Sur les zéros des polynômes hypergéométriques - ETH E

Sur les zéros des
et
polynômes
hypergéométriques
des polynômes de Stieltjes
THÈSE
PRÉSENTÉE
A
L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE
DE
ZURICH
POUR L'OBTENTION DU TITRE DE
DOCTEUR
ES SCIENCES MATHÉMATIQUES
PAR
CHARLES VUILLE
DE LA SAGNE
RAPPORTEUR
:
CO-RAPPORTEUR
ZURICH,
164
:
M.
LE PROF. D' A.
HURWITZ
M.
LE PROF.
HIRSCH
1916
—•rZ^T^~
GENÈVE
IMPRIMERIE
ALBERT
1916
KUNDIG
D' A.
Leer
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Sur les zéros
des
polynômes hypergéométriques
et des
polynômes
de
Stieltjes
INTRODUCTION
Le
premier objet
dans le
ce
travail est l'étude de la
des nombres
des zéros des
plan
hypergéométriques.
vaux
sur
de
complexes
Il existe
un
les zéros de la fonction
importants
sont
ceux
de
assez
répartition
polynômes
grand nombre de tra¬
hypergéométrique;
les
plus
:
Klein, Ueber die Nullstellen der
hypergeometrischen Reihe,
Mathematische
Annalen, ßd 37, S. 573. 1890.
Hurwitz, Ueber die Nullstellen der hypergeometrischen Reihe, Mathematische
Annalen, Bd 38, S. 432, 1890.
Ueber die NuUstellen der hypergeometrischen Funktion, Mathematische
Id.
Annalen, Bd 64, S. 517, 1907.
SriEi/rjES, Correspondance avec Hermile, t. II, p. 132, 134, 142, 1891.
,
Van Vleck, A determination
nf the number of real and imaginary roots of
hypergeometric series, Transactions of the American Mathematical
Society, vol. 3, 1902.
Hilbert, Ueber die Discriminante der im Endlichen abbrechenden hyper¬
geometrischen Reihe, Crelles Journal, Bd 103, S. 337, 1887.
Laguerue, Sur la distribution dans le plan des racines d'une équation algé¬
brique dont le premier membre satisfait à une équation différentielle
the
linéaire du second ordre, Œuvres, t. I, p. 161, 1882.
-
4
—
Ces deux derniers travaux traitent
où la série
aussi le
hypergéométrique
cas
que
nous
plus spécialement
réduit à
se
un
le
polynôme;
cas
c'est
étudions ici.
chapitre premier rappelle la définition du point dérivé et
un théorème important permettant d'étudier, d'après une mé¬
thode indiquée par Laguerre, la distribution dans le plan des
Le
zéros d'un
polynôme
satisfaisant à
une
équation
différentielle
linéaire du second ordre.
Les trois
l'application de cette
polynômes hypergéométriques ; des résultats
sommes parvenus, quelques-uns sont nouveaux,
chapitres
méthode
aux
auxquels
nous
suivants traitent de
les autres coïncident
par Laguerre1
Dans le
Laguerre
f(z)
avec
l'équation
différentielle
A(z), B(z)
trois
polynômes
en
z.
démontrons
nous sommes
1
un
théorème
parveuus.
Œuvres, t. I, p. 165.
Comptes rendus, t. 155,
p. 767.
déjà
un
=
0
CO)
et
Nous donnons
démonstration d'un théorème établi
2
:
(z). f"{z) + B(z). f'{z) + C(z). f{z)
où
nous
démonstrations
chapitre, nous appliquons la méthode de
équations algébriques dont le premier membre
aux
A
puis
sans
implicitement.
ceux-ci
dernier
satisfait à
désignent
énoncés
ceux
comprennent
ou
par M.
peu
une
nouvelle
Georges Pôlya2
plus général auquel
CHAPITRE PREMIER
Définition du
Soit
une
de
équation algébrique
f(z)
désignant
z
dérivé et théorème fondamental.
point
=
une
degré
a0zn + üiZ»-1 +
n :
+
...
an
0
=
quantité complexe quelconque,
(1)
.
formons l'ex¬
pression
(2)
t=i-nmLes
quantités
des nombres
pour
Si,
par deux
nomme
et Ç.
s
le
point Ç
=
point
:
dérivé du
zéro, Ç
point
z
par
0 '.
pour la valeur considérée z, la dérivée
rente de
f'{z)
est diffé¬
différente de z;
général
correspond un point bien déterminé Ç; les points
0.
Ç coïncident lorsque z est racine de l'équation f(z)
point
au
et
points
:
représentées dans le plan
points que nous appellerons
être
peuvent
l'équation f{z)
à
rapport
et Ç
complexes
abréger
Laguerre
z
a une
valeur finie et
en
z
z
=
Soient zit z2>
représenterons
On
...,
zn
les racines de
aussi par des
un
circonférence
point quelconque
telle que tous les
d'un même côté de cette
z
par
rapport
même côté de la
1
à
z
du
le
fait
on
z4, z2
circonférence,
l'équation f (z)
nous
:
plan,
points
que
plan.
peut démontrer le théorème suivant
Si, par
point
points
l'équation (I)
du
...
passer
une
z„ soient situés
point £ dérivé
du
0 se
trouve aussi du
Sur la résolution des
équations numériques.
=
circonférence (flg. 1).
Laguerre, Œuvres,
t.
I,
p. 56
r
6
—
En
effet, si X,
peut s'écrire
courantes,
passant par le point z(x, y)
:
A[(X
=
des coordonnées
désignent
Y
d'une circonférence
l'équation
K(X, Y)
—
oc)2 + (Y
-
B(X
—
y)*]
-
x)
—
C(Y- y)
—
=
0
(3)
.
Cette circonférence divise le
deux
régions,
l'inégalité
K(X,Y) < 0,
Supposons
soient situés dans la
risée
Nous
en
partie,
A[(xk
—
•••
>
éventuellement
—
h
Zn[ÛCn, y m)
caracté¬
ces
points
trouver,
se
yf]
=.
—
B
1, 2,
(œk
...,
x)
—
n
—
C(yk —y^O
.
:
B(xk
(xk
—
—
x) + C(yk
xf + (yk
y)
y)2
—
—
A
(4)
.
part, de la définition (2) du point dérivé,
D'autre
points
:
ocy + (yk
d'où l'on tire
par
la circonférence.
sur
alors
avons
les
région
K(X, Y)^0;
par
peuvent
tous ou
l'autre
tous
que
Vi)' Z^[X^, Pîlt
i
en
> 0.
K(X,Y)
z\ \xi
plan
caractérisées l'une par
duisons successivement
nous
dé¬
:
n
rw
t
—
+
m
z
n
Posons
:
z
=
x
+ iy,
zk
—
+... +
z
1
xk
+ iyk, £
=
£ + iy.
zn
7
—
Il vient
:
n
(X
—
2i
-g (a?t
,7„ —y)
x) f
—
i()j
—y)
a;) +
—
(y*
»
—
y)
ou :
le réel de
séparant
—
{xk
üc)
i{yk
,«)a + (y,
—
—
-g (a*
-
l'imaginaire
y)
—
-
y)2
:
X
xf +
aXk
-^ri
:
,S!
=
n
(u
yf
(a*
yf
—
—
—
($
<^ç
n
v
4
n
_
-
X
—
^
en
-
y)
y)«
iti
(I
-
—
—
—
d'où
t(n
oof + („
x)
—
—
(g
n
(x«
se.*)* +
(y«
—
y)
n
n
n
Q
—
-sb
y
(^r^-»-+-(ïJ
la
Multiplions
par
—
_
yf
première
yk
2 (^
-
de
ces
#)
_
égalités
y
—
(y^-1/)2
+
par
—
,
•
la seconde
et additionnons-les membre à membre.
Nous obtenons
B(a>*
B(d?fc
:
—
d'après (4)
et
1 xj
1_-^
-^J
(a*
-g
:
A[(|
-
-
-
bien
:
-
<r)2 + (v,
point Ç est
points zlzi
Le
...
-
y)2]
-
B($
-
x)
-
zn.
région
est alors de même du
que le
point
points
tous les
y)
-
^ 0
.
0. Q. F. Ü.
zizi...zn sont tous dans la
en
C(«
donc du même côté de la circonférence que les
La démonstration est évidemment la
il
y)
y)"
—
—
B(g —a;) + Cfo —y)
2/)a
*)2 + («
(I
ou
<») + C(y*
a?)2 + (yt
——
(xi-
w
n
-
—
—
x) + C(»
y)
«)2 + (» —y)2
_
-
_
B(Ç
(5
Ç est
sur
zizi
...
point Ç.
lorsqu'il
seulement dans
ce
les
points
K(X7 Y) ^ 0 ;
Notre calcul
la circonférence
zn et
si
même
caractérisée par
nous
en
montre
est ainsi de
cas.
Le théo-
8
—
—
rème reste naturellement vrai dans le
circonférence
se
réduit à
tion
f(z)
=
0. Considérons
quelconque
l'équation
m
z
—
particulier
où la
droite.
une
Soit maintenant zt l'une
cas
des racines de
de
degré
n
—
=0
l'équa¬
1 :
(5)
z,
point dérivé Ç, du point zx par rapport à l'équa¬
Ç est le point dérivé d'un point quelconque z, nous
et calculons le
tion
(5). Si
avons
d'après
la définition
:
m
K=z-{n-l)tiw\'
—
d'où,
en
posant
Ç
=
z
Zi
:
—
{n
—
1)
2!
et pour
Les
de
z
=
n—
zl
:
1 racines de
l'équation f(z)
une
=
0.
l'équation (5) sont les racines z^z3... zn
Si, par le pointy, nous faisons passer
circonférence telle que tous les
points
même côté de cette circonférence, le
d'après
le théorème
démontré,
férence. Or Zi est l'une
f(z)
=
point
z%... zn soient d'un
Ç,
trouvera aussi
quelconque
des racines de
l'équation
0.
Nous pouvons donc énoncer le théorème
vant :
se
du même côté de cette circon¬
fondamental sui¬
—
z,, z2,
l'un
une
...
—
z„ étant les racines de
quelconque
zk des n
circonférence (ou
points
9
points
une
l'équation f(z)
z,, za,
...
droite) telle
zn
,
point Çk défini par
=
,t-2(n
est situé du même côté de cette
a
n
0, si, par
/««Y
—
passer
1 autres
circonférence,
le
:
çt
Laguerre1
on
que les
soient situés d'un même côté de celte
=
énoncé
ce
-1)^
circonférence.
théorème et
a
montré comment
à l'étude de la distribution dans le
on
des
plan
équation algébrique dont le premier membre
satisfait à une équation différentielle linéaire du second ordre.
Nous étudierons, d'après cette méthode, la répartition dans le
plan des zéros des polynômes hypergéométriques qui, comme
on le sait, satisfont justement à une telle équation différen¬
pouvait l'appliquer
racines d'une
tielle. Laguerre
les résultats
thode
a
énoncé,
auxquels
dont le
1
ce
aux
travail.
Œuvres,
t.
I,
p. 161-166.
donner les
l'avait conduit
équations
hypergéométrique. Nous
de
sans en
premier
démonstrations,
l'applicatio^
membre est
retrouverons ces
de
un
résultats
sa
mé¬
polynôme
au
cours
CHAPITRE II
Première
Considérons la série
F(a,b,c,z)
qui satisfait
z{\
la série
se
degré
n.
b par
a
employer
par
n
1
a une
—
*
—
'
a
valeur entière
.
b
.
F(z)
0
=
négative:
—
:
.
n;
polynôme hypergéométrique
un
de
la notation de
+ \,
n
linéaire du second ordre
1)*]F'(*)
b +
+
z
l2c^{c + i)
x
,
Laguerre, remplaçons
ß étant des quantités réelles
et
polynôme
:
n(n-l).«.(« + !)
l.2...n.(ß
—
n
—
,
,
1)
n+\)...ß
:
rW—.-£<•
où le
ß
:
,)nn.(n-l)...\.a...(oc +
'rK
bien
(a +
Nous obtenons le
+ (
ou
—
réduit alors à
c
+
y^z
paramètre
au
Pour
et
hypergéométrique
l'équation différentielle
à
quelconques.
-
l +
z). ¥"(z) + [c
—
Donnons
Y(~\
=
du théorème fondamental.
application
^
1.2..k.(ß-n+l).(ß-n+2)..(ß-n+k)~
premier coefficient
Afin que
ce
est
égal
{ '
à 1.
polynôme soit bien de degré
n
et que
ses
coeffi-
11
—
cients aient des valeurs
finies,
les conditions suivantes
:
^
a
—
v
z(\
—
)
l'équation
z)F"(z) + [(ß
posant
n
Z(l
—
-
1
=
p.
différentielle
n
—
...
terons
dans
%i
9
*ä>
'
•
•
zn
Zn
Calculons,
[(n
((i
+
l) *F(z)
d'où l'on tire
—
+
n
\)z}F'(z)
0
-
«)z + ß
=
l'équation
=
0
de
-
p]F'(z)
(2)
.
degré
n :
(3)
0,
les
le
plan
des
nombres
les
points
point
dérivé
complexes par
.
une
fois pour toutes,
zt par
rapport
par définition
obtenons,
-
.
polynôme liypergéométrique. Soient
racines de l'équation (3) que nous représen¬
avons
*,(1
ß
:
(a
l'expression
à
en
nous
-
oc)zi + ß
=
-
0
_
F"(*,)
faisons
__ii(Lziii)__
(p —a)*, +ß~fj.
z
0.
=
:
(xjF'iz,)
:
F'(*,)
=
:
remarquant que F(z,)
zJF'iZi) + [fc
du
l'équation —~^—
Si, dans l'équation différentielle (2),
nous
et
«
notre
Ç, d'un point racine
Nous
=
+
FW
zt, zt,
à
:
Considérons maintenant
(z) désignant
—
2)Y"(z)
+
F
1)
+
a.nF(s)
+
ou en
imposer
0,1,2, ...,n-\
=
v
satisfait à
F(z)
devons
nous
)
_
p^v
-
=
0
zit
—
On trouve alors pour Ç4
£i
ou
bien
zt
=
y
:
?
