Intervalle de fluctuation Estimation

Terminale ES
Intervalle de fluctuation
Estimation
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TES Intervalle de fluctuation - Estimation
Intervalle de fluctuation
Xnest une variable aléatoire qui suit la loi binomiale (n;p) avec 0 < p < 1.
L’intervalle In=  − 1,96  
;  + 1,96   est appelé un
intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la variable
aléatoire fréquence Fn = 
.
Définition
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I Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%
Remarques :
•Fnprend ses valeurs dans Inavec une probabilité qui tend vers 95%
lorsque n tend vers + ∞.
•On utilise cet intervalle dès que les conditions n ≥ 30, np ≥ 5 et n(1 – p) ≥ 5
sont remplies.
•Le nombre 1,96 est celui qui vérifie P(-1,96 ≤Z ≤1,96) = 0,95 lorsque Z
suit N(0;1).

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Intervalle de fluctuation
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Exemple :
Si X suit la loi binomiale 100;0,3), alors l’intervalle de fluctuation asymptotique au
seuil de 95% de la fréquence est :
0,3 − 1,96 ,×,
 ; 0,3 + 1,96 ,×,  ≈[0,210;0,390].

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Estimation
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II De quoi s’agit-il ?
Pour des raisons de coût ou de faisabilité, on ne peut pas étudier toute la
population.
On sélectionne alors un échantillon de taille n de cette population.
On calcule la fréquence fdes individus ayant une certaine propriété.
Et on estime alors la proportion pd’individus ayant cette propriété dans la
population complète à l’aide d’un intervalle de confiance déterminé à partir
de fselon un niveau de confiance 1 - α.

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III Intervalle de confiance
Xnest une variable aléatoire qui suit la loi binomiale (n;p) et Fn= 
.
On admet que l’intervalle aléatoire 
− 
; 
+
contient pour n assez
grand, la proportion pavec une probabilité supérieure ou égale à 0,95.
A partir de cet intervalle aléatoire, on obtient, en calculant la fréquence f
dans un échantillon de taille n, une réalisation  − 
; +  de cet
intervalle.
L’intervalle  − 
; +  est appelé un intervalle de confiance de
la proportion inconnue pavec un niveau de confiance 0,95.
Définition