TP étude de la fonction tangente

TP : Étude de la fonction tangente
Le but de cet exercice est d’étudier la fonction tangente et d’en établir quelques propriétés en utilisant les
propriétés des fonctions sinus et cosinus.
1) Résoudre dans ]–π ; π] l’équation : cos (x) = 0.
En déduire l’ensemble D des solutions dans R de cette équation.
2) On considère la fonction tangente, notée tan, et définie par :
sin ( )
tan ( )
cos ( )
x
x
x
= pour x ∈ D
On note B sa courbe représentative dans un repère orthogonal
(O ; , )
i j
r r
.
a. Démontrer que la fonction tangente est périodique de période π.
b. Étudier la parité de la fonction tangente.
c. En déduire qu’on peut se contenter d’étudier la fonction sur l’intervalle I = [0 ; π
2[.
3) Calculer
2
2
lim tan( )
x
x
x
π
π
→
<
. En déduire que B admet une asymptote ∆. En déduire d’autres asymptotes.
4) Calculer les valeurs exactes de tan (0), tan (π
6),tan (π 4) et tan (π 3).
5) a. Montrer que, pour tout x de D :
2
2
1
tan'( ) 1 tan ( )
cos ( )
x x
x
= = + .
b. En déduire le tableau de variations de la fonction tangente sur l’intervalle I.
6) a. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe B au point d’abscisse 0.
b. Démontrer que, pour tout x de I, on a : tan (x) ? x.
(On pourra étudier les variations de la fonction g définie sur I par : g (x) = tan (x) – x.)
c. En déduire la position relative de la courbe B par rapport à sa tangente T.
7) Tracer dans le repère ci dessous les droites ∆ et la courbe B pour des valeurs de x S ]–2π ; 2π]
π3π/2 2π
-π/2-π -3π/2-2π
2
-1
-2
0π/2
1
x
y