PROBABILITES

PROBABILITES
Généralités
Exemples
B Une urne contient trois boules blanches et deux boules vertes. On tire simultanément et au hasard
quatre boules de l'urne.
1. Quelle est la probabilité de tirer quatre boules d'une même couleur ?
2. Quelle est la probabilité de tirer des boules des deux couleurs ?
3. Quelle est la probabilité d'obtenir un tirage tricolore ?
C
On dispose d'un dé pipé. Si l'on note pi la probabilité d'apparition de la face n°i (1 ≤ i ≤ 6), on sait
que les nombres pi sont les termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison 1/18.
1. Déterminer les probabilités pi.
2. Ce dé est utilisé par deux joueurs A et B dans les conditions suivantes : pour chacun des
lancers, si un numéro pair sort, A gagne. Si un numéro impair sort, B gagne.
A quel joueur le jeu est-il le plus favorable ?
D
Dans une classe de Terminale S, 88% des élèves ont déclaré aimer l'étude des sciences naturelles,
20% des mathématiques, 15% des sciences naturelles et des mathématiques.
Quelle est la probabilité de tirer au hasard un élève de cette classe qui :
1. aime les sciences naturelles, mais pas les mathématiques ?
2. aime les mathématiques, mais pas les sciences naturelles ?
3. n'aime, ni les sciences naturelles, ni les mathématiques ?
E
Un dé pipé comporte six faces numérotées de 1 à 6. Les probabilités d'obtenir les différentes faces
sont proportionnelles aux numéros portés par ces faces.
1. Calculer la probabilité d'obtenir chacune des faces.
2. Calculer la probabilité de l'événement P : « obtenir une face paire ».
3. Calculer la probabilité de l'événement T : « obtenir une face multiple de 3 ».
4. Calculer la probabilité de l'événement E : « obtenir une face paire ou multiple de 3 ».
F
Chez un pâtissier, il y a 5 éclairs au chocolat, 3 meringues et 4 tartelettes. Chloé décide de
prendre au hasard un gâteau. Quelle est la probabilité pour qu’elle ait une meringue ?
G
Dans une classe de terminale S, il y a onze filles et douze
garçons. Le professeur de mathématiques désigne au hasard
un élève pour corriger un exercice. Quelle est la probabilité
pour que cet élève soit une fille ?
H
On considère la figure ci-contre constituée d’un cercle de
centre O et de trois triangles OAC, OBC et ABC. On tire au
hasard l’un de ces triangles. Quelle est la probabilité pour
qu’il soit isocèle ?
C
A
O
B
Exercices à préparer à la maison
I
On lance simultanément deux dés, l’un vert et l’autre blanc.
Quelle est la probabilité pour que la somme des faces tirées soit inférieure à 20 ?
Quelle est la probabilité pour que la somme des faces tirées soit égale à 1 ?
Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre positif sur le dé vert ?
Quelle est la probabilité d'obtenir un 3 sur le dé rouge ?
1.
2.
3.
4.
J
Une cible est fabriquée en traçant des cercles concentriques de rayons 2, 4, 6, 8 et 10 cm. Elle est
donc constituée de cinq zones, un disque et quatre couronnes, numérotées de 1 à 5 à partir du
centre de la cible. On admet qu'un joueur atteint toujours cette cible et que la probabilité
d'atteindre une des cinq zones est proportionnelle à l'aire de cette zone. Calculer la probabilité
d'atteindre chacune de ces zones.
PROBABILITES
1
P.G. 2007/2008
PROBABILITES
1)
Un club de vacances comprend 100 touristes. Un sondage donne le résultat suivant :
Pratique un sport
Ne pratique pas un sport
Homme
48
16
Femme
12
24
On choisit un touriste au hasard. Quelle est la probabilité que ce soit un homme ? une femme ?
qu'il pratique un sport ? qu'il n'en pratique pas ? ou bien que ce soit un homme ou bien qu'il
pratique un sport ?
1!
Un dé a été truqué de telle sorte que la probabilité de sortie du 6 soit le triple de la probabilité de
sortie du 1. Les numéros 1, 2, 3, 4 et 5 ont la même probabilité de sortie.
1. Calculer la probabilité de sortie de chaque numéro.
2. Calculer la probabilité de l'événement I : « obtenir une face impaire ».
3. Calculer la probabilité de l'événement T : « obtenir une face multiple de 3 ».
4. Calculer la probabilité de l'événement E : « obtenir une face impaire ou multiple de 3 ».
Probabilités conditionnelles
Exemples
1@ Une urne contient cinq boules : deux rouges marquées 1 et 2, trois vertes marquées 1, 2 et 3. On
tire au hasard une boule de l'urne.
1. Quelle est la probabilité de tirer un n° 3 ?
2. Quelle est la probabilité de tirer un n° 3 sachant que la boule tirée est rouge ?
3. Quelle est la probabilité de tirer un n° 3 sachant que la boule tirée est verte ?
1#
Deux employés, Jean et Yves, ont une probabilité d'absences simultanées de 0,04. Jean s'absente
avec une probabilité de 0,1. Quelle est la probabilité pour que Yves s'absente, sachant que Jean
est absent ?
1$
On tire une carte au hasard dans un jeu ordinaire de trente-deux cartes. Dire si les événements A
et B suivants sont indépendants :
1. A : Tirer un roi ; B : Tirer une rouge.
2. A : Tirer un roi ; B : Tirer une figure.
1%
Un tireur à l'arc débutant a une probabilité de 0,8 de toucher la cible à chaque tir. On suppose les
résultats de deux tirs consécutifs indépendants. S'il tire deux fois, quelle est la probabilité qu'il
touche la cible deux fois ? une seule fois ? zéro fois ? Que peut-on vérifier ?
