn αn = 1
X
αn αn
n
αn = (Ψn , Ψ) ou bien αn = (Ψ, Ψn )
Z
αn = (Ψn , Ψ) = Ψn (q, t)Ψ (q, t) dq
Z
X
αm Ψm (q, t) dq
= Ψn (q, t)
=
X
m
=
X
αm
Z
m
Ψn (q, t)Ψm (q, t) dq
αm (Ψn , Ψm )
m
- p. 6/16
Grandeurs physiques
1 = (Ψ, Ψ) =
mais Ψ =
donc
X
X
n
X
Conséquence :
αn Ψn
n
αn (Ψn , Ψ) =
n
⇒
αn αn = 1
X
αn αn
n
αn = (Ψn , Ψ) ou bien αn = (Ψ, Ψn )
Z
αn = (Ψn , Ψ) = Ψn (q, t)Ψ (q, t) dq
Z
X
αm Ψm (q, t) dq
= Ψn (q, t)
=
X
m
=
X
αm
Z
m
Ψn (q, t)Ψm (q, t) dq
αm (Ψn , Ψm )
m
⇒
(Ψn , Ψm ) = δnm
Les états Ψn=1,2,··· sont orthonormés
- p. 6/16
Valeur moyenne
- p. 7/16
Valeur moyenne
hAi :
valeur moyenne sur l’ensemble des résultats possibles
des mesures de la grandeur physique A
X
X
hAi =
an P (A = an ) =
an αn αn
n
n
- p. 7/16
Valeur moyenne
hAi :
valeur moyenne sur l’ensemble des résultats possibles
des mesures de la grandeur physique A
X
X
hAi =
an P (A = an ) =
an αn αn
n
n
b à chaque grandeur physique A
Hyp 1 On peut associer un opérateur linéaire A
- p. 7/16
Valeur moyenne
hAi :
valeur moyenne sur l’ensemble des résultats possibles
des mesures de la grandeur physique A
X
X
hAi =
an P (A = an ) =
an αn αn
n
n
b à chaque grandeur physique A
Hyp 1 On peut associer un opérateur linéaire A
b ∈ H et Ψ, AΨ
b
Hyp 2 Si Ψ ∈ H alors AΨ
= hAi
- p. 7/16
Valeur moyenne
hAi :
valeur moyenne sur l’ensemble des résultats possibles
des mesures de la grandeur physique A
X
X
hAi =
an P (A = an ) =
an αn αn
n
n
b à chaque grandeur physique A
Hyp 1 On peut associer un opérateur linéaire A
b ∈ H et Ψ, AΨ
b
Hyp 2 Si Ψ ∈ H alors AΨ
= hAi
Ainsi
Z
b (q, t) dq =
Ψ (q, t) AΨ
X
n
an αn αn =
X
an αn (Ψ, Ψn )
n
- p. 7/16
Valeur moyenne
hAi :
valeur moyenne sur l’ensemble des résultats possibles
des mesures de la grandeur physique A
X
X
hAi =
an P (A = an ) =
an αn αn
n
n
b à chaque grandeur physique A
Hyp 1 On peut associer un opérateur linéaire A
b ∈ H et Ψ, AΨ
b
Hyp 2 Si Ψ ∈ H alors AΨ
= hAi
Ainsi
Z
b (q, t) dq =
Ψ (q, t) AΨ
=
X
an αn αn =
n
Z
X
an αn (Ψ, Ψn )
n
X
Ψ (q, t) an αn Ψn (q, t) dq
n
- p. 7/16
Valeur moyenne
hAi :
valeur moyenne sur l’ensemble des résultats possibles
des mesures de la grandeur physique A
X
X
hAi =
an P (A = an ) =
an αn αn
n
n
b à chaque grandeur physique A
Hyp 1 On peut associer un opérateur linéaire A
b ∈ H et Ψ, AΨ
b
Hyp 2 Si Ψ ∈ H alors AΨ
= hAi
Ainsi
Z
b (q, t) dq =
Ψ (q, t) AΨ
=
X
an αn αn =
n
Z
X
an αn (Ψ, Ψn )
n
X
Ψ (q, t) an αn Ψn (q, t) dq
b =
si tout se passe bien AΨ
n
X
an αn Ψn
n
- p. 7/16
Valeur moyenne
hAi :
valeur moyenne sur l’ensemble des résultats possibles
des mesures de la grandeur physique A
X
X
hAi =
an P (A = an ) =
an αn αn
n
n
b à chaque grandeur physique A
Hyp 1 On peut associer un opérateur linéaire A
b ∈ H et Ψ, AΨ
b
