applications lineaires et matrices

Applications linéaires et matrices
APPLICATIONS LINEAIRES ET MATRICES
1) Applications linéaires
définition (application linéaire)
Soient E et F deux K espaces vectoriels. On appelle application linéaire de E dans F toute
application u : E → F vérifiant :
(i) ∀( x, y ) ∈ E 2 , u ( x + y ) = u ( x) + u ( y )
(ii) ∀(α, x) ∈ K × E , u (α x) = α u ( x)
propriété immédiate
Soient E et F deux K espaces vectoriels et u une application de E dans F. u est une application
linéaire si et seulement si elle vérifie : ∀(α, β, x, y ) ∈ K × K × E × E , u (α x + β y ) = α u ( x) + β u ( y ) .
Dans la suite, E et F désignent des K espaces vectoriels
définition (image, noyau d'une application linéaire)
Soit u une application linéaire de E dans F.
(i) on appelle image de u, notée Im(u ) l'ensemble : Im(u ) = {y ∈ F , ∃x ∈ E , u ( x) = y} .
(ii) on appelle noyau de u, noté Ker (u ) l'ensemble : Ker (u ) = {x ∈ E , u ( x) = 0} .
proposition
Soit u une application linéaire de E dans F. Alors :
(i) Im(u ) est un sous espace vectoriel de F.
(ii) Ker (u ) est un sous espace vectoriel de E.
démonstration
(i) Im(u ) ≠ O/ car 0 ∈ Im(u ) puisque u (0) = 0 .
Soient y1 , y 2 ∈ Im(u ) . ∃ ( x1 , x2 ) ∈ E 2 , u ( x1 ) = y1 et u ( x2 ) = y 2 . D'après la
y1 + y 2 = u ( x1 + x2 ) donc y1 + y 2 ∈ Im(u ) .
Soient (α, y ) ∈ K × Im(u ) . ∃ x ∈ E , u ( x) = y . α y = u (α x) donc α y ∈ Im(u ) .
linéarité
de
u,
(ii) Ker (u ) ≠ O/ car 0 ∈ Ker (u ) .
Soient x1 , x2 ∈ Ker (u ) . u ( x1 + x2 ) = u ( x1 ) + u ( x2 ) = 0 + 0 = 0 donc x1 + x2 ∈ Ker (u ) .
Soit (α, x) ∈ K × Ker (u ) . uα x) = α u ( x) = α × 0 = 0 donc α x ∈ Ker (u )
proposition
Soit u une application linéaire de E dans F. Alors :
(i) u est injective si et seulement si Ker (u ) = {0}.
(ii) u est surjective si et seulement si Im(u ) = F .
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démonstration
(i) Supposons u injective. Soit x ∈ Ker (u ) . Alors u ( x) = 0 = u (0) donc x = 0 car u est injective. par
conséquent, Ker (u ) = {0}.
Supposons Ker (u ) = {0}. Soient x, y ∈ E tels que u ( x) = u ( y ) . Alors u ( x − y ) = 0 par linéarité de u
donc x − y ∈ Ker (u ) donc x − y = 0 , c'est-à-dire x = y . Par conséquent, u est injective.
(ii) Supposons u surjective. Soit y ∈ F . Il existe x ∈ E tel que u ( x) = y donc y ∈ Im(u ) donc
F ⊂ Im(u ) . Comme Im(u ) ⊂ F , on a F = Im(u ) .
Supposons que Im(u ) = F . Soit y ∈ F . Alors y ∈ Im(u ) donc u est surjective.
théorème
Soient E et F deux K espaces vectoriels, e = (ei ) i∈I une base de E, f = ( f i ) i∈I une famille de
vecteurs de F, indexée par le même ensemble que e. Alors il existe une et une seule application
linéaire u de E dans F telle que : ∀i ∈ I , u (ei ) = f i
démonstration
Soit x ∈ E . ∃!( xi ) i∈I ∈ K I , x = ∑ xi ei .
i∈I
⎛
⎞
u ( x) = u⎜ ∑ xi ei ⎟
⎝ i∈I
⎠
= ∑ xi u (ei ) (linéarité de u)
i∈I
= ∑ xi f i
i∈I
D'où l'unicité.
