Surfaces de Riemann Compactes

Surfaces de Riemann Compactes
Jean Giraud
Faculté des Sciences d’Orsay
Cours 3ecycle
1969–70

2010 Mathematics Subject Classification. Primary 30F10; Secondary 14H05,
14H55
Key words and phrases. Surface de Riemann, courbes algébriques, corps de
fonctions, faisceaux cohérents, cohomologie cohérente, Riemann–Roch, dualité de
Serre, points de Weierstrass, variétés de Jacobi, d’Albanese, de Picard
Résumé. Notes d’un cours professé à Orsay au second semestre de l’année
scolaire 1969–70 dans le cadre du troisième cycle de Géométrie Algébrique.
Copyright c 1970, 2005–2007 Jean Giraud
Note à cette édition en T
E
X
Version 1.0. Le texte original du cours était dactylographié par la faculté des
Sciences d’Orsay (1970). Je l’ai transcrit en T
EX, plus précisément en A
MS-L
A
T
EX,
en me servant du paquet X
Y
-pic pour les quelques cinquante diagrammes.
Je remercie Jean Giraud pour m’avoir permis de publier ses notes et pour son
aide encourageant pendant la préparation. Il va de soi que toutes les fautes de
frappe qui restent dans le texte ne lui sont dû.
Berlin, 28 juin 2005 Berndt E. Schwerdtfeger
Version 1.1. Jean Giraud est disparu en 28 mars 2007. Je suis désolé que je
n’ai pas eu la chance de lui revoir pour discuter un supplement contenant deux
choses:
— une démonstration du théorème de Riemann–Roch pour un module cohérent
quelconque, comme l’a signalé Giraud dans l’introduction
— la structure globale des vectoriels sur les surfaces de Riemann compactes
Berlin, 17 avril 2007 Berndt E. Schwerdtfeger
c
2007–2015 Berndt E. Schwerdtfeger version 1.1, rev. 511, 4 mars 2015

Introduction
Ce texte rassemble les notes d’un cours professé à Orsay au second semestre de
l’année scolaire 1969–70 dans le cadre du troisième cycle de Géométrie Algébrique.
Les deux premiers chapitres ont été rédigés par Mlle Josiane Pfeiffer que je remercie
pour le soin avec lequel elle s’est acquittée de sa tâche. Par ailleurs, Mrs Delorme
et Raoult ont animé un petit groupe d’étude de la cohomologie des faisceaux qui a
rédigé un guide 1sur ce sujet, qui s’est révélé fort utile pour aider les débutants à
s’y reconnaître dans les textes classiques qui sont parfois un peu trop prolixes.
Ce cours ne se distingue que sur quelques points des nombreux textes parus sur
ce sujet depuis Riemann. La plus grande originalité est au chapitre I, où, suivant
une idée de Serre, on établit l’équivalence entre Surfaces de Riemann compactes
et corps de fonctions d’une variable grâce à un théorème de prolongement de re-
vêtements ramifiés et au théorème de finitude de la cohomologie cohérente. Dès
cet instant on sait donc que les Surfaces de Riemann compactes ne sont autres
que les courbes algébriques sur le corps des nombres complexes; on n’en poursuit
pas moins leur étude par voie transcendante. Nous n’avons admis aucun résultat
sur la topologie des surfaces, hormis les généralités sur le revêtement universel qui
sont (ou devraient être) enseignées en maîtrise. Tous les résultats nécessaires sur la
cohomologie entière sont démontrés grâce à la cohomologie des faisceaux en utili-
sant souvent la structure complexe. Il n’est pas parlé d’homologie, mais nous avons
indiqué rapidement comment, en considérant une Surface de Riemann comme un
revêtement ramifié de la sphère de Riemann, on peut la munir d’une triangulation
et calculer sa cohomologie entière, ce qui permettrait à peu de frais de voir les
rapports avec l’homologie. Nous n’avons pas démontré le théorème de structure du
groupe fondamental, ce qui est évidemment regrettable, puisque c’est le seul point
de la théorie des courbes algébriques (sur un corps quelconque) que l’on ne sache
établir que par voie transcendante. Enfin, signalons que nous n’avons démontré le
théorème de Riemann–Roch que pour les modules inversibles bien que le théorème
de finitude et la dualité soient prouvés pour un module cohérent quelconque, ce qui
permet au lecteur, à titre d’exercice, de démontrer le théorème de Riemann–Roch
pour un module cohérent quelconque.
1. ajouté en «Annexe A»
iii

Table des matières
Note à cette édition en T
EXii
Introduction iii
Chapitre 1. Surfaces de Riemann, revêtements ramifiés et corps de fonctions
d’une variable 1
1. Surfaces de Riemann 1
2. Étude locale des morphismes 3
3. Courbes algébriques planes sur C5
4. Sphère de Riemann. Fonctions méromorphes 9
5. Prolongement de revêtements éventuellement ramifiés 10
6. Surfaces de Riemann compactes et corps de fonctions 14
7. Quelques exemples de surfaces de Riemann compactes 19
Chapitre 2. Cohomologie des faisceaux cohérents 21
1. Exemples de faisceaux 21
2. Faisceaux cohérents 22
3. Cohomologie des faisceaux cohérents 27
4. Théorème de Dolbeault et De Rham 28
5. Théorème de finitude 32
6. Théorème de dualité (Serre) 37
7. Théorème de Riemann-Roch 40
8. Plongement projectif 44
9. Points de Weierstrass 48
Chapitre 3. Variété de Picard 53
1. Cohomologie réelle et complexe 53
2. Cohomologie entière 55
3. La Jacobienne et la propriété universelle d’Albanese 59
4. La variété de Picard 61
5. Relations bilinéaires de Riemann, théorème d’Abel 64
Annexe A. Guide sur la Cohomologie des Faisceaux 67
1. Faisceaux sur des espaces topologiques 67
2. Foncteurs cohomologiques 71
3. Faisceaux injectifs 75
4. Résolutions et cohomologie des complexes 77
5. Cohomologie des faisceaux 79
6. Résolutions cohomologiquement triviales 82
7. Théorème de De Rham 84
Bibliographie 87
Index 89
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