Révisions sup algèbre - Denis TROTABAS

MP1- Lycée Joffre Feuille d’exercices no4– Algèbre linéaire. Denis Trotabas
Ex 1 – Soit P(X)∈Cn[X]. Donner les coordonnées de P(X)dans les bases
(X−a)k0≤k≤n,P(k)0≤k≤n, et celle des polynômes interpolateurs de Lagrange
Lak0≤k≤nassociés à une famille de complexes distincts (ak)0≤k≤n.
Ex 2 – Montrer qu’une réunion finie de sous-ev d’un K-ev En’est un sous-ev de
Eque si l’un des sous-ev contient les autres (on pourra procéder par récurrence,
et considérer des combinaisons linéaires x+ty)
Ex 3 – L’application reste de la de.
Soit B∈C[X],B≠0fixé. Montrer que l’application qui à Passocie le reste
de la de de Ppar Best linéaire. Montrer qu’il s’agit d’un projecteur que l’on
caractérisera.
Ex 4 – Soient p, q deux projecteurs d’un K-ev. cns sur p, q pour que p+qsoit
aussi un projecteur ?
Réponse : p○q=q○p=0.
Donner alors noyau et image de p+q
Réponse : somme des images, intersection des noyaux.
Ex 5 – (Cent ?) Soit f∶Mn(C)→Mn(C)un (endo)morphisme d’algèbres. On
souhaite prouver que fest bijectif et on procède par l’asbsurde. On note Jrla
matrice dont les rpremiers coefficients diagonaux valent 1, les autres étant nuls.
1. Montrer que le noyau de fest stable pour l’équivalence des matrices.
2. Prouver qu’il existe rtel que Jr∈ker f.
3. En déduire que E1,1∈ker f, puis que fest nulle.
4. Conclure.
Ex 6 – Pour a∈K, on pose Φa(P)=P(X+a).
1. Écrire la matrice de Φadans la base canonique, et en déduire l’inverse de la
matrice triangulaire supérieure Tdont le coeff. (i, j)vaut Ci
jsi j≥i.
2. Donner l’inverse de T.
3. À l’aide de la formule Φa○Φb=Φa+b, prouver que
p
∑
k=1
Cp−k
p−1Ck−q
k−1=Cp−q
p−1pour
tous 1≤q≤p, où l’on a posé par convention C`
n=0pour tout `∉[[0, n ]].
4. Application : pour n≥p, on note Sn,p le nombre de surjections de N∗
nsur N∗ p.
Montrer que pn=p
∑
k=0
Ck
pSn,k et en déduire que
p
∑
k=0(−1)kCk
p(p−k)n. Faire de
même pour le nombre de bijections de permutations de N∗
nsans points fixes
(= dérangements).
Ex 7 – Dans E=C∞(R,R), on note pour f∈E:Φ(f)=f′−fet Ψ(f)=
f′′ −3f′+2f. Linéarité de Φ,Ψ? Injectivité ? Surjectivité de Φ? Montrer que
sin ∈Im(Ψ).
Ex 8 – Dans E=l’espace des suites réelles telles que ∀n(un+2=5un+1−6un), on
note S∶(un)n∈N↦(un+1)n∈N.
Donner une base B0de E(en passant par l’équation caractéristique), montrer que
la famille B1=(a, b)de Edéterminée par les conditions a0=b1=1,a1=b0=0est
une base de E.
Montrer que Tq∶u↦(un+1−qun)n∈Nest un endomorphisme injectif ⇔qn’est
pas racine de X2−5X+6.
Donner les matrices de Tqdans B0,B1, puis exprimer, pour p≥2, le neterme de
Tp
q(u)en fonction de un+1et un.
Ex 9 – Dans E=R3, soient H={(x, y, z ∈E;x+y+z=0)},e=(1,1,2)
et D=Vect(e). Dimension et base de H? Supplémentarité de Het D? Soit p
le projecteur sur Hparallèlement à D: Calculer p(x, y, z)en fonction de x, y, z.
Faire de même avec le projecteur associé.
Ex 10 – On note ϕ∶P↦P−P′. Clairement, ϕest un endomorphisme de
K[X]. Montrer que ϕest bijectif d’abord directement (analyse-sythèse), puis
par conservation du degré (montrer que tout endomorphisme Lde K[X]tel que
deg(L(P))=deg(P)est bijectif), puis en considérant la matrice de la restriction
de ϕàKn[X], puis en montrant que pour tout endomorphisme nilpotent nd’un
K-ev de dimension finie, idE−nest inversible et en l’appliquant ici, puis pourquoi
pas en résolvant plus généralement l’équation différentielle y′−y=Q.
Ex 11 – Soient Eun C-ev et f∈L(E)tel que f3=idE. On souhaite montrer que
Ker(f−idE)et Im(f−idE)sont supplémentaires dans E.
