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Colle PC Semaines 19 et 20 2014-2015
E(Y) =
+∞
X
k=1
1
22
3k
+
+∞
X
k=0
1
21
6k
On procède à un changement d’indice dans la première somme : s=k−1
E(Y) = 1
3
+∞
X
s=0 2
3s
+1
2
+∞
X
k=0 1
6k
=1
3
1
1−2/3+1
2
1
1−1/6=8
5
EXERCICE 5 :
Soit nun entier supérieur ou égal à 2. Une urne contient une boule noire et (n−1) boules blanches. On vide l’urne
de la manière suivante : les tirages d’ordre impair s’effectuent sans remise et les tirages d’ordre pair s’effectuent avec
remise de la boule tirée.
1. Quel est le nombre total Nde tirages effectués lors de cette épreuve.
2. On désihne par Xkla variable aléatoire qui vaut 1 si la boule noire est tirée au k−ième tirage et 0 sinon et par
Xla variable aléatoire égale au nombre d’apparitions de la boule noire lors de cette épreuve.
(a) Déterminer la loi de Xkpour tout k∈[[1,2n−1]] (distinguer selon la parité de k).
(b) En déduire l’espérance de X.
3. On note Yla variable aléatoire égale au rang où la boule noire est tirée pour la première fois.
(a) Déterminer la loi de Yet son espérance.
(b) Exprimer l’événement (X= 1) en fonction des événements (Y= 2j−1) (j∈[[1, n]]). En déduire la valeur
de p(X= 1).
4. Calculer p(X=n).
• • •
Correction :
1. On s’intéresse au nombre de boules présentes dans l’urne après chaque tirage
n−1, n −1, n −2, n −2,...,...,1,1,0
Il est donc nécessaire d’effectuer N= 2(n−1) + 1 = 2n−1 tirages pour vider l’urne.
2. (a) Déterminer la loi de Xkc’est déterminer p(Xk= 1) (donc p(Xk= 0) puisque Xkne prend que deux valeurs)
pour tout k∈[[1,2n−1]]. Il est préconisé de distinguer les calculs selon la parité de k.
•soit jentier compris entre 1 et n−1. Il n’y a pas de remise lors des tirages impairs donc on peut écrire
(X2j= 1) = (X1= 0) ∩(X3= 0) ∩...∩(X2j−1= 0) ∩(X2j= 1)
et par la formule des probabilités composées
p(X2j= 1) = p(X1= 0)p(X3= 0/X1= 0) ×...×p(X2j−1= 0/(X1= 0) ∩...
∩(X2j−3= 0))p(X2j= 1/(X1= 0) ∩...∩(X2j−1= 0)
Or après 2s−1 tirages (sentre 1 et n), il reste n−sboules dans l’urne, on peut donc, compte-tenu de
la formule précédente, exprimer p(X2j= 1)
p(X2j= 1) = n−1
n
n−2
n×...×n−j
n−j+ 1
1
n−j=1
n
•De même, pour 0 6j6n−1,
(X2j+1 = 1) = (X1= 0) ∩(X3= 0) ∩...∩(X2j−1= 0) ∩(X2j+1 = 1)
et toujours par la formule des probabilités composées
p(X2j+1 = 1) = p(X1= 0)p(X3= 0/X1= 0) ×...×p(X2j−1= 0/(X1= 0) ∩...
∩(X2j−3= 0))p(X2j+1 = 1/(X1= 0) ∩...∩(X2j−1= 0) = p(X2j= 1) = 1
n
en effet, le contenu de l’urne ne varie pas entre le tirage 2jet le tirage 2j+ 1 puisqu’il y a remise après
le 2j−ème tirage.
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