1.3.2 Surfaces de Riemann et morphismes, définitions et sorites

1.3.2 Surfaces de Riemann et morphismes, d´efinitions et sorites.
D´efinitions. Une carte1sur un espace topologique Xest la donn´ee de ϕ=(U, ϕ)
o`u ϕ:U → V est hom´eomorphisme, la coordonn´ee de la carte, de source un ouvert
U ⊂Xde X, l’ouvert de la carte, et but un ouvert V ⊂P1de la droite projective.
Soit (U1, ϕ1),(U2, ϕ2) deux cartes sur X, d’intersection not´ee :
U1,2=U1∩ U2=U2∩ U1=U2,1
Ces deux cartes sont (holomorphiquement) compatibles si l’application :
ψ2,1=ϕ2|U1,2◦(ϕ1−1)|ϕ1(U2,1):ϕ1(U2,1)→ϕ2(U1,2)
dite de transition de la carte ϕ2`a la carte ϕ1est holomorphe.
Un Atlas de Xest une famille Φ = ϕi= (Ui, ϕi)i∈Ide cartes deux `a deux
compatibles dont les ouverts couvrent X=∪i∈IUi.
D´efinition. Une surface de Riemann est un atlas Φ sur un espace topologique
s´epar´e X. Par abus on sous-entend l’atlas et plutˆot que X= (Φ, X), on la note X.
Scolie et D´efnition. — Soit ϕ= (U, ϕ) une carte sur un espace X, compatible
avec chaque carte d’une famille Φ =(ϕi=Ui, ϕi)i∈Ide carte sur X.
Alors pour tout ouvert U′⊂ U de l’ouvert de ϕet homographie h∈P GL2(C),
le couple h(ϕ)|U′=(U′, h ◦ϕ|U′) est une carte, dite sous-carte projective de ϕqui
est compatible avec toutes les sous-cartes projectives de Φ, ainsi tout atlas est
inclus dans un atlas contenant toute sous carte projective de ses cartes2.
Ainsi supposant d´esormais les atlas projectivement locaux, d’une part :
Tout point x∈Xd’une surface de Riemann est x∈U dans l’ouvert d’un carte
ux= (U, ux) de coordonn´ee ux, l’envoyant ux(x) = 0 au centre du disque unit´e D
et avec ux(U)=D. Une telle coordonn´ee u=uxest dite uniformisante3en xde X.
D’autre part si f:X→Yest continue entre surfaces de Riemann et x∈Xil
y a des uniformisantes en f(x)∈Yet x∈Xde Yet Xrespectivement :
vf(x):V → D, v(f(x))=0, ux:U → D, u(x) =0
dites paire (v, u)adapt´ee `a fen f(x)et xtelles que f(U)⊂ V. L’application :
fv,u =vf(x)◦f|U ◦u−1
x:D→D
du disque unit´e dans lui mˆeme, v´erifiant :
vf(x)◦f|U =fv,u ◦ux
est l’expression de fpour la paire (v, u)d’uniformisantes adapt´ees pour x∈X.
1(complexe projective)
2Un tel atlas est dit projectivement local.
3(locale) ou (centr´ee) (d´efinie sur l’ouvert U), pour hh Ortuniformisierende ii de [We].
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12 I Des fractions rationnelles aux surfaces de Riemann.
coScolie et D´efinition. — Soit f:X→Ycontinue entre surfaces de Riemann
et munie d’une famille (vi, ui)i∈Ide paires adapt´ees dont les expressions fvi,uisont
holomorphes et telles que X=∪i∈IUiest recouverte par les ouverts source des ui.
Alors, pour toute paire (v, u)adapt´ee, l’expression fv,u est holomorphe. ⊔⊓
L’application f:X→Yest alors dite holomorphe(ou morphisme)de Xvers Y.
Bien4des propri´es des fonctions holomorphes sur P1se traduisent5alors :
Forme normale et prolongement analytique. — Fn Soit x∈Xet vune
uniformisante en f(x). Alors il y a uniformisante uen xet rx∈N∪ {∞} tels que :
pour 6ex=rx+ 1,on a v=uex
Pa Si de plus Xest connexe et g6=f:X→Yest un morphisme distinct, de
mˆeme source et but que f, alors {x∈X|f(x)=g(x)}est discret.
D´efinitions. Les entiers ex, rxsont respectivement l’indice et l’exc`es de ramification en x.
Le morphisme fest : non ramifi´e en xsi rx=0, non ramifi´e si il est non ramifi´e en tout point,
isomorphisme si il y a un morphisme g:Y→Xtel que g◦f= IdX, f ◦g=IdY.
Une fonction sur Xest un morphisme f:X→P1de but la droite projective, dont l’ensemble
des pˆoles f−1({∞}) est discret. On note M(X) l’ensemble des fonctions sur X.
Corollaire Hi (holomorphie de l’inverse). — Si f:X→Yest bijective
alors son inverse g=f−1:Y→Xest holomorphe.
Si Singularit´ es innexistantes. — Soit b X⊃Xavec Xsurface de Riemann,
b
X\Xdiscret et fa une extension b f:b X→Ycontinue alors fest holomorphe. ⊔⊓
De plus un tel b fexiste si Yest compacte et b X\X⊂ U ⊂ b X, b f(U)⊂V ⊂Y, ouverts
de carte sans composante Uide Ud’image dense dans une composante de V.
Ao Application ouverte. — On a la partition ouverte X=Xc∐Xoen :
Xc={x∈X|fconstante pr`es de x}et Xo={x∈X|, f ouverte pr`es de x}.⊔⊓
De plus si fest propre, le degr´e y7→ degf(y)= Px∈f−1(y)exest7localement constant.
Fh Factorisation. — Soit W, X, Y des surfaces de Riemann, k:X→Y, h :
W→Xet g=k◦h. Alors si hest surjective ces applications sont holomorphes,
d`es que deux d’entre elles le sont.
D´emonstration. — Cela suit de la coScolie, de Fn et Hi ou Ddes rappels de 1.3.1, suivant que
l’application non suppos´ee holomorphe est g, h ou krespectivement.
Commentaires bibliographiques
Sur l’introduction des surfaces de Riemann : [Cn]VI, [We]§4-6, [Gi]I, [Do]6.1.
4en particulier tous les ´enonc´es locaux.
5Sans autre pr´ecision f:X→Yest un morphisme de surface de Riemann.
7par Fn et Cdes rappels de 1.3.1