Chapitre 27 : Applications linéaires.

ECS3 Carnot Chapitre 27 — Applications linéaires. 2013/2014
Chapitre 27 : Applications linéaires.
1 Applications linéaires
1.1 Définitions
Définition 1.1.1
Soit Eet Fdeux K-espaces vectoriels. On dit que f:E→Fest linéaire lorsque
1. ∀u, v ∈E, f(u+v) = f(u) + f(v).
2. ∀λ∈K,∀u∈E, f(λu) = λf(u).
L’ensemble des applications linéaires de Edans Fest noté L(E, F ).
En particulier si fest linéaire, on a toujours f(0E) = 0Fcar f(0 ·u) = f(0E) =
0·f(u) = 0F.
Définition 1.1.2
– Une application linéaire de Edans Eest appelée endomorphisme. On note
L(E)l’espace L(E, E)des endomorphismes de E.
– Une application linéaire de L(E, K)est appelée forme linéaire. L’ensemble
L(E, K)est souvent noté E∗et s’appelle le dual de E.
Exemple. L’application E→F u 7→ 0Fest linéaire. IdE:E→E u 7→ uest linéaire.
R→Rx7→ ax est linéaire.
Exercice. Montrer que les seules applications linéaires de Rdans Rsont les x7→ ax.
Exemple. L’application R3→R(x, y, z)7→ 3x−yest une forme linéaire. L’application
F(R,R)→Rf7→ f(1) est linéaire. De même l’application D1(R,R)→ F(R,R)f7→ f′.
Proposition 1.1.1
Les assertions suivantes sont équivalentes :
1. f:E→Fest linéaire.
2. ∀u, v ∈E, ∀α, β ∈K, f (αu +βv) = αf (u) + βf(v)
3. ∀u, v ∈E, ∀λ∈K, f(u+λv) = f(u) + λf(v).
Il est souvent plus rapide d’utiliser le troisième point pour montrer qu’une application
est linéaire.
Plus généralement on a par récurrence
Proposition 1.1.2
L’image par une application linéaire fd’une combinaison linéaire est la combinaison
linéaire des images, avec les mêmes coefficients :
f(
n
X
i=1
λiui) =
n
X
i=1
λif(ui)
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1.2 Opérations sur les applications linéaires
1.2.1 Somme, produit par un scalaire
Proposition 1.2.1
L’ensemble L(E, F )est un sous-espace vectoriel de (F(E, F ),+,·).
Démonstration : En effet, la fonction nulle est linéaire et si f, g ∈L(E, F )et λ∈K, alors
f+λg est linéaire car si u, v ∈Eet α∈K, on a
(f+λg)(u+αv) = f(u+αv) + λg(u+αv)
=f(u) + αf(v) + λg(u) + λαg(v)
= (f+λg)(u) + α(f+λg)(v)
1.2.2 Composition
Proposition 1.2.2
Si f∈L(E, F )et g∈L(F, G)alors g◦f∈L(E, G).
Démonstration : En effet, si u, v ∈Eet λ∈Kon a g◦f(u+λv) = g(f(u) + λf(v)) =
g(f(u)) + λg(f(v)) = g◦f(u) + λg ◦f(v)
Exemple. L’application f7→ f′(1) est linéaire.
Proposition 1.2.3
Si f, f′∈L(E, F ),g, g′∈L(F, G)et λ∈Kalors
1. (g+g′)◦f=g◦f+g′◦f
2. g◦(f+f′) = g◦f+g◦f′
3. (λg)◦f=λ(g◦f)
4. g◦(λf) = λ(g◦f)
Démonstration : Exercice.
En général, f, g ∈L(E)ne commutent pas. Par exemple si E=R2et f(x, y) = (x, 2x)
et g(x, y) = (0,3y+x)alors g◦f(x, y) = (0,7x)et f◦g(x, y) = (0,0). Par contre si deux
endomorphismes commutent, on a par récurrence
Proposition 1.2.4 (Formule du Binôme de Newton)
Soit n∈Net u∈L(E). Alors on définit unpar u0= IdEet un+1 =u◦un. Si
f, g ∈L(E)commutent, alors
(f+g)n=X
k=0
nn
kfk◦gn−k
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1.2.3 Réciproque d’une application linéaire bijective
Définition 1.2.1
Soit f∈L(E, F ). Si fest bijective, alors f−1∈L(F, E). On dit alors que fest un
isomorphisme de Evers F. Si E=Fon parle alors d’automorphisme.
Démonstration : Soit v, v′∈Fet λ∈K. Alors f−1(v) + λf−1(v′)est un élément de E
et son image par fest f(f−1(v) + λf−1(v′)) = f(f−1(v)) + λf(f−1(v′)) = v+λv′=
f(f−1(v+λv′)). Comme fest bijective, on a f−1(v) + λf−1(v′) = f−1(v+λv′)).
Définition 1.2.2
Deux K-espaces vectoriels Eet Fsont isomorphes lorsqu’il existe un isomorphisme de
l’un vers l’autre.
Exemple. R2et Csont isomorphe puisque (x, y)7→ x+iy est un isomorphisme.
Définition 1.2.3
L’ensemble des applications linéaires bijectives de Edans E(i.e. des automorphismes
de E) est stable pour la composition. On le note GL(E)et on l’appelle groupe linéaire
de E.
1.2.4 Applications linéaires et formes linéaires
En général, on remontre au cas par cas la proposition suivante :
Proposition 1.2.5
Soit ϕ∈L(E, K)et v0∈F. Alors f:E→F,u7→ ϕ(u)·v0est linéaire.
Démonstration : Exercice.
