T S spécialité mathématiques. Devoir surveillé n° 2 Jeudi 29

T S spécialité mathématiques. Devoir surveillé n° 2 Jeudi 29 novembre 2007
1 Soit n un entier naturel non nul; on considère les entiers suivants : N = 9 n + 1 et M = 9 n – 1.
1° On suppose que n est un entier pair. On pose n = 2 p , avec p entier naturel non nul.
a) Montrer que M et N sont des entiers impairs.
b) En remarquant que N = M + 2 , déterminer le PGCD de M et N.
2° On suppose que n est un entier impair. On pose n = 2 p + l , avec p entier naturel.
a) Montrer que M et N sont des entiers pairs.
b) En remarquant que N = M + 2 , déterminer le PGCD de M et N.
3° Pour tout entier naturel non nul n, on considère l'entier 81 n2 – 1.
a) Exprimer 81 n2 – 1 en fonction des entiers M et N.
b) Démontrer que, si n est pair, alors 81 n2 – 1 est impair.
c) Démontrer que 81 n2 – 1 est divisible par 4 si, et seulement si, n est impair.
2 1° On considère x et y des entiers relatifs et l'équation (E) : 91 x + l0 y = 1.
a) Enoncer un théorème permettant de justifier l'existence d'une solution à l'équation (E).
b) Déterminer une solution particulière de (E) et en déduire une solution particulière de l'équation
(E') : 91 x + 10 y = 412.
c) Résoudre (E').
2° Montrer que les nombres entiers An = 32 n – 1, où n est un entier naturel non nul, sont divisibles par 8 (une des
méthodes possibles est un raisonnement par récurrence).
3° On considère l'équation (E") : A3 x + A2 y = 3 296.
a) Déterminer les couples d'entiers relatifs (x, y) solutions de l'équation (E").
b) Montrer que (E") admet pour solution un couple unique d'entiers naturels. Le déterminer.
T S spécialité mathématiques. Devoir surveillé n° 2 Jeudi 29 novembre 2007
1 Soit n un entier naturel non nul; on considère les entiers suivants : N = 9 n + 1 et M = 9 n – 1.
1° On suppose que n est un entier pair. On pose n = 2 p , avec p entier naturel non nul.
a) Montrer que M et N sont des entiers impairs.
b) En remarquant que N = M + 2 , déterminer le PGCD de M et N.
2° On suppose que n est un entier impair. On pose n = 2 p + l , avec p entier naturel.
a) Montrer que M et N sont des entiers pairs.
b) En remarquant que N = M + 2 , déterminer le PGCD de M et N.
3° Pour tout entier naturel non nul n, on considère l'entier 81 n2 – 1.
a) Exprimer 81 n2 – 1 en fonction des entiers M et N.
b) Démontrer que, si n est pair, alors 81 n2 – 1 est impair.
c) Démontrer que 81 n2 – 1 est divisible par 4 si, et seulement si, n est impair.
2 1° On considère x et y des entiers relatifs et l'équation (E) : 91 x + l0 y = 1.
a) Enoncer un théorème permettant de justifier l'existence d'une solution à l'équation (E).
b) Déterminer une solution particulière de (E) et en déduire une solution particulière de l'équation
(E') : 91 x + 10 y = 412.
c) Résoudre (E').
2° Montrer que les nombres entiers An = 32 n – 1, où n est un entier naturel non nul, sont divisibles par 8 (une des
méthodes possibles est un raisonnement par récurrence).
3° On considère l'équation (E") : A3 x + A2 y = 3 296.
a) Déterminer les couples d'entiers relatifs (x, y) solutions de l'équation (E").
b) Montrer que (E") admet pour solution un couple unique d'entiers naturels. Le déterminer.

1 Soit n un entier naturel non nul; on considère les entiers suivants : N = 9 n + 1 et M = 9 n – 1. 1° On suppose que n est un entier pair.
On pose n = 2 p , avec p entier naturel non nul. a) Montrer que M et N sont des entiers impairs.
si n ≡ 0 mod 2 alors M ≡ 9 × 0 + 1 ≡ 1 mod 2 alors M est impair.
si n ≡ 0 mod 2 alors N ≡ 9 × 0 – 1 ≡ 1 mod 2 alors N est impair.
b) En remarquant que N = M + 2, déterminer le PGCD de M et N.
d = PGCD (M, N). d divise M et N donc d divise N – M donc d divise 2 donc d = 1 ou d = 2
N est impair donc d ≠ 2 donc d = 1. On peut aussi utiliser le lemme d'Euclide. PGCD(M, N) = PGCD(N, 2).
2° On suppose que n est un entier impair. On pose n = 2 p + l, avec p entier naturel.
a) Montrer que M et N sont des entiers pairs.
si n = 2 p + 1 alors M ≡ 9 × (2 p + 1) + 1 = 2 × 9 p + 9 + 1 = 2 (9 p + 5) alors M est pair.
si n = 2 p + 1 alors N ≡ 9 × (2 p + 1) – 1 = 2 × 9 p + 9 – 1 = 2 (9 p + 4) alors N est pair.
b) En remarquant que N = M + 2 , déterminer le PGCD de M et N.
