32 Cours - Probabilités.nb

Probabilités
H
W
L
, expérience aléatoire, univers, évènement, évènement réalisé, évènement élémentaire (impossible, certain, contraire),
A ou B, A et B, évènements incompatibles, A implique B, système complet d’évènements, univers fini, probabilité,
espace probabilisé, probabilité uniforme, modéliser une expérience aléatoire, loi de probabilité sachant
B
, P
B
, P
B
H
A
L
,
formule des probabilités composées (totales), évènements indépendants, indépendance mutuelle
I) Expérience aléatoire, univers, évènements II) Espace probabilisé fini
III) Probabilités conditionnelles IV) Evénements indépendants
H
W
L
est l’ensemble des parties de l’ensemble W .
I) Expérience aléatoire, univers, évènements
1) Expérience aléatoire, univers
(1) Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard.
(2) On appelle univers l’ensemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire. L’univers est souvent noté W .
2) Evènement
• Un évènement d’une expérience aléatoire est une partie de son univers W.
• L’évènement
A
se produit (ou se réalise) lorsque le résultat de l’expérience aléatoire est un élément de
A
.
Un évènement est parfois décrit de manière implicite à partir de l’expérience aléatoire.
Si Expérience = lancer trois fois de suite une pièce; Evènement A = obtenir exactement deux fois face :
Univers: W={(P,P,P),(P,P,F),(P,F,P), (P,F,F), (F,P,P),(F,P,F),(F,F,P), (F,F,F)}; A= {(P,F,F),(F,P,F),(F,F,P)}
3) Vocabulaire évènementiel
Soient W l'univers associé à une expérience aléatoire et A,B,A
i
, des évènements. Alors:
(1) Un évènement élémentaire
A
est un singleton de W, c’est à dire un évènement
A
tel que card
H
A
L
=1.
(2) L’évènement « est appelé évènement impossible. (3) L’évènement W est appelé évènement certain.
(4) L’évènement A
ou
B est l’évènement A
‹
B(5) L’évènement
A
et
B
est l’évènement A
›
B
(6) L’évènement A
1
ou A
2
ou ... ou A
n
est l’évènement
‹
i
=
1
n
A
i
(7) L’évènement
A
1
et A
2
et ... et A
n
est l’évènement
›
i
=
1
n
A
i
(8) L’évènement contraire de l’évènement
A
est l’évènement A égal au complémentaire de
A
dans W.
(9) Les évènements
A
et
B
sont incompatibles (ou disjoints) lorsque A
›
B= « .
(10) L’évènement
A
entraîne (ou implique) l’évènement
B
lorsque AÕB.
Attention: deux évènements distincts ne sont pas en général incompatibles
32 Cours - Probabilités.nb 1/6

4) Modélisations ensemblistes usuelles
Soient
A
et
B
deux évènements. Alors:
(1) A
‹
B modélise l’évènement “
A
s’est produit ou
B
s’est produit (ou les deux)”
(2) A
›
B modélise l’évènement “
A
et
B
se produisent simultanément”
(3) A\B modélise l’évènement “
A
s’est produit mais pas
B
”. On rappelle que
A
\B=A
›
B
(4) A modélise l’évènement “
A
n’a pas eu lieu”
Par exemple, si A,B sont deux évènements, alors C = “
A
ou (exclusif)
B
se produit” =
H
A\B
L
‹
H
B\A
L
5) Exercices
6) Système complet d’évènements
La famille
H
A
1
, ..., A
n
L
d’évènements de l’univers W est un système complet d’évènements (un SCE en abrégé) de W
ñ
H
A
1
,A
2
, ..., , A
n
L
forme une partition de l’univers W
ñ Les évènements
A
i
sont deux à deux incompatibles et leur réunion est l’évènement certain W
On lance deux fois de suite un dé à 6 faces. Donner des exemples de SCE avec les évènements suivants:
P = La somme des deux dés est paire S
k
=la somme des deux dés est k D = les deux dés sont différents
I
P,P
M
,
H
S
2
,S
3
,S
4
, ..., S
12
L
,
I
P
›
D,P
›
D,P
M
forment des SCE .
II) Espace probabilisé fini
Un univers fini est un univers comportant un nombre fini d’éléments.
1) Probabilité, espace probabilisé
Une probabilité
P
sur un univers fini W est une application P:
H
W
L
ö
@
0, 1
D
qui vérifie:
(1) P
H
W
L
=1 et (2) Pour tous les évènements
A
et
B
incompatibles (disjoints) de W, P
H
A
‹
B
L
=P
H
A
L
+P
H
B
L
Le couple
H
W,P
L
est alors appelé espace probabilisé.