—
l'expression
+2p.
—
12
*,)
tx)zt + ß
*«(1
(ju.
—
g +
:
p
—
—
u
(4)
*«(
—
f*
Supposons
que z{ soit la racine
ou une
tion
des racines de
(3)
plus grande
solue est. la
+y
décrivons
et
l'origine
une
autour
zt est
centre
comme
point
zt
imaginaire,
tre par un second
racine
l'axe des
sera
comprise. D'après
de même du
point
d'après (4)
et
en
cercle
|/3 +
p
—
que
z3,...
.eeïistëéfé, cir¬
le théorème fondamental, il
dérivé Ç, ; c'est-à-dire que
\zt | n'est pas nul
en
nous aurons :
=
remarquant
à
l'intérieur
:
15,1
zif
zl,,
rapport
l*i
ou
ou¬
de
pointsz2,
zn sont situés à
du
en
œ.
Tous les
conférence
par
la cir¬
point
conjuguée
symétrique
Si
(flg. 2).
conférence passera
2.
de
circonférence passant
par le
Vh>
l'équa¬
dont la valeur ab-
:
zt(* + p)I^IO* —«)*i + ß-p\
13
—
Posons zt
=
j(/3
^
{(/3
+
y[)
4*ti(a:\
+
p)
-
^(«Hh^f
+
Z/Ka
}'
+
&(«
+
03 + f*)2
yD
-
la racine
absolue est la plus petite,
analogue
à
(«
a;,
_
+
l'inégalité
obtenons successivement
nous
2x,\ («
«G»!
désignait
-
^)
-
+
Si zx
iyl ;
xt +
De
(5)
«
nous
p)(/9 + ^
-
point
(/S
*i(«
ou
-
+
une
fx)2
a)2
-
03
~
f*)â
+
•
f)(«
~
fO
!
^ 0
ß) + ß
'
^ o
(5)
•
des racines dont la valeur
serions conduits par
nous
~
un
calcul
:
+
/3)
+ /3^0
(6)
.
> 0.
tirons
<
Le
pi)
-
«(*»!+#) —*i(«
Supposons
—
+
:
y\
-
(l
oc,
+
^ ^
+
zt est situé à l'intérieur du cercle
X* 4.
y*
—
x
(\
+
Ê\
4-^
=
0
.
:
0
,
circonférence comprise.
Nous
ier
avons
deux
\ß\ >
cas :
a
cas
ou
à considérer :
1/31
LC-!
a
cercle I
ou
(flg. 3).
Dans les deux
autour de
sera
> 1. Le point
du cercle II suivant que
l'origine
de même à
cas
comme
plus
il
sera
centre
ß
est à l'intérieur du
z.
est
positif
ou
négatif
à l'intérieur du cercle décrit
avec
—
pour rayon et il
en
forte raison pour toutes les autres racines
14
—
de
l'équation F(z)
0.
=
Nous
tième théorème énoncé par
—
ainsi démontré le hui¬
avons
Laguerre1
:
Ißlf
"ex.
[
Fig,
Théorème VIII
l'équation -F'(z)
2e
cas:
\ß\ <
.
—
a
Si
0
ou
131
—
et
(fig. 4);
décrit autour de
|/3| >
comprises
cas
«
il
se
l'origine comme
ß
.3, est à l'intérieur du
est
positif
centre
avec
négatif
l'unité pour rayon
0. Nous retrouvons ainsi le
=
neu¬
:
Œuvres, t. I, p. 165 ; faute d'impression. Les théorèmes
d'après l'ordre dans lequel Laguerre les a énoncés.
1
ou
trouve à l'intérieur du cercle
forte raison de toutes les autres
plus
l'équation F(z)
vième théorème de Laguerre
tot4es /es racines de
à l'intérieur du cercle
< 1. Le point
est de même à
racines de
3.
du cercle II suivant que
ou
dans les deux
en
> 0
sem£
cercle I
et il
a.
)
lk
0
sont numérotés ici
15
—
Théorème IX
Si
:
Véquation F(z)
=
a.
> 0
0 ,ço«£
—
|ß|
et
<
comprises
les racines
toutes
«
à l'intérieur du
de
cercle
(0, 1)\
l'inégalité (6)
Considérons maintenant
Fig.
signe
la racine
plus petite,
la
(0,1):
ou une
4.
des racines dont la valeur absolue est
et introduisons l'inversion par
oc'
_
__
y'
.
x-^fy> y~^r+-y<
L'inégalité (6)
devient
-s-^—i
a?. + y.
bien
ou
—
^(a^ 4- «Vi) dé-
J4
V
0
où
ou
,
rapport
i
1*1
i
_
~\7\-
:
(« + /3)-„ .'
«•
„
+ y.
+ ß ^ 0
:
ß(tf + tf)-(* + ß)<+«^o
Supposons /3 <
1
Egalement
0. Alors
:
faute d'impression chez
Laguerre.
au
•
cercle
16
—
Le
point z[
se
circonférence
Nous
1er
du cercle I
(flg. 5).
de
|«|
ou
trouve à l'intérieur du cercle
comprise.
avons
cas:
nouveau
> ,J3|
deux
cas
à considérer
Dans les deux
cas
l'origine
:
> 1. Le point z[ est à l'intérieur
ou
du cercle II suivant que
décrit autour de
Donc
—
il
est
a
négatif
ou
positif
trouve à l'intérieur du cercle
se
comme
centre
a
pour rayon.
avec
\z\\ <
H
Fig.
Or
1
\z,\
77,
d'où
5.
:
*•
>
Le
de
point
zi est donc situé à l'extérieur du cercle décrit autour
l'origine
avec
plus forte raison
Nous
ß
avons
ß
-
comme
rayon et il
des autres racines de
ainsi démontré le
en
sera
de même à
l'équation F(z)
quatrième théorème
de
=
0.
Laguerre
:
17
Théorème IV
l'équation F(z)
2e
|«|
cas:
du cercle I
il
se
rieur
=
ou
ß <
Si
0 et
\ß\ < J«|
ou
ß
<
1.
Le
du cercle II suivant que
a
autour de
( 0,
est à l'intérieur
point
est
négatif
ou
positif
les deux
trouve à Tinté-
cercle
du
toutes les racines de
0 sont situées à l'extérieur du cercle
|/3|
<
dans
(flg. 6);
cas
:
—
+y>
décrit
l'origine
avec
l'unité pour rayon.
Donc
conclut
|.si| < 1 d'où
|^,| > 1.
point
Le
zt et à
l'on
plus
forte raison aussi toutes
les
racines
autres
l'équation F(z)
situés
à
=
de
0 sont
l'extérieur
du
cercle unité.
Nous retrouvons ainsi
le
cinquième
de
Laguerre
Fig.
théorème
6.
:
Théorème V
l'équation F(z)
:
Si ß < 0 et
|ßj > |
a
|
toutes
les racines de
=0 sont situées à Vextérieur du cercle unité
(0, 1).
2
CHAPITRE III
application
Deuxième
Soit
.*
m
une
+ my + p
réelle
quantité
0, p étant
=
du théorème fondamental.
quelconque. Considérons
un
paramètre variable,
cette droite
elle-même
parallèlement
depuis
oo
du
point (-|-
qu'elle
ce
{x\
-i
>
oo,
racine de
VA)
0,
F(*)
gnant toujours
xi +
X
m(y
?/,)
—
Toutes les autres racines zt, z3
...
zn de
sont du même côté de cette droite que le
en
est de même,
dérivé
qui
=
nous
£, +
donne
Çf
Le
le théorème
a
alors
:
0
l'équation F(z)
point (+ oo 0)
,
fondamental,
du
=
0
et il
point
:
Ç,
ce
d'après
notre
Cette droite
équation
=
dési¬
poly¬
hypergéométrique
(flg. 7).
pour
l'équa¬
(z)
F
=
nôme
7.
0) jusqu'à
un point
passe par
tion
Fig.
à
point
le
dans la direction
0)
(—
,
la droite
déplaçons
et
*„, =zt+
l'inégalité
—
xi +
signe > devrait
être
2?
S-[l~,Zfi
(fj.
—
a)*, + ß
—
p.
:
m(ytx
—
y,)>
remplacé
0
par le
(1)
.
signe
=
dans le
19
—
où toutes les racines zt, 22,
cas
n'est
possible
que
ou
réelle.
Donnons à
pour
réelles,
pour
notons que
en une
(1)
m
=
m
zn sont sur la
si
toutes
peut éventuellement
m
indiquant
Posons
m
+ ^; d'où,
tg
=
en
et
transformer
,
remarquant que
cos
9 est
>o
parenthèse.
entre
entre
z
z
—
.
—
~-
et
positif:
.
Introduisons la transformation de coordonnées
:
er
bien
,
x
sont
partie
quelconque
se
supposé compris
étant
p
ç,
0
quantité
RK^-zM'9)
ou
qui
0.
=
réelle de la
partie
la
ce
:
R[(Çt-*f)a -im)}>
R
droite,
les racines
valeur réelle finie
une
m
pour
peut s'écrire
...
x,
—
0 si toutes les racines ont la même
l'inégalité (1)
égalité
—
=
1
•
x
cos
<p
%j
cos
9 + x' sin 9
—
y
sin
9
=
—7^—=== (x'
—
my')
(2)
y
=
obtenue
de
en
-Tr={\j + mx')
=
V 1 + m2
faisant tourner le
système Oxy
de
l'angle
9 autour
l'origine.
Notre
inégalité
devient
(1')
:
R(Ç\
Nous
avons
d'autre
Si
-i
part
-
-
z\) >
0
.
:
'
(p
—
a)zt + ß
—
;x
20
—
d'où par notre transformation
—
:
(Ç1-z'i)e*=2!x
(n
ï\
-
z\
=
2p
(ljL
(1')
BWei
—
*)z'te'*
—
ß-n
+
+
ß
n
—
devient:
d'où:
RjY((l
-
z't
e*)^
a)z'te-^ +
-
ß
y)} >
-
0
,
2'j désignant le conjugué de z\.
R[z\z't(e-^
donne
qui
ce
-
z't)(n
(/3
p.) [a/, (1
—
ou en
«) + 03 -f*)^(l
—
+
ijî) (cos 9
œ\ cosy
+
y\
—
sin
9)
divisant tous les termes par
aft)
+
(u
—
(a* + 2/7)(1
ou
—
enfin
(«
-
v)[x\ (VTr w"2
—
> 0
—
a)
> O
1
cos 9
—
,
Vl +
V/r+w*)(<*
<r',
—
nr
«)
a', + y, m) + ^ (œ\
m
j/t)]>0
+
:
p) « + ?/>', V/TT^1
+
V9)]
2/\ (x\ sin9 + */', cos9)]
r\
+ (jS
—
:
«
+
—
2(ß
Supposons
-
fj.)mœ\ tft
d'abord
+
+
(2p
-
-
/3) < + (ß
(ß- fi)aft V\~+ri> >
:
«
a
—
p.
> 0
.
0
-
.
a) tf
(3)
21
—
Divisons
-—-
a
termes
obtenons
nous
:
q
=
les
tous
—
de
(3) par («
p)
—
et
posons
:
p
—
(oc': + y'l)oc\ Vï+W»
(1 + q)tf + (q
-
V'T+m?
+ 2mqx\y\ + qx\
Remarquons
en
>
\)y'l
-
0
(4)
.
passant que la racine l/l + m2 doit être
prise positivement puisque
cos
<p
=--
toujours
est
.
Vl-\-m2
po-
sitif.
Considérons la courbe du troisième
f(x', y')
y'2(q
+
=
régions
partage
ces
l'autre
en
de deux
comme
le
plan
portions
se
—
,_
compose
rapport
la
de
deux
:
.
(5)
le
point
une
de
plan
si la
branches,
flgure schématique
à
y'
l'équation (5)
:
—
Fig.
(x' VT+»P + 3
x'
bien
0
(flg. 8).
mqx'+ V"m2q2x'2
ou
=
f(x', y')
0 ;
distinctes du
Nous pouvons résoudre
par
x'2(l + q)
d'ailleurs être formée
l'indique
ci-contre
—
deux
en
particulier
f(x', y') <
par
régions peut
courbe
y'2)x' V\ +m2
caractérisées, l'une par
> 0 qui contient
z\;
+
:
1) + 2mqx'y'+ qx' \/T+m?
—
Cette courbe
(a/2
degré
—
]/l +
l)(V3Vl + »t2
m-
+2
—
1
—
8.
xn(\ + q) + qx'
Vl + w")
22
où
et «j sont racines de
act
l'équation
X
se
et
VT+
«,
d'où:
1 g=
«,
\/l
_
+
«2
*,.«,
Nous
avons
duit q{q
—
cas:
deux
+ 4g(g
—
+
1)(1 +m2)
w
(7)
=
VT+
=
cas
o
=
m'
2V/1
nous avons :
1er
-<z(?-i)
•
—
q{q
OT2
1)
—
à considérer suivant le
signe
du pro¬
et la
somme
1).
q(q
—
0. Alors le
1) <
produit
a,. a2
HC'
«,
o
^+"Ç>
y
Fig.
«f
-+- a2 sont
positifs
réels, et compris
; donc
être
notons
Les
sur
points
point
2\/l
et
«2
sont aussi
dans l'intervalle 0
que, suivant les valeurs
aussi
«,
9.
respectives
l'axe des w' les
+
m"
—
=r.
,^
vT+
imaginaires. Supposons
«, et «2 sont
positifs,
points 0,
d'ailleurs
de qet m,
d'abord
«,, «s
et
Il est clair
m"
a,
et a2
peuvent
et «2 réels et
«,
1
lA
symétriques
s'ils sont
+
par
(fig- 9).
m
rapport
au
23
L'équation (6) nous montre que y' n'est réel
valeurs de x' comprises entre 0 et «4 d'une part,
d'autre
—-v==^
donc dans
entre les deux droites x'
1
a«
à la
gentes
x'
=0,
x
,
v/rr m'
courbe, la première
et
compose
l'une
comprises
quatre droites
particulier
en
se
a2
ai, l'autre entre les deux
Ces
:.
—
=
et entre
0
=
de deux branches distinctes
ce cas
droites x'
fix', y')
La courbe
part.
