Que faut-il résoudre ? Equations en jeu ?

UniversitédeLiège
DépartementArGEnCo–SecteurMS²F
Hydrologie,HydrodynamiqueAppliquéeetConstructionsHydrauliques
ElémentsdeMécaniquedesFluides
(2èmeBACIngénieursCivils&IngénieursCivilsArchitectes)
M.PIROTTON,Professeur
R.PAULUS,Assistant
ExamendeSeptembre2009
Partiepratique–Question2–Correctif
SoitunsiphondediamètredetdelongueurLsiphonalimentéparunrécipient,remplidegraisse,degrande
dimensionparrapportàdetouvertàl'atmosphère(patm=1,0bar).
• CalculerlavitessemoyennedufluideenSpuisledébitQdusiphonpourH=3,0m;
• DiscuterlavariationdecettevitesseenfonctiondeH;
• Donnerl'expressiondelapressionrelativepMaupointMenfonctiondeh.
• Représenterl'alluredelapressionrelativepMenfonctiondeh.hpeut‐ilprendren'importequelle
valeur?
Figure1:Vueenélévationdusystèmedesiphon
Lespertesauseindescoudessontnégligées.Lefrottementenlongestluidéterminédemanièreexpérimentale.
AprèsavoirisolélapartiedeconduiteXY,onmesureladifférencedepressionentrelesextrémitésdecette
portiondeconduite,soitsurunedistanceLXY,pouruncertainécoulement(différentdeceluiréaliséparle
siphon).Pourcefaire,oninstallesurcetubedeuxcapteursdepressionstatiqueconstituéspardeux
manomètres.LesvaleursdespressionsrelativesdonnéesparcesappareilssontdepX=1,12baretpY=1,055
bar.EnutilisantlaloidePoiseuille,etenvérifiantlabonneapplicabilitédecelle‐ci,lecoefficientdefrottement
linéaireλpeutêtredéterminé.
Données:
• μgraisse=0,275Pa.s;
• ρgraisse=890kg/m³;
• LXY=1,2m;
• Lsiphon=5m;
• d=10cm.
Quefaut‐ilrésoudre?Equationsenjeu?
Ecoulementencharged’unfluideentre2points=>Bernoulli.
Rechercheducoefficientdefrottement=>Poiseuille.

Commentprocéder?Schémaglobalderésolution…
Aprèsavoirexprimél’équationdeBernoullipourlaconfigurationenplace,ils’agit
d’exprimerlesdifférentespertesdechargeentrelepointAetlepointS.Unefoisl’équation
finaleconnue,ilresteàlarésoudrepourobtenirlavitessed’écoulemententrecesdeux
points,d’endéduireledébit.
Pourdéterminerlespertesdecharge‐quisontuniquementdespertesparfrottementen
long‐entreles2points,ilfautconnaitrelecoefficientdefrottementenlongcorrespondau
régimedel’écoulementétudié.
Aufinal,larésolutionsedérouledèslorsen2étapessuccessives:
1. déterminerlecoefficientdefrottementenlongλ;
2. exprimerl’équationdeBernoulliafindedéterminerlavitesseetledébit
d’écoulementdanslaconduite.
Unefoislavitesseetledébitdéterminé,ilresteàdiscuterlesquestionssubsidiaires.
Résolution
Partie1
Ils’agitdansunpremiertempsd’étudier,aumoyendel’équationdePoiseuille,l’écoulement
pourlaportiondetubeconsidérée,soitd’ydéterminerledébitd’écoulement.
L’équationdePoiseuille,entrelespointsXetY,s’écrit…
4
128
XY
L
Q
pd
μ
π
Δ= 
(
)
4
128
XY
p
pd
QL
π
μ
−
=
Et,numériquement,ona
(
)
(
)
4
55
1,12 10 1, 055 10 0,1
128 0, 275 1, 2
Q
π ⋅− ⋅
=⋅⋅ 
23
4,83 10 /
48,3 /
Qms
ls
−
=⋅
=
IlresteàvérifiersiPoiseuilleétaitbienapplicable(calculduReynolds),etàainsi,enfonction
durégimed’écoulement,déterminerlecoefficientdefrottementenlong.
2
440,048
0,1
Re 0, 275
890
64
1994 2000 Re
Qd
vd d
π
π
μ
νρ
λ
⋅
== =
=< →=
0,032
λ
=

