32 Cours - Probabilités.nb

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Probabilités
HWL, expérience aléatoire, univers, évènement, évènement réalisé, évènement élémentaire (impossible, certain, contraire),
A ou B, A et B, évènements incompatibles, A implique B, système complet d’évènements, univers fini, probabilité,
espace probabilisé, probabilité uniforme, modéliser une expérience aléatoire, loi de probabilité sachant B, PB , PB HAL,
formule des probabilités composées (totales), évènements indépendants, indépendance mutuelle
I) Expérience aléatoire, univers, évènements
II) Espace probabilisé fini
III) Probabilités conditionnelles
IV) Evénements indépendants
HWL est l’ensemble des parties de l’ensemble W .
I) Expérience aléatoire, univers, évènements
1) Expérience aléatoire, univers
(1) Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard.
(2) On appelle univers l’ensemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire. L’univers est souvent noté W .
2) Evènement
• Un évènement d’une expérience aléatoire est une partie de son univers W.
• L’évènement A se produit (ou se réalise) lorsque le résultat de l’expérience aléatoire est un élément de A.
Un évènement est parfois décrit de manière implicite à partir de l’expérience aléatoire.
Si Expérience = lancer trois fois de suite une pièce; Evènement A = obtenir exactement deux fois face :
Univers: W={(P,P,P),(P,P,F),(P,F,P), (P,F,F), (F,P,P),(F,P,F),(F,F,P), (F,F,F)}; A= {(P,F,F),(F,P,F),(F,F,P)}
3) Vocabulaire évènementiel
Soient W l'univers associé à une expérience aléatoire et A, B, Ai , des évènements. Alors:
(1) Un évènement élémentaire A est un singleton de W, c’est à dire un évènement A tel que cardHAL = 1.
(3) L’évènement W est appelé évènement certain.
(2) L’évènement « est appelé évènement impossible.
(4) L’évènement A ou B est l’évènement A ‹ B
n
(6) L’évènement A1 ou A2 ou ... ou An est l’évènement ‹ Ai
i=1
(5) L’évènement A et B est l’évènement A › B
n
(7) L’évènement A1 et A2 et ... et An est l’évènement › Ai
(8) L’évènement contraire de l’évènement A est l’évènement A égal au complémentaire de A dans W.
(9) Les évènements A et B sont incompatibles (ou disjoints) lorsque A › B = « .
(10) L’évènement A entraîne (ou implique) l’évènement B lorsque A Õ B.
Attention: deux évènements distincts ne sont pas en général incompatibles
i=1
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4) Modélisations ensemblistes usuelles
Soient A et B deux évènements. Alors:
(1) A ‹ B modélise l’évènement “A s’est produit ou B s’est produit (ou les deux)”
(2) A › B modélise l’évènement “A et B se produisent simultanément”
(3) A \ B modélise l’évènement “A s’est produit mais pas B”. On rappelle que A \ B = A › B
(4) A modélise l’évènement “A n’a pas eu lieu”
Par exemple, si A, B sont deux évènements, alors C = “A ou (exclusif) B se produit” = HA\BL ‹ HB\AL
5) Exercices
6) Système complet d’évènements
La famille HA1 , ..., An L d’évènements de l’univers W est un système complet d’évènements (un SCE en abrégé) de W
ñ HA1 , A2 , ..., , An L forme une partition de l’univers W
ñ Les évènements Ai sont deux à deux incompatibles et leur réunion est l’évènement certain W
On lance deux fois de suite un dé à 6 faces. Donner des exemples de SCE avec les évènements suivants:
P = La somme des deux dés est paire
Sk = la somme des deux dés est k
D = les deux dés sont différents
IP, PM, HS2 , S3 , S4 , ..., S12 L , IP › D, P › D, PM forment des SCE .
II) Espace probabilisé fini
Un univers fini est un univers comportant un nombre fini d’éléments.
1) Probabilité, espace probabilisé
Une probabilité P sur un univers fini W est une application P : HWLö @0, 1D qui vérifie:
(1) P HWL = 1 et (2) Pour tous les évènements A et B incompatibles (disjoints) de W, P HA ‹ BL = P HAL + P HBL
Le couple HW, PL est alors appelé espace probabilisé.
2) Définition d’une probabilité à l’aide des évènements élémentaires
(1) Une probabilité P sur W est parfaitement déterminée par les probabilités P H8w<L des évènements élémentaires w œ W.
