Sur les zéros des polynômes hypergéométriques - ETH E

Sur les
zéros
des
polynômes
hypergéométriques
et
des
polynômes
de
Stieltjes
THÈSE
PRÉSENTÉE
A
L'ÉCOLE
POLYTECHNIQUE
FÉDÉRALE
DE
ZURICH
POUR L'OBTENTION
DU TITRE DE
DOCTEUR
ES
SCIENCES
MATHÉMATIQUES
PAR
CHARLES
VUILLE
DE
LA
SAGNE
RAPPORTEUR
:
M. LE PROF.
D' A.
HURWITZ
CO-RAPPORTEUR
:
M.
LE
PROF.
D' A.
HIRSCH
164
ZURICH,
1916
—•rZ^T^~
GENÈVE
IMPRIMERIE
ALBERT KUNDIG
1916

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Sur
les
zéros
des
polynômes
hypergéométriques
et des
polynômes
de
Stieltjes
INTRODUCTION
Le
premier
objet
de
ce
travail
est
l'étude
de
la
répartition
dans
le
plan
des nombres
complexes
des
zéros
des
polynômes
hypergéométriques.
Il
existe
un assez
grand
nombre
de
tra¬
vaux
sur
les
zéros
de
la
fonction
hypergéométrique;
les
plus
importants
sont
ceux
de
:
Klein,
Ueber
die
Nullstellen
der
hypergeometrischen
Reihe,
Mathematische
Annalen,
ßd
37,
S.
573.
1890.
Hurwitz,
Ueber
die
Nullstellen
der
hypergeometrischen
Reihe,
Mathematische
Annalen,
Bd
38,
S.
432,
1890.
Id.
,
Ueber
die
NuUstellen
der
hypergeometrischen
Funktion,
Mathematische
Annalen,
Bd
64,
S.
517,
1907.
SriEi/rjES,
Correspondance
avec
Hermile,
t.
II,
p.
132,
134,
142,
1891.
Van
Vleck,
A
determination
nf
the
number
of
real and
imaginary
roots
of
the
hypergeometric
series,
Transactions
of
the
American Mathematical
Society,
vol.
3,
1902.
Hilbert,
Ueber
die Discriminante
der im
Endlichen abbrechenden
hyper¬
geometrischen
Reihe,
Crelles
Journal,
Bd
103,
S.
337,
1887.
Laguerue,
Sur la
distribution
dans le
plan
des racines
d'une
équation
algé¬
brique
dont
le
premier
membre
satisfait
à
une
équation différentielle
linéaire
du
second
ordre,
Œuvres,
t.
I,
p.
161,
1882.

-
4
—
Ces
deux
derniers
travaux
traitent
plus
spécialement
le
cas
où
la
série
hypergéométrique
se
réduit
à
un
polynôme;
c'est
aussi
le
cas
que
nous
étudions ici.
Le
chapitre
premier
rappelle
la
définition
du
point
dérivé
et
un
théorème
important
permettant
d'étudier,
d'après
une
mé¬
thode
indiquée
par
Laguerre,
la
distribution
dans le
plan
des
zéros
d'un
polynôme
satisfaisant
à
une
équation
différentielle
linéaire
du
second
ordre.
Les
trois
chapitres
suivants
traitent
de
l'application
de
cette
méthode
aux
polynômes
hypergéométriques
;
des
résultats
auxquels
nous
sommes
parvenus,
quelques-uns
sont
nouveaux,
les
autres
coïncident
avec
ceux
énoncés
sans
démonstrations
par
Laguerre1
ou
comprennent
ceux-ci
implicitement.
Dans
le dernier
chapitre,
nous
appliquons
la
méthode
de
Laguerre
aux
équations algébriques
dont le
premier
membre
f(z)
satisfait
à
l'équation
différentielle
:
A
(z).
f"{z)
+
B(z).
f'{z)
+
C(z).
f{z)
=
0
où
A(z),
B(z)
et
CO)
désignent
trois
polynômes
en
z.
Nous
donnons
une
nouvelle
démonstration
d'un
théorème
établi
déjà
par
M.
Georges Pôlya2
puis
nous
démontrons
un
théorème
un
peu
plus
général
auquel
nous
sommes
parveuus.
1
Œuvres,
t.
I,
p.
165.
2
Comptes rendus,
t.
155,
p.
767.

CHAPITRE
PREMIER
Définition
du
point
dérivé
et
théorème
fondamental.
Soit
une
équation algébrique
de
degré
n
:
f(z)
=
a0zn
+
üiZ»-1
+
...
+
an
=
0
.
(1)
z
désignant
une
quantité complexe
quelconque,
formons
l'ex¬
pression
t=i-nm-
(2)
Les
quantités
z
et
Ç
peuvent
être
représentées
dans le
plan
des
nombres
complexes
par
deux
points
que
nous
appellerons
pour
abréger
:
points
s
et
Ç.
Laguerre
nomme
le
point
Ç
:
point
dérivé du
point
z
par
rapport
à
l'équation f{z)
=
0
'.
Si,
pour
la
valeur
considérée
z,
la
dérivée
f'{z)
est
diffé¬
rente de
zéro,
Ç
a
une
valeur
finie
et
en
général
différente
de
z;
au
point
z
correspond
un
point
bien
déterminé
Ç;
les
points
z
et
Ç
coïncident
lorsque
z
est
racine
de
l'équation f(z)
=
0.
Soient
zit
z2>
...,
zn
les
racines
de
l'équation
(I)
que
nous
représenterons
aussi
par
des
points
du
plan.
On
peut
démontrer
le
théorème suivant
:
Si,
par
un
point
quelconque
z
du
plan,
on
fait
passer
une
circonférence
telle
que
tous
les
points
z4,
z2
...
z„
soient situés
d'un
même
côté
de
cette
circonférence,
le
point
£
dérivé
du
point
z
par
rapport
à
l'équation
f
(z)
=
0
se
trouve
aussi du
même
côté
de
la
circonférence
(flg.
1).
1
Laguerre,
Œuvres,
t.
I,
p.
56
r
Sur
la
résolution
des
équations numériques.