V \ + m1
que pour les
au
sont tan¬
point
0 lui-
même.
La courbe
possède l'asymptote
1-J
œ
suivant que q est >
-
\/l
<
ou
les deux droites x'
entre
œ
x
=
VT+
:
~
=
+
cette
0, œ'
Dans le
:.
m'
asymptote
=
cxt,
ou
premier
est
comprise
entre les droites
la courbe
cas
se
m"
compose d'une branche infinie située dans le
premier
inter¬
valle et d'une branche fermée
comprise
dans le second inter¬
valle. L'inverse
second
a2
sont
1
VY+m?
ces
-7~>
imaginaires,
est réel pour toutes les
leurs de x'
et
lieu dans le
cas.
Si «! et
y'
a
comprises
l
+x'
va¬
entre 0
et seulement
'
pour
*
"
Fig.
10.
valeurs.
La courbe
prise
En
se
entre les
résumé,
compose donc d'une seule branche infinie
tangentes x'
nous
=
0, x'
voyons que,
1
=
\/l+ma
quels que soient
com-
(fig. 10).
«4 et a3,
notre
!
24
—
courbe du troisième degré est entièrement
entre les
comprise
deux droites
1
x' -=0,
f(x',y')
f(x', y')
pour
f{x', y')
est
en sera
VY+
c'est-à-dire le
en
=
=
point
z, (x,,
yt)
de
0
(2)
:
>0
point (+
oo
,
> 0
est donc du même côté de la droite
d,
que le
(signe
:
x, + myt
Le
signe
points
ces
—
=
faisant la transformation inverse de
bien
tous
—
x, + my,
ou
0 sont d'un
=
0 x'
oo ) ; tous les points pour lesquels
y'
0 et
donc
à droite de cette droite x'
seront
positif
ainsi en particulier du point z\ (x\, y\) ; d'où :
x\ >
et
m-
de la droite x'
gauche
le même signe,
a
=
courbe; par conséquent pour
même côté de la
il
situés à
points
Tous les
x
0)
; il
:
x
-j- my
en sera
de toutes les autres racines de
de
=
0
même,
à
plus
l'équation F(z)
=
forte raison,
0, d'après la
définition même du
-s.
(flg. 11).
Nous
dire
:
m
que,
toutes
une
situées
=
Fig.
il.
racines
F (z)
du
côté de la droite
0que le
quan¬
quelcon¬
les
l'équation
sont
donc
pouvons
étant
tité réelle finie
de
point
x
=
0
même
+ my
point (+ oo,0).
Si l'on fait varier m, cette
25
—
droite tourne autour de
tions
l'origine
toutefois coïncider
sans
que toutes les racines de
positives,
Si
a.
et
tion
F(z)
2e
cas :
Dans
—
ce
cas
leur
produit
leur
somme
deux
points
triques
par
2V/1 +
dans
—
intervalle
1
1) < 0
=
Il
x.
négatif
:
l'équa¬
positives.
ou
q
> 1.
toujours
«j et «2 sont
réels ;
et
les
symé¬
a2,
rapport
;
résulte
en
0 sont réelles et
toutes les racines de
> 0 d'où q < 0
positive
xt,
au
point
comprennent
m2
leur
q(q
et
—
les deux nombres
est
l'axe des
l'équation F(V)
0 sont réelles et
q(q
peut prendre toutes les posi¬
et
avec
pouvons énoncer le résultat suivant
nous
> 0
p.
—
-
intervalle
0
le 2e
Fig.
v/rr m"
12.
(fig. 12).
L'équation (6)
valeurs de x'
~7==
et
a,
La courbe
tinctes
x'
x'—
'
«2.
et, par
montre que
comprises
entre
y'
et
«t
n'est réel que pour les
0 d'une
part
et
entre
d'autre part.
f(x', y')
comprises,
0,
=
nous
l'autre
=0
l'une
entre
se
les
les
deux
Suivant que q est > 1
conséquent,
compose de deux branches dis¬
entre
ou
<
deux
tangentes œ'=at,
tangentes x'
0
—
l'asymptote x'-
—.-_
V\ + m2
,
!_-g_
Vl+m2
la branche infinie de la courbe sont
com¬
premier intervalle ou dans le second. La courbe
comprise entre les deux tangentes x'= xl,
la droite x'
x,
Xi. Tous les points situés à gauche de
d'un même côté de la courbe; par conséquent pour tous
prises
dans le
est donc entièrement
x'
=
sont
—
;
points f(x', y') a le même signe, c'est-à-dire le signe
tous les points pour lesquels f(x', y') est positif sont donc nécesces
—
—
26
—
sairement à droite de cette droite x'
=
particulier
:
du
point z\ (af^ ?/,)
x't
et
; d'où
«,
—
xt + myt
V\ +
est ainsi
en
en
> 0
faisant la transformation inverse de
en
et il
at
«.
m2
(2)
:
>0
ou
xt
Le
d«,
+ myt
point zK{xu yt)
: x
+ my
—
«,
a,
—
\/l
+ m2 > 0
est donc situé du même côté de la droite
l/l
+ ma
=
0 que le
point (+
en
est
ainsi,
raison,
0)
et il
plus
forte
oo,
à
de
autres racines de
tion
F(z)
les
toutes
l'équa¬
(flg. 13).
0
=
Nous pouvons dire
ni
étant
réelle finie
toutes
une
quantité
quelconque,
les
racines
l'équation F(z)
situées du
point (+
oo
même
,
loppe
de di
côté
que le
0).
Cherchons
13.
de
0 sont
=
de la droite rf2
Fig.
:
l'enve¬
lorsque
m
varie.
Si
nous
remplaçons
de cette droite
«,
par la valeur trouvée
peut s'écrire
:
(7), l'équation
27
—
d'où,
en
dérivant par rapport
ô-
2'V/l
on
tire
en
+
paramètre
au
4q(q
?/ +
4q(q
—
—
—
m :
\)m
1) (1 + ni2)
:
y
et
en
l'équation (8)
introduisant cette valeur du radical dans
,
mq{q
1
x +
my
—
—
ï-^
-
2
1)
„
=
0
,v
d'où
x
*-2
m
=
Remplaçons
l'équation
Nous obtenons
au
—
ö
+ y
au
l'équation (8) après
second membre et élevé les deux
carré.
:
1
x
i)
—
par cette valeur dans
m
avoir fait passer le radical
membres de
q(q
q(q—D
1
1
X
=
q{q— \)—y2
4+?(î-l)
l +
</2
—
;
(q(q-l)-yr
ou
x
X
(q{q-\)-y*y
iq»(q—iy
=
\+q(g-l)
1
+?/s
—
(g(g-i)-2/2)2-
X
(q(q—l)
—
ïr2
y-
q(q
~
!)[?(?
-
1)
-
y"l
=
7
+
QÜ
-
])
28
—
—
d'où
œ-ï
+
\ + 9(S-l)'9(a
ou
1
=
-1)
bien
x
y*
q{q
S
La droite
—
d2 enveloppe
demi-axes
(9)
__
1)
—
Vq{q
et
ellipse
une
—
1),
de centre
ou
plus
de
et
0
2'
exactement la demi-
ellipse BiAiBü puisque d2 rencontre l'axe des x en un point
d'abscisse négative : «, l/l + m2. Cette ellipse a les points
(0, 0) et (1, 0) comme
+YS
<4
I
\
foyers (fig. 14).
A
Considérons cette
^~ B1
'-.
E et soient
diverses
0
i
4-
prend
•
ellipse
d2', d2", d'"a,
...
positions
la droite
que
d2 lorsque
varie; toutes les racines
de l'équation
0
F(z)
m
y
Ri.----'
i,
=
sont situées du même côté
Fig.
14.
de chacune de
que
lorsque
vers
devient de
m
une
position limite,
à l'axe des
Si
tion
a.
—
F(z)
plus
x.
[x
=
Nous
> 0
q(q
vers
la
tangente
x:
à
,
la droite
—
1)
B„C2.
droites
oo,
da
0);
tend
l'ellipse parallèle
déduisons le résultat suivant
:
> 0 toutes les racines de
demi-ellipse Bt A,B2
B^
ces
point (-4-
plus grand,
0 sont situées à t'intérieur de la
limitée par la
à l'axe des
et
en
en
le
portion
et par les deux
l'équa¬
de
plan
parallèles
29
—
Pour limiter à droite la
comprises
les
—
du
région
racines,
dans
plan
considérons
de
laquelle
nouveau
sont
droite
la
paramètre variable, et déplaçonsla parallèlement à elle-même depuis le point (+ oo, 0) dans
la direction du point (— oc
0) jusqu'à ce qu'elle passe par un
racine
de
0. Cette droite a
point *s(#s, 2/s)
l'équation F(z)
œ
+ my + p
0, p étant
=
un
,
=
alors pour
équation
oc
:
—
a-2 +
{y
m
Toutes les autres racines de
ys)
—
=
0
.
l'équation F(z)
0
=
du même côté de cette droite que le
point (— «3,0)
de même, par
dérivé
k*
d'où
=
conséquent,
*. + h,
l'inégalité
chapitre
lité
en
est
commencement de
ce
(\
z
+ 2p
et il
:
z)
—
j-—^xT-ri—
r
(a
—
a) ^2 -f ß
—
fx
(i*
m
à celui
conduirait
après
y«) <
—
fait
au
°
•
la transformation
(2)
à
l'inéga¬
:
(«
+
xt +
—
analogue
nous
-,
point
trouvent
:
£,
Un calcul
=
du
se
(ß
d'où,
—
-
;/)K + y':).x\ l/FT^T2
oc) y': + 2(jS
en
-
fi)mjc't y',
supposant de
termes de
(10)
par («
—
+
nouveau
(ß
a
+
—
—
u.) et posant
ß
+
y':)x\ X/T+m^
+
Considérons
/•(«•', y')
=
( 1 +
encore
notre
—
ß)a?
tx)x', \ZY+nT' <
u
0
(10)
> 0, divisant tous les
—
—
w
q)x':
courbe
q
:
u
+
2mqafiy'i + qoc\ VT^m% <
du
(q
0
-
l)j£
.
troisième
(11)
degré
0.
Supposons d'abord :
q(q
1) < 0. Dans
—
—
ce
—
=
a
{x't
(2n
ce
cas,
comme
nous
l'avons vu, la
—
courbe
est
x' =0,
x'
entièrement
=
-t-y====.
1
tangente x'-
V\
30
—
comprise
les
entre
Tous les
deux
points situés
tangentes
à droite de la
sont donc d'un même côté de la courbe
:
+ m2
conséquent, pour tous ces points f(x', y') a le même signe,
c'est-à-dire le signe + (signe de f(x', y') pour x'= + oc,
y'
0) ; tous les points pour lesquels f(x', y') est négatif sont
par
=
donc à
en
gauche de cette droite x'
particulier
du
point (x't, y\)
1
=
; donc
1
en
Le
x
:
faisant la transformation inverse de
a?2 + m«/j
point zt(x3, ys)
+ my
—
—
1
<
0
(2)
:
.
est donc situé du même côté de la droite
1=0 que le
point (—
et il
,
F(z)
est
racines
—
15).
d'après
0
Donc
réelle finie
point
(z)
=
même
x
0
point (—
varier m, la droite
toutes les
Il
en
positions
sans
résulte que toutes les racines de
réelles et
—
oo
l'équation
=
0
plus petites
que 1 ;
nous
que
le
0). Si l'on fait
,
avec
:
et
prend
l'axe des
l'équation F(z)
pouvons dire
du
droite
la
de
1
tou¬
situées
sont
d3 tourne autour du point (1, 0)
toutefois coïncider
(fig.
quantité
une
côté
-f my
z2
quelconque,
tes les racines de
F
la défini¬
:
étant
m
l'équation
de
tion même du
15.
d3:
oo
en
ainsi, à
0)
plus forte raison, des au¬
tres
Fig.
est ainsi
en
m"
<0
i/rr m'
et
et il
V7+
=
x.
0 sont
31
—
Si
a
tion
et
F(z)
(z)
=
> 0
a
—
p.
q(q
et
—
> 0
q(q
et
Nous
avons
pose q
=
a
—
Nous pouvons
1er
C/3
distinguer
a
(a
—
:
l'équation
-\- \.
1)
= -—.
^—
:
> 0
p
entre 0 et
-—~; donc:
et les conditions deviennent
précédemment
0 toutes les racines
comprises
l'équa¬
que -f- 1 ;
celui trouvé
avec
1) <
—
0 sont réelles et
=
plus petites
résultat
ce
toutes les racines de
1) < 0,
0 sont réelles et
combinant
en
Si
F
[j.
—
—
a) (/3
—
deux
a) <
—
0
.
cas :
cas :
ce
fi
—
>0
j
«-/3<oj
/3
Des deux dernières
tredit la
F
-
inégalités
< 0
on
déduit
«
—
fi
< 0 qui
con¬
première inégalité.
est donc
Ce
cas
2e
cas :
impossible.
a
[J.
—
0
>
ß-ix>0)
a
Des deux dernières
mière
qui
est donc
ß >
-
inégalités
on
j
0
déduit par addition la pre¬
superflue.
Nous pouvons énoncer le théorème
Si
ß
—
cines de
<
a
l'équation F(z)
guerre, p.
165)
Supposons
q(q
—
f{oc', y')
x'
—
x,,
0 et [x
—
x'
0
ou
u.
< ß <
0 sont réelles
comprises
entre 0 et
«, toutes
(théorème
les
ra¬
I de La-
+ 1.
maintenant:
1) >
=
et
ß <
—
:
0.
Nous
avons
0 est entièrement
=
«2; tous les
vu
que, dans
comprise
points à droite
ce
cas, la courbe
entre les deux
de la
tangentes
tangente #'= a2
sont du même côté de la courbe et pour tous ces
points f[x', y')
—
a
le même
f(œ', y')
et
signe : le signe +. Donc tous les points pour lesquels
négatif sont à gauche de cette droite oc'
«2 et il
-=
particulier
en
point zt(ûGt, yt) est
«ä \/\ + m2
Le
+ my
l/l
(2)
:
:
+ m2 < 0
.
donc du même côté de la droite
=
—
a,
—
; d'où
point z\(x\, t/s)
du
faisant la transformation inverse de
en
œt + wiy3
x
—
est
est ainsi
en
32
0 que le
point (—
de même, à
et il
dt
:
0)
plus forte raison,
oo
,
en
est
de toutes les autres racines de
l'équation F(a)
Donc
m
=
0
(flg. 16).