Exemple. Puisque (x, y)7→ 2y−xest linéaire. Avec v0= (1,1,−1) on en déduit que
f:R2→R3(x, y)7→ (2y−x, 2y−x, x −2y)est linéaire.
1.3 Image directe, image réciproque
Proposition 1.3.1
Soit f∈L(E, F ). Si Aest un sous-espace de Ealors f(A)est un sous-espace de F. Si
Best un sous-espace de Falors f−1(B)est un sous-espace de E.
Démonstration : Comme 0E∈A, on a 0F=f(0E)∈f(A). Soit u, v ∈f(A)et λ∈K. Alors
u=f(x)pour x∈Aet v=f(y)pour y∈A. On a u+λv =f(x+λy)∈f(A)car Aest
un sous-espace.
On a 0E∈f−1(B)car f(0E) = 0F∈B. Si u, v ∈f−1(B)et λ∈K, alors f(u+λv) =
f(u) + λf(v)∈Bcar Best un sous-espace. Donc u+λv ∈f−1(B).
1.4 Noyau, image
Définition 1.4.1
Soit f∈L(E, F ).
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1. Im f=f(E) = {f(u), u ∈E}est un sous-espace vectoriel de F.
2. Ker f={u∈E, f (u) = 0F}=f−1({0F})est un sous-espace vectoriel de E
appelé noyau de f.
Proposition 1.4.1
Soit f∈L(E, F ). Alors f(u) = f(u′)si et seulement si u−u′∈Ker f. De plus, on a
les équivalences
fsurjective ⇔Im f=F
finjective ⇔Ker f={0E}
Démonstration : En effet, f(u) = f(u′)si et seulement si f(u−u′) = 0 i.e. u−u′∈Ker f.
Si Ker f={0}alors u=u′et fest injective. Si fest injective, alors f(u) = 0 = f(0)
entraine que u= 0 donc Ker f⊂ {0}et Ker f={0}car c’est un espace vectoriel.
1.5 Exemples d’applications linéaires
1.5.1 Homothéties
Définition 1.5.1
Les homothéties sont les endomorphismes du type hα=αIdE, i.e. u7→ αu.
Proposition 1.5.1
Les homothéties commutent avec tous les endomorphismes. Si α∈K r {0}alors hαest
un isomorphisme de réciproque hα−1.
DESSIN
1.5.2 Projecteurs
Définition 1.5.2
Soit F, G deux sous-espaces supplémentaires de E. L’application
p:E=F⊕G−→ E
u=v+w7−→ v
est le projecteur sur Fparallèlement à G.
DESSIN
Proposition 1.5.2
Soit E=F⊕Get ple projecteur sur Fparallèlement à G. Alors
1. p∈L(E)
2. Im p=F
3. Ker p=G
4. Ker (p−Id) = {u∈E, p(u) = u}=F
5. p◦p=p
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Démonstration : Linéarité : si u, u′∈Eet λ∈K. On décompose u=v+wet u′=v′+w′.
Donc u+λu′= (v+λv′) + (w+λw′)par unicité de la décomposition on a p(u+λu′) =
v+λv′=p(u) + λp(u′).
Noyau : soit u∈E,u=v+w. Alors p(u) = 0 ⇔v= 0 ⇔u=GDonc Ker u=G.
Image : Im p⊂Fest trivial. Soit u∈F. Alors u=u+ 0 donc p(u) = uet u∈Im p
Invariants : Si u=p(u)alors u∈Im p=Fet si u∈Falors p(u) = u.
p◦p: pour tout u∈Eon a p◦p(u) = p(p(u)) = p(u)car p(u)∈F= Ker (p−Id).
Définition 1.5.3
Un projecteur est un endomorphisme ftel qu’il existe une décomposition en somme
directe E=F⊕Get fest le projecteur sur Fparallèlement à G.
Théorème 1.5.1
Soitf∈L(E). Alors fest un projecteur si et seulement si f◦f=f. Autrement dit les
projecteurs sont exactement les endomorphismes idempotents.
Démonstration : L’implication directe a déjà été montrée. Pour la réciproque, soit f∈L(E)
tel que f◦f=f. Il faut trouver deux espaces supplémentaires qui conviennent. Mais d’après
la proposition précédente, on est amené à d’intéresser à F= Ker (f−Id) et G= Ker f.
Alors Fet Gsont des sous-espaces. On a F∩G={0}. En effet, si u∈F∩G, alors f(u) = u
et f(u) = 0 donc u= 0.
De plus E=F+G. En effet, si u∈E, on écrit la décomposition u=f(u) + u−f(u).
On a f(u)∈Fcar f(f(u)) = f(u)et u−f(u)∈Gcar f(u−f(u)) = f(u)−f(f(u)) =
f(u)−f(u) = 0. On a donc F⊕G=Eet fest la projection sur Fparallèlement à Gcar
tout udans Ese décompose en u=f(u) + u−f(u).
Définition 1.5.4
Soit ple projecteur sur Fselon G. Le projecteur associé à pest le projecteur qsur G
selon F. On a p+q= IdE.
Exemple. Comme cas particulier on a la projection sur Eselon {0}qui est l’identité et
la projection associée qui est l’application nulle.
1.5.3 Symétries — hors programme
Définition 1.5.5
Soit E=F⊕G. La symétrie par rapport à Fselon Gest l’application
f:E=F⊕G−→ E
u=v+w7−→ v−w
DESSIN
Exemple. Cas particulier : la symétrie par rapport à Eselon {0}est l’identité et la
symétrie par rapport à {0}selon Eest −IdE.
Proposition 1.5.3
Soit fla symétrie par rapport à Fselon G.
1. f= 2p−IdEoù pest le projecteur sur Fselon G. Donc f∈L(E).
2. f◦f= IdE. Donc fest bijective, de réciproque f.
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