2) Définition d’une probabilité à l’aide des évènements élémentaires
(1) Une probabilité
P
sur W est parfaitement déterminée par les probabilités P
H
8
w
<
L
des évènements élémentaires
w
œ
W
.
öPlus précisément, pour tout évènement
A
on a P
H
A
L
= S
w œ A
P
H
8
w
<
L
(2) Si W =
8
w
1
, ..., w
n
<
et si on note
p
i
=P
H
8
w
i
<
L
, on doit avoir: (*)
H
a
L
"
i
œ
8
1
,
...
,
n
<
,
p
i
œ
@
0
,
1
D
H
b
L
S
i
=
1
n
p
i
=1 .
öCes conditions (*) sont nécessaires et suffisantes pour définir parfaitement l’espace probabilisé
H
W,P
L
Chaque évènement est la réunion disjointe des singletons de ses éléments, alors, avec la propriété (2) de la définition, pour tout évènement
A
, P
H
A
L
= S
w œ A
P
H
8
w
<
L
Comme W =
‹
i=
1
n
8
wi
<
(réunion disjointe) et que P
H
W
L
=1 alors avec (2), 1 =P
H
W
L
= S
i=
1
n
P
H
8
wi
<
L
= S
i=
1
n
pi.
Par exemple: W = {1,2,3,4} ; P
H
8
1
<
L
=
1
10
; P
H
8
2
<
L
=
2
10
; P
H
8
3
<
L
=
3
10
; P
H
8
4
<
L
=
4
10
. Ces conditions définissent une probabilité
car
1
10
+
2
10
+
3
10
+
4
10
=1. On aura, P
H
8
2, 4
<
L
=
2
10
+
4
10
=
3
5
et
P
(le résultat est impair) =
1
10
+
3
10
=
2
5
.
32 Cours - Probabilités.nb 2/6

3) Probabilité uniforme
L’application P:
H
W
L
ö
@
0, 1
D
définie par: "Aœ
H
W
L
,P
H
A
L
=
card
H
A
L
card
H
W
L
est une probabilité sur l’univers W.
On l’appelle probabilité uniforme sur W.
Lorsque tous les résultats d'une expérience aléatoire ont la même probabilité d'être réalisé, c'est la loi de probabilité uniforme qui
sera choisie pour modéliser l'expérience aléatoire.
P
H
W
L
=
card
H
W
L
card
H
W
L
=1 et "A,Bdeux parties disjointes de
H
W
L
,P
H
A
‹
B
L
=
card
H
A
‹
B
L
card
H
W
L
=
card
H
A
L
+
card
H
B
L
card
H
W
L
=P
H
A
L
+P
H
B
L
.
Cette probabilité est appelée probabilité uniforme car: " w œ W,P
H
8
w
<
L
=
card
H
8
w
<
L
card
H
W
L
=
1
card
H
W
L
: tous les évènements
élémentaires ont la même probabilité.
On peut retenir pour la probabilité uniforme
P
que: "Aœ
H
W
L
,P
H
A
L
=
card
H
A
L
card
H
W
L
=
nombre
de
cas
favorables
nombre
total
de
cas
.
Expérience = Lancer deux fois de suite un dé à 6 faces; Univers: W = {1,...,6}ä{1,...,6} (card
H
W
L
=36)
Loi de probabilité : probabilité uniforme ;
P
(la somme des dés est 10) = P
H
8
H
4, 6
L
,
H
5, 5
L
,
H
6, 4
L
<
L
=3
ê
36.
4) Propriétés d’une probabilité
Soit
P
une probabilité sur un univers W. Alors:
(1) P
H
«
L
=0
(2) "Aœ
H
W
L
,P
H
A
L
=1-P
H
A
L
(probabilité de l’évènement contraire)
(3) "A,Bœ
H
W
L
,AÕBflP
H
A
L
bP
H
B
L
(la probabilité est croissante)
(4) "A,Bœ
H
W
L
,P
H
A
‹
B
L
=P
H
A
L
+P
H
B
L
-P
H
A
›
B
L
(probabilité d’une réunion)
(5) "A
1
,A
2
, ..., A
n
des évènements de W deux à deux disjoints, P
‹
i
=
1
n
A
i
= S
i=
1
n
P
H
A
i
L
(probabilité d’une réunion disjointe)
Pour (4): A
‹
B est la réunion disjointe de B et de A\B donc P
H
B
L
+P
H
A\B
L
=P
H
A
‹
B
L
Et A est la réunion disjointe de A
›
B et de
A
\B, donc P
H
A
L
=P
H
A
›
B
L
+P
H
A\B
L
. D’où (4) en combinant ces deux égalités.