:
étant
finie
une
quantité
quelconque,
racines de
réelle
toutes
l'équation F(z)
les
=
0
sont situées du même côté de
la
Fig.
16.
droite
(—
»,
dk
le
que
point
0).
Quelle est l'enveloppe de la
droite dt lorsque
trouvée
œ
d'où
—
I
—
2
en
de dt
|v/l
nous
tire
remplaçons
peut s'écrire
«2 par la
4q(q
=
m
—
valeur
:
+ *g(g— l)(i + m*)
dérivant par rapport à
\
On
varie ? Si
(7), l'équation
+ my
en
m
l)m
v/F4T4?(^^Kf+^?
=
0
0
(12)
33
et
-
introduisant cette valeur du radical dans
en
+ nu/
x
(q
1
—
1)
ma
'-^—
rr
2
-
l'équation (12)
:
0
y
d'où
\
x
2_
m
g(g
y
m
q(q
y
cette
par
l'équation
deux membres de
Nous obtenons
—
expression
avoir fait passer la racine
après
—
_
—
—
Remplaçons
oc
-
au
au
i)
l'équation (12)
dans
second membre et élevé les
carré.
:
1
X
l + y2 q{q—\)—y''A
x
ce
qui
nous
2
conduit
au
1
4
x-
+ qia.
2/3
1 +
i)
—
"2,
(q(g-i)-yYl
précédemment
même résultat que
:
r
x
—
y
=
q
La droite
d2
ou
plus
rencontre
:
point
a2 l/l +
(flg.
m%
c\
—_
.*''
Soient d'td", <%•• diverses
sont
situées
du
-W
;*•
"~
y.;
1
Ui
1
0
J/
>%*
1
B*
droites
que
le
point
Fig.
n.
]\
1
.4
même côté de chacune de
ces
-JXV
1
[
positions que prend la droite
d4 lorsque m varie; toutes
les racines de l'équation
0
ellipse,
y
s
=
de cette
Taxe
17).
F(s)
.
B, A2B2
d'abscisse
x en un
positive
1
di enveloppe donc la même ellipse E que la droite
exactement la seconde moitié
puisque d4
des
1)
q{q
—
tX
*
34
—
(—
oc
0)
,
vers une
lorsque
;
Si
a.
F(z)
tion
> 0
y.
—
On
x.
=
en
q(q
et
En
ß) (a
—
trouvé
—
—
ß)
> 0
et
1) > 0,
:
dans
précédemment
a.
> 0
\>.
—
a
portion
D'après
sont
cas
y.
les
<
a
plan
de
parallèles
et par les deux
et
=
(;x
ß) («
—
et
possibles
Ces
—
ß) > 0,
celui
avec
peut
on
ï_
,
(0, 1)
a.
toutes les racines de
à l'intérieur de F ellipse:
—
pour
«
=1
foyer».
> 0,
(u.
—
ß) («
—
ß) >
0
:
conditions rentrent
dans
théorème
VIII, p. 14, où
\ß\ >
a.
comprises
portion
au
de
cercle
> 0,
a
Les racines de
l'équation F(z)
ront
plus
celles
du
générales
parti¬
cas
comme
culier
+y
peut s'écrire
0
résultat
hypothèses,
mêmes
comprises
0 sont
conditions
< ß.
les
ce
:
points (0, 0)
les
l'équa¬
toutes les racines de
combinant
en
(x-ïï
1°
l'ellipse parallèle
à
,
l'équation F(z)
deux
tangente
demi-ellipse B, A2B2
x :
énoncer le théorème
qui
la
B,^ B.2C'ä.
remarquant que la condition q(q— 1) >
à l'axe des
Si
vers
:
déduit le résultat suivant
0 sont situées à l'intérieur de la
limitée par la
(n
augmente indéfiniment, la droite dt tend
m
limite
position
à l'axe des
—
plan
0
=
se¬
dans
la
commune
( 0. ^
j
et à
l'ellipse.
2°
ß <
p
<
«.
Ce
empiète sur celui du
Fig.
18.
rème IX, p. 15, ,où
«
cas
théo-
> 0,
35
—
|/31 <
\ß\
Si l'on suppose
a.
<
—
<
p
qui
«, cas
rentre à la fois
dans les deux
0
précédents, les racines de l'équation F(z)
comprises à l'intérieur de la portion de plan commune
cercle (0, 1) et à l'ellipse (flg. 18).
=
seront
au
Le théorème XVI énoncé par
Si
a
—
ii
> 0 et
(p
/3)(a
—
Laguerre,
ß) >
—
0
p. 165
:
:
a—fi
exprime simplement
entre les deux
des
les
toutes
que
tangentes
comprises
racines sont
ellipse, parallèles
à notre
l'axe
à
x.
Remarque: Si q(q
1)
—
=
0
déduit q
en
on
1
=
=
-—-
a
d'où
ß
Le
=
cas
q
0, c'est-à-dire ß
=
mencement afin que le
En considérant
de
q(q
arrive
Si
F(z)
—
au
«
—
=
1)
0,
<
fj.
>
0
z)F"(z)
+
devient
tion
—
1)
=
été exclu dès le
com¬
ait des coefficients finis.
0, soit
comme cas
limite de
q(q
—
limite
1) > 0,
on
:
=
toutes
a.,
l'équation
les racines de
=
f(,u
«,
-
comprises entre 0 et 1.
l'équation différentielle :
a)z + ß
-
voyons que dans
F(z)
-
a
n,
-
u\F'(z)
+
(fj. + l)«F(z)
=
0
:
a)(l —,s)F'(*) + U + 1)«F(*)
ce cas z
=
\ est
une
racine de
=
0
l'équa¬
=0.
Revenons à
(a
q(q
comme cas
ß
et
z{[—z)F"(z) + (a
et nous
fx
0 sont réelles et
ß
-
soit
=
polynôme F(z)
ce cas :
même résultat
D'ailleurs si
*(1
—
oc.
l'inégalité (3)
:
a)« + y':)x\ \zr+7i? + Up.—«
+ 2(ß
—
a)mx\ij\ + (ß
—
-
ß)x:
+
os—*)y':
u)aft V\ + m2 >
0
—
36
—
z\(x\, y\) correspond, dans la
première racine zt de l'équation F(z)
transformation
où
çant la droite
point (—
le
depuis
Supposons
Si
par
,
0)
ijï)x', VY+lr?
+
-—^
courbe
f{x\, y,)
deux
nouveau
q(q
cas
0 que le
q(q
cas:
foc', y')
=
—
Pour tous les
f(x', y')
a
1) <
points
1) + 2mqafly'i
-
.
dans
région
point (—
Nous
0.
du
oo
avons
comprise
le même
à droite de la
signe
gauche
x',
ce
limitée
Nous
signe
le
le
cas,
plan
0).
,
point
parla
aurons
du
qu'alors
vu
de
produit
:
le
tangente x'
signe +
le
—
t=L=
;
point ^(.r,, yj
+ my
=
est
0 que le
—
1
< 0
situé du
point (—
oo
Vl+m2'
est donc
nous avons :
< 0
\/i+m2
x\ + my\
1
tangentes
--
point z\
faisant la transformation inverse de (2)
—
la courbe
entre les deux
de cette droite et
1
Le
désignant
+ m*
nécessairement à
œ
< 0
à considérer suivant
0 est entièrement
V\
ou en
y['(q
+
que,
la même
en
1).
—
ier
—
montre
l'inégalité précédente
:
par q
VV+m*
+ qx\
inégalité nous
z'iixfi, y\) est situé dans
dépla¬
à elle-même
obtenons
nous
x'ï{\ + q)
-
Cette
et
sens
a—(I
(x:
la
,
les termes de
précédemment
commme
parallèlement
point (+ qo 0).
en
à
:
de
change
le
(2),
0 rencontrée
0
=
vers
maintenant
[x, elle
—
oo
divisons tous
nous
«
+ my + p
x
=
:
.
même côté de
,
0).
Donc
:
la droite
37
étant
,m
quantité réelle
une
racine^ de l'équation F(s)
droite
x
+ my + p
point (—
0)
oQ,
œ
Dans
ne
ce cas
du
portion
nous
plan
l'équation F(z)
point (+
le
vers
côté de la droite
+ my
1
—
°o,
==
laquelle
0. Tout
ce
la
depuis
point (—
limiter à
comprises
nous
que
première
déplaçant
le
est située du même
0),
plus
sont
en
à elle-même
0 que le
pouvons donc
dans
=
0 rencontrée
=
la
quelconque,
parallèlement
0
z=
finie
0).
ce,
gauche la
les racines de
pouvons dire est ceci:
Quelle que soit la droite
passant par le point (1,0),
des
axe
existe
au
excepté,
x
+y
il
moins
une
racine de
F(X>
=
toujours
l'équation
0 située du même
côté de cette droite que
le
point(—oo.O) (flg.19).
Pour
cela, il faut
suffit,
comme
l'indique, qu'il
moins
une
et il
notre figure
existe
Fig.
au
partie réelle soitplus petite que -f-1.
cer
le résultat suivant
Si
a
cine de
—
19.
racine dont la
\j.
< 0
et
Nous pouvons donc énon¬
:
q(q
l'équation F(z)
1) < 0,
—
=
0 ayant
il existe
sa
au
partie
moins
réelle
une ra¬
plus petite
que -\- 1.
2e
cas :
tièrement
q(q
—
1) >
comprise
0. Alors la courbe
entre les deux
f(œ', y')
tangentes #'=«,,
=
0 est
en¬
œ'
=.
«2 ;
pour tous les
situés à droite de la tangente x'
=
a2,
f{x', y')
; le
a
le
points
signe +
cette droite et
point z\(œ\, y',)
nous avons :
JO
ou en
est donc à
M
j
<o
faisant la transformation inverse de
xA
+ my,
—
a2
l/ï
(2)
+ m2 < 0
:
.
gauche
de
—
point
Le
x
+ my
—
situé
est
zt
olzV\
+ m2
38
du
0
—
—
côté
même
la
point (—
le
que
de
oo
\
dit lorsque
l'ellipse
E
Nous
+X
dire
*t
0).
Nous
,
m
:
varie, en¬
moitié
la
veloppe
dt
que la droite
avons vu
•Y
J
droite
de
(flg. 20).
donc
pouvons
:
Quelle
soit
que
la
tangente d4 à la demiil existe
ellipse B,AaB2,
toujours
Fig.
20.
racine
de
F(z)
0
=
même
tangente
que le
point (—
oo,
moins
au
une
l'équation
située
côté
'
de
du
cette
0).
Ön voit facilement, d'après la figure, que, pour que cela ait
lieu, il faut et il suffit qu'il existe
réelle soit
partie
1
que
+
g
Si
«
que
£
[x
<
0 et q
(q
l'équation F(z)
+
-
0 dont la
il existe
partie
au
moins
réelle est
une
ra¬
plus petite
1
q-2
l'inégalité (10)
(i)(x'I + y',')x', VT+
+ 2(ß
où
racine dont la
0A2, c'est-à dire plus petite
que
1) > 0,
—
=
Revenons maintenant à
(ce
une
Donc
Q
—
cine de
plus petite
moins
au
-!x)mx',y',
z't(afa, î/2) correspond,
m* +
+
(ß
{2y.
-
-
«
:
—
ß)x'l + (0
^x'MV+Tn*
dans la transformation
mière racine zs de
—
«)tf
< 0
(2),
0 rencontrée
l'équation F(z)
la
droite
de
x + my + p
placement parallèle
point (+ oo, 0) vers le point (— oo 0).
=
=•
à la pre¬
dans le dé¬
0
depuis
le
,
Supposons de
nouveau
«
—
^
< 0. En
divisant
tous
les
-
ß
—
M
=
-
trouvons
nous
q
« + y'l)x\ V\ + m2
+
inégalité
Cette
même
le
région
point (+
dérer
ier
prise
q(q
1) < 0
q(q
points
signe
:
le
cette
tangente
à
signe
point z\
x'
—
1) >
en
point z\
+ my
x
(+
ne
oo,
0
=
0).
le
point
cas,
nous
que
Dans
ce
pouvons donc pas
plan contenant
l'équation F(X)
Quelle
moins
0, mais
soit
il existe
point (+
—.==.
0, fix', y')
a
Pour
le même
trouve dès lors à droite de
0
> 0
du
(2)
:
.
même
côté
de
la
droite
région du
nous
la
racine
droite
axe
des
toujours
au
située
du
même côté de cette droite que
le
=
=
com¬
:
que
une
à consi¬
plus
non
passant par l'origine,
excepté,
0 que
=
les racines de
=
pouvons dire
situé
donc
est
limiter à droite la
x
se
x'
faisant la transformation inverse de
point zt
cas
nous avons :
j-ä + my*
Le
f{x', y')
0.
de la droite x'
x\ >
d'où,
est situé dans la
0. La courbe est alors entièrement
0 et
=
1) + 2mqx\ij\2
les deux
encore
tangentes «'=0,
; le
posant
en
.
par la courbe
avons
q(q
gauche
—
—
montre que le
1) <
—
y'a\q
+ q) +
> 0
et
entre les deux
tous les
<(1
-
Nous
et
u
a
:
plan, limitée
0).
°c,
par
qx\VT+m?
nous
du
—
cas :
-
l'inégalité précédente
de
termes
39
oc,
0) (fig. 21).
Fig.
21.
Pour cela, il faut et il
suffit, d'après
40
—
figure, qu'il existe
notre
réelle soit
Donc
Si
a.
< 0 et q(q
p.
partie
L'inégalité q(q
et nous
réelle est
1) <
—
moins
trouvé dans les mêmes
ß
ft < 0 et
—
ß
:
< 0,
p.
