Intervalle de fluctuation Estimation

Terminale ES
Intervalle de fluctuation
Estimation
1
TES
Intervalle de fluctuation - Estimation
Intervalle de fluctuation
I Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%
Définition
Xn est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale
L’intervalle In =
− 1,96
; + 1,96
(n;p) avec 0 < p < 1.
est appelé un
intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la variable
aléatoire fréquence Fn =
.
Remarques :
• Fn prend ses valeurs dans In avec une probabilité qui tend vers 95%
lorsque n tend vers + ∞.
• On utilise cet intervalle dès que les conditions n ≥ 30, np ≥ 5 et n(1 – p) ≥ 5
sont remplies.
• Le nombre 1,96 est celui qui vérifie P(-1,96 ≤ Z ≤ 1,96) = 0,95 lorsque Z
suit N(0;1).
2
TES
Intervalle de fluctuation - Estimation
Intervalle de fluctuation
Exemple :
Si X suit la loi binomiale
100;0,3), alors l’intervalle de fluctuation asymptotique au
seuil de 95% de la fréquence est :
0,3 − 1,96
, × ,
; 0,3 + 1,96
, × ,
≈ [0,210;0,390].
3
TES
Intervalle de fluctuation - Estimation
Estimation
II De quoi s’agit-il ?
Pour des raisons de coût ou de faisabilité, on ne peut pas étudier toute la
population.
On sélectionne alors un échantillon de taille n de cette population.
On calcule la fréquence f des individus ayant une certaine propriété.
Et on estime alors la proportion p d’individus ayant cette propriété dans la
population complète à l’aide d’un intervalle de confiance déterminé à partir
de f selon un niveau de confiance 1 - α.
4
TES
Intervalle de fluctuation - Estimation
Estimation
III Intervalle de confiance
Xn est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale
(n;p) et Fn =
On admet que l’intervalle aléatoire
contient pour n assez
−
;
+
.
grand, la proportion p avec une probabilité supérieure ou égale à 0,95.
A partir de cet intervalle aléatoire, on obtient, en calculant la fréquence f
dans un échantillon de taille n, une réalisation
−
; +
de cet
intervalle.
Définition
L’intervalle
−
; +
est appelé un intervalle de confiance de
la proportion inconnue p avec un niveau de confiance 0,95.
5
TES
Intervalle de fluctuation - Estimation
Estimation
Exemple
Une enseigne souhaite estimer la proportion p de clients satisfaits de
ses services au niveau de confiance de 0,95.
Elle interroge pour cela un échantillon aléatoire de 780 clients.
85% des clients de cet échantillon se déclarent satisfaits.
0,85 −
; 0,85 +
≈ [0,814;0,886].
On peut affirmer qu’avec un niveau de confiance de 0,95, entre 81% et
89% de ses clients sont satisfaits.
Taille minimale de l’échantillon pour avoir une précision donnée
L’amplitude de l’intervalle de confiance à 95% est
.
Si l’on souhaite situer p dans un intervalle de longueur donnée l, alors :
≤
d’où
:
"
≥
#²
6