Exercice 1 4 points Exercice 2 4 points - Lycée Saint

Bac blanc mars 2007 Lycée Saint- Sernin Mathématiques - Série S
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Les exercices 1, 2, 4 et 5 sont communs à tous les candidats, pas l’exercice 3.
Exercice 1 4 points
1. Soit u la suite définie par 
u
0
=0
u
n+1
=
1
2−u
n
pour tout entier naturel n
a. Calculer u
1
, u
2
et u
3
. On exprimera chacun de ces termes sous forme d’une fraction irréductible.
b. Comparer les quatre premiers termes de la suite u aux quatre premiers termes de la suite w définie
dans É par w
n
=
n
n+1
c. À l’aide d’un raisonnement par récurrence, démontrer que, pour tout entier naturel n, u
n
=w
n
.
2. Soit v la suite de terme général v
n
défini dans É* par v
n
=ln
n
n+1
où ln désigne la fonction logarithme
népérien.
a. Montrer que v
1
+v
2
+v
3
=-ln 4
b. Soit S n la somme définie pour tout entier naturel non nul n par : S
n
=v
1
+v
2
+…+v
n
Exprimer S
n
en fonction de n.
Déterminer la limite de S
n
lorsque n tend vers +∞.
Exercice 2 4 points
QCM : pour chaque question une seule des réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée.
Chaque bonne réponse rapporte 0,75 point aux quatre premières questions et 1 point à la cinquième, chaque
erreur enlève 0,25 point, l’absence de réponse vaut 0 point. Si le total des points de l’exercice est négatif, la
note est ramenée à 0.
Vous répondrez sur votre copie en indiquant le numéro de la question et la lettre correspondant à votre réponse.
a 0 solution
b
1 solution
c 2 solutions
1. L’équation 04e3e
xx2
=−− admet dans Ë
d
plus de 2 solutions
a n’est jamais négative
b
est toujours négative
c n’est négative que si x est positif
2. L’expression
x
e
−
−
d
n’est négative que si x est négatif
a -0,5
b
1
c 2
3.
2e
1e2
lim
x
x
x
+−
+∞→
d
+∞
a x→ke
2x
−1 avec k∈ Ë
b
x→ke
x
2
+1 avec k∈ Ë
c x→ke
x
2
−1 avec k∈ Ë
4. L’équation différentielle y′=2y−1 a pour ensemble des
solutions
d
x→ke
2x
+ 0,5 avec k∈ Ë
a x→ ke
3x
−
h(x)
3
avec k∈ Ë
b
x→ ke-
3x
+h(x) avec k∈ Ë
c x→ ke
3x
+h(x) avec k∈ Ë
5. Si la fonction h, définie sur Ë, est solution de
(E) y′-3y=sin(x),
alors une autre solution de (E), définie sur Ë, est d
x→ke-
3x
−
h(x)
3
avec k∈ Ë

