1.3.2 Surfaces de Riemann et morphismes, définitions et sorites

1.3.2 Surfaces de Riemann et morphismes, définitions et sorites.
Définitions. Une carte 1 sur un espace topologique X est la donnée de ϕ = (U, ϕ)
où ϕ : U → V est homéomorphisme, la coordonnée de la carte, de source un ouvert
U ⊂ X de X, l’ouvert de la carte, et but un ouvert V ⊂ P1 de la droite projective.
Soit (U1 , ϕ1 ), (U2 , ϕ2 ) deux cartes sur X, d’intersection notée :
U1,2 = U1 ∩ U2 = U2 ∩ U1 = U2,1
Ces deux cartes sont (holomorphiquement) compatibles si l’application :
ψ2,1 = ϕ2 |U1,2 ◦ (ϕ1 −1 )|ϕ1 (U2,1 ) : ϕ1 (U2,1 ) → ϕ2 (U1,2 )
dite de transition de la carte ϕ2 à la carte ϕ1 est holomorphe.
Un Atlas de X est une famille Φ = ϕi = (Ui , ϕi ) i∈I de cartes deux à deux
compatibles dont les ouverts couvrent X = ∪i∈I Ui .
Définition. Une surface de Riemann est un atlas Φ sur un espace topologique
séparé X. Par abus on sous-entend l’atlas et plutôt que X = (Φ, X), on la note X.
Scolie et Défnition. — Soit ϕ = (U, ϕ) une carte sur un espace X, compatible
avec chaque carte d’une famille Φ = (ϕi = Ui , ϕi ) i∈I de carte sur X.
Alors pour tout ouvert U ′ ⊂ U de l’ouvert de ϕ et homographie h ∈ P GL2 (C),
le couple h(ϕ)|U ′ = (U ′ , h ◦ ϕ|U ′ ) est une carte, dite sous-carte projective de ϕ qui
est compatible avec toutes les sous-cartes projectives de Φ, ainsi tout atlas est
inclus dans un atlas contenant toute sous carte projective de ses cartes2 .
Ainsi supposant désormais les atlas projectivement locaux, d’une part :
Tout point x ∈ X d’une surface de Riemann est x ∈ U dans l’ouvert d’un carte
ux = (U, ux ) de coordonnée ux , l’envoyant ux (x) = 0 au centre du disque unité D
et avec ux (U) = D. Une telle coordonnée u = ux est dite uniformisante 3 en x de X.
D’autre part si f : X → Y est continue entre surfaces de Riemann et x ∈ X il
y a des uniformisantes en f (x) ∈ Y et x ∈ X de Y et X respectivement :
vf (x) : V → D, v(f (x)) = 0,
ux : U → D, u(x) = 0
dites paire (v, u) adaptée à f en f (x) et x telles que f (U) ⊂ V. L’application :
fv,u = vf (x) ◦ f|U ◦ u−1
x :D→D
du disque unité dans lui même, vérifiant :
vf (x) ◦ f|U = fv,u ◦ ux
est l’expression de f pour la paire (v, u) d’uniformisantes adaptées pour x ∈ X.
1
(complexe projective)
Un tel atlas est dit projectivement local.
3
(locale) ou (centrée) (définie sur l’ouvert U ), pour
2
11
hh Ortuniformisierende ii
de [We].
12
I
Des fractions rationnelles aux surfaces de Riemann.
coScolie et Définition. — Soit f : X → Y continue entre surfaces de Riemann
et munie d’une famille (vi , ui )i∈I de paires adaptées dont les expressions fvi ,ui sont
holomorphes et telles que X = ∪i∈I Ui est recouverte par les ouverts source des ui .
Alors, pour toute paire (v, u) adaptée, l’expression fv,u est holomorphe.
⊔
⊓
L’application f : X → Y est alors dite holomorphe(ou morphisme) de X vers Y .
Bien4 des propriés des fonctions holomorphes sur P1 se traduisent5 alors :
Forme normale et prolongement analytique. — Fn Soit x ∈ X et v une
uniformisante en f (x). Alors il y a uniformisante u en x et rx ∈ N ∪ {∞} tels que :
pour 6 ex = rx + 1, on a v = uex
Pa Si de plus X est connexe et g 6= f : X → Y est un morphisme distinct, de
même source et but que f , alors {x ∈ X | f (x) = g(x)} est discret.
Définitions. Les entiers ex , rx sont respectivement l’indice et l’excès de ramification en x.
Le morphisme f est : non ramifié en x si rx = 0, non ramifié si il est non ramifié en tout point,
isomorphisme si il y a un morphisme g : Y → X tel que g ◦ f = IdX , f ◦ g = IdY .
Une fonction sur X est un morphisme f : X → P1 de but la droite projective, dont l’ensemble
des pôles f −1 ({∞}) est discret. On note M (X) l’ensemble des fonctions sur X.
Corollaire Hi (holomorphie de l’inverse). —
alors son inverse g = f −1 : Y → X est holomorphe.
Si f : X → Y est bijective
b ⊃ X avec X surface de Riemann,
Si Singularités innexistantes. — Soit X
b \X discret et f a une extension fb : X
b → Y continue alors f est holomorphe. ⊔
X
⊓
b
b
b
b
De plus un tel f existe si Y est compacte et X \X ⊂ U ⊂ X, f (U) ⊂ V ⊂ Y , ouverts
de carte sans composante Ui de U d’image dense dans une composante de V.
Ao Application ouverte. — On a la partition ouverte X = Xc ∐ Xo en :
Xc = {x ∈ X | f constante près de x} et Xo =P
{x ∈ X |, f ouverte près de x} .
⊔
⊓
7
De plus si f est propre, le degré y 7→ degf (y) =
e
x∈f −1 (y) x
est localement constant.
Fh Factorisation. — Soit W, X, Y des surfaces de Riemann, k : X → Y, h :
W → X et g = k ◦ h. Alors si h est surjective ces applications sont holomorphes,
dès que deux d’entre elles le sont.
Démonstration. — Cela suit de la coScolie, de Fn et Hi ou D des rappels de 1.3.1, suivant que
l’application non supposée holomorphe est g, h ou k respectivement.
Commentaires bibliographiques
Sur l’introduction des surfaces de Riemann : [Cn]VI, [We]§4-6, [Gi]I, [Do]6.1.
4
5
7
en particulier tous les énoncés locaux.
Sans autre précision f : X → Y est un morphisme de surface de Riemann.
par Fn et C des rappels de 1.3.1