applications lineaires et matrices

Applications linéaires et matrices
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APPLICATIONS LINEAIRES ET MATRICES
1) Applications linéaires
définition (application linéaire)
Soient E et F deux K espaces vectoriels. On appelle application linéaire de E dans F toute
application FEu →: vérifiant :
(i) )()()(,),( 2yuxuyxuEyx +=+∈∀
(ii) )()(,),( xuxuEKx α=α×∈α∀
propriété immédiate
Soient E et F deux K espaces vectoriels et u une application de E dans F. u est une application
linéaire si et seulement si elle vérifie : )()()(,),,,( yuxuyxuEEKKyx β+α=
β
+
α
×
×
×
∈
β
α
∀.
Dans la suite, E et F désignent des K espaces vectoriels
définition (image, noyau d'une application linéaire)
Soit u une application linéaire de E dans F.
(i) on appelle image de u, notée )Im(u l'ensemble :
{
}
yxuExFyu =
∈
∃
∈
=
)(,,)Im( .
(ii) on appelle noyau de u, noté )(uKer l'ensemble :
{
}
0)(,)(
=
∈
=
xuExuKer .
proposition
Soit u une application linéaire de E dans F. Alors :
(i) )Im(u est un sous espace vectoriel de F.
(ii) )(uKer est un sous espace vectoriel de E.
démonstration
(i) Ou /≠)Im( car )Im(0 u∈ puisque 0)0(
=
u.
Soient )Im(, 21 uyy ∈. 2211
2
21 )()(,),( yxuetyxuExx ==∈∃ . D'après la linéarité de u,
)( 2121 xxuyy +=+ donc )Im(
21 uyy ∈+ .
Soient )Im(),( uKy ×∈α . yxuEx
=
∈∃ )(,. )(xuy
α
=
α
donc )Im(uy
∈
α
.
(ii) OuKer /≠)( car )(0 uKer∈.
Soient )(, 21 uKerxx ∈. 000)()()( 2121
=
+
=
+
=+ xuxuxxu donc )(
21 uKerxx
∈
+
.
Soit )(),( uKerKx ×∈α . 00)()
=
×
α
=
α=α xuxu donc )(uKerx
∈
α
proposition
Soit u une application linéaire de E dans F. Alors :
(i) u est injective si et seulement si
{
}
0)(
=
uKer .
(ii) u est surjective si et seulement si Fu
=
)Im( .

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démonstration
(i) Supposons u injective. Soit )(uKerx∈. Alors )0(0)( uxu
=
=
donc 0
=
x car u est injective. par
conséquent,
{}
0)( =uKer .
Supposons
{}
0)( =uKer . Soient Eyx ∈, tels que )()( yuxu
=
. Alors 0)( =
−
yxu par linéarité de u
donc )(uKeryx ∈− donc 0=− yx , c'est-à-dire y
x
=
. Par conséquent, u est injective.
(ii) Supposons u surjective. Soit Fy∈. Il existe Ex
∈
tel que yxu
=
)( donc )Im(uy∈donc
)Im(uF ⊂. Comme Fu ⊂)Im( , on a )Im(uF
=
.
Supposons que Fu =)Im( . Soit Fy∈. Alors )Im(uy
∈
donc u est surjective.
théorème
Soient E et F deux K espaces vectoriels, Iii ee ∈
=
)( une base de E, Iii ff ∈
=
)( une famille de
vecteurs de F, indexée par le même ensemble que e. Alors il existe une et une seule application
linéaire u de E dans F telle que : ii feuIi
=
∈∀ )(,
démonstration
Soit Ex∈. ∑
∈
∈=∈∃
Ii ii
I
Iii exxKx ,)(!.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=∑
∈Ii iiexuxu )(
∑
∈
=
Ii ii eux )( (linéarité de u)
∑
∈
=
Ii ii fx
D'où l'unicité.
Existence : Soit
∑∑ ∈∈
=
→
Ii ii Ii ii fxexx
F
E
u :
Soient Exx ∈',. ∑
∈
∈=∃
Ii iiIii exxx ,)(!.
∑
∈
∈=∃
Ii iiIii exxx '',)'(!. Soient K
∈
β
α
,.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛β+α=β+α ∑∑ ∈∈ Ii ii
Ii ii exexuyxu ')(
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛β+α= ∑
∈i Ii ii exxu )'(
∑
∈
β+α=
Ii iii fxx )'(
∑∑ ∈∈
β+α=
Ii ii Ii ii fxfx '
)'()( xuxu β+α=
Donc u est linéaire de E dans F et répond au critère donné. d'où l'existence.