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Exercice 3 5 points
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O,Å u,Å v). On prendra pour unité graphique 1 cm.
Pré-requis
- On suppose connues toutes les opérations sur les modules et les arguments des nombres complexes.
- On rappelle que
“ si A et B sont deux points d’affixes respectives a et b, alors l’affixe du vecteur Ä AB est b−a ”.
“ pour tout vecteur w non nul, d’affixe z, on a
| |
z= w et arg(z)=(Å u,Å w) ”.
1. Question de cours
Soient M, N et P trois points du plan d’affixes respectives m, n et p tels que mýn et mýp.
a. Démontrer que arg
p−m
n−m
=(Ä MN,Ä MP)
b. Interprétez géométriquement le nombre 
p−m
n−m
.
2. On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives
z
A
=4+i, z
B
=1+i, z
C
=5i, z
D
=-3−i
Placer ces points sur une figure.
3. Soit f l’application du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z′ tel
que : z′=(1+2i)z−2−4i.
a. Précisez les images des points A et B par f
b. Montrer que f admet un unique point invariant Ω dont on précisera l’affixe ω.
4. a. Montrer que pour tout nombre complexe z, on a z′−z=-2i(2−i−z).
b. En déduire pour tout point M différent du point Ω, la valeur
MM′
MΩ
et une mesure en radians de
l’angle (Ä MΩ,Ä MM′).
c. Quelle est la nature du triangle ΩMM’ ?
d. Soit E le point d’affixe z
E
=-1−i3 . Ecrire z
E
sous forme exponentielle puis placer le point E sur la
figure. Réaliser ensuite la construction du point E’ associé à E.
Exercice 3 bis 5 points
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité.
1. Restitution Organisée des Connaissances :
n est un entier naturel supérieur ou égal à 2, a et b sont deux entiers relatifs, on rappelle que a est congru à
b modulo n si et seulement si (a−b) est un multiple de n.
a. Démontrer que si a est congru à b modulo n et a′ est congru à b′ modulo n alors aa′ est congru à bb′
modulo n.
b. p est un entier naturel non nul, démontrer que si a est congru à b modulo n alors a
p
est congru à b
p
modulo n.
2. Etude de congruences modulo 7 :
a. Déterminer le reste de la division euclidienne de
2007
32 par 7.
b. Soit
p
un entier naturel, montrer que
[
]
[
]
707010 ≡⇒≡pp .
c. Soit
m
un entier naturel dont l’écriture décimale contient au moins trois chiffres. Il existe donc un
entier naturel d et un entier u , le chiffre des unités, tels que m =10 d + u . On pose udm 2
1
−= .
Démontrer que
[
]
[
]
7070
1
≡⇔≡ mm .
d. En utilisant autant de fois que possible le résultat du c. et sans utiliser la calculatrice, montrer que
l’étude de la divisibilité par 7 du nombre 28 022 007 se ramène à l’étude de la divisibilité par 7 d’un
nombre à deux chiffres que vous déterminerez. Vous pouvez recopier le tableau de la page suivante en
rajoutant autant de lignes que nécessaire.

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m
u
d
1
m
Étape 1 28 022 007 7
Étape 2 2 802 186
…
Conclure quant à la divisibilité de 28 022 007 par 7.
Exercice 4 (exercice à prise d’initiative) 2 points
L'équation sin( x )=ln
x
2
admet-elle des solutions ? Si oui, combien ? Donner, alors, une valeur approchée au
centième des éventuelles solutions.
Dans ce type d’exercice, toute tentative argumentée (quand même !) est la bienvenue.
Exercice 5 5 points
On désigne par f une fonction deux fois dérivable sur Ë, par f ′ sa fonction dérivée et par f ″ la dérivée de sa
dérivée, qui vérifient les propriétés suivantes :
(1) pour tout nombre réel x , f ′( x )
2
=1+ f ( x )
2
(2) f ′(0)=1
L’objet de l’exercice est de déterminer toutes les fonctions deux fois dérivables qui vérifient ces deux
conditions.
Partie A
Supposons qu’une telle fonction f existe.
1. a. Démontrer que, pour tout nombre réel x , f ′( x )ý0
b. Calculer f (0).
2. En dérivant chaque membre de l’égalité de la proposition (1), démontrer que :
pour tout nombre réel x , f ″( x )= f ( x ) où f ″ désigne la fonction dérivée seconde de la fonction f .
3. On pose : u = f ’+ f et v = f ’− f .
a. Calculer u (0) et v (0)
b. Démontrer que u ′= u et v ′=− v .
c. En déduire les fonctions u et v .
d. Montrer alors que, pour tout réel x , f ( x )=
e
x
− e
-x
2
.
Partie B
Réciproque
4. a. Justifier que la fonction trouvée à la question précédente vérifie les conditions (1) et (2). Conclure par
rapport à l’objet de l’exercice.
b. Étudier les limites de la fonction f en + ∞ et en − ∞.
c. Dresser le tableau de variations de la fonction f .