ö Plus précisément, pour tout évènement A on a P HAL =
S P H8w<L
wœA
HaL " i œ 81, ..., n<, pi œ @0, 1D
(2) Si W = 8w1 , ..., wn < et si on note pi = P H8wi <L, on doit avoir: (*)
n
HbL S pi = 1
.
i=1
ö Ces conditions (*) sont nécessaires et suffisantes pour définir parfaitement l’espace probabilisé HW, PL
Chaque évènement est la réunion disjointe des singletons de ses éléments, alors, avec la propriété (2) de la définition, pour tout évènement A, PHAL =
S PH8w<L
wœA
n
n
n
i=1
i=1
i=1
Comme W = ‹ 8wi < (réunion disjointe) et que P HWL = 1 alors avec (2), 1 = PHWL = S PH8wi <L = S pi .
1
2
3
4
; P H82<L =
; P H83<L =
; P H84<L =
. Ces conditions définissent une probabilité
10
10
10
10
1
2
3
4
2
4
3
1
3
2
car
+
+
+
= 1. On aura, P H82, 4<L =
+
= et P(le résultat est impair) =
+
= .
10 10 10 10
10 10
5
10 10
5
Par exemple: W = {1,2,3,4} ; P H81<L =
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3) Probabilité uniforme
L’application P : HWL ö @0, 1D définie par: " A œ HWL, PHAL =
card HAL
est une probabilité sur l’univers W.
card HWL
On l’appelle probabilité uniforme sur W.
Lorsque tous les résultats d'une expérience aléatoire ont la même probabilité d'être réalisé, c'est la loi de probabilité uniforme qui
sera choisie pour modéliser l'expérience aléatoire.
PHWL =
card HWL
card HWL
= 1 et " A, B deux parties disjointes de HWL, PHA ‹ BL =
card HA‹BL
=
card HAL+card HBL
card HWL
card HWL
Cette probabilité est appelée probabilité uniforme car: " w œ W, PH8w<L =
= PHAL + PHBL .
card H8w<L
1
=
: tous les évènements
card HWL
card HWL
élémentaires ont la même probabilité.
On peut retenir pour la probabilité uniforme P que: " A œ HWL, PHAL =
card HAL
nombre de cas favorables
=
.
card HWL
nombre total de cas
Expérience = Lancer deux fois de suite un dé à 6 faces; Univers: W = {1,...,6}ä{1,...,6} (cardHWL = 36)
Loi de probabilité : probabilité uniforme ; P(la somme des dés est 10) = P H8H4, 6L, H5, 5L, H6, 4L<L = 3 ê 36.
4) Propriétés d’une probabilité
Soit P une probabilité sur un univers W. Alors:
(1) P H«L = 0
(2) " A œ HWL, PHAL = 1 - P HAL
(probabilité de l’évènement contraire)
(3) " A, B œ HWL, A Õ B fl PHAL b PHBL
(la probabilité est croissante)
(4) " A, B œ HWL, P HA ‹ BL = P HAL + P HBL - P HA › BL
(probabilité d’une réunion)
n
n
i=1
i=1
(5) " A1 , A2 , ..., An des évènements de W deux à deux disjoints, P ‹ Ai = S P HAi L (probabilité d’une réunion disjointe)
Pour (4): A ‹ B est la réunion disjointe de B et de A \ B donc P HBL + P HA\BL = P HA ‹ BL
Et A est la réunion disjointe de A › B et de A\B, donc P HAL = P HA › BL + P HA\BL . D’où (4) en combinant ces deux égalités.
5) Exercice
6) Modélisation d’expériences aléatoires
Modéliser une expérience aléatoire c’est définir un espace probabilisé HW, PL adapté permettant de résoudre des problèmes
associés à cette expérience aléatoire.
Modéliser les expériences aléatoire suivantes:
a) Lancer 10 fois de suite une pièce équilibrée et observer la face visible: W = 8P, F<10 ; P = probabilité uniforme.
b) Battre un jeu de n cartes numérotées de 1 à n et décrire l’ordre des cartes (de la première à la nième ) :
W = {permutations de 81, 2, ..., n<}; P = probabilité uniforme .
7) Jeu de Monty Hall
8) Exercices
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III) Probabilités conditionnelles
1) Théorème, définition, notation, lecture
Soient HW, PL un espace probabilisé et B œ HWL un évènement de probabilité non nulle (PHBL > 0). Alors:
P HA›BL
est une loi de probabilité sur W.
P HBL
L’application PB définie sur HWL par: " A œ HWL, PB HAL =
La loi de probabilité PB est applelée loi de probabilité sachant B. On note également PB HAL = P HA BL.
PB HAL est souvent lue “P de A sachant B” mais il vaut mieux lire “P sachant B de A”. On fait ainsi clairement référence à la
loi de probabilité PB .