Existence : Soit
u:
E→F
x = ∑ xi ei
i∈I
∑x f
i∈I
i
i
Soient x, x'∈ E . ∃!( xi ) i∈I , x = ∑ xi ei . ∃!( x'i ) i∈I , x' = ∑ x'i ei . Soient α, β ∈ K .
i∈I
i∈I
⎛
⎞
u (α x + β y ) = u⎜ α ∑ xi ei + β ∑ x'i ei ⎟
i∈I
⎝ i∈I
⎠
⎛
⎞
= u⎜ ∑ (α xi + β x'i )ei ⎟
⎝ i∈I
⎠
= ∑ ( α xi + β x ' i ) f i
i∈I
= α ∑ xi f i + β ∑ x ' i f i
i∈I
i∈I
= α u ( x) + β u ( x' )
Donc u est linéaire de E dans F et répond au critère donné. d'où l'existence.
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2) Matrices
définition de matrice
I et j étant deux ensembles non vides et finis, on appelle matrice de type I × J à éléments dans
l'ensemble E, toute application de I × J dans E. L'image de (i, j ) sera notée M : (i, j ) mi j
Dans la pratique I = N n et J = N p ( N n désignant l'ensemble des entiers naturels inférieurs ou
égaux
à
n).
On
représente
alors
une
matrice
M = (mi j )1≤i≤n
par
un
tableau
1≤ j ≤ p
m1 p ⎞
⎛ m11 m12
⎜
⎟
m2 p ⎟
⎜ m12 m2 2
rectangulaire ⎜
⎟ . On note M n p ( K ) l'ensemble des matrices ayant n lignes et p
⎜
⎟
⎜m
⎟
m
…
m
n2
np ⎠
⎝ n1
colonnes, à coefficients dans K.
E et F désignent désormais des K espaces vectoriels de dimensions finies respectives p et n.
Soient e = (e1 ,..., e p ) une base de E et f = ( f1 ,..., f n ) une base de F. Soit u une application linéaire
de E dans F.
u est entièrement déterminée par les images par u des vecteurs de la base de E :
p
Soit x ∈ E . ∃!( x1 ,..., x p ) ∈ K p , x = ∑ xi ei .
i =1
n
∀k ,1 ≤ k ≤ p, ∃!(mk 1 ,..., mk n ) ∈ K , u (ek ) = ∑ mk j f j .
n
j =1
On a :
⎛ p
⎞
u ( x) = u⎜⎜ ∑ xi ei ⎟⎟
⎝ i =1
⎠
p
= ∑ xi u (ei ) (par linéarité de u)
i =1
p
n
= ∑ xi ∑ m j i f j
i =1
p
j =1
n
= ∑∑ m j i xi f i (distributivité)
i =1 j =1
n
p
= ∑∑ m j i xi f i (commutativité, associativité de l'addition)
j =1 i =1
n
⎛ p
⎞
= ∑ ⎜⎜ ∑ m j i xi ⎟⎟ f i
j =1 ⎝ i =1
⎠
n
u ( x) ∈ F donc ∃!( y1 ,..., y n ) ∈ K n , u ( x) = ∑ y k f k . par unicité de la décomposition, on en déduit
k =1
p
donc : ∀j ∈ N n , y j = ∑ m j i xi
i =1
définition (matrice d'une application linéaire)
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Applications linéaires et matrices
On appelle matrice de u relativement aux bases e et f la matrice (mi j )1≤i ≤n . Il s'agit donc de la
1≤ j ≤ p
matrice à n lignes et p colonnes dont la k ième colonne représente les coordonnées de u (ek ) dans la
base f. On note cette matrice mat (u; e, f ) .
définition de l'application linéaire canoniquement associée à une matrice
Soit M = (mi j )1≤i≤n ∈ M n p ( K ) . On munit K n de sa base canonique c'est-à-dire e = (e1 ,..., en ) où ek
1≤ j ≤ p
est le vecteur de K n dont toutes les coordonnées sont nulles sauf la k ième qui vaut 1. On munit
K p de sa base canonique e' = (e'1 ,..., e' p ) . On considère l'application linéaire u de K p dans K n
n
telle que pour tout entier k ∈ N p , u (e' p ) = ∑ mi p ei . On a alors mat (u; e' , e) = M . u est appelé
i =1
application linéaire canoniquement associée à M.
