Compléments d`algèbre linéaire

Lycée Jules Ferry, Cannes Classe préparatoire TSI 2e année
Année 2016-2017 Mathématiques - D. Broizat
Chapitre 2
Compléments d’algèbre linéaire

Table des matières
I Familles de vecteurs dans un espace vectoriel 1
1) Définition générale d’une famille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2) Familles génératrices d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3) Familles liées, familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4)Bases..................................... 17
5) Critère d’indépendance dans K[X]..................... 19
II Somme de sous-espaces vectoriels 24
1) Définition et structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2)Sommedirecte................................ 27
3) Sous-espaces supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
III Compléments sur les applications linéaires 36
1) Action d’une appl. linéaire sur les familles de vecteurs . . . . . . . . . . 36
2) Projecteurs et symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3) Formes linéaires et hyperplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
IV Changements de base 54
1)Rappels ................................... 54
2)Matricessemblables............................. 60
V Compléments sur les matrices 65
1) Base des matrices élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2) Transposition, matrices symétriques, antisymétriques . . . . . . . . . . 67
3)Traced’unematrice............................. 72
4) Trace d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

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I Familles de vecteurs dans un espace vectoriel
On pose K=Rou Cet on considère un K-espace vectoriel, noté E.
1) Définition générale d’une famille
Définition 1 (Famille de vecteurs)
Une famille de vecteurs de Eindexée par un ensemble non vide I
.......................................................................
est une application x:I→E(à chaque i∈I, on associe un vecteur xi∈E).
...............................................................................
On la note (xi)i∈I, et Iest appelé ensemble des indices
......................................................... .
Attention : A la différence d’un ensemble, une famille peut contenir plusieurs fois
le même vecteur (c’est le cas si l’application xn’est pas injective).
Exemple (p-uplet)
Pour p∈N∗fixé, un p-uplet (x1, x2,··· , xp)(on dit aussi une "liste") est une famille
de vecteurs indexée par l’ensemble I={1,2,· · · , p}. Indexer par un ensemble fini I
revient à numéroter.
Exemple (Suite)
Une suite de vecteurs de E, notée (xn)n∈N, est une famille de vecteurs indexée par
I= N (ou une partie infinie de N).
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Exemple (Une famille de fonctions)
On peut indexer une famille par un ensemble d’indices aussi gros que l’on veut :
par exemple, si on pose, pour tout λ∈R,fλ:x7→ eλx, on peut envisager la famille
(fλ)λ∈R(ici I= R). C’est une famille de vecteurs de l’espace vectoriel E=F(R,R)
(un espace de fonctions, donc).
Convention : Il existe une seule famille indexée par I=∅. On l’appelle famille vide.
Définition 2 (Sous-famille d’une famille de vecteurs)
Soit F= (xi)i∈Iune famille de vecteurs de E.On appelle sous-famille de F
...................................
toute famille F0de la forme F0= (xj)j∈J, où J⊂I
...................................................... .
Remarque
La famille vide est une sous-famille de n’importe quelle famille de vecteurs de E.
Définition 3 (Sur-famille)
Si Fet F0sont deux familles de vecteurs de E, alors on dit que Fest
.....................
une sur-famille de F0si F0est une sous-famille de F
............................................................

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Rappel : Un ensemble Iest dit fini si il est vide ou s’il existe n∈N∗et une
.........................................
bijection entre {1,2,··· , n}et I
.....................................
Cet entier nest unique et s’appelle le cardinal de I; on le note Card(I)
..........................................
ou ]I ou encore |I|
......................., c’est le "nombre d’éléments" de I.
Définition 4 (Famille finie, cardinal d’une famille)
Une famille (xi)i∈Ide Eest dite finie si l’ensemble des indices Iest fini
.............................................................................
Dans ce cas, le cardinal de Iest appelé cardinal de la famille (xi)i∈I
...........................................................................
Remarque
La famille vide est finie, elle est de cardinal 0(et c’est la seule).
Une famille finie de cardinal n∈N∗peut toujours se réindexer par I={1,··· , n}
(ou I={0,··· , n −1}, etc.).
Attention : Le cardinal d’une famille finie n’est pas le nombre d’éléments dis-
tincts de cette famille (à la différence d’un ensemble). Par exemple, l’ensemble
{x, x, x}={x}est de cardinal 1, mais la famille (x, x, x)est de cardinal 3.
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Remarque
Une famille, même finie, n’est pas nécessairement indexée par des entiers. Par exemple :
(Ra, Rb, Rc, Rd)∈E4est une famille de E de cardinal 4, indexée par l’ensemble I=
{a, b, c, d}.
Exemple
Si on considère x, y, z ∈E, et F= (x, y, y), alors F0= (x, y)est une sous-famille de
F, et F00 = (x, y, x, y, z)est une sur-famille de F.
En effet, si on pose F00 = (a1, a2, a3, a4, a5), on a
F00 = (ai)i∈I,F= (a1, a2, a4) = (ai)i∈J,F0= (a1, a2)=(ai)i∈K,
avec I={1,2,3,4,5},J={1,2,4}et K={1,2}(on a bien K⊂J⊂I).

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2) Familles génératrices d’un espace vectoriel
Définition 5 (Combinaison linéaire d’une famille de vecteurs)
Soit (xi)i∈Iune famille de vecteurs de E.
Une combinaison linéaire de la famille (xi)i∈Iest un vecteur x∈E
...........................................................................
de la forme x=X
j∈J
λjxj, où Jest un sous-ensemble fini de I
................................................................
et (λj)j∈Jest une famille finie de "scalaires" de K(réels ou complexes)
......................................................................... .
Convention : Une somme indexée par I=∅vaut 0E.
Donc, la seule combinaison linéaire de la famille vide est le vecteur nul 0E.
Attention : Une combinaison linéaire est toujours une somme finie : même si
la famille de vecteurs est infinie, on ne les utilise pas tous dans la combinaison !
Définition 6 (Ensemble des combinaisons linéaires d’une famille)
Soit (xi)i∈Iune famille de vecteurs de E.On note V ect((xi)i∈I)l’ensemble
....................................
des vecteurs qui sont combinaisons linéaires de la famille (xi)i∈I
.................................................................. .
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Remarque
On a V ect(∅) = {0E}
.......... Si x∈E, alors V ect(x) = {λx, λ ∈K}=Kx. ........................
Proposition 7 (Engendrement d’un espace vectoriel à l’aide des C.L.)
Soit (xi)i∈Iune famille de vecteurs de E. Alors, :
(i) V ect((xi)i∈I)est un sous-espace vectoriel de E
................................................. ;
(ii) V ect((xi)i∈I)est le plus petit sous-espace vectoriel de Econtenant
..........................................................................
tous les vecteurs xi
........................
On dit que V ect((xi)i∈I)est le sous-espace engendré par (xi)i∈I
.......................................................
Preuve : Notons V=V ect((xi)i∈I).
(i) Montrons que Vest un sev de E:
•le vecteur nul 0Eest combinaison linéaire des (xi)i∈I(prendre tous les coef-
ficients nuls), donc 0E∈V.
•soit x, y ∈Vet λ∈K. Par définition de V, il existe deux sous-ensembles
finis de I, notés Jet K, et des familles finies de scalaires (αi)i∈J,(βi)i∈Ktels
que
x=X
i∈J
αixi, y =X
i∈K
βixi.