2) “Justification” de la définition de la loi de probabilité PB
Dans le cas où P est la probabilité uniforme, PB HAL est la probabilité de réaliser l’évènement A sachant que l’évènement B est
réalisé, c’est à dire que l’expérience aléatoire ait son résultat dans A sachant que ce résultat est dans B. Cette probabilité p est
p=
card HA›BL
card HA›BL card HWL
P HA›BL
=
ä
=
= PB HAL.
card HBL
card HWL
card B
P HBL
3) Exemple
On lance deux dés dés. Quelle est la probabilité p d'obtenir au moins un 4 sachant que la somme des deux dés vaut 7 ? Quelle est
la probabilité q d’obtenir une somme de 7 sachant qu’au moins un des deux dés vaut 4 ?
W = 81, ..., 6<2 ; Proba uniforme; A={(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(1,4),(2,4),(3,4)(5,4),(6,4)};
B={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}; A›B={(3,4),(4,3)} ; p = PB HAL =
P HA›BL
PHB›AL
2
1
2
= = . q = PA HBL =
=
.
P HBL
6
3
PHAL
11
4) Premières propriétés
Comme PB est une loi de probabilité sur W, alors:
Soit B œ HWL tel que P HBL > 0. Alors:
(1) " A œ HWL, PB HAL = 1 - PB HAL
(2) " A, C œ HWL, PB HA ‹ CL = PB HAL + PB HCL - PB HA › CL
5) Formule des probabilités composées
Soient HW, PL un espace probabilisé et A1 , ..., An œ HWL tels que P HA1 › A2 › ... › An-1 L ∫ 0. Alors:
P HA1 › A2 › ... › An L = P HA1 L › PA HA2 L PA ›A HA3 L ... PA ›A ›...›A
HAn L .
1
1
2
1
2
n-1
Cette formule est la formule des probabilités composées.
Cas particulier : pour n = 2, on obtient: " A, B œ HWL Havec PHBL ∫ 0L, PHA › BL = P HBL PB HAL
a) Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires. On tire successivement (sans remise) trois boules. Calculer la
probabilité p pour que les trois boules tirées soient blanches.
Notons Bk (respectivement Nk ) les évènements: la kième boule tirée est blanche ( resp. noire).
4
3
2
1
Alors p = P HB1 › B2 › B3 L = P HB1 L PB1 HB2 L PB ›B HB3 L =
ä ä = .
1
2
10 9 8
30
b) Une urne contient 3 boules jaunes et 4 boules bleues. On tire au hasard, successivement et sans remise, 4 boules.
Calculer la probabilité p pour que les boules tirées soient dans l’ordre de couleurs: Jaune Bleu Jaune Bleu
Notons Jk (respectivement Bk ) les évènements: la kième boule tirée est jaune ( resp. bleue).
3
4
2
3
3
Alors p = P HJ1 › B2 › J3 › B4 L = P HJ1 L PJ HB2 L PJ ›B HJ3 L PJ ›B ›J HB4 L = ä ä ä =
.
1
1
2
1
2
3
7 6 5 4
35
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6) Formule des probabilités totales
Soient A1 , ..., An œ HWL un système complet d’évènements de W de probabilités non nulles. Alors:
n
" B œ HWL, PHBL = S PIAk M PA HBL (Formule des probabilités totales).
k=1
En particulier: si PHAL œD 0, 1@, alors
k
" B œ HWL, PHBL = P HAL PA HBL + P HAL PA HBL
a) Une urne contient b boules blanches et n boules noires. On tire successivement (sans remise) trois boules. Calculer la
probabilité p pour que la seconde boule tirée soit noire. On note: Bk (resp. Nk ) : la kième boule tirée est blanche ( resp. noire).
HB1 , N1 L forme un SCE . PHB2 L = PHB1 L PB HB2 L + PHN1 L PN HB2 L =
1
1
b Hb+n-1L
b
b-1
n
b
+
=
.
b+n b+n-1 b+n b+n-1 Hb+nL Hb+n-1L
b)
7) Formules de Bayes
a) Première formule de Bayes (Inversion des conditionnements)
Soient HW, PL un espace probabilisé et A, B deux évènements de probabilité non nulle. Alors PB HAL =
PA HBL P HAL
P HBL
.
b) Seconde formule de Bayes
Soient HW, PL un espace probabilisé et A1 , ..., An un système complet d’évènements de W de probabilités non nulles.
Soit B un évènement de probabilité non nulle. Alors: " i œ 81, ..., n<, " B œ HWL, PB HAi L =
P HAi L PA HBL
i
n
S P HAk L PA HBL
k=1
k
On peut interpréter cette formule de la manière suivante: si on connait la probabilité de réalisation d’un évènement B sous
différentes causes Ak formant un SCE, alors on peut calculer la probabilité pour que B soit la cause de l’un des Ai .