définition (addition de matrices, multiplication par un scalaire)
Soient A, B ∈ M n p ( K ) , A = (ai j )1≤i≤n et B = (bi j )1≤i≤n . On définit les opérations suivantes :
1≤ j ≤ p
1≤ j ≤ p
A + B = (ci j )1≤i≤n avec ci j = ai j + bi j
1≤ j ≤ p
α A = (d i j )1≤i≤ n avec d i j = α ai j
1≤ j ≤ p
définition (produit de matrices)
Soient A ∈ M n p (K ) et B ∈ M p q (K ) , A = (ai j )1≤i≤n
1≤ j ≤ p
et B = (bi j )1≤i≤ p . on définit le produit
1≤ j ≤ q
p
AB ∈ M n q (K ) : AB = (ci j )1≤i≤n avec ci j = ∑ ai k bk j .
1≤ j ≤ q
k =1
lien entre les opérations matricielles et les opérations sur les applications linéaires
1) Soient u et v deux applications linéaires de E dans F. Soit α ∈ K .
Notons mat (u; e, f ) = (ai j )1≤i≤n et mat (v; e, f ) = (bi j )1≤i≤n .
1≤ j ≤ p
1≤ j ≤ p
(u + v)(ek ) = u (ek ) + v(ek ) (par définition de l'application u + v )
n
n
i =1
n
i =1
= ∑ ai k f i + ∑ bi k f i
= ∑ (ai k + bi k ) f i
i =1
Cette décomposition suivant les vecteurs de la base f étant unique, on en déduit que
mat (u + v; e, f ) = (ci j )1≤i≤n avec ci j = ai j + bi j
1≤ j ≤ p
Donc mat (u + v; e, f ) = mat (u; e, f ) + mat (v; e, f )
(α u )(ek ) = α u (ek ) (par définition de α u )
n
= α ∑ ai k f i
i =1
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n
= ∑ (α a i k ) f i
i =1
Cette décomposition suivant les vecteurs de la base f étant unique, on en déduit que
mat (α u; e, f ) = (d i j )1≤i≤n avec d i j = α ai j .
1≤ j ≤ p
Donc mat (α u; e, f ) = α mat (u; e, f ) .
2) Soient u une application linéaire de E dans F et v une application linéaire de F dans G, G étant un
K espace vectoriel de dimension q, de base g = ( g1 ,..., g q ) .
mat (u; e, f ) = (ai j )1≤i≤n et mat (v; f , g ) = (bi j )1≤i≤q .
1≤ j ≤ p
1≤ j ≤ p
v u (ek ) = v(u (ek )) (par définition de v u )
⎛ n
⎞
= v⎜ ∑ a i k f i ⎟
⎝ i =1
⎠
n
= ∑ ai k v( f i ) (linéarité de v)
i =1
n
q
= ∑ ai k ∑ b j i g j
i =1
n
j =1
q
= ∑∑ ai k b j i g j
(distributivité)
i =1 j =1
q
⎛ n
⎞
= ∑ ⎜ ∑ b j i ai k ⎟g j (commutativité, associativité de l'addition)
j =1 ⎝ i =1
⎠
Cette décomposition suivant les vecteur de la base g étant unique, on en déduit que
n
mat (v u; e, f ) = (ri j )1≤i≤q avec ri j = ∑ b j i ai k .
1≤ j ≤ p
i =1
Donc mat (v u; e, g ) = mat (v; f , g ) × mat (u; e, f )
définition (transposée d'une matrice)
Soit A ∈ M n p ( K ), A = (ai j )1≤i≤ n . On appelle transposée de A, notée t A , la matrice t A = (a'i j )1≤i≤ p ,
1≤ j ≤ p
1≤ j ≤ n
où a'i j = a j i pour tous 1 ≤ i ≤ p et 1 ≤ j ≤ n .
Voir le lien entre transposée d'une matrice et transposée d'une application linéaire : chapitre sur la
dualité.
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