Hyp 2 Si Ψ ∈ H alors AΨ
= hAi
Ainsi
Z
b (q, t) dq =
Ψ (q, t) AΨ
=
X
an αn αn =
n
Z
X
an αn (Ψ, Ψn )
n
X
Ψ (q, t) an αn Ψn (q, t) dq
b =
si tout se passe bien AΨ
n
X
an αn Ψn
n
dans l’état Ψ = Ψn on a vu que αn = 1 et αn6=m = 0 ainsi
- p. 7/16
Valeur moyenne
hAi :
valeur moyenne sur l’ensemble des résultats possibles
des mesures de la grandeur physique A
X
X
hAi =
an P (A = an ) =
an αn αn
n
n
b à chaque grandeur physique A
Hyp 1 On peut associer un opérateur linéaire A
b ∈ H et Ψ, AΨ
b
Hyp 2 Si Ψ ∈ H alors AΨ
= hAi
Ainsi
Z
b (q, t) dq =
Ψ (q, t) AΨ
=
X
an αn αn =
n
Z
X
an αn (Ψ, Ψn )
n
X
Ψ (q, t) an αn Ψn (q, t) dq
b =
si tout se passe bien AΨ
n
X
an αn Ψn
n
dans l’état Ψ = Ψn on a vu que αn = 1 et αn6=m = 0 ainsi
b n = an Ψn
AΨ
b
Ψn est un vecteur propre de A
associé à la valeur propre an
- p. 7/16
Adjoint de A
- p. 8/16
Adjoint de A
Produit scalaire : définition de l’adjoint d’un opérateur
†
†
f, Tbg = Tb f, g on a Tb† = T
- p. 8/16
Adjoint de A
Produit scalaire : définition de l’adjoint d’un opérateur
†
†
f, Tbg = Tb f, g on a Tb† = T
avec notre produit scalaire complexe
f, Tb† g = Tb† g, f = g, Tbf
- p. 8/16
Adjoint de A
Produit scalaire : définition de l’adjoint d’un opérateur
†
†
f, Tbg = Tb f, g on a Tb† = T
avec notre produit scalaire complexe
f, Tb† g = Tb† g, f = g, Tbf
La valeur moyenne des mesures de A est un nombre réel !
b
b
b=A
b† auto-adjoint, hermitique
Ψ, AΨ
= Ψ, AΨ
A
- p. 8/16
Postulat 2
b auto-adjoint.
Chaque observable A est associée à un opérateur linéaire A
b
Le résultat de la mesure de A donne une valeur propre de A
, c’est un nombre réel.
On peut décomposer chaque état normalisé du système sur un ensemble
b
complet de vecteurs propres orthonormés de A.
La valeur moyennehAi de la grandeur physique A est donnée par
b
hAi = Ψ, AΨ
- p. 9/16
Évolution temporelle
- p. 10/16
Évolution temporelle
Comment faire évoluer un état Ψ représenté par Ψ (q, t) dans le temps ?
- p. 10/16
Évolution temporelle
Comment faire évoluer un état Ψ représenté par Ψ (q, t) dans le temps ?
Si on veut préserver l’interprétation du principe de superposition et H, il est
∂Ψ
b Ψ avec H
b linéaire.
∝H
nécessaire que
∂t
- p. 10/16
Évolution temporelle
Comment faire évoluer un état Ψ représenté par Ψ (q, t) dans le temps ?
Si on veut préserver l’interprétation du principe de superposition et H, il est
∂Ψ
b Ψ avec H
b linéaire.
∝H
nécessaire que
∂t
on prendra
i~
∂Ψ
b Ψ
=H
∂t
La constante ~ ∈ R n’est pas fixée pour le moment...
- p. 10/16
b?
Quel est l’adjoint de H
- p. 11/16
b?
Quel est l’adjoint de H
∀Ψ ∈ H t.q.
Z
ΨΨdq = 1
⇒
∂
∂t
Z
Z ∂Ψ
∂Ψ
Ψ
+Ψ
ΨΨdq =
dq = 0
∂t
∂t
- p. 11/16
b?
Quel est l’adjoint de H
∀Ψ ∈ H t.q.
Z
ΨΨdq = 1
⇒
i b
∂Ψ
= − HΨ
∂t
~