—
«
a
—
a
moins une racine de
positive
est
plus petite
2e
cas :
et
ß <
ou
< ß <
a.
l'équation F(z)
moins
au
0
signe
gente
q(q
—•
1) >
x
+
m
—;
et nous
avons :
(2)
:
point z^ix^, y3)
l/l + m2
my
a,
:
=
oo
,
moins
=
la
0 est en¬
=
»,,
x'
«,,
f(x', y')
=
en
a,
\/l
—
+ m2 > 0.
point (+
:
Si
a
go
d2
:
0). Lorsque
,
demi-ellipse B^B«, (fig. 22).
toujours
au
pour que cela ait
une
«2-
faisant la transfor¬
ou
0 que le
racine dont la
l'abscisse de A15 c'est-à-dire
Donc
est
donc à droite de cette tan¬
moins
—
«
racine dont la
< 0
et
lieu, il faut
partie
Nous
partie réelle
—
est
l'équation
tangente que le point
et il suffît
réelle soit
plus grande
q(q
racine de
une
0 située du même côté de cette
0);
au
Quelle que soit la tangente c?2 à la demi-ellipse
BiA,!^, il existe
une
la droite ac'=
> 0,
xt + myt
varie, d2 enveloppe
(+
a,
—
=
est situé du même côté de la droite
pouvons dire
au
x\
—
F(f)
celui
avec
partie réelle
f(x', y')
0. Alors la courbe
points à gauche de
le point z's se trouve
mation inverse de
Le
ß < 0.
que + ].
Pour tous les
le
< 0,
partie réelle
tièrement comprise entre les deux tangentes x'
a
^
// existe
m,
0 dont la
=
racine dont la
une
—
et dire :
hypothèses
—
une ra¬
:
les deux conditions
0 par les suivantes
1) <
au
positive.
peut s'écrire
0
remplacer
pouvons
il existe
1) < 0,
—
Nous pouvons réunir le résultat énoncé ci-dessus
Si
partie
racine dont la
une
positive.
—
—
moins
au
:
cine dont la
Q(Q
—
qu'il existe
plus grande
que
1
que
1) > 0,
F
—
il existe
plus grande
au
moins
1
que
-
—
—
De
l'inégalité q(q
1) >
—
41
—
1
=
A'
2
1
q—
.
+
=
q~2
^
dou
•
l
,
g4"
?
—;
=
compte
dans les mêmes
de la remarque que
au
—
moins
[x
1
nous venons
et
racine dont la
a
—
/x
moins
au
plus grande que
Si
avec
de
ß
—
une
partie
1
celui trouvé
faire,
et
en
nous
précé¬
tenant
pouvons
:
< 0 et q < 0, c'est-à-dire si
une
ß-
=
hypothèses (p. 38)
énoncer les deux théorèmes suivants
«
5
et
?
En combinant le résultat ci-dessus
demment
et
\—q
alors
1
=
l
•
dou:
2~q
2° ? > 1
Si
possibilités
0 résultent deux
< 0 alors
1° q
a
<
réelle est
racine dont la
f*
< ß, il
existe
plus petite que
partie réelle
est
a
< 0 et ^ > 1, c'est-à-dire si ß <
«
< p., il existe
42
-
au
moins
et
-—-
a
—
une racine
moins
au
—
partie réelle
dont la
plus petite que
partie réelle
racine dont la
une
est
est
plus
u.
grande que
1
—
-
.
a
Nous
—
n
ainsi obtenu
avons
combinaisons des trois
théorème pour chacune des six
un
grandeurs
relatives. Nous pouvons réunir
suivant,
bleau
racines de
< ß <
1. p
où
r
s
=
=
suivant leurs valeurs
u.
six théorèmes dans le ta¬
désigne
+ il
l'équation ¥{z)
ß,
a,
ces
quelconque
l'une
Toutes les racines sont réelles et
«.
des
0.
comprises
entre 0 et 1.
2.
<
f*
comprises
Toutes les racines sont
< |3.
a
dans la
/32
de
portion
lipse
E
plan
commune
cercle
au
-f- y2
x-
=
^—r et à ]'el¬
se
:
IV
+
IV
«
jS <
3.
rieur de
s
<
5.
s
—
a
< 1
<
—
et
au
«
au
(i) (ß
—
t
=
racines sont
—
Il
existe
moins
moins
au
telle que
une
s
racine
une
> 1
moins
et
Il
existe
au
au
moins
une
moins
—
s
une
Il existe
telle que
au
s
moins
> 0.
une
que
-—-
>
—
j7.
racine
telle
que
-—-.
a
u..
telle
.
une
telle que
y.
< ß <
à l'inté¬
comprises
E.
< /3.
-—-
•
f*)2
a
a
1
a)
-
fi
x
6.
et
rzô
-
(ce
Toutes les
a.
< p.
a
7*
(/3
2/
[i.
l'ellipse
-—-
a
<
«
,3 <
4.
—
'
—fx
racine telle que
s
< 1
CHAPITRE IV
Autres théorèmes.
Jusqu'ici
Laguerre.
nous avons
Le but de
autres. Nous y
retrouvé six des théorèmes énoncés par
chapitre
ce
parviendrons
est de démontrer les douze
facilement
introduisant deux
en
substitutions linéaires.
Considérons de
degré
n :
F(z)
=
F(—
duisons la substitution
dont l'inverse est
z,
polynôme hypergéométrique
le
nouveau
n, a,
ß
—
u
—^~
1
=
(l
devient dans notre
cas :
F(—n,a,ß
=
ou en
—
uiz)
posant ß
—
F(— n,a,ß
p
.
—
—
s)-" F
déjà
(a,
par Gauss
c
b,
—
(l—zTF(—n,ß-t<L
—
de
1 et intro¬
—
La relation bien connue, établie
=
z) oùm
—
:
z
F(a,b,c; z)
;
m
=
«
n;z)
=
=
«,
et
r
=
(l— z)n F(— n,
Désignons pour abréger F(— n, «,, ß
F,^,) est un polynôme du degré n en
—
zt
zK
c;^-^)
*,ß
—
!l;j^-^
:
«,,
—
:
ß
p ;
—
a
;
zt)
.
zt) par F,(^,)
et les racines
;
de
—
l'équation F(^)=-0
0 au moyen
F, (.s,)
=
aussi s'écrire
44
—
déduisent des
se
(1).
de la relation
racines de
l'équation
qui peut
Cette relation,
:
(z-\)(zt- 1)
1
=
,
représentée géométriquement par une inversion par rapport
au cercle de centre (1, 0) et de rayon 1, combinée avec une
symétrie par rapport à l'axe des œ (flg. 23). Nous pouvons ainsi
0 à celle des
ramener l'étude des racines de l'équation F(z)
racines de l'équation F, (zt)
0.
est
—
=
Or le
satisfait à
polynôme F^-s,)
l'équation
différentielle
:
î1(l-^)Fl(51)+[(M.-«1)^ + /S-^lF1(^)+(/Jt+l)(x1Ff(^)
Nous
F,(-!)
=
pouvons
appliquer directement
donc
aux
l'équation F(z)
de
0
l'équation
à
0 les théorèmes démontrés relativement
=
racines
0;
=
nous
obtenons ainsi six théorèmes
sur
les racines de
F,(-,)
,.-"'m
j
\o
rèmes,
tX
l'équation
dans
0; si,
=
ces
remplaçons
nous
théo«d
par
1
ß
a
—
nous
veaux
—
et
y.
par
zt
déduisons
en
six
,
nou¬
théorèmes relatifs
racines de
aux
0.
l'équation F(^)
d'abord
à
appliquons
0 les quatre
l'équation Fi(z,)
IL
chapitre
=
Ainsi
=
théorèmes démontrés
Le théorème IV
Si
ß <
0 et |
au
donne
nous
ß| < |
«,
|,
il
en
:
résulte
| zi | >
—
:
nous en
duisons le
Théorème VI
:
Si
z
ß <
—
l
0 et
>
\ß\ < \ß
1/3 I
ß-
—
«
—
«,
:
dé-
45
—
Dans
prises
cas, les racines de
ce
à l'extérieur du cercle
correspond dans
rieur du cercle
rème VI
l'équation Ft(z,)
cercle K
qui,
respond
au
donc que, dans les conditions
l'équation F(z)
ß <
cercle
déduit,
en
0
et
V
0,
>
remplaçant
Les racines de
(0, 1);
K4
0
=
:
Le théo¬
énoncées, les
trouvent à l'extérieur du
se
rapport
au
cercle
(1, 1),
cor-
ß
„
ß
—
appliqué
\ß\
Théorème VII
cercle
Au cercle
24.
dans l'inversion par
Le théorème V
Si
(flg. 24).
K4 correspond l'extérieur du cercle K.
Fig.
de
( 0,
K,
0 sont com¬
=
notre transformation le cercle K et à l'exté¬
signifie
racines
—
à
|«J,
«t
a.
—
fj.
l'équation F,(~()
il
par ß
Si ß < 0 et
en
—
x
|/3|
l'équation F, (zt)
à ce cercle
|^,|
résulte
—
correspond
0
—
a
—
nous
donne:
> 1 d'où l'on
^ et ^ par
> 1/3
=
=
f*|
^£_-y
:
»
le
>1-
0 sont à l'extérieur du
dans l'inversion la droite
46
—
ce
et à l'extérieur du cercle
—
de cette droite
x
le
droite
demi-plan à
(flg. 25).
—
-
Le théorème VII
correspond
exprime
que, dans les conditions énoncées,
les
toutes
racines
l'équation F(z)
situées
droite
dire
droite
à
œ
=
^
réelle
de
ces
leur
ont
la
c'est-à-
,
que toutes
cines
de
0 sont
=
ra¬
partie
plus grande que ^.
Le théorème VIII ap¬
Fig.
> 0
De «,
25.
j|3| >
et
pliqué
à
F, (s,)
0 donne:
il résulte
a,,
=
l'équation
d'où l'on dé-
<
duit le
Théorème XIII
z
—
<
\
ß
«
—
f* > 0
—
et
\ß\
ß
>
—
«
1/31
ß
a
—
—
K,: ( 0,
—
u
l'équation F^z,)-—0
Les racines de
cercle
Si
:
)
; à
ce
cercle
sont à l'intérieur du
correspond
dans l'inversion le
cercle K et à l'intérieur de Kj correspond l'extérieur de K
(flg. 26).
Le théorème XIII
du cercle K
correspond
v
qui,
Appliquons
Si
«)
sons
le
(0,
\
encore
Nous obtenons
> 0 et
=0 sont situées à
dans l'inversion par
cercle
au
donc que, dans notre cas,
signifie
l'équation F(z)
les racines de
à
)
7——
ß
-
a
rapport
-
au
l'extérieur
cercle
(1, 1),
.
F.)
l'équation F,0?,)
=
0 le théorème IX.
:
|ß|
<
«,,
il
en
résulte
| z, |
< 1, d'où
nous
dédui¬
47
—
Théorème XII
Les racines de
cercle
x
=
Si
:
ß
«
—
—
l'équation F! (.zv)
l'intérieur du
à
p-,
de la droite
x
=
que, dans les conditions
Le
-.
Ffc)
=
que toutes
ces
Dans le
Laguerre
F(z)
—
=
0 sont à
\ß\
<
III nous
-
l'inversion
le
théorème XII
«
—
la
u
:
droite
demi-plan
exprime
toutes les racines de
à
donc
l'équa-
26.
de la droite
x
=
racines ont leur partie réelle plus
chapitre
ß
0 sont à l'intérieur du
correspond
énoncées,
gauche
=
et
dans
cercle
Fig.
Si ß
y. > 0
(0, 1) auquel correspond
gauche
tion
—
avons
-,
c'est-à-dire
petite
que 5.
retrouvé le théorème I de
:
a
< 0 et fj.
—
0 sont réelles et
ß <0, toutes
nous avons
les racines de
ajouté
:
l'équation
comprises
entre 0
et 1.
Ce
théorème, appliqué à l'équation F,(^,)
Si ß
—
a,<0etfji
—
ß
<
=
0,
nous
donne
:
0, toutes les racines de l'équation
48
—
F^Oj)
réelles de zi
compris
Donc, par
notre
1,
entre 0 et
Si
:
l'équation F(z)
=
ix
ß
—
<
réelles
sont
0
entre 0 et
—
qo
z
.
obtenons le
nous
+ p. < 0 et
a.
compris
z sera
transformation,
Théorème II
de
des valeurs réelles de
correspondent d'après (1)
et si z{ est
cines
entre 0 et 1. A des valeurs
comprises
0 sont réelles et
==
—
0,
toutes
et
nous
les
ra¬
pouvons
ajouter: négatives.
Il est du reste évident que les racines doivent être
ce
nous
pouvons énoncer, relativement
puisque,
sont positifs.
Enfin,
l'équation F,(z,)
Si
ai
—
=
0, le théorème
l'équation Fi(zi)
de
lipse
(,u
p. > 0 et
—
ß) (a,
0 sont
=
ß)
>
Cette
(1, 0)
2)
à l'intérieur de l'el¬
+
V,
ellipse ayant,
comme
comme nous
foyers,
désignant
2^=^-\
le
et
w) (j8
+
l-,-l|
de
axe
=
«
aussi s'écrire
:
,
qui
l'ellipse
est
ici
égal
à
est > 1.
ellipse "correspond dans notre
quatrième degré dont l'équation peut
A cette
z
z
points (0, 0)
l'avons vu, les
équation peut
son
grand
qui
1
=
(j8
—
(«i-v-Y
l*.l
ou
0, toutes les racines
comprises
2
du
racines de
:
—
!Y
1\»
a
aux
:
x,
et
négatives
polynôme F(z)
cas, tous les coefScients du
dans
—
+
\
1
z
—
inversion
s'écrire
courbe
une
:
1
r
11
—
a
bien
où
a
=
2ß~
-"-1
ß +
r=
ß
—
a
cc
—
2 ix
49
—
courbe, qui
Cette
construite soit
l'inversion,
(«g. 27)
soit
1
correspondante
directement
par
sur
l'axe des
droite
une
or
les
l'une
une
l'axe des
OfC4
...
