Développement: Théorème de Frobenius-Zolotarev

Développement: Théorème de Frobenius-Zolotarev
Adrien Fontaine
4 avril 2013
Référence : Objectif Agrégation
Théorème 1
Soit p≥3un nombre premier et Vun Fpespace vectoriel de dimension finie. Alors, tout
u∈GL(V)est une permutation de Vdont on note ε(u)la signature. Le théorème de Frobenius-
Zolotarev affirme que
ε(u) = det(u)
p!
où (.
p)désigne le symbole de Legendre ((x p)=1si xest un carré dans Fpet −1sinon).
Démonstration : On sait que la restriction de εàGL(V)est un morphisme de groupes à valeurs
dans {−1,1}. Montrons le lemme suivant :
Lemme 1
Tout morphisme de GL(V)→ {−1,1}se factorise de manière unique par le déterminant.
Démonstration : Soit Φun morphisme de GL(V)dans {−1,1}. Comme p≥3, le groupe
dérivé de GL(V)est SL(V). Ainsi, on a Φ(SL(V)) = 1. En effet, soit v∈SL(V) =
D(GL(V)).vs’écrit par définition du groupe dérivé, sous la forme v=v1...vnoù les
visont des commutateurs (i.e de la forme vi=figif−1
ig−1 i). Par conséquent, Φ(vi) =
Φ(fi)Φ(gi)Φ(fi)−1Φ(gi)−1. Comme Z/2Zest commutatif, on a Φ(vi)=1et donc Φ(v)=1.
Donc, SL(V)⊂Ker(Φ).
SL(V) = D(GL(V)) donc SL(V)est distingué dans GL(V). Notons Πla surjection ca-
nonique de GL(V)dans SL(V). D’après le premier théorème d’isomorphisme, il existe un
morphisme Φ : Gl(V)/SL(V)→Z/2Ztel que Φ = Φ ◦Π.
Il s’agit maintenant d’exprimer Πen fonction du déterminant. On sait que le noyau du
déterminant est (par définition) SL(V).det étant un morphisme surjectif de GL(V)dans
F∗
p, on a, toujours d’après le premier théorème d’isomorphisme, l’existence d’un isomor-
phisme f:GL(V)/SL(V)→F∗
ptel que det =f◦Π. Et fétant un isomorphisme, on a
donc Π = f−1◦Π.
En conclusion, on a donc Φ = (Φ ◦f−1)◦det. En posant, g= Φ ◦f−1, on a donc montré
l’existence d’un g:F∗
p→Z/2Ztel que Φ = g◦det,i.e qui factorise Φpar le déterminant.
Prouvons maintenant l’unicité de g. On a Φ = g◦det. Soit g0tel que Φ = g0◦det. Soit
x∈F∗
p. Par surjectivité du déterminant, il existe a∈GL(V)tel que x=det(a). Alors,
g(x) = g◦det(a) = Φ(a) = g0◦det(a) = g0(x).
Le lemme que l’on vient de démontrer nous permet d’affirmer l’existence d’un unique morphisme
g:F∗
p→Z/2Ztel que ε=g◦det. Le lemme suivant nous permet de voir que gest soit le
morphisme trivial, soit le symbole de Legendre.
1

2
Lemme 2
Soit p≥3un nombre premier. Le symbole de Legendre (.
p) : F∗
p→ {−1,1}est l’unique morphisme
non trivial de F∗
pdans {−1,1}.
Démonstration : F∗
pest cyclique. Soit αun générateur de F∗ p. Alors, un morphisme σ:F∗ p→
{−1,1}est entièrement déterminé par σ(α). On a alors deux cas :
– Si σ(α)=1, alors ∀x∈F∗
p, σ(x)=1et donc σest le morphisme trivial.
– Si σ(α) = −1, alors pour tout x∈F∗
p,σ(x)=1, si, et seulement si, xest une
puissance paire de α. Or, les puissances paires de αsont exactement les carrés de
F∗
p, et donc σest le symbole de Legendre.
Il reste maintenant à voir que gest non trivial, et on aura alors montré que gest le symbole de
Legendre. Si gétait trivial, alors on aurait pour tout u∈GL(V),ε(u) = g(det(u)) = 1. Il s’agit
donc d’exhiber un élément u∈GL(V)tel que ε(u) = −1.
Notons dla dimension de Ven tant que Fpespace vectoriel. Alors, si q=pd,Vet Fqsont
isomorphes en tant que Fpespaces vectoriels. Il suffit donc de trouver une bijection de Fqqui soit
Fplinéaire et de signature -1. Soit βun générateur du groupe multiplicatif F∗
q. La multiplication
par βest clairement une bijection Fp-linéaire. Par ailleurs, elle est égale au cycle (β, β2, ..., βq−1)
qui est de taille q−1, et donc de signature (−1)q=−1.
gest donc le symbole de Legendre et donc :
∀u∈GL(V), ε(u) = det(u)
p