∂Ψ
i b

= HΨ 
∂t
~
∂
∂t
⇒
Z
Z
Z ∂Ψ
∂Ψ
Ψ
+Ψ
ΨΨdq =
dq = 0
∂t
∂t
i
ih b
b
ΨHΨ − ΨHΨ
dq = 0
~
- p. 11/16
b?
Quel est l’adjoint de H
∀Ψ ∈ H t.q.
Z
Z
ΨΨdq = 1
⇒
i b
∂Ψ
= − HΨ
∂t
~







∂Ψ
i b

= HΨ 
∂t
~
∂
∂t
⇒
Z
Z
Z ∂Ψ
∂Ψ
Ψ
+Ψ
ΨΨdq =
dq = 0
∂t
∂t
i
ih b
b
ΨHΨ − ΨHΨ
dq = 0
~
Z
b † Ψdq
b
b
b Ψ = Ψ, H
b † Ψ = ΨH
ΨHΨdq
= Ψ, HΨ
= HΨ,
- p. 11/16
b?
Quel est l’adjoint de H
∀Ψ ∈ H t.q.
Z
Z
ΨΨdq = 1
⇒
i b
∂Ψ
= − HΨ
∂t
~







∂Ψ
i b

= HΨ 
∂t
~
∂
∂t
⇒
Z
Z
Z ∂Ψ
∂Ψ
Ψ
+Ψ
ΨΨdq =
dq = 0
∂t
∂t
i
ih b
b
ΨHΨ − ΨHΨ
dq = 0
~
Z
b † Ψdq
b
b
b Ψ = Ψ, H
b † Ψ = ΨH
ΨHΨdq
= Ψ, HΨ
= HΨ,
i
On en déduit que
~
Z
h
i
b† − H
b Ψdq = 0
Ψ H
b† = H
b
Vrai pour tout état normalisable donc H
- p. 11/16
Une nouvelle équation ?
- p. 12/16
Une nouvelle équation ?
La valeur moyenne d’une observable ne dépend que du temps !
Z
b Ψ (q, t) dq = hAi (t)
b
hAi = Ψ, AΨ
= Ψ (q, t) A
- p. 12/16
Une nouvelle équation ?
La valeur moyenne d’une observable ne dépend que du temps !
Z
b Ψ (q, t) dq = hAi (t)
b
hAi = Ψ, AΨ
= Ψ (q, t) A
calculons
d hAi
∂ hAi
=
=
dt
∂t
Z "
#
b
∂Ψ b
∂A
∂Ψ
b
Ψ + ΨA
dq
AΨ + Ψ
∂t
∂t
∂t
- p. 12/16
Une nouvelle équation ?
La valeur moyenne d’une observable ne dépend que du temps !
Z
b Ψ (q, t) dq = hAi (t)
b
hAi = Ψ, AΨ
= Ψ (q, t) A
calculons
d hAi
∂ hAi
=
=
dt
∂t
d hAi
=
dt
Z "
Z "
#
b
∂Ψ b
∂A
∂Ψ
b
Ψ + ΨA
dq
AΨ + Ψ
∂t
∂t
∂t
#
b
i b b
∂A
i bb
Ψ − ΨA
HΨ dq
HΨAΨ + Ψ
~
∂t
~
- p. 12/16
Une nouvelle équation ?
La valeur moyenne d’une observable ne dépend que du temps !
Z
b Ψ (q, t) dq = hAi (t)
b
hAi = Ψ, AΨ
= Ψ (q, t) A
calculons
d hAi
∂ hAi
=
=
dt
∂t
d hAi
=
dt
Z "
d hAi
=
dt
Z
Z "
#
b
∂Ψ b
∂A
∂Ψ
b
Ψ + ΨA
dq
AΨ + Ψ
∂t
∂t
∂t
#
b
i b b
∂A
i bb
Ψ − ΨA
HΨ dq
HΨAΨ + Ψ
~
∂t
~
"
#
b
i b b bb
∂A
Ψ
Ψdq
H A − AH +
~
∂t
- p. 12/16
Une nouvelle équation ?
La valeur moyenne d’une observable ne dépend que du temps !
Z
b Ψ (q, t) dq = hAi (t)
b
hAi = Ψ, AΨ
= Ψ (q, t) A
calculons
d hAi
∂ hAi
=
=
dt
∂t
d hAi
=
dt
Z "
Z "
#
b
∂Ψ b
∂A
∂Ψ
