Que faut-il résoudre ? Equations en jeu ?

Université de Liège Département ArGEnCo – Secteur MS²F Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques Eléments de Mécanique des Fluides (2ème BAC Ingénieurs Civils & Ingénieurs Civils Architectes) M. PIROTTON, Professeur R. PAULUS, Assistant Examen de Septembre 2009 Partie pratique – Question 2 – Correctif Soit un siphon de diamètre d et de longueur Lsiphon alimenté par un récipient, rempli de graisse, de grande dimension par rapport à d et ouvert à l'atmosphère (patm= 1,0 bar). • Calculer la vitesse moyenne du fluide en S puis le débit Q du siphon pour H = 3,0 m ; • Discuter la variation de cette vitesse en fonction de H ; • Donner l'expression de la pression relative pM au point M en fonction de h. • Représenter l'allure de la pression relative pM en fonction de h. h peut‐il prendre n'importe quelle valeur ? Figure 1 : Vue en élévation du système de siphon
Les pertes au sein des coudes sont négligées. Le frottement en long est lui déterminé de manière expérimentale. Après avoir isolé la partie de conduite XY, on mesure la différence de pression entre les extrémités de cette portion de conduite, soit sur une distance LXY, pour un certain écoulement (différent de celui réalisé par le siphon). Pour ce faire, on installe sur ce tube deux capteurs de pression statique constitués par deux manomètres. Les valeurs des pressions relatives données par ces appareils sont de pX =1,12 bar et pY = 1,055 bar. En utilisant la loi de Poiseuille, et en vérifiant la bonne applicabilité de celle‐ci, le coefficient de frottement linéaire λ peut être déterminé. Données : • μgraisse = 0,275 Pa.s ; • ρgraisse = 890 kg/m³ ; • LXY = 1,2m ; • Lsiphon = 5m ; • d = 10cm. Que faut‐il résoudre ? Equations en jeu ? Ecoulement en charge d’un fluide entre 2 points => Bernoulli. Recherche du coefficient de frottement => Poiseuille. Comment procéder ? Schéma global de résolution… Après avoir exprimé l’équation de Bernoulli pour la configuration en place, il s’agit d’exprimer les différentes pertes de charge entre le point A et le point S. Une fois l’équation finale connue, il reste à la résoudre pour obtenir la vitesse d’écoulement entre ces deux points, d’en déduire le débit. Pour déterminer les pertes de charge ‐ qui sont uniquement des pertes par frottement en long ‐ entre les 2 points, il faut connaitre le coefficient de frottement en long correspond au régime de l’écoulement étudié. Au final, la résolution se déroule dès lors en 2 étapes successives : 1. déterminer le coefficient de frottement en long λ ; 2. exprimer l’équation de Bernoulli afin de déterminer la vitesse et le débit d’écoulement dans la conduite. Une fois la vitesse et le débit déterminé, il reste à discuter les questions subsidiaires. Résolution Partie 1 Il s’agit dans un premier temps d’étudier, au moyen de l’équation de Poiseuille, l’écoulement pour la portion de tube considérée, soit d’y déterminer le débit d’écoulement. L’équation de Poiseuille, entre les points X et Y, s’écrit… 128μ LQ
Δp XY =
πd4
( p − pY ) π d 4 Q= X
128μ L
Et, numériquement, on a (1,12 ⋅10
Q=
5
− 1, 055 ⋅105 ) π ( 0,1)
4
128 ⋅ 0, 275 ⋅1, 2
Q = 4,83 ⋅10−2 m3 / s
= 48,3 l / s
Il reste à vérifier si Poiseuille était bien applicable (calcul du Reynolds), et à ainsi, en fonction du régime d’écoulement, déterminer le coefficient de frottement en long. Re =
vd
ν
4Q
=
πd2
μ
ρ
d
4 ⋅ 0, 048
=
= 1994 < 2000 → λ =
λ = 0, 032
0, 275
64
Re
π 0,1
890
Partie 2 Il s’agit maintenant d’étudier l’écoulement dans le siphon, ceci en exprimant l’équation de Bernoulli entre les points A et S, en faisant l’hypothèse d’un coefficient de frottement connu et égal à celui déterminé précédemment. zA +
p
U2
p A U A2
+
= z S + S + S + ∑ ΔhA→ S ρ g 2g
ρ g 2g
Si certains termes sont directement connus, d’autres sont fonctions de la vitesse (qui est notre inconnue, soit US, pertes) et d’autres enfin nécessitent des hypothèses ou des observations plus précises… • pour les pressions, la surface libre et l’embout du tuyau sont à la pression atmosphérique1 ; • pour l’altitude en A, on peut affirmer que, si celle‐ci est effectivement variable avec le temps, ces variations sont négligeables2 ; • pour la vitesse en A, on peut supposer que celle‐ci est faible, et donc également négliger le terme correspondant3 ; • les seules pertes considérées sont les pertes par frottement en long, le coefficient déterminé plus tôt étant lui considéré indépendant du régime d’écoulement ; • le débit (par continuité) est constant sur toute la conduite ; la section de la conduite étant constante, la vitesse d’écoulement est donc la même en tous points de la conduite (US = U). Au final, on a dès lors z A − zS =
H=
U2 =
U 2 λL U 2
+
2g φ 2g
U 2 ⎛ λL ⎞
⎜1 +
φ ⎟⎠
2g ⎝
2 gH
2 gH
→ US = U =
⎛ λL ⎞
⎛ λL ⎞
⎜1 + φ ⎟
⎜1 + φ ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
U S = 4,75 m / s Q = 3, 73 ⋅10 −2 m ³ / s
= 37,3 l / s
Questions « subsidiaires » • Discuter la variation de cette vitesse en fonction de H ; En examinant la relation analytique reliant la vitesse en S et la hauteur H obtenue après manipulation de l’équation de Bernoulli, on voit très rapidement que cette vitesse augmentera avec la racine de la hauteur. 1
On aura donc pA = pS = 1bar. En supposant les dimensions du bassin assez grandes que pour que les variations de la surface libre puissent être considérées comme faibles. 3
Idem 2. 2
• Donner l'expression de la pression relative pM au point M en fonction de h. En exprimant l’équation de Bernoulli entre le point A et le point M, on a p
U2
p
U2
z M + M + M = zS + S + S + ∑ ΔhM → S
ρ g 2g
ρ g 2g
Certains termes nécessitent des hypothèses ou des observations plus précises… • la pression en S est la pression atmosphérique et on travaille en pressions relatives ; • les seules pertes considérées sont les pertes par frottement ; • le débit (par continuité) est constant sur toute la conduite ; la section de la conduite étant constante, la vitesse d’écoulement est donc la même en tous points de la conduite (US = UM). p
zM + M = zS + ∑ ΔhM →S ρg
pM
= zS − zM + ∑ ΔhM → S ρg
pM
= − ( H + h ) + ∑ ΔhM →S ρg
pM = ρ g ⎡⎣ ∑ ΔhM → S − ( H + h ) + f ( h ) ⎤⎦ •
Représenter l'allure de la pression relative pM en fonction de h. h peut‐il prendre n'importe quelle valeur ? La représentation graphique de la pression en M dépendra de la forme des pertes de charge. En négligeant celles‐ci, on a simplement une droite décroissante. h possède dès lors une borne supérieure, au‐delà de laquelle la pression en M deviendrait trop faible, amenant des risques de cavité.