PGCD(M, N) = PGCD(N, 2) = 2 car N est pair.
3° Pour tout entier naturel non nul n, on considère l'entier 81 n
2
– 1. a) Exprimer 81 n
2
– 1 en fonction des entiers M et N.
81 n2 – 1 = (9 n)2 – 1 = (9 n – 1) (9 n + 1) = M × N
b) Démontrer que, si n est pair, alors 81 n
2
– 1 est impair.
Si n est pair alors M et N sont impairs alors M × N est impair
c) Démontrer que 81 n
2
– 1 est divisible par 4 si, et seulement si, n est impair.
Si 81 n2 – 1 divisible par 4 alors 81 n2 – 1 est pair alors n est impair
Remarque : on sait que : si n pair alors 81 n2 – 1 impair.
La contraposée est alors vraie : si 81 n2 – 1 est pair alors n est impair.
« A implique B » ("s'il pleut, alors le sol est mouillé") est équivalent à
« non-B implique non-A ». ("si le sol n'est pas mouillé, alors il ne pleut pas")
Si n est impair alors M et N sont pairs alors M × N sont divisibles par 2 × 2
Variante : On dissocie les cas.
Si n est pair alors N × M est impair alors 81 n2 – 1 n'est pas divisible par 4.
Si n est impair alors M et N sont pairs alors M × N sont divisibles par 2 × 2
2 On considère x et y des entiers relatifs et l'équation (E) : 91 x + l0 y = 1.
a) Enoncer un théorème permettant de justifier l'existence d'une solution à l'équation (E).
91 et 10 sont premiers entre eux donc, d'après le théorème de Bézout, il existe des entiers relatifs u et v tels que
91 u + 10 v = 1 donc l'équation 91 x + 10 y admet au moins une solution le couple (u, v)
b) Déterminer une solution particulière de (E) et en déduire une solution particulière de l'équation (E') : 91 x + 10 y = 412.
91 – 10 × 9 = 1 donc (1, – 9) est une solution de (E)
91 × 412 – 9 × 412 × 10 = 412 donc (412, – 9 × 412) est une solution de (E)
c) Résoudre (E').
91 x + 10 y = 1 ⇔ 91 x + 10 y = 91 × 412 – 3708 × 10 ⇔ 10 (y + 3708) = 91 (412 – x)
10 divise 91 (412 – x) et 10 est premier avec 91 donc, d'après le théorème de Gauss, 10 divise 412 – x
412 – x = 10 k ⇔ x = 412 – 10 k
On a alors 10 (y + 3708) = 91 × 10 k donc y = 91 k – 3708.
Les solutions sont donc de la forme (412 – 10 k, 91 k – 3708) où k ∈ ZZ.
Réciproquement 91 (412 – 10 k) + 10 (91 k – 3708) = 91 × 412 – 10 × 91 k + 10 × 91 k – 10 × 3708 = 412.
2° Montrer que les nombres entiers A
n
= 3
2 n
– 1, où n est un entier naturel non nul, sont divisibles par 8 (une des méthodes possibles est
un raisonnement par récurrence).
Initialisation : 32 × 0 – 1 = 0 donc A0 divise par 8.
Hérédité : si 32 k – 1 divisible par 8
32 k + 2 – 1 = 9 × 32 k – 1 = 9 × 32 k – 9 + 9 – 1 = 9 (32 k – 1) + 8.
Si 8 divise 32 k – 1 alors 8 divise 9 (32 k – 1) + 8 alors 32 k + 2 – 1 est divisible par 8.
Variante : 32 ≡ 1 modulo 8 donc (32)n ≡ 1n modulo 3 donc 32n – 1 ≡ 0 modulo 3
3° On considère l'équation (E") : A
3
x + A
2
y = 3 296.
a) Déterminer les couples d'entiers relatifs (x, y) solutions de l'équation (E").
A3 = 36 – 1 = 728 = 91 × 8 et A2 = 24 – 1 = 80 = 8 × 10 et 3296 = 412 × 8
A3 x + A2 y = 3296 ⇔ 91 × 8 x + 10 × 8 y = 412 × 8 ⇔ 91 x + 10 y = 412.
S = {(412 – 10 k, 91 k – 3708)}k ∈ ZZ
b) Montrer que (E") admet pour solution un couple unique d'entiers naturels. Le déterminer.
412 – 10 k ≥ 0
91 k – 3708 ≥ 0 ⇔
k ≤ 412
10
k ≥ 3708
91
⇔ k ≤ 41
k ≥ 41 car k ∈ ZZ.
Le seul couple d'entiers naturels solution de (E") est donc (412 – 10 × 41, 91 × 41 – 3708) c'est à dire (2, 23)