b
Ψ + ΨA
dq
AΨ + Ψ
∂t
∂t
∂t
#
b
i b b
∂A
i bb
Ψ − ΨA
HΨ dq
HΨAΨ + Ψ
~
∂t
~
#
b
d hAi
i b b bb
∂A
= Ψ
Ψdq
H A − AH +
dt
~
∂t
#
"
Z
h
i
b
i b b
∂A
= Ψ
Ψdq
H, A +
~
∂t
Z
"
- p. 12/16
Une nouvelle équation ?
La valeur moyenne d’une observable ne dépend que du temps !
Z
b Ψ (q, t) dq = hAi (t)
b
hAi = Ψ, AΨ
= Ψ (q, t) A
on peut donc écrire pour toute observable A
#
"
Z
h
i
b
i b b
∂A
d hAi
= Ψ
Ψdq
H, A +
dt
~
∂t
*
+
h
i
b
∂A
i b b
=
−
A, H
∂t
~
- p. 12/16
Une nouvelle équation ?
La valeur moyenne d’une observable ne dépend que du temps !
Z
b Ψ (q, t) dq = hAi (t)
b
hAi = Ψ, AΨ
= Ψ (q, t) A
on peut donc écrire pour toute observable A
#
"
Z
h
i
b
i b b
∂A
d hAi
= Ψ
Ψdq
H, A +
dt
~
∂t
*
+
h
i
b
∂A
i b b
=
−
A, H
∂t
~
en mécanique classique nous avions pour une observable ϕ
dϕ
∂ϕ
=
+ {ϕ, H}
dt
∂t
- p. 12/16
Une nouvelle équation ?
La valeur moyenne d’une observable ne dépend que du temps !
Z
b Ψ (q, t) dq = hAi (t)
b
hAi = Ψ, AΨ
= Ψ (q, t) A
on peut donc écrire pour toute observable A
#
"
Z
h
i
b
i b b
∂A
d hAi
= Ψ
Ψdq
H, A +
dt
~
∂t
*
+
h
i
b
∂A
i b b
=
−
A, H
∂t
~
en mécanique classique nous avions pour une observable ϕ
dϕ
∂ϕ
=
+ {ϕ, H}
dt
∂t
- p. 12/16
Une nouvelle équation ?
La valeur moyenne d’une observable ne dépend que du temps !
Z
b Ψ (q, t) dq = hAi (t)
b
hAi = Ψ, AΨ
= Ψ (q, t) A
on peut donc écrire pour toute observable A
#
"
Z
h
i
b
i b b
∂A
d hAi
= Ψ
Ψdq
H, A +
dt
~
∂t
*
+
h
i
b
∂A
i b b
=
−
A, H
∂t
~
en mécanique classique nous avions pour une observable ϕ
dϕ
∂ϕ
=
+ {ϕ, H}
dt
∂t
- p. 12/16
Postulat 1
L’évolution dans le temps de l’état quantique ψ est régie par l’équation
∂Ψ
b
= HΨ
i~
∂t
Cette équation est appelée équation de Schrödinger.
b est l’opérateur associé à l’énergie totale du système.
H
La mécanique quantique s’obtient à partir de la mécanique classique en
remplaçant le crochet de poisson {, } par − ~i [, ].
- p. 13/16
Opérateurs qb et pb
- p. 14/16
Opérateurs qb et pb


