Mardi : Entiers modulaires - Cours de remise à niveau MPRI 2005

Mardi : Entiers
modulaires
David Madore
Programme du
cours
Table des mati`eres
L’anneau Z/nZ
La fonction
indicatrice d’Euler
D´efinition
Th´eor`eme chinois
Th´eor`eme d’Euler
Structure du groupe des
unit´es
Nombres p-adiques
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Mardi : Entiers modulaires
Cours de remise `a niveau MPRI 2005–2006
David A. Madore
[email protected]
20 septembre 2005

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Programme du cours
ILundi : Entiers (Z)
IMardi : Entiers modulaires (Z/nZ)
IMercredi : Polynˆomes (k[t])
IJeudi : Corps finis (Fq)
IVendredi : Extensions de corps (K/k)
9h30 `a 12h00 ; salle 0D1 du 19 au 22, 1C1 le 23

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Quotient d’un anneau par un id´eal
Rappel : Un id´eal d’un anneau (commutatif) Aest un
sous-groupe additif Ide Atel que AI ⊆I(i.e., ax ∈Id`es
que x∈I, pour tout a∈A).
Notamment, l’ensemble (a) = aA des multiples d’un a∈A
est un id´eal de A.
La relation d’´equivalence a∼a0d´efinie comme a−a0∈I
permet de mettre sur l’ensemble quotient A/I=A/∼une
structure d’anneau (car a∼a0et b∼b0implique ab ∼a0b0,
etc.). On parle de l’anneau quotient de Apar l’id´eal I.
Surjection canonique : morphisme AA/Idont le noyau
est I, envoie asur sa classe modulo ∼.
«R´eciproquement », le noyau d’un morphisme d’anneaux est toujours
un id´eal, et tout morphisme surjectif ϕ:AA0peut s’identifier `a la
surjection canonique vers le quotient de Apar le noyau ker ϕ.

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Cas de Z
Rappel : Les id´eaux de (l’anneau int`egre) Zsont les nZ
(multiples de n), o`u nparcourt les entiers naturels. (On dit
que Zest un anneau principal.)
La relation d’´equivalence a∼a0d´efinie comme a−a0∈nZ
s’appelle congruence modulo net se note a≡a0(mod n).
L’anneau quotient est not´e Z/nZ(parfois Z/n; ´eviter Zn) :
c’est donc l’ensemble des classes de congruence modulo n.
On note ¯a(ou souvent juste a) l’image d’un a∈Zpar la
surjection canonique.
Cas d´eg´en´er´es :
ISi n= 1 alors Z/1Zest l’anneau nul (un seul ´el´ement, ¯
0 = ¯ 1).
ISi n= 0 alors Z/0Z=Z(on exclut souvent implicitement ce cas).
Si n>0, les ´el´ements de Z/nZsont ¯ 0,¯ 1, . . . , n−1.