Partie2
Ils’agitmaintenantd’étudierl’écoulementdanslesiphon,cecienexprimantl’équationde
BernoullientrelespointsAetS,enfaisantl’hypothèsed’uncoefficientdefrottementconnu
etégalàceluidéterminéprécédemment.
2
2
22
SS
AA
A
SAS
pU
pU
zz h
gg gg
ρρ
→
++=+++Δ
∑
Sicertainstermessontdirectementconnus,d’autressontfonctionsdelavitesse(quiest
notreinconnue,soitUS,pertes)etd’autresenfinnécessitentdeshypothèsesoudes
observationsplusprécises…
• pourlespressions,lasurfacelibreetl’emboutdutuyausontàlapression
atmosphérique1;
• pourl’altitudeenA,onpeutaffirmerque,sicelle‐ciesteffectivementvariable
avecletemps,cesvariationssontnégligeables2;
• pourlavitesseenA,onpeutsupposerquecelle‐ciestfaible,etdonc
égalementnégligerletermecorrespondant3;
• lesseulespertesconsidéréessontlespertesparfrottementenlong,le
coefficientdéterminéplustôtétantluiconsidéréindépendantdurégime
d’écoulement;
• ledébit(parcontinuité)estconstantsurtoutelaconduite;lasectiondela
conduiteétantconstante,lavitessed’écoulementestdonclamêmeentous
pointsdelaconduite(US=U).
Aufinal,onadèslors
22
22
AS
UU
L
zz gg
λ
φ
−= + 
2
1
2
U
L
Hg
λ
φ
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
222
11
S
gH gH
UUU
L
L λλ
φ
φ
=→==
⎛⎞ ⎛⎞
++
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
4, 75 /
S
Ums
=
2
3,73 10 ³ /
37,3 /
Qms
ls
−
=⋅
=
Questions«subsidiaires»
• DiscuterlavariationdecettevitesseenfonctiondeH;
EnexaminantlarelationanalytiquereliantlavitesseenSetlahauteurHobtenueaprès
manipulationdel’équationdeBernoulli,onvoittrèsrapidementquecettevitesse
augmenteraaveclaracinedelahauteur.
1OnauradoncpA=pS=1bar.
2Ensupposantlesdimensionsdubassinassezgrandesquepourquelesvariationsdelasurfacelibrepuissent
êtreconsidéréescommefaibles.
3Idem2.

• Donnerl'expressiondelapressionrelativepMaupointMenfonctiondeh.
Enexprimantl’équationdeBernoullientrelepointAetlepointM,ona
2
2
22
SS
MM
M
SMS
pU
pU
zz h
gg gg
ρρ
→
++ =+++Δ
∑
Certainstermesnécessitentdeshypothèsesoudesobservationsplusprécises…
• lapressionenSestlapressionatmosphériqueetontravailleenpressions
relatives;
• lesseulespertesconsidéréessontlespertesparfrottement;
• ledébit(parcontinuité)estconstantsurtoutelaconduite;lasectiondela
conduiteétantconstante,lavitessed’écoulementestdonclamêmeentous
pointsdelaconduite(US=UM).
M
M
SMS
p
zzh
g ρ
→
+=+Δ
∑
M
SM MS
pzz h
g ρ
→
=− +Δ
∑
()
M
M
S
pHh h
g ρ
→
=− + + Δ
∑
(
)
(
)
MMS
pgh Hhfh ρ
→
⎡
⎤
=Δ−++
⎣
⎦
∑
• Représenterl'alluredelapressionrelativepMenfonctiondeh.hpeut‐ilprendre
n'importequellevaleur?
LareprésentationgraphiquedelapressionenMdépendradelaformedespertesdecharge.
Ennégligeantcelles‐ci,onasimplementunedroitedécroissante.hpossèdedèslorsune
bornesupérieure,au‐delàdelaquellelapressionenMdeviendraittropfaible,amenantdes
risquesdecavité.