On peut “retenir” cette formule par PB HAi L =
formule des probas composées
formule des probas totales
Deux urnes U1 et U2 contiennent des boules blanches et noires:
• U1 contient 3 boules blanches et 1 boule noire
• U2 contient 2 boules blanches et 6 boules noires
1
2
On choisit une urne au hasard. La probabilité de choisir U1 est de , la probabilité de choisir U2 est de . Puis on tire au hasard
3
3
une boule de l’urne choisie. Sachant que la boule tirée est blanche, quelle est la probabilité qu’elle viennent de l’urne U1 ?
Comme HU1 , U2 L forme un SCE, alors PB HU1 L =
PHU1 L PU HBL
1
PHU1 L PU HBL+PHU2 L PU HBL
1
2
=
H1ê3L H3ê4L
3
= .
H1ê3L H3ê4L+H2ê3L H2ê8L
5
c) Exercices
IV) Evénements indépendants
1) Indépendance de deux évènements
Soient HW, PL un espace probabilisé. Deux évènements A et B sont indépendants ñ P HA › BL = P HAL P HBL
2) Interprétation
On remarque que (si PHAL ∫ 0 et PHBL ∫ 0) alors P HA › BL = P HAL P HBL ñ PA HBL = P HBL ñ PB HAL = P HAL . Donc:
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(1) Les évènements A et B sont indépendants ñ la réalisation de l’un de ces deux évènements n’est pas influencée par l’autre.
(2) Si PHBL > 0 alors A et B sont indépendants ñ PB HAL = P HAL.
3) Une hypothése implicite
L’indépendance est souvant une hypothèse implicite dans des situations de modélisation; par exemple:
(1) Deux lancers successifs d’un dé sont indépendants
(2) Deux tirages successifs avec remise d’une boule dans une urne ou d’une carte dans un jeu sont indépendants.
4) Exemples
a) On lance 5 fois de suite une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité pour que “face” apparaisse pour la première fois au
1
troisième lancer ? On note: Pk (resp.) Fk : On obtient pile (resp. face) au kième lancer”. On a P IPk M = P IFk M =
2
Alors: E: “face apparaisse pour la première fois au troisième lancer” = P1 › P2 › F3 . Comme les lancers sont indépendants,
P HEL = P HP1 L P HP2 L P HF3 L =
1
8
b) On lance deux dés. On note:
A: “Le premier dé donne 4”
B: “Le second dé donne 3”
C: “la somme des deux dés est 7” D: “la somme des deux dés est 8”
a) Deux des trois évènements A, B, C sont-ils indépendants ?
b) D est-il indépendant avec A, B ou C ?
6
6
6
1
1
1
; PHBL =
; P HCL =
; PHA › BL =
; P HA › CL =
, P HB › CL =
.
a) P HAL =
36
36
36
36
36
36
6 6
1
Les évènements A, B, C sont deux à deux indépendants car
=
.
36 36
36
5
1
b) P HDL =
; P HA › DL = P HB › DL =
et P HC › DL = 0. L’évènement D est indépendant avec aucun des trois autres.
36
36
5) Propriétés
Soient A et B deux évènements. Alors:
A et B sont indépendants ñ A et B sont indépendants ñ A et B sont indépendants ñ A et B sont indépendants.
Par exemple: PIA › BM = PHAL - PHA › BL = PHAL - PHAL PHBL = PHAL H1 - PHBLL = PHAL PHBL
6) Indépendance mutuelle de plusieurs évènements
Soient HW, PL un espace probabilisé et A1 , ..., An œ HWL. Alors:
Les n évènements A1 , ..., An sont mutuellement indépendants
ñ
Pour toute partie {i1 , ..., ik < de 81, ..., n<, P IAi › Ai › ... › Ai M = P IAi M P IAi M ... P IAi M
1
2
k
1
2
k
Les évènements A, B, C sont indépendants ñ P HA › BL = P HAL P HBL et P HB › CL = P HBL P HCL et P HA › CL = P HAL P HCL et
P HA › B › CL = P HAL P HBL P HCL
Attention: Pour n r 3, n évènements mutuellement indépendants sont deux à deux indépendants mais la réciproque est fausse.
On lance deux dés. On note: A: “Le premier dé donne 4”
B: “Le second dé donne 3” C: “la somme des deux dés est 7”
Les trois évènements A, B, C sont-ils mutuellement indépendants ?
P HA › B › CL =
1
6 3
1
mais P HAL P HBL P HCL = J N =
, donc les trois évènements A, B, C ne sont pas mutuellement
36
36
216
indépendants (alors qu’ils sont 2 à deux indépendants)
7) Exercices