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2) Matrices
définition de matrice
I et j étant deux ensembles non vides et finis, on appelle matrice de type JI × à éléments dans
l'ensemble E, toute application de JI × dans E. L'image de ),( ji sera notée ji
mjiM ),(:
Dans la pratique n
NI = et p
NJ = ( n
N désignant l'ensemble des entiers naturels inférieurs ou
égaux à n). On représente alors une matrice pj niji
mM ≤≤ ≤≤
=
1
1
)( par un tableau
rectangulaire
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
pnnn
p
p
mmm
mmm
mmm
…
21
22221
12111
. On note )(KM pn l'ensemble des matrices ayant n lignes et p
colonnes, à coefficients dans K.
E et F désignent désormais des K espaces vectoriels de dimensions finies respectives p et n.
Soient ),...,( 1p
eee = une base de E et ),...,( 1n fff
=
une base de F. Soit u une application linéaire
de E dans F.
u est entièrement déterminée par les images par u des vecteurs de la base de E :
Soit Ex∈.∑
=
=∈∃ p
iii
p
pexxKxx 1
1,),...,(!.
∑
=
=∈∃≤≤∀ n
jjjkk
n
nkk fmeuKmmpkk 1
1)(,),...,(!,1, .
On a :
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=∑
=
p
iiiexuxu 1
)(
∑
=
=p
iii eux
1)( (par linéarité de u)
∑∑
==
=p
i
n
jjiji fmx
11
∑∑
==
=p
i
n
jiiij fxm
11 (distributivité)
∑∑
==
=n
j
p
iiiij fxm
11 (commutativité, associativité de l'addition)
∑∑
== ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=n
ji
p
iiij fxm
11
Fxu ∈)( donc ∑
=
=∈∃ n
kkk
n
nfyxuKyy 1
1)(,),...,(! . par unicité de la décomposition, on en déduit
donc : ∑
=
=∈∀ p
iiijjn xmyNj 1
,
définition (matrice d'une application linéaire)

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On appelle matrice de u relativement aux bases e et f la matrice pj niji m≤≤ ≤≤
1
1
)( . Il s'agit donc de la
matrice à n lignes et p colonnes dont la k ième colonne représente les coordonnées de )(k
eu dans la
base f. On note cette matrice ),;( feumat .
définition de l'application linéaire canoniquement associée à une matrice
Soit )()( 1
1KMmM pn
pj niji ∈=
≤≤ ≤≤ . On munit n
K
de sa base canonique c'est-à-dire ),...,( 1n eee = où k e
est le vecteur de n
K
dont toutes les coordonnées sont nulles sauf la k ième qui vaut 1. On munit
p
K
de sa base canonique )',...,'(' 1p eee =. On considère l'application linéaire u de p
K
dans n
K
telle que pour tout entier p
Nk ∈, ∑
=
=n
iipip emeu 1
)'( . On a alors Meeumat =),';( . u est appelé
application linéaire canoniquement associée à M.
définition (addition de matrices, multiplication par un scalaire)
Soient )(, KMBA pn ∈, pj niji aA ≤≤ ≤≤ =1
1
)( et pj niji bB ≤≤ ≤≤
=
1
1
)( . On définit les opérations suivantes :
pj niji
cBA ≤≤ ≤≤ =+ 1
1
)( avec jijiji bac +=
pj niji
dA ≤≤ ≤≤ =α 1
1
)( avec jiji ad α
=
définition (produit de matrices)
Soient )(KMA pn ∈ et )(KMB qp ∈, pj niji aA ≤≤ ≤≤
=
1
1
)( et qj piji bB ≤≤ ≤≤
=
1
1
)( . on définit le produit
)(KMAB qn
∈: qj niji cAB ≤≤ ≤≤ =1
1
)( avec ∑
=
=p
kjkkiji bac 1.
lien entre les opérations matricielles et les opérations sur les applications linéaires
1) Soient u et v deux applications linéaires de E dans F. Soit K
∈
α
.
Notons pj niji
afeumat ≤≤ ≤≤ =1
1
)(),;( et pj niji bfevmat ≤≤ ≤≤
=
1
1
)(),;( .
)()())(( kkk eveuevu +=+ (par définition de l'application vu
+
)
∑∑ ==
+= n
iiki
n
iiki fbfa 11
∑
=
+= n
iikiki fba
1)(
Cette décomposition suivant les vecteurs de la base f étant unique, on en déduit que
pj niji
cfevumat ≤≤ ≤≤ =+ 1
1
)(),;( avec jijiji bac
+
=
Donc ),;(),;(),;( fevmatfeumatfevumat +=+
)())(( kk eueu α=α (par définition de uα)
∑
=
α= n
iiki fa
1

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∑
=
α= n
iiki fa
1)(
Cette décomposition suivant les vecteurs de la base f étant unique, on en déduit que
pj niji
dfeumat ≤≤ ≤≤ =α 1
1
)(),;( avec jiji ad α= .
Donc ),;(),;( feumatfeumat α=α .
2) Soient u une application linéaire de E dans F et v une application linéaire de F dans G, G étant un
K espace vectoriel de dimension q, de base ),...,( 1q
ggg
=
.
pj niji
afeumat ≤≤ ≤≤ =1
1
)(),;( et pj qiji bgfvmat ≤≤ ≤≤ =1
1
)(),;( .
))(()( kk euveuv = (par définition de uv)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=∑
=
n
iiki fav 1
∑
=
=n
iiki fva
1)( (linéarité de v)
∑∑
==
=n
i
q
jjijki gba
11
∑∑
==
=n
ij
q
jijki gba
11 (distributivité)
j
q
j
n
ikiij gab
∑∑
==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
11 (commutativité, associativité de l'addition)
Cette décomposition suivant les vecteur de la base g étant unique, on en déduit que
pj qiji
rfeuvmat ≤≤ ≤≤ =1
1
)(),;(  avec ∑
=
=n
ikiijji abr 1.
Donc ),;(),;(),;( feumatgfvmatgeuvmat ×=
définition (transposée d'une matrice)
Soit pj nijipn aAKMA ≤≤ ≤≤ =∈ 1
1
)(),( . On appelle transposée de A, notée A
t, la matrice nj piji
taA ≤≤ ≤≤
=1
1
)'(,
où ijji aa =' pour tous njetpi
≤
≤≤≤ 11.
Voir le lien entre transposée d'une matrice et transposée d'une application linéaire : chapitre sur la
dualité.