être
dans
suivante
sur
série de droites
x
les
cette droite à
un
segment
parallèles
points B,!^
avec
menons
l'axe des
par le
un
x
27.
l'autre des deux directions
ou
0 et 1 et
d faisant
quelconque
différent de 0. Portons
Traçons
sur
peut
l'ellipse
de
construction
la
points
Fig.
angle
entier dans le fini,
en
courbe
:
Marquons
point
est située
comme
—
...
et
à OA
sur
partir
de 1 dans
1
égal
—
A
à
-
.
(Xi
qui déterminent
la droite d les
; il est clair que le cercle décrit autour de
points
l'origine
et
coupe le
passant par l'un quelconque B& des points B,B2
le
1
et
du
autour
cercle décrit
point corres¬
passant par
point
...,
pondant Ct
trième
en
deux
points appartenant
à notre courbe du qua¬
degré.
D'autre
part,
à l'intérieur de
l'ellipse correspond l'extérieur
4
50
—
de cette courbe
de
l'ellipse.
Si ß
cines de
le centre de l'inversion est à l'intérieur
Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant
«
—
puisque
—
2p.
(ß
> 0 et
l'équation F(z)
courbe du
—
fi.) (a + n)
> 0,
|z|
:
+ 1
=
-z——-—p-
Afin de retrouver le théorème XVII de
prises
•
Iz
Laguerre,
quons que les racines zt de
entre les deux
;
toutes les ra¬
0 sont situées à l'extérieur de la
=
quatrième degré
—
11
—
.
remar¬
0 sont
l'équation F1(5,)
à
tangentes
l'ellipse parallèles à
=
com¬
l'axe
des x, c'est-à-dire entre les deux droites
V(ß
y
A
-
a)(ß -«,)__,_
ß-
ces
deux droites
les deux cercles
les deux droites
deux cercles
K,, Kä
et à la
correspond
portion
cines de
cercles
2p
l'équation F(*)
—
a.
la
de
plan comprise
entre
28.
portion de plan extérieure
aux
(fig. 28).
Nous pouvons donc dire
ß
*P
dt, d% correspondent, dans l'inversion,
Fig.
Si
V(ß -/»)(«+ fi)
—
K,, Kä.
> 0 et
=
:
(ß
—
ju) (ex + ft)
> 0, toutes les
ra¬
() sont situées à l'extérieur des deux
51
-
Il est évident d'ailleurs
entièrement
De
Z,
et
=
l'inégalité
qu'elles
r
z
—
lui sont
=
nous
on
iy
x—l
tire Vi
=
TT^l—ï '>
+ y
7
{x—1)
:
,V|<V3ES±2
et
tangentes.
~
r—,
+
1
deux circonférences sont
ces
que
à l'intérieur de notre courbe du qua¬
comprises
degré
trième
—
<^E^±S
Ud
devient-
pouvons formuler le
Théorème XVII
Si
:
ß
—
«
2u>0 et (ß
—
\/(fi
\y\
{œ— l)8 + 2/2^
Revenons
encore une
fois à
t) (a
-
/3
«
—
—
+
u) (z + p.)
—
+
:
fT)
2H
l'équation différentielle
*(l-s)F>)+[(p--«)* + /3-M]F^)
>0
:
(p+l)a.F(*)
=
0.
Introduisons la substitution linéaire
z
et posons
=
sera
=
Nous
-
Si
0
nous
férentielle
=
d'après
0
bien
déduisent
se
la relation
-
-
zt)
F, (z,)
=
.
en
n
^
et
les racines de
racines
des
de
l'équation
(2j.
F"(l
et
introduisons la substitution
nous
obtenons
*,)-« Ffo)
-
+
ou
Fi(zi)
avons :
F'(l
(1
=
polynôme du degré
un
l'équation F(z)
F, (zt)
(2)
zt
—
:
F(l-zi)
F, (z,)
1
(2)
-
z,)
dans
=
Ffo)
.
l'équation
dif¬
:
{([x
-
«)(1
-
(!x + Y)aFi(zi)
z,) + ß
=
-
HF',(*J
0
:
zt(\-zi)ri(zt)-^[(ii
—
lx)zi+a-ß\F'i(zt) + (ii + \)ocYl(zl)
=
0.
52
—
Le
polynôme F, (zt) satisfait
l'équation
même forme que
vons
l'écrire
posant /3,
=
a
Nous pouvons
uns
F(z)
-f
ßt par
veaux
0;
a.
—
primitive;
p
de
pou¬
p
—
l'équation F^z,)
à
trouvés relatifs
j3
et zt par 1
théorèmes relatifs
La relation
(2)
que
=
0
jS.
—
aux
nous
z
—
z, nous
racines de
quelques-
—0
l'équation
racines de
aux
si dans les résultats ainsi obtenus
+
nous
x)zl+ßt—[l]F\(2l) + (it+l)*Fi(zt)
appliquer
des résultats
=
équation différentielle
à une
différentielle
:
zi(l-zt)ri(zi) + [(p
en
—
en
remplaçons
nous
déduisons de
l'équation F(z)
pouvons écrire
nou¬
0.
=
:
1
-\- zt
2
montre que le
point
fixe (
x
=
-,
0 1 est le milieu du seg-
y
ment zzt. Notre transformation est
à
une
+y
symétrie
par
Le théorème IV
l'équation F,(^()
Si
+JC
£,<()
résulte
en
rapport
point (flg. 29).
ce
et
appliqué
=
0
|/3,|<|a|,
|?,|>
à
donne:
-'
il
d'où
'
Z
nous
déduisons le
Théorème
—
Fig.
Ce théorème
l'équation F(*)
(1, 0)
29.
=
et
H>
exprime que,
et de rayon
dans
ce
:
Si
ß
—
?.
/3_«_/x<|a|;
ß
cas, toutes les racines de
0 sont situées à l'extérieur du cercle de centre
r-
.
I«
L'application
duit à
f/.>0
XV
:
du théorème V à
l'équation F, (zt)
=
0
con¬
53
—
Si
Il
/31<0
|/34| >|«|.
et
—
alors
\zt\>
1.
0
y. >
et
résulte le
en
Théorème XIV
ß
Si
:
«
—
—
\ \
ß
<
a.
«
—
p
—
:
|z— 1|>1.
l'équation F(z)
Alors toutes les racines de
0 sont situées
=
(1,1).
à l'extérieur du cercle
Le théorème VIII donne:
Si
sons
||3,|>a,
>0 et
«
|^,|<L^,
alors
d'OÙ
dédui-
nOUS
le
Si
Théorème X:
\ß
> 0 et
a
—
«
—
^|
>
« :
l5_l|<!£=JpiLl.
Dans
ce
à l'intérieur du cercle (
comprises
Le théorème IX
Si
a
> 0
l'équation F(z)
toutes les racines de
cas
appliqué
IjSjI
et
<
«,
à
il
1,
-
—
~
l'équation F, (.s,)
en
résulte
=
J
0 sont
=
.
0 donne
:
d'où l'on dé¬
],?,;< 1,
duit le
Théorème XI
Si «>0 et
:
Alors toutes les racines de
nous
Si
a
Ft(z,)
+ [x < 0 et p.
D'après
est négatif,
—
/*|
<
F (.s)
l'équation
l'équation F, {zt)
ßi
—
0 sont réelles et
=
a
«
:
|z
0 sont
=
—
11 <
1.
comprises
=
0 le théorème
II;
:
la relation
2,
à
encore
obtenons
—
(1, 1).
à l'intérieur du cercle
Appliquons
\ß
(2),
0, toutes les racines de l'équation
négatives.
si zi est
réel,
plus grand
sera
z
<
sera
z
aussi réel, et si
Nous pouvons donc
que 1.
énoncer le
Théorème III
cines
Enfin
nous
Si
a.
+ p. < 0 et
l'équation F(z)
de
ajouter
:
:
plus grandes
appliquons
obtenons
:
à
=
0
sont
ß
—
a.
<
réelles
0,
et
toutes les
nous
ra¬
pouvons
que -f- 1.
l'équation F, (s,)
=
0 le théorème
XVII;
54
—
ft
Si
—
a
>0
2(*
—
nous
par 1
—
déduisons,
-y/(g
|y|
+
Si
par
«
et yt par
ß + [x<0
(«
et
—
cercle
—
a
ß
—
et
^<
?/ :
ß) (oc + a) > 0
:
(1, 1)
—Ss—:—
~
Le théorème XVIII
—
exprime
«
—
parallèles
à l'axe
•
eu
que les racines
Y(z)
+y
=
0
z
l'équation
de
situées
sont
l'extérieur des deux
cles
~à
4
U
^
correspondent
facilement
du
en
+
fx)(«-/3)
y2
y2
z
_y(ß
V/(a
+
—
z,,
cercles
de
ces
trouvent
remplaçant
< par le
bien
x2 +
1
l'inégalité, résultat
On obtient
y/(«
se
théorème
signe
±y
aux
équations
Les
deux cercles
30.
x2 +
z=
K',, K', (flg. 30).
dans
Fig.
à
cer¬
dans la
K,, K2 qui,
transformation
+x
>!ix
V
exprime,
0
=
K'2 correspondant dans l'inversion par
à deux droites dt, rf2
p,
ou
+
appliquée l'équation F,O,)
à la distance ±
hr
p\
:
2f*
l'avons vu, que les racines zl sont situées à l'exté¬
rieur de deux cercles K',,
x
x
—
résulte
en
M)(a^6)
Le théorème XVII
des
—
a
»I
/3 + /x
comme nous
au
—
remplaçant
z, c'est-à-dire xt par 1
x2+y2<-
rapport
/3,
y\
en
Théorème XVIII:
u) (a + //.)> °>
—
-,<
(^-ir +
d'où
Q3,
et
—
+ n)
il)(*~ ß)
=0
XVIII,
signe
le
=.
—
ou
enfin
55
—
:
«,. +
(y± _=£ + JL=Y=
<ß + ^
2 l/(a + a) («
V
i5)/
/3)
4(« + p) (a
-
énoncer, relativement
Nous pouvons aussi
l'équation F^) —0,
précédemment.
Si ßt
le théorème que
2^ > 0 et (ß,
0
l'équation F4(^,)
du quatrième degré :
a.
—
—
—
cines de
courbe
d'où
Si
nous
ß +
déduisons le
[i < 0
l'équation F(z)
=
quatrième degré
Cette courbe
une
(a
et
:
se
a
a
ici
—
a.
nouveau
—
>
racines de
démontré
avons
toutes les
0,
ra¬
o.
—
ï.-l
2[x
théorème:
ß) (a + ;jl)
> 0, toutes les racines de
0 sont situées à Veoctérieur de la courbe du
|z
—
11
+ 1
2a +
u-ß
une
rapport
par
autre
,
=
,
P + F
déduit de celle trouvée
simple symétrie
constante
n)(x + p)
J8, +
ßt
nous
aux
sont situées à l'extérieur de la
=
+ .1
.
-
au
valeur;
précédemment
point
($,
les rôles des
01, mais
points
par
la
0 et 1
sont intervertis.
Nous avons retrouvé tous les
guerre. On
une
des
l'autre,
pourrait
croire
substitutions
on
çoit qu'il n'en
théorèmes
aux
arriverait à de
au
théorèmes énoncés par La-
premier abord, qu'en appliquant
théorèmes obtenus
nouveaux
est rien et que l'on retrouve
déjà
démontrés.
au
théorèmes, mais
toujours
moyen
on
de
s'aper¬
les mêmes
CHAPITRE V
Sur la distribution des zéros de
l'équation
satisfaisant à
A(,)^fÄ
Soient
+
B(z)^
A(z), B(z), C(z)
commun à tous les
p -f
Bfz)^-
+
trois, le
l'équation
A(:)¥
Heine1
toujours
a
degré
conséquent
n en
des
z.
et
BWI + CW'J=:0
(1)
(z)
admette
polynôme C(z)
comme
ces
y s'élève à
l'équation (1);
f(z)
un
polynôme
intégrale
telles que
un
poly¬
:
de
*(„,„
degré
n,
=
,.
solution de
nous avons
Décomposons
la fraction rationnelle
-~x
A(*)
Handbuch der
il existe
déterminations et par
k{z)f"(z) + B(z)f\z) + C(z)f{z)
1
:
(1)
•
B(z) étant donnés,
et
Le nombre de
polynômes
=
.
—
(„,p)=öi±m^^t+i^i>
Soit donc y
0
différentielle linéaire du second ordre
montré que, A
différentielle
=
polynômes en z sans diviseur
degré de A(z) étant quelconque
1.
G(z) au plus égaux à p et p
certaines déterminations du
l'équation
nôme du
+
C(z)y
trois
1, les degrés de B(z)
Considérons
+
polynômes
différentielle
Kugelfunktionen,
t.
I,
p
472-476.
=
en
0
.
(2)
fractions sim-
—
pies
et supposons que cette
B<X>
A(z)
Si
Pt
__
décomposition ait
P*
,
=
C(z)
z
<74
—
0
a une
B(-) et,
cette racine annule
A(z), B(f)
—
.
la forme suivante
Pi
,
'"
z
l'équation A(^)
et
57
simples
racine différente de a,, a2,
à cause
(2),
de
n'ont pas de diviseur
obtenue
ou
du moins des
•••
#;>
f(z) puisque
aussi
commun.
l'équation A(^) 0 sont des
racines simples de l'équation
=
la fraction
à 0 le dénominateur de
posant égal
en
«j
—
Les autres racines at, «2... ai de
racines
/3)
'
5:
(72
—
:
simplifiée.
-r~~
proposition suivante:
0 sont réelles et si
l'équation k{z)
toutes les quantités pipi... pt sont réelles et positives, l'équa¬
tion f(z)
0 a aussi toutes ses racines réelles et comprises
dans le plus petit intervalle qui renferme toutes les racines de
0.
l'équation A (z)
M. Polya2 a généralisé ce résultat en l'étendant au cas où
0 sont quelconques; il a dé¬
les racines de l'équation A (s)
Stieltjes1
a
démontré la
Si toutes les racines de
=
—
=
—
montré le théorème suivant
Si, dans la formule (3),
positifs,
nombres
:=
plus petit polygone
complexes, qui
A(z)
tion
f(z)
le
=
:
tous les nombres
0 ; si toutes les racines de
0
polygone
est située
sur
forcément confondue
A(z)
=
se
A(z)
réduit à
la
avec
une
=
plan
sont
des
l'équa¬
0 sont situées
de
des
sur
la
segment de. droite;
un
des racines de
frontière
ce
l'équation
polygone,
racines
de
elle est
Véquation
0.