Exercices à préparer à la maison
1^
Une urne contient trois cartes bien particulières : la première a ses deux faces rouges, la deuxième
ses deux faces blanches et la troisième a une face blanche et une face rouge. On tire une carte au
hasard dans cette urne ; l'une des faces est rouge. Quelle est la probabilité que l'autre face soit
rouge ?
1&
On lance deux fois un dé bien équilibré. Les événements A et B suivants sont-ils indépendants ?
1. A : 2 sort en premier. B : 3 sort en second.
2. A : 6 sort en premier. B : 6 sort deux fois.
3. A : 6 sort une fois.
B : 1 sort une fois.
1*
Deux trains doivent arriver à la gare à la même heure. Sachant que le premier a la probabilité 0,9
de ne pas être en retard et le second la probabilité 0,8 de ne pas être en retard, quelle est la
probabilité pour qu'au moins un des trains ne soit pas en retard ? (On admet que les arrivées des
deux trains sont des événements indépendants.)
PROBABILITES
2
P.G. 2007/2008
PROBABILITES
Arbres et probabilités totales
Exemples
1(
Considérons une urne U1 contenant 2 boules rouges et une verte et une urne U2 contenant 2
boules blanches et une rouge.
On tire au hasard une boule de l’urne U1 et on la place dans l’urne U2.
On tire ensuite au hasard une boule de l’urne U2. Quelle est la probabilité pour que cette boule
soit rouge ?
2)
On lance un dé bien équilibré. Si le résultat est un multiple de 3, on extrait une carte au hasard
d’un jeu de 32 cartes. Si le résultat n’est pas multiple de 3, on extrait une carte au hasard d’un jeu
de 52 cartes. Quelle est la probabilité de tirer ainsi :
1. le valet de carreau ?
2. un pique ?
3. le 2 de cœur ?
2!
Une urne A contient deux boules rouges et une verte. Une urne B contient une boule rouge et 3
vertes. Une urne C contient une boule rouge et une verte. On tire au hasard de l’urne A une boule
que l’on place dans l’urne B. On tire au hasard de l’urne B une boule que l’on place dans l’urne
C. Enfin, on tire au hasard une boule de l’urne C. Réaliser un arbre probabiliste. Quelle est la
probabilité que cette dernière boule soit verte ?
Exercices à préparer à la maison
2@
Monsieur X prend son parapluie en partant le matin avec une probabilité de :
• 1 s'il pleut ;
• 0,6 s'il y a des nuages ;
• 0,2 si le ciel est bleu.
Dans la ville où réside Monsieur X, le temps au petit jour, au cours du mois de janvier, suit la loi
suivante :
temps
probabilité
pluie
0,2
nuages
0,5
ciel bleu
0,3
Calculer la probabilité que Monsieur X parte en emportant son parapluie le 17 janvier 2007.
2#
Une urne contient 2 boules vertes et 3 bleues.
On tire successivement 2 boules sans remise.
Quelle est la probabilité que la deuxième boule tirée soit verte ? bleue ?
2$
Une dame nourrit son chat Gédéon à l'aide d'aliments en boîte. Chaque jour, elle choisit au hasard
l'une des trois variétés : volaille, bœuf, lapin.
• Si on lui sert de la volaille, Gédéon finit toujours sa gamelle.
• Si on lui sert du bœuf, il finit sa gamelle avec une probabilité de 1/2.
• Si on lui sert du lapin, il finit sa gamelle avec une probabilité de 1/3 seulement.
1. Quelle est la probabilité qu'un jour donné Gédéon finisse sa gamelle ?
2. On suppose que le choix des boîtes est indépendant d'un jour à l'autre. Quelle est la probabilité
que Gédéon ne termine pas sa gamelle deux jours de suite ?
PROBABILITES
3
P.G. 2007/2008
PROBABILITES
Probabilités des causes
Exemples
2%
M. Durand, utilisateur d’informatique se fournit en CD-ROM vierges chez deux fournisseurs :
Dupont et Pondu.
95 % des CD-ROM fournis par Dupont sont exempts de défaut, alors que 10 % des CD-ROM
fournis par Pondu sont défectueux.
M. Durand achète 30 % de ses CD-ROM chez Dupond et le reste chez Pondu (ils sont moins
chers !).
1. Faire un arbre probabiliste décrivant la situation.
2. Calculer la probabilité pour qu’un CD-ROM donné soit défectueux.
3. Un CD-ROM est défectueux. Calculer la probabilité pour qu’il provienne de chez Dupont.
4. Réaliser l’arbre « à l’envers ».
2^
Une urne A contient 2 boules blanches et 3 boules noires.
Une urne B contient 2 boules blanches et 1 boule noire.
On tire au hasard une boule de l’urne A et on la place dans l’urne B, puis on tire au hasard une
boule de l’urne B.
Urne A
Urne B
1. Faire un arbre probabiliste décrivant la situation.
2. Calculer la probabilité pour que la boule tirée de l’urne B soit blanche.
3. La boule tirée de l’urne B est blanche. Quelle est la probabilité pour que la boule provenant de
l’urne A soit également blanche ?
Exercice à préparer à la maison
2&
Voici un arbre probabiliste. Retourner l’arbre (rechercher les « probabilités des causes »).
B
A
0,8
0,3
B
0,4
B
A
B
PROBABILITES
4
P.G. 2007/2008