Cours 10

Cours 10
14. PERMITIVITE D’UN MELANGE
Souvent les diélectriques utilisés en pratique sont sous la forme de mélange dans
une combinaison optimum. L’évaluation théorique de la permittivité équivalente ε 
d’un mélange est réalisable sur la base d’un modèle physique.
On considère un modèle de condensateur plan ayant deux diélectriques
homogènes avec les permittivités ε1 et ε2. Le schéma équivalent peut être en série ou
en parallèle.
1. Le schéma parallèle.
La capacité équivalente (fig.10.1) a l’expression générale:
C   ε
ε1
S1
ε2
S2
S
 C1  C 2
d
(10.1)
où :
S = S1 + S2
(10.2)
d
et :
Fig. 10.1
C1  ε1
S1
;
d
C2  ε 2
S2
d
(10.3)
Avec les notations :
y1 
S1
;
S
y2 
S2
S
(10.4)
il découle de (10.1), (10.2) et (10.3) que la permittivité équivalente ε  est :
ε   y1ε1  y 2 ε 2
(10.5)
Pour le cas de n constituants du mélange, la relation ((10.5) prend la forme :
n
ε    yi ε i
(10.6)
i 1
où εi est la permittivité du constituant i qui occupe la fraction yi du volume total du
diélectrique.
2. Le schéma série :
La capacité équivalente (fig.10.1) est donnée par la relation :
1
10
ε1
1
d
1
1
  


C
ε S C1 C 2
ε2
où :
S
d1
d2
(10.7)
d = d1 + d2
(10.8)
et :
Fig. 10.2
C1  ε 1
S
;
d1
C2  ε 2
S
d2
(10.9)
Avec les notations :
y1 
d1
;
d
y2 
d2
d
(10.10)
il découle de (10.7), (10.8) et (10.9) que la permittivité équivalente ε  est :
ε 
1
(10.11)
y1 y 2

ε1 ε 2
Pour le cas de n constituants du mélange, la relation ((10.11) prend la forme :
ε 
1
(10.12)
n
yi

i 1 ε i
où εi est la permittivité du constituant i qui occupe la fraction yi du volume total du
diélectrique.
Pour différents diélectriques composés (comme le papier imprégné) on utilise en
pratique de relations empiriques. La valeur réelle de la permittivité équivalente d’un
mélange de plus diélectriques respecte l’inégalité de Wiener :
1
n
yi

i 1 ε i
n
 ε    yi ε i
(10.13)
i 1
Pour les polymères expansés, la suivante relation empirique est confirmée
expérimentalement :
n
ln ε    y i lnε i
(10.14)
i 1
En général la permittivité d’un mélange a une expression de la forme :
2
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 
n
Φ ε    yiΦε i 
(10.15)
i 1
où Φ est une fonction et évidemment
n
y
i 1
i
1
15. EQUATION DE CLAUSSIUS MOSOTTI
Cette équation établit une relation entre la permittivité relative εr (grandeur
macroscopique) et le facteur de polarisation α (grandeur microscopique).
Dans un diélectrique homogène linéaire et isotrope, la polarisation globale
(électronique, ionique et par orientation) est avec (9.10), (9.14) et (9.16):
P = Ne αe EL + Ni αi EL + N0 α0 EL
(10.16)
Dans cette relation, le champ électrique local EL est donné par (9.8) :
γ
P
ε0
De (10.16) et (10.17) en éliminant EL s’obtient :
EL  E 
P
N eαe  Niαi  N 0α0
E
γ
1  N e α e  N i α i  N 0 α 0 
ε0
(10.17)
(10.18)
En identifiant cette expression à celle de la polarisation temporaire (9.3) il vient :
εr  1
Neαe  Ni αi  N0α0
ε 0  γ N e α e  N i α i  N 0 α 0 
(10.19)
Pour les diélectriques où γ=1/3 (avec la structure qui présente une symétrie
cubique) on obtient la relation:
εr 1
1
N e α e  N i α i  N 0 α 0 

ε r  2 3ε 0
(10.20)
qui s’appelle l’équation de Clausius-Mosotti.
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16. PERTES DIELECTRIQUES
Le diélectrique soumis à un champ électrique sinusoïdal est le siège d’une
dissipation de puissance non récupérable. Ces pertes, appelés les pertes diélectriques,
peuvent avoir deux origines :
1. le travail irréversible nécessaire à l’établissement de la polarisation, ces pertes
étant connues sous le nom de pertes par hystérésis diélectrique;
2. la conduction ohmique dans le diélectrique (pertes par effet Joule).
Les pertes par hystérésis diélectrique sont dues aux forces qui assurent la
cohésion de la matière qui s’opposent à l’action de translation ou rotation du champ
électrique appliqué.
Lorsque le champ électrique sinusoïdal E est appliqué au diélectrique, la
polarisation P et le champ D (en conformité à la relation (9.4)) manifestent une
variation retardée par rapport au champ électrique. Ce phénomène s’appelle viscosité
diélectrique.
En considérant le champ électrique sinusoïdal :
E (t) = Em sin (ωt)
(10.21)
on peut écrire le champ de déplacement D retardé sous la forme :
D (t) = Dm sin (ωt-δh)
(10.22)
où l’angle δh de déphasage en temps s’appelle angle de pertes par hystérésis.
La variation de D en fonction de E représenté à
la figure 10.3 a la forme d’une ellipse.
D
En notation complexe, les relations (10.21) et
(10.22)
deviennent :
Dm
Em
Fig. 10.3
E
E
D
Dm
2
Em
(10.23)
2
exp(  j sin  h ) 
Dm
2
cos  h  j sin  h  (10.24)
Compte tenu de (10.23) et (10.24), il découle de (9.5) que la permittivité relative
est aussi une grandeur complexe. Donc la permittivité complexe ε r est égale à :
εr 
D
 ε rm cos  h  jsin  h  ε r  jε r
ε0 E
(10.25)
où ε rm  Dm ε 0 Em .
La partie réelle de ε r est la permittivité utilisée dans la définition de la capacité.
En complexe, la puissance apparente a l’expression :
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S h  E  J D  ph  jqh
*
(10.26)
où la densité du courant de déplacement JD = dD/dt s’écrit en notation complexe :
J D  jω D
(10.27)
Compte tenu de (10.25) et (10.27) il vient :
S h  ωε 0 εrE 2  jω 0 εr E 2
(10.28)
En séparant les parties réelle et imaginaire on tire :
ph  ωε0 εrE 2
(10.29)
qh  ω 0 εr E 2
Avec la relation :
tan  h 
ε r
ε r
(10.30)
on obtient les pertes volumique par hystérésis :
ph  ωε 0 ε r tan δ h E 2
[W/m3]
(10.31)
Les pertes volumique par conduction (effet Joule) sont données par l’expression :
pc = σ E 2
(10.32)
Compte tenu de (10.31) et (10.32) les pertes diélectriques totales par unité de
volume sont :
pt  ph  pc  ωε 0 εr tan  h  σ E 2
(10.33)
Avec la notation :
tan   tan  h 
σ
ωε 0 εr
(10.34)
on obtient pour les pertes diélectriques totales par unité de volume l’expression :
p t  ωε 0 εr tan E 2
(10.35)
où tan δ , appelé facteur de pertes diélectriques totales, caractérise la qualité d’un
diélectrique.
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