1. Prouver que Ker(f−idE)et Ker(f2+f+idE)sont supplémentaires dans E.
2. Montrer que Im(f−idE)⊂Ker(f2+f+idE).
3. On souhaite montrer l’inclusion réciproque. On se donne donc x∈Etel que
f2(x)+f(x)+x=0, et l’on cherche z∈Etel que x=f(z)−z. Pour ce
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faire, prendre λ∈C,λ3≠1. Montrer que f−λidEest bijectif en factorisant
f3−λ3idEpour exhiber (f−λidE)−1; considérer zλ=(f−λidE)−1(x)et faire
« formellement » tendre λvers 1pour « deviner » une valeur de zconvenable :
vérifier que ce zest bien solution.
4. User du lemme des noyaux pour démontrer d’une autre façon que Im(f−idE)=
Ker(f2+f+idE).
5. Montrer directement que Im(f−idE)∩Ker(f−idE)={0}.
6. En déduire, dans le cas où Eest de dimension finie, une preuve plus simple
de l’égalité E=Ker(f−idE)⊕Im(f−idE)
Ex 12 – Soit Eun C-ev et u, v deux endomorphismes de E.
1. Prouver l’équivalence des deux énoncés suivants :
(i) u○v=0
(ii) Im(v)⊂Ker(u)
2. On suppose Ede dimension finie. Soit u∈L(E). À l’aide de la question
précédente et de la formule du rang, prouver l’équivalence :
(i) Im(u)=Ker(u)
(ii) u○u=0et dim(E)=2dim(Ker(u))
Ex 13 – Soit Eun C-ev de dimension trois, et u∈L(E)un endomorphisme non
nul tel que u2=0. Montrer à l’aide de la formule du rang que nécessairement
dim(Ker(u))=2et rg(u)=1et en déduire l’existence de a∈Eet de ϕ∈L(E, C)
tels que (∀x∈E)(u(x)=ϕ(x)a)
Ex 14 – Soit u∈L(E). On considère les 4 propriétés suivantes :
(i) E=Ker(u)+Im(u)
(ii) Im(u)=Im(u2)
(iii) Ker(u)∩Im(u)={0}
(iv) Ker(u)=Ker(u2)
Prouver que (i)⇔(ii)et (iii)⇔(iv)sans hypothèse de finitude. Que se passe-t-il
si Eest de dimension finie ?
Ex 15 – Soient f, g deux endomorphismes de Etels que f○g=IdE. Montrer que
Ker(g○f)=Ker f, que Im(g○f)=Im g, enfin que E=Ker f⊕Im g.
Ex 16 – Soit A=1 2
2 4, et fl’endomorphisme de M2(R)défini par f(M)=AM.
Déterminer une base du noyau et de l’image de f.
Ex 17 – Soit Eun K-ev de dimension finie et v∈L(E). Soit F={u∈L(E);u○v=
v○u=0}. On note Gun supplémentaire de Im(v): montrer que Fest un ss-ev
de L(E), isomorphe à L(G, Ker(v)) et en déduire sa dimension.
Ex 18 – Soient E, F deux ev de dimensions finies, Wun ss-ev de E, et F={u∈
L(E, F );W⊂Ker(u)}: montrer que Fest un ss-ev de L(E, F )et en considérant
u↦u∣Wcalculer sa dimension. On peut aussi introduire un supplémentaire Vde
Wet considérer u↦u∣V.
Ex 19 – Soit Eun K-ev de dimension finie et u, v ∈L(E)tels que E=Im(u)+
Im(v)=Ker(u)+Ker(v). Montrer que ces deux sommes sont directes.
Ex 20 – ¶Sous-algèbres de dimensions finies de C0(R,R)?Indication : Soit Aune
telle sous-algèbre. Montrer que Aest l’espace des fonctions constantes. Soit f∈A: il existe net
des réels aknon tous nuls tels que
n
∑
k=0
akfk=0–tvi.
Ex 21 – Existe-t-il un endomorphisme de K[X]dont le carré est la dérivation ?
(regarder le noyau)
Ex 22 – Montrer que deux formes linéaires de même noyau sont proportionnelles.
Ex 23 – Soit fun endomorphisme tel que pour tout x,(f(x), x)soit liée. Prouver
que fest une homothétie. En déduire l’ensemble des fqui commutent avec tout
endomorphisme.
Ex 24 – ¶Matrice de Vandermonde
Soient a1,...,andes complexes distincts et V(a1,...,an)=[ai−1
j]1≤i,j≤nla matrice
de Vandermonde. Montrer que V(a1,...,an)∈GLn(C)de deux manières :
1. Soit X∈Cntel que V X =0, montrer que pour toute fonction polynôme Pde
degré ≤n, on a
n
∑
k=1
xkP(ak)=0, puis choisir Pà la Lagrange.
2. Qu’est la matrice de passage de la famille de polynômes interpolateurs de
Lagrange vers la base canonique ?
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Application 1 : soient a1,...,apdes complexes distincts et λ1,...,λpdes com-
plexes non nuls. Soit ula suite définie pour tout npar un=λ1an
1+λ2an 2+...+λpan p.
Montrer que si un→0alors ak<1pour tout k.