Nous allons d'abord démontrer
des
le
pt
contient toutes les racines de
dans tous les autres cas, si l'une
—
dans
convexe,
...
0, contient aussi toutes les racines de l'équation
même droite, le
f(z)
p,, p%
points
dérivés.
mathematica, Bd. (>,
1
Acta
2
Comptes rendus,
t.
155,
p. 321-32G.
p. 767.
ce
théorème par la méthode
58
—
A cet
une
effet, considérons
réelle finie
quantité
point (+
oo
,
droite
0) jusqu'à
l'équation f{z)
=
x
quelconque,
+ my + p
=
déplaçons
et
0,
étant
m
cette droite
point (— oo, 0) vers le
depuis
qu'elle passe par un point zt, racine
le
à elle-même
parallèlement
de
une
—
ce
0.
Si zi est aussi racine de
l'équation A.(Y)
0,
=
on
peut énoncer
immédiatement le résultat:
Si la droite
considérée,
x
+ my + q
0, où
=
particulière
0
l'équation A.(z)
que le point (+ oo. 0),
la valeur
m a
est telle que toutes les racines de
soient situées du même côté de cette droite
il
en
est de même de toutes les racines de
zx ne soit pas racine de
Supposons que
La droite
passant par
œ
—
ce
point
œt -\-
Les autres racines de
=
l'équation f{z)
l'équation k(z)
alors pour
a
m(y
y,)
—
=
0
l'équation f(z)
point (+
=
0.
:
0
x,
sont situées du
0),
et il
en
est
même, d'après le théorème fondamental, du point dérivé
Ç,
c'est-à-dire que
=
«i + ira
signe
f(z)
=
xt +
—
*,
m
—
(»,
x
sur
m
(y
nous
f'(zl)_
alors pour
expression
{,
=
—
y,)
—
yt)
faisons
/"(*.)
a
~
l)^y
^ 0
la même droite
xt +
—
Si, dans l'équation (2),
Ç,
2{n
,
toutes les racines de
ayant lieu lorsque
0 sont situées
=
=
:
nous avons :
£4
le
0.
.
=
même côté de cette droite que le
de
équation
=
A(zt)
B(*,)
0
=
.
zit nous obtenons
'
:
,.+ 2(.
-
l'équation
:
=
z
(4)
1)4$
,
:
59
—
d'où
nous
déduisons successivement
S,
*,
-
2(n—
Ç, —*,
zl
£i + ^i
—
-2,
,
a?, 4
«
(«i
^)ä + («i
>n
^)2
-
—
-
Vif
+ («.
-
2/i)2
bien
2(n— Il
-äj
(x,
l
^
2(n
-
«J
"*>
~
-
+ *'&
a,)3
-
«/
(y,
+
Pttex
-§ (^
1 )
—
:
mPk(l/i
—
ßk)
^
~
-
&à
ßk?
ßu
+ (y,
après simpliflcations
+
ißk
-
/3t)2
:
0
:
'
Considérons
tous les
:
-
ak +
—
P*
l'imaginaire
devient alors
^ feto
ak
•
S ^
! >
—
yt_
L'inégalité (4)
ou
2(n
2/i)
le réel de
(É.
-
,
^
1
séparant
-
y£ 0
•*, + «/,
=
=
—
et en
(£,
o/t
—
A(zt)
B(*,)
1)
2(n—l)Jj^-«fc
l)"A(*f)~
1
|,
-
:
posant
en
?i
2(n
=
où
d'où
—
?„
une
points ak
cette droite que le
*k +
mßk
-
droite fixe
=
<xk +
ißk
point (+
—
9 > °
oo,
:
œ
^
+ my
/>*(«*+ w/3*)
—
q
=
0
telle que
soient situés du même, côté de
0)
;
°"
nous avons
xk +
alors
mßk
> 1
:
60
—
d'où
ou
en
bien
tous les pk
supposant
—
positifs
:
:
i
i
d'où
xi + myi > q
xt + my^
point
Le
2,
et
K(z)
.
point (f
0) ; il
00,
forte raison des autres racines de
pouvons dire
nous
Si
q > 0
est donc aussi situé du même côté de la
(<r,, yt)
droite considérée que le
plus
—
une
est de même à
en
l'équation f(z)
=
0;
:
droite est telle que les racines at «2
at de l'équation
...
=0 soient situées du même côté de cette droite que le
il
point (+ 00, 0),
l'équation f(z)
0 ; celles-ci
=
vu, les racines de
seulement a, a2
est de
en
k(z)
...
=
même de toutes les racines de
comprennent,
comme nous
0 différentes de n, er2
...
a( mais toutes les racines de
l'avons
ax\ donc
A(z)
=
non
0 sont
aussi du même côté de la droite. Nous obtenons le même résul¬
tat que celui énoncé directement dans le
racine
cidait
~,
avec
racine de
une
Si maintenant
parallèlement
l'équation
déplaçons
nous
elle-même
à
00, 0) jusqu'à
0, et si
l'équation f(z)
point (—
ce
=
la
depuis
(z)
A
=
droite
le
la
où
première
0.
+ my -\- p
x
point (+
qu'elle passe par
exprimons que
00,
une
nous
Ç2 est du même côté de cette droite que le
obtenons
cas
rencontrée dans le déplacement de la droite coïn¬
le
point (—
0)
=
vers
0
le
racine zt de
point
00,
dérivé
0),
nous
l'inégalité
(£,
et le même calcul
a?,) + m(v72
—
fait
changent simplement
—
2/2)
précédemment,
de sens, conduit
^ 0
mais où les
au
(4')
inégalités
résultat suivant
:
61
—
Si
A(z)
point (
0 soient situées du même côté de cette droite que le
oo,
-
0), il
l'équation f(z)
A(z)
avec
avait
tat est
lorsque
à l'axe des
parallèle
vrai
encore
lorsque
des côtés du
polygone
l'équation f(z)
il
particulier,
rackies de
f{z)
=
droite
A(z)
=
qui
en
0;
nous
à chacun
venons
d'énoncer
toutes les racines
:
sur une
même droite, les- racines de
dans le
plus petit segment de
x
nous
A(z)
=
une
droite
ce cas
point
le
passant par
z, racine de
racine de
fiz)
=
polygone
ne
l'équation A(z)
...
=
al.
0
at at
points qui
ces
se
...
at de
peut
ne
ne
—
ne
...
a,
sont
être
un
sur
cette
0 est située
sur
peut que coïncider
l'équation A(z)
réduit pas à
polygone
ne
0
l'équation f{z)
polygone considéré, elle
des racines a, a2
Et l'on voit aussi que le
points
cette droite. Notre calcul montre que
sur
la frontière du
racines a, a2
Stieltjes.
des
un
cette
0. Si cette droite est
retrouvons le théorème de
une
de
x.
contenant toutes
appliquant
en
droite. Donc si
où le
0
résulte immédiatement que si toutes les
0 sont
=
donc pas tous situés
cas
à l'axe des
convexe
et laissant d'un même côté les autres de
avec une
+ my + p
=
limite, c'est-à-dire
parallèle
à démontrer
contient les racines de
Considérons
dans
m
que
0 sont aussi comprises à l'intérieur du
comprises
0 sont
l'axe des
0.
supposé
x
est de
en
considéré.
polygone
En
=
la droite
le résultat que
théorème
retrouvons le
=
avons
l'on passe à la
l'équation A(z)
Véquation
; mais il est clair que le résul¬
petit polygone
Considérons le plus
de
x
la droite considérée devient
les racines de
nous
nous
flnie, c'est-à-dire que
valeur
n'était pas
l'équation f(z)
proposition
établir cette
une
:
droite, il
0 soient situées du même côté de celte
même de toutes les racines de
Pour
donne
précédent
le
droite est telle que toutes les racines de
une
=
racines de
de même de toutes les
est
en
0.
=
Ce résultat combiné
Si
l'équation
droite est telle que toutes les racines de
une
=
—
=
0 dans le
segment de droite.
contenant toutes les racines
peut avoir
sur son
périmètre
que les
62
—
Revenons maintenant à
A(*)
f(z) étant
f"\z)
l'équation différentielle (2):
B{z)f(z)
+
polynôme
un
—
de
degré
C(z)f(z)
+
n en z
=
0
et considérons le déve¬
loppement (3):
BQ)
A(z)
Pi
_
z
at
—
cette fois que
Supposons
P*
,
naires aient tous leur
k(z)
z
B(s)
et
partie
...
une
=
0a
polynômes
être
Dans
=
racine
une
soient des
positive.
portion du plan
l'équation f(z)
l'équation k{z)
«;
—
qui peuvent
pl
réelle
facilement
trouver
toutes les racines de
Si
Pi
,
oä
—
coefficients réels et que pt, pä,
peut aussi
,
""
z
ce
à
imagi¬
cas
on
contenant
0.
imaginaire,
la racine
elle
a
aussi
imaginaire conjuguée. Supposons
imaginaires conjuguées; on voit alors fa¬
cilement que pl et p2 sont aussi imaginaires conjugués.
0 parallèlement à elleDéplaçons la droite x + my + p
donc que a, et a.2
soient deux racines
=
depuis
même
ce
qu'elle
le
passe par
Si z, coïncide
A(z)
0
=
point (—
cas
Supposons
avec
=
une
des racines a, öä... a, de
f(z)
=
—
ak 5*= 0 où k
signe
f(z)
Nous
=
\, 2,... I; alors toutes
oo,
0)
et il
en
est ainsi du
y,)
^ 0
point
dé¬
d'où
:
|,
—
l'équation
0 sont situées du même côté de la droite
considérée que le point (+
le
le
précédent (page 58).
donc zi
les racines de
rivé Ç,
0)
peut énoncer immédiatement le même résultat
on
que dans le
point (+ oo, 0) jusqu'à
0.
point z, racine de l'équation f(z)
un
oo,
vers
=
—
a-, +
m
(tit
ayant lieu dans le
0 sont
sur
—
cas
la même droite
x
où toutes les racines de
—
x,
-f-
avons :
*
=
'• +
(5)
*<»-»%&
m
(y
—
?/,)
=
0.
—
63
—
d'où
1
B(;,)
2(n—l)A(*f)
1
=
lt
—
Zt
1
^
=
2(n—\)1£zi-ak-
Posons
?i
=
Çi + *'«,,
Alors
*!=.»,
+«y,.
«*
œt) +
bien
ou
i
(ïi,
-
.V.)
*(n
2(»-i)â
~^
ofa
^
=
/*1 + *vt.
—
1)
H +
-Jj (a-,
—
«,)
ûk
+ i(yf
-t
&)
—
«<», —y.)
(*,-«/ +<y.-&
'*'
le réel de
séparant
en
9(
jot
:
(,— ^)
d'où
et
^
1
=
-
«*+ «A
:
1
(|,
=
l'imaginaire:
__^^K— «t)4-vt(y,— &)
*—^
n
\l,-*•.)"+(»,-y,)*
n
;
*,-y,
«,-«.)'+(«.-y.)1
L'inégalité (5)
s> («-,-«*)' +(y,-/st)»
_^^^.-^)-^(^-"t)
~ïâ
to
-
«J2
+ (y.
-
'
ßk)2
devient:
^l>.k\(i\-*k)+m{yi—ßk)\+vk\(ijl-ßk)--m(x,—xK)\
Nous
la
partagerons
les termes de cette
somme en
deux classes
première comprenant tous les termes pour lesquels
positif, et qui pourra s'écrire :
c'est-à dire pk réel et
F
=
N!P*lfcf-«*)
+
»'&-
M
vk
=
:
0,
64
—
et la deuxième
—
comprenant les
termes, pour lesquels
autres
Vk9é0:
'
Mi
F
vk
\ (a-,
-
ßk) \
+ vk \ (yt
en
—
pk +
de ph
=
pk
—
+ m(y,
«*)
/**[(«•
ou
—
0t)]
-f
vk[(y,
<xA)2
4-
(2/,
—
-
«*) + m(y« + &)]
(a;,
bien
ou
m(xt
-
«t) j
imaginaires conjugués;
à
ak
=
=
—
à
ßk)
a.h +
«ft
—
ißh
«/3ft
et
les
:
—
m(sct
—
«,)]
&)*
-
"
akY
-
correspondant
de ah.
ivk correspondant
ivk corrrespond à
(<r,
+
-
nombre pair: 2v de
un
ak
deux termes correspondants réunis donnent
F*[(«"<
ßk)
-
seul terme les deux termes
un
conjuguées
deux valeurs
t=
F renfermera
somme
les ph sont deux à deux
puisque
réunissons
Soit pk
alors pk
m(y,
+
ta-«,) +(y.-/s*)'
Cette seconde
termes
ect)
-
"*[(&
+ (y, +
&)
ßkY
+
—
m{xx
—
«,)]
:
1
Ko?,
-
at)'
+ (?/,
-
&)»] [(^,
-
.
a,)2
+
(y, + &)»]
[ta-«*)"+(y.+At)l,J- |^[(«I-«t)+w(y1-^it)] + vt[fy1-/3t)-w(a;1-at)l |
j
[(^i-«i)"+(j/i-^),3-{l*t[(*i-«i) + »n(y,+ßt)]-vtL(yi+^t)-m(a!,-«i)l} )
La
somme
F contiendra
Remplaçons
dans les
v
termes de cette forme.
sommes
E et F, œ% et y, par œ0 et y0 et
supposons que chacun des termes des nouvelles
ait
une
région
valeur
du
plan
sant à cette
2,
(*i Vi)
»
négative.
ne
Si
nous
contenant que des
condition,
nous
sommes
E0. F0
parvenons à déterminer une
points (oc0,ya) satisfai¬
pourrons être certains que le
n'est pas dans cette
région.
point
65
—
Considérons
un
—
ak +
Vo-*k)*
et supposons
Alors
ce
(y0
m
somme
E0
:
ßh)]
—
+ O/0- ~W
négatif,
terme
de la
quelconque
terme
Hk[x0
—
étant par
ah
hypothèse positif.