5) Exercice
6) Modélisation d’expériences aléatoires
Modéliser une expérience aléatoire c’est définir un espace probabilisé
H
W,P
L
adapté permettant de résoudre des problèmes
associés à cette expérience aléatoire.
Modéliser les expériences aléatoire suivantes:
a) Lancer 10 fois de suite une pièce équilibrée et observer la face visible: W =
8
P,F
<
10
;
P
= probabilité uniforme.
b) Battre un jeu de
n
cartes numérotées de 1 à
n
et décrire l’ordre des cartes (de la première à la n
ième
) :
W = {permutations de
8
1, 2, ..., n
<
};
P
= probabilité uniforme .
7) Jeu de Monty Hall
8) Exercices
32 Cours - Probabilités.nb 3/6

III) Probabilités conditionnelles
1) Théorème, définition, notation, lecture
Soient
H
W,P
L
un espace probabilisé et
B
œ
H
W
L
un évènement de probabilité non nulle (P
H
B
L
>0). Alors:
L’application P
B
définie sur
H
W
L
par: "Aœ
H
W
L
,P
B
H
A
L
=
P
H
A
›
B
L
P
H
B
L
est une loi de probabilité sur W.
La loi de probabilité P
B
est applelée loi de probabilité sachant B. On note également P
B
H
A
L
=P
H
A B
L
.
P
B
H
A
L
est souvent lue “P de A sachant B” mais il vaut mieux lire “P sachant B de A”. On fait ainsi clairement référence à la
loi de probabilité P
B
.
2) “Justification” de la définition de la loi de probabilité P
B
Dans le cas où
P
est la probabilité uniforme, P
B
H
A
L
est la probabilité de réaliser l’évènement
A
sachant que l’évènement
B
est
réalisé, c’est à dire que l’expérience aléatoire ait son résultat dans
A
sachant que ce résultat est dans
B
. Cette probabilité
p
est
p
=
card
H
A
›
B
L
card
H
B
L
=
card
H
A
›
B
L
card
H
W
L
ä
card
H
W
L
card
B
=
P
H
A
›
B
L
P
H
B
L
= P
B
H
A
L
.
3) Exemple
On lance deux dés dés. Quelle est la probabilité
p
d'obtenir au moins un 4 sachant que la somme des deux dés vaut 7 ? Quelle est
la probabilité q d’obtenir une somme de 7 sachant qu’au moins un des deux dés vaut 4 ?
W =
8
1, ..., 6
<
2
; Proba uniforme; A={(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(1,4),(2,4),(3,4)(5,4),(6,4)};
B={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}; A
›
B={(3,4),(4,3)} ; p=P
B
H
A
L
=
P
H
A
›
B
L
P
H
B
L
=
2
6
=
1
3
. q=P
A
H
B
L
=
P
H
B
›
A
L
P
H
A
L
=
2
11
.
4) Premières propriétés
Comme P
B
est une loi de probabilité sur W, alors:
Soit
B
œ
H
W
L
tel que P
H
B
L
>0. Alors:
(1) "Aœ
H
W
L
,P
B
H
A
L
=1-P
B
H
A
L
(2) "A,Cœ
H
W
L
,P
B
H
A
‹
C
L
=P
B
H
A
L
+P
B
H
C
L
-P
B
H
A
›
C
L
5) Formule des probabilités composées
Soient
H
W,P
L
un espace probabilisé et A
1
, ..., A
n
œ
H
W
L
tels que P
H
A
1
›
A
2
›
...
›
A
n-
1
L
∫0. Alors:
P
H
A
1
›
A
2
›
...
›
A
n
L
=P
H
A
1
L
›
P
A
1
H
A
2
L
P
A
1
›
A
2
H
A
3
L
... P
A
1
›
A
2
›
...
›
A
n
-
1
H
A
n
L
.
Cette formule est la formule des probabilités composées.
Cas particulier : pour n=2, on obtient: "A,Bœ
H
W
L
H
avec P
H
B
L
∫0
L
,P
H
A
›
B
L
=P
H
B
L
P
B
H
A
L
a) Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires. On tire successivement (sans remise) trois boules. Calculer la
probabilité
p
pour que les trois boules tirées soient blanches.
Notons B
k
(respectivement N
k
) les évènements: la k
ième
boule tirée est blanche ( resp. noire).
Alors
p
=P
H
B
1
›
B
2
›
B
3
L
=P
H
B
1
L
P
B
1
H
B
2
L
P
B
1
›
B
2
H
B
3
L
=
4
10
ä
3
9
ä
2
8
=
1
30
.
b) Une urne contient 3 boules jaunes et 4 boules bleues. On tire au hasard, successivement et sans remise, 4 boules.