Application 2 : Soit f∶I→Rune fonction de classe n≥1telle que fet
f(n)soient bornées sur I. Montrer que toutes les dérivées intermédiaires f(k)
(k∈[[1, n −1]]) sont aussi bornées.
Ex 25 – Soit Aune matrice de taille 2, et mAl’endomorphisme de M2(K)
donné par la multiplication par A. Donner la matrice de Adans la base
(E1,1, E2,1, E1,2, E2,2)et calculer le rang de mA. Généraliser à Ade taille n.
Ex 26 – Matrices magiques de taille 3
Une matrice complexe Mde taille 3 est dite magique si toutes ses lignes, colonnes
et diagonales ont même somme, appelée somme de la matrice magique M.
1. Soit Mmagique de somme s. Montrer que m2,2=s3.
2. En déduire que l’ensemble des matrices magiques est un ss-ev de M3(C)dont
on donnera la dimension.
Ex 27 – Équations matricielles
1. Soit A=1 2 3
1−1 2et B=2 1 −1 1. Résoudre AX =B.
2. Soient A, B ∈Mn(C). Étudier les solutions de l’équation (E)X+Tr(X)A=B.
3. Même question avec X+t X=Tr(X)A.
Ex 28 – La matrice de Hürwitz.
Soit A=Aa,b la matrice de taille nayant des asur la diagonale et des bpartout
ailleurs. On note J=A1,1
1. Exprimer Aen fonction de J,a,b. En déduire Ap.
2. Discuter en fonction de aet bdu rang de A.
3. Calculer A.
4. Calculer Ap.
Ex 29 – Soit N∈Mn(C)une matrice nilpotente d’ordre maximal, i.e. telle que
Nn=0et Nn−1≠0. Soit uNl’endomorphisme canoniquement associé à N.
1. Montrer l’existence de e∈Cntel que B={e, uN(e),...,un−1
N(e)}soit une base
de Cn.
2. Écrire N=MatB(uN).
3. Montrer que l’espace des matrices commutant avec Nest exactement
Vect(In,N,...,Nn−1).
4. Montrer que Net t Nsont semblables.
Ex 30 – Matrices de rang un.
Soit Aune matrice de rang un.
1. Montrer qu’il existe une matrice colonne Xet une matrice ligne Ytelles que
A=XY . Réciproque ?
2. Montrer que A2=Tr(A)A.
3. In−Aest inversible si et seulement si Tr(A)≠−1.Indication : Chercher l’inverse
sous la forme In+tA,t∈K.
Ex 31 – Trace d’une matrice
Soit A=[ai,j ]1≤i,j≤n∈Mn(K). On appelle trace de Ale scalaire Tr(A)=n
∑
i=1
ai,i –
i.e. la somme des coefficients diagonaux de A.
1. Montrer que A↦Tr(A)est une forme linéaire sur Mn(K).
2. Si Tr(A)=0, les coefficients diagonaux de Asont-ils tous nuls ?
3. Prouver que pour toutes A, B,Tr(AB)=Tr(BA).
4. En déduire que pour toute P∈GLn(K), on a Tr(P−1AP )=Tr(A).
5. Soit a∈L(E)un endomorphisme d’un K-ev Ede dimension finie et soit Bune
base de Equelconque. Soit A=MatB(a). On pose Tr(a)∶=Tr(A). Justifier
que ceci est bien défini.
6. Calculer Tr(Ei,j A)et conclure que si Aest telle que pour toute B,Tr(AB)=0,
alors A=0.
7. Soit A∈Mn(K). On pose pour X∈Mn(K):ΦA(X)=Tr(AX). Prouver
que ΦAest une forme linéaire de Mn(K).
8. Soit Φ∶Mn(K)→Mn(K)∗l’application qui envoie Asur ΦA. Montrer que
Φest un isomorphisme de K-ev.
9. Soit A∈Mn(R). Montrer que A=0⇔Tr(t AA)=0
Ex 32 – Soit t↦A(t)une application continue de Rdans Mn(K)telle que
A(t)2=A(t)pour tout t. Prouver que t↦TrA(t)est continue, puis constante et
en déduire que les matrices A(t)sont toutes semblables.
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Ex 33 – Soit A∈Mn,p(K)une matrice, et r∈N. On appelle matrice extraite de
Atoute matrice obtenue à partir de Aen supprimant un certain nombre de lignes
et de colonnes de A. Prouver que rg(A)≥rsi et seulement si il existe une matrice
extraite de A, inversible de taille r.
Ex 34 – Discuter du rang de la comatrice de Aen fonction de r=rg A.
Ex 35 – Déterminant de Casorati.
Soient Xun ensemble non vide et f1,...,fndes fonctions de X→K. Prouver
que la famille des fkest libre si et seulement si il existe x1,...,xn∈Xtels que
Cf1,...,fn(x1,...,xn)∶=detfi(xj)1≤i,j≤n.Indication : Pour ⇒, récurrence par l’absurde :
considérer x↦Cf1,...,fn+1(x1,...,xn, x)
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