:
x0
—
m(y0
ak +
—
Pour que le terme considéré soit
ßh)
négatif,
soit du même côté de la droite
(x0, y0)
x
cck +
—
m
(y
<0
il suffit que le
0
=
passant par le point ah que le point (— 00, 0).
Si donc, par tous les points ah pour lesquels pk
positifon faitpasser
des droites
et si l'on considère celle de
prochée
du
point (—
00,
parallèles
ces
0),
E0
elle-même est aussi
E0
somme
est
égalité
F0
plus rap¬
point (—
négatif;
donc la
du
0),
00,
somme
négative.
Considérons maintenant l'un quelconque des
somme
est la
point (x0, y0) situé
même côté de cette dernière droite cl que le
chacun des termes de la
est réel et
àladroite x-\-my = 0
droites, cl, qui
pour tout
point
:
8h)
—
.
et supposons
ce
terme
négatif;
v
nous
termes de la
obtenons l'in¬
:
\ H [>o
—
«ft +
m
+
| F Ja'o
-
«k +
m
(î/o
—
ßh)}
+
vh\j/o
—
ßh
—
m(xo
—
*hy\
j
JK-«fe)2 + (//o-/3fe)2j
Û/o
+
/5ft)]
-
»s
L'/o + ßh
—
m(x0- «ft)]
j
< 0
—
ou
bien
|K
-
«ft)2
enfln
11 ^h K
yl + ß'h
+
2yoßh\
—
«ft)
~
+
+
a-o(3«ft^ft
2mHßk + 2»ft&o
îA){x0
+
y°(vkßh
+
ß\H
Hah)
-
supposons
+
2«kßhvk)
2mvfe(a-0
my0(«\H
-f-
positif et désignons
devient
—
«•„(3«'
ß\
+
+
-«
+
,6^
-
inégalité
le rapport
Vh
—
*oOV/<
+
3aft)
2ma-0y0(«Ä
+
/SftAk)
—
2*hßklk)
+
ßl)(«h
+
+
+
j<0
y
en
angle
+
2/3ft«ftvh)
par pft que
.
nous
par X,. Notre in-
^(*A
niy0{«l-ß\
ß„h)<0
+
=
7-/T=r^=2(y' +
V\ +~m*
faisant tourner le
y tel
que
tgy
—
—
aft)
2ahßh\)
(7)
•
:
[
V\ +m2
et +
5-.
«k)
ßl)(Xhhi + ßh,k)<0
Introduisons la transformation de coordonnées
d'un
—
:
Oo + 2$ (a-0 + m^o)
obtenue
2vh ßk j
2«c?/o («ft«ft + ßh*h)
—
Divisons tous les termes de cette
+
—
-
my<>) -<(yhßh + 3a/!/xfe)
+
-Uk
égalité
2^ my0
:
y-h{<
+
—
:
+
ou
66
moß')
(8)
\
système de coordonnées Oœy
m,
a>
étant
compris
entre
—-£
—
L'inégalité (7)
(œ:
+
devient
—
:
y:)af0\/Y+~m2
1 +
ï^m^'
+
—
67
m
,
« + m'y','
+ m2œ': +
—
2mx'ay'Q) (3«fc
2mxJ^o) OSA
~
+
ßk).k)
«*)
y+^*^lJ'°~m2^°y'" + maf° ~my"}(ah+ßhlh)
^7=^,^0-^o)(3< + ß'h + 2«kßh}k)
+
1/1 -)-m2
ou
bien
:
{x:+y'ïïx'yv+w*
+
x':c^h
-
+
Ï7?%=ï(3a'< + ^ + 2a^X«
2my»
V/l +
;(«;
+
m'
ft)
-
(4
+
ßkik)
+
=
(x" +
ft)(«ft
iJ*)afVT+m*
+
+
+
x
.-7==
V I + m2
V«l
+
ft
+
°~«A\
+
-,/?=(«;+^
1/ 1 + m2
-
ßkK)
degré
x'2
—
i/Hßk\
y:wkik
-
«,)
2m'a*^i* + m2<~ w2^:
Considérons la courbe du troisième
>(«•', y')
+
3xk
*k)
+
(9)
.
:
+
ßklk)
2mx'y'(ak
2m\ßkXk
-
< o
+
+
ßklk)
m*«\- m'®
(«;+/nx«.+/w
=
o
—
ou
bien
—
:
-
y
68
mx'(«k
+
=
ßl)
+ .-/==,(«; +
V 1 + )«'
ßklk)
«Vl + m»0fcXfc—
±
^W7)
ak
où
R(^)
=
J_ ma?'(at + 0^) + ^===(«*t + ft)
(<r'\/l
+m!+ /3AXA
r7r=f=^(3a* + Ä
+
at)
-
+
U'Vl
+ m2
-
R(W)
=
-
expression peut
j {x'VT+ri*
où r, et r2 sont racines de
r^
r2
ou
jStXt)
+
&)(«*
+
&**){
mettre sous la forme
j j {œ'
-
r,\x'
-
n)
j
:
^2/s;
+
^
-
«;
_^
:
_t/i/lAl
*'h
«h
l/l +m2
bien
+
se
ß\
+
l'équation
+
V
V
1
c'est-à-dire
«J2
^«
*'
9
-
1
,.
+
2«A>*+ ^2«A^ + »24-^X)
(«;
et l'on trouve que cette
a'«(3«t
++m2m2
+m2/5;x;i
+
w2/s';
1 +
+
«-a;
m
:
W{r(yTmWkt + ^ß\
r,
On voit que
V/l + m2
R(œ')
n'est
v
positif,
1 + 8
c'est-à-dire que
y'
n'est
réel,
69
que pour les valeurs de x'
comprises
du troisième
•entre les deux
xe'
Il
=
tangentes x'
r,,
=
(fig. 31).
r,
=
entre r, et r2. La courbe
0
degré f(x', y')
entièrement
comprise
donc
•est
—
résulte que pour tous les
en
*,
points situés à gauche de la droite
äo'=pi l'expression <p(x', y') a le
même
signe:
ces
points
z'0;
nous
signe
le
donc
fmn*
Tous
—.
sont donc des
avons
points
x'0
V
< r,
Fig. 31.
d'où, par la transformation in¬
(8)
de
verse
:
x0 + my0 <
remplaçant
et en
r, par
oc0 + my0
ou
Y/,
*-
^
rt\/\
valeur
sa
|/(1
<ah~
+ m2
:
+
?)ß\K
+
*ß\
bien
«fc + mh +
Xr\
l'inégalité (7);
somme
F0
est
pour tous
côté de la droite
que le
lesquelles
x
que le
inégalité, satis¬
points le terme consi¬
à cette
ces
point (x0, y0)
oo.
|/(T'+~m*)^k~+~?>Wk
est du
même
pk est
x
H + mv
=
0
0).
pour toutes les racines
lèles à la droite
(10)
< 0
:
ak + my +
point (_—
Donc
pour
—
m*ßl
négatif.
L'inégalité (10) exprime
x
+
points (x0, y0) qui satisfont
Tous les
font aussi à
déré de la
|/(1 +m*)ßl\
imaginaire
+ my
=
+1/( *
0
+
ak
=
ak +
ißh
de
A(^)
considérons les droites
=
paral¬
:
m") ßl *h + ßlm*
=
o
0
ai)
70
—
et considérons
rapprochée
du
—
particulier celle de ces droites qui est la plus
point (— oo, 0). Pour tout point (xs„, y0) situé du
en
même côté de cette dernière droite que le
cun
des
termes de la somme
v
elle-même est
Si
ment,
négative.
réunissons
nous
nous
point (— «, 0) cha¬
F0est négatif; donc la somme F0
résultat
ce
pouvons dire
avec
celui trouvé
précédem¬
:
Considérons le système de droites parallèles formé par
1° Les droites
par les
réel et
parallèles
points ak,
positif.
2° Les droites
racines de
et
a sa
racine
une
partie
A(z)
=
ayant pour équations
réelle
+ my
x
A(z)
0 pour
—
positive,
0 et
=
pk est
:
~m*fk
+
laquelle
=
ph est
et considérons celle de
est la
:
passant
lesquelles
0 pour
[/{{ +^n')ßlhrk
oc-oLh + my +
où ak est
à la droite
0
imaginaire
ces
droites,
qui
plus rapprochée
point (— oo, 0).
point (œ0, y0) situé du même côté de cette dernière droite g%
que le point (— oo, 0) les sommes E0 et F0sont négatives, donc
g,,
aussi leur
du
somme
E0 + F0.
Pour tout
point
Le
aussi toutes les autres racines de
f{z)
même côté de cette droite g, que le
Si
à
nous
déplaçons
une
droite
ce
exprimons
qu'elle passe par
que le
droite que le
point
point (—
une
dérivé
oo,
0),
Ç3
oo,
point (+
0)
racine
vers
~2
conséquent,
par
0 sont donc situés du
+ my + p
x
elle-même, depuis le point (+
jusqu'à
z, et,
=
de
0).
oo,
parallèlement
=
0
le
point (—
f(z)
=
oo.
0),
0 et si nous
est situé du même côté de cette
un
calcul
analogue
fait voir que
l'inégalité (6) change simplement de sens ; si nous cherchons
à déterminer une région du plan ne contenant
que des points
(œo> Vo) Pour lesquels tous les termes des sommes E0 et F0
soient positifs, nous sommes conduits à la même courbe du
troisième degré et
d'où
nous
obtenons la condition
x0 s> ri
71
—
Nous arrivons
au
résultat
—
:
Considérons le système de droites
1° Les droites
parallèles
points ak
positif.
sant par les
réel est
racines de
x
où
ak
pk est
—
*k + my
<xk+ ißk est
imaginaire et a
=
celle de
ces
—
|/(1
une
sa
+ my
pour
=
partie
pk
es*
:
k(z)
réelle
est la
:
0 et pas¬
lesquelles
m*)~FkX\ +m*j?k
+
racine de
droites, g%, qui
x
A(j)=0
équations
2° Les droites ayant pour
formé par
parallèles
à la direction
=
0
0 pour
=
laquelle
et considérons
positive,
plus rapprochée
du
point
y0) situé du même côté de
point ~0 (x0)
point ( + oo, 0) les sommes E0 et F0 sont
aussi
donc
E0 + F0. La racine z% et, par conséquent,
positives
0 sont situées
toutes les autres racines de l'équation f(z)
(+
oo,
Pour tout
0).
cette droite #2 que le
=
du même côté de la droite g^ que le
Quelle est
x
l'enveloppe
-cck + my +
lorsque
point (—
de la droite g,
j/(i"+ rn>)ß\\\
0).
oo,
:
m*Pk
+
=
0
(12)
varie?
m
Dérivons
l'équation (12)
par rapport à
m
:
mßskAl+mßl
d'où:
|/(1
et
en
+
m*)Fktk
+
m*ß\
=
-mpk
1 +
k
introduisant cette valeur du radical dans
1 + V,
x
-
«k + mv
-
m&*—y—
d'où
y (ce
m
=
—
«.)
W+X)~-y*
=
n
y
l'équation (12)
°
:
72
—
Remplaçons
fait passer la racine
membres
[
x
bien
(x
—
carré ;
y2(x
+
—x,
ou
au
expression
par cette
m
-^
Ä0 +
obtenons
K)
a
(12) après
dans
élevé
et
membre
second
au
nous
—
—
avoir
les
deux
:
*'
y\
-
:
)
«
if{x
(x
—
«J2(l
+
Xs,)
a,)'
+
—
xk)2
OU:
(1 + V,)(œ
ou
-
>;.[,/'
-
fill
+
!•)]
=
0.
enfin
te
C'est
l'équation
et ak—
ißk,
-
**)2
d'une
2
+
^W,
ellipse ayant
racines de
A(z)
=
i
=
les deux
points
a.h +
î/3t
0, pour foyers et pour demi-
axes
UAlel|^/l +\\
La droite #,
cisse du
point
enveloppe
:
(fig. 32)
demi-ellipse B, A, B^ puisque
d'intersection de gt
l'indique (12) plus petite
droite g^
la
.
avec
l'axe des
x
est
l'abs¬
comme
que <xk. On verrait de même que la
—
enveloppe
73
la seconde moitié de
—
l'ellipse
B,A9B2 lorsque
:
m
varie.
Nous pouvons énoncer le résultat suivant
Considérons le
système
de droites
Fig.
1° Les droites
sant
h(z)
les
par
=
0 pour
2° Les
tie réelle
points ak
lesquelles
tangentes
parallèles
racine de
parallèles
à la droite
0
k(z)
positive.
=
x
0,
-f my
de
=
0 et pas¬
l'équation
positif;
ellipses
—
w
racines
ißk,
pk est réel et
+ my
:
32.
a.k +
à toutes les
formé par
parallèles
à la direction
=
:
:
où ak
pour laquelle pk est
—-
«k +
imaginaire
ißk
et
est
une
a sa
par¬
comprises entre
système dt, dï.
Il est clair que ce résultat est général et renferme celui
trouvé directement dans le cas où la première racine de
Toutes les racines de
l'équation f{z)
les deux droite extrêmes de
ce
0 sont
=
:
74
—
f(z)
est
=
déplacement parallèle
0
k(z)
0 rencontrée dans le
des racines ak de
une
Si maintenant
rème suivant
nous
=
faisons varier m,
de
f(z) est un polynôme
l'équation différentielle :
A(~)
B(z)
et
de la droite
.
obtenons le théo¬
nous
:
Si
où
—
sont deux
degré quelconque
polynômes
solution de
à coefficients réels et où
polynômes A(z), B(z), C(z) n'ont pas de diviseur com¬
trois, le degré de A(z) étant quelconque : p + 1,
1.
degrés de B(z) et C(z) au plus égaux à p et p
les trois
mun
—
B(*)_
A(z)
p,
z
et construisons les
ellipses
—
a.k ±
p,
!
ö,
—
(x
ayant les points
:
z
—
!
a,
'*'
que l'on ait
Supposons
_
les
à tous les
Pi
l
z
—
a;
:
a,)2
k'
:±
-I
ißk,
I
=
racines de A (-s)
0, pour foyers,
=
où
ak
=
«k +