Calculer la probabilité
p
pour que les boules tirées soient dans l’ordre de couleurs: Jaune Bleu Jaune Bleu
Notons J
k
(respectivement B
k
) les évènements: la k
ième
boule tirée est jaune ( resp. bleue).
Alors
p
=P
H
J
1
›
B
2
›
J
3
›
B
4
L
= P
H
J
1
L
P
J
1
H
B
2
L
P
J
1
›
B
2
H
J
3
L
P
J
1
›
B
2
›
J
3
H
B
4
L
=
3
7
ä
4
6
ä
2
5
ä
3
4
=
3
35
.
32 Cours - Probabilités.nb 4/6

6) Formule des probabilités totales
Soient
A
1
, ..., A
n
œ
H
W
L
un système complet d’évènements de W de probabilités non nulles. Alors:
"Bœ
H
W
L
,P
H
B
L
= S
k
=
1
n
P
I
A
k
M
P
A
k
H
B
L
(Formule des probabilités totales).
En particulier: si P
H
A
L
œ
D
0, 1
@
, alors "Bœ
H
W
L
,P
H
B
L
=P
H
A
L
P
A
H
B
L
+P
H
A
L
P
A
H
B
L
a) Une urne contient b boules blanches et n boules noires. On tire successivement (sans remise) trois boules. Calculer la
probabilité p pour que la seconde boule tirée soit noire. On note: B
k
(resp.
N
k
) : la k
ième
boule tirée est blanche ( resp. noire).
H
B
1
,N
1
L
forme un SCE . P
H
B
2
L
=P
H
B
1
L
P
B
1
H
B
2
L
+P
H
N
1
L
P
N
1
H
B
2
L
=
b
b
+
n
b
-
1
b
+
n
-
1
+
n
b
+
n
b
b
+
n
-
1
=
b
H
b
+
n
-
1
L
H
b+n
L
H
b+n-
1
L
.
b)
7) Formules de Bayes
a) Première formule de Bayes (Inversion des conditionnements)
Soient
H
W,P
L
un espace probabilisé et A,B deux évènements de probabilité non nulle. Alors P
B
H
A
L
=
P
A
H
B
L
P
H
A
L
P
H
B
L
.
b) Seconde formule de Bayes
Soient
H
W,P
L
un espace probabilisé et A
1
, ..., A
n
un système complet d’évènements de W de probabilités non nulles.
Soit
B
un évènement de probabilité non nulle. Alors: "iœ
8
1, ..., n
<
,"Bœ
H
W
L
,P
B
H
A
i
L
=
P
H
A
i
L
P
Ai
H
B
L
S
k
=
1
n
P
H
A
k
L
P
Ak
H
B
L
On peut interpréter cette formule de la manière suivante: si on connait la probabilité de réalisation d’un évènement
B
sous
différentes causes A
k
formant un SCE, alors on peut calculer la probabilité pour que
B
soit la cause de l’un des A
i
.
On peut “retenir” cette formule par P
B
H
A
i
L
=
formule
des
probas
composées
formule
des
probas
totales
Deux urnes U
1
et U
2
contiennent des boules blanches et noires:
• U
1
contient 3 boules blanches et 1 boule noire • U
2
contient 2 boules blanches et 6 boules noires
On choisit une urne au hasard. La probabilité de choisir U
1
est de
1
3
, la probabilité de choisir U
2
est de
2
3
. Puis on tire au hasard
une boule de l’urne choisie. Sachant que la boule tirée est blanche, quelle est la probabilité qu’elle viennent de l’urne U
1
?
Comme
H
U
1
,U
2
L
forme un SCE, alors P
B
H
U
1
L
=
P
H
U
1
L
P
U1
H
B
L
P
H
U
1
L
P
U
1
H
B
L
+P
H
U
2
L
P
U
2
H
B
L
=
H
1
ê
3
L
H
3
ê
4
L
H
1
ê
3
L
H
3
ê
4
L
+
H
2
ê
3
L
H
2
ê
8
L
=
3
5
.
c) Exercices
IV) Evénements indépendants
1) Indépendance de deux évènements
Soient
H
W,P
L
un espace probabilisé. Deux évènements
A
et
B
sont indépendants ñ
P
H
A
›
B
L
=
P
H
A
L
P
H
B
L
2) Interprétation
On remarque que (si P
H
A
L
∫0 et P
H
B
L
∫0) alors
P
H
A
›
B
L
=
P
H
A
L
P
H
B
L
ñ P
A
H
B
L
=P
H
B
L
ñ P
B
H
A
L
=P
H
A
L
. Donc:
32 Cours - Probabilités.nb 5/6