 {qα , pβ } = δαβ
∀α, β = 1, · · · , ℓ
{qα , qβ } =
0

 {p , p } =
0
α β
Mécanique classique


qα , pc
β ] = i~δαβ Id
 [c
⇒
[c
qα , qbβ ] =
0

 [c
pα , pc
0
β] =
→
Mécanique quantique
- p. 14/16
Opérateurs qb et pb


 {qα , pβ } = δαβ
∀α, β = 1, · · · , ℓ
{qα , qβ } =
0

 {p , p } =
0
α β
Mécanique classique


qα , pc
β ] = i~δαβ Id
 [c
⇒
[c
qα , qbβ ] =
0

 [c
pα , pc
0
β] =
→
Mécanique quantique
- p. 14/16
Opérateurs qb et pb


 {qα , pβ } = δαβ
∀α, β = 1, · · · , ℓ
{qα , qβ } =
0

 {p , p } =
0
α β
Mécanique classique


qα , pc
β ] = i~δαβ Id
 [c
⇒
[c
qα , qbβ ] =
0

 [c
pα , pc
0
β] =
→
Mécanique quantique
Plusieurs possibilités ...
- p. 14/16
Opérateurs qb et pb


 {qα , pβ } = δαβ
∀α, β = 1, · · · , ℓ
{qα , qβ } =
0

 {p , p } =
0
α β
Mécanique classique


qα , pc
β ] = i~δαβ Id
 [c
⇒
[c
qα , qbβ ] =
0

 [c
pα , pc
0
β] =
→
Mécanique quantique
Plusieurs possibilités ...
Si Ψ
Ψ (q, t)
« représentation q »

qc

α = qα I



∂

 pc
=
−i~
β
∂qβ
- p. 14/16
Opérateurs qb et pb


 {qα , pβ } = δαβ
∀α, β = 1, · · · , ℓ
{qα , qβ } =
0

 {p , p } =
0
α β
Mécanique classique


qα , pc
β ] = i~δαβ Id
 [c
⇒
[c
qα , qbβ ] =
0

 [c
pα , pc
0
β] =
→
Mécanique quantique
Plusieurs possibilités ...
Si Ψ
Si Ψ
Ψ (q, t)
Ψ (p, t)
« représentation q »
« représentation p »

qc

α = qα I



∂

 pc
=
−i~
β
∂qβ

∂


α = i~
 qc
∂pα



pc
β = pβ I
- p. 14/16
Le hamiltonien en représentation q
- p. 15/16
Le hamiltonien en représentation q
En mécanique classique et pour un système conservatif avec ℓ = 1
p2
H=
+ V (q)
2m
- p. 15/16
Le hamiltonien en représentation q
En mécanique classique et pour un système conservatif avec ℓ = 1
p2
H=
+ V (q)
2m
En mécanique quantique on aura donc
2
p
b
b =
H
+ V (b
q)
2m
- p. 15/16
Le hamiltonien en représentation q
En mécanique classique et pour un système conservatif avec ℓ = 1
p2
H=
+ V (q)
2m
En mécanique quantique on aura donc
2
p
b
b =
H
+ V (b
q)
2m
on applique sur un état en « représentation q »
∂Ψ (q, t)
−i~ ∂
b
−i~
+ V (q) × Ψ (q, t)
HΨ (q, t) =
2m ∂q
∂q
~2 ∂ 2 Ψ (q, t)
=−
+ V (q) × Ψ (q, t)
2m
∂2q
- p. 15/16
Le hamiltonien en représentation q
En mécanique classique et pour un système conservatif avec ℓ = 1
p2
H=
+ V (q)
2m
En mécanique quantique on aura donc
2
p
b
b =
H
+ V (b
q)
2m
on applique sur un état en « représentation q »
∂Ψ (q, t)
−i~ ∂
b
−i~
+ V (q) × Ψ (q, t)
HΨ (q, t) =
2m ∂q
∂q
~2 ∂ 2 Ψ (q, t)
=−
+ V (q) × Ψ (q, t)
2m
∂2q
En dimension ℓ quelconque cela devient
2
~
b (q, t) = −
∆Ψ (q, t) + V (q) Ψ (q, t)
HΨ
2m
∆ : Laplacien
- p. 15/16
Solution stationnaire
- p. 16/16
Solution stationnaire
b associé à la valeur propre E alors
Si Ψ (q, t) est un état propre de H
b (q, t) = EΨ (q, t)
HΨ
- p. 16/16
Solution stationnaire
b associé à la valeur propre E alors
Si Ψ (q, t) est un état propre de H
b (q, t) = EΨ (q, t)
HΨ
L’équation de Schrödinger s’écrit dans ce cas
iE
∂Ψ (q, t)
= − Ψ (q, t)
∂t
~
- p. 16/16
Solution stationnaire
b associé à la valeur propre E alors
Si Ψ (q, t) est un état propre de H
b (q, t) = EΨ (q, t)
HΨ
L’équation de Schrödinger s’écrit dans ce cas
iE
∂Ψ (q, t)
= − Ψ (q, t)
∂t
~
− iE
~ t
Si E est indépendant du temps, solution : Ψ (q, t) = e
Ψ (q, 0)
On pose généralement Ψ (q, 0) = ψ (q) fonction d’onde stationnaire
- p. 16/16
Solution stationnaire
b associé à la valeur propre E alors
Si Ψ (q, t) est un état propre de H
b (q, t) = EΨ (q, t)
HΨ
L’équation de Schrödinger s’écrit dans ce cas
iE
∂Ψ (q, t)
= − Ψ (q, t)
∂t
~
− iE
~ t
Si E est indépendant du temps, solution : Ψ (q, t) = e
Ψ (q, 0)
On pose généralement Ψ (q, 0) = ψ (q) fonction d’onde stationnaire
En écrivant l’équation trouvée précédement
2
2
∂
Ψ (q, t)
~
b
HΨ (q, t) = −
+ V (q) × Ψ (q, t) = EΨ (q, t)
2m
∂2q
on obtient l’équation de Schrödinger stationnaire
~2 ∂ 2 ψ
+ V (q) ψ = Eψ
−
2
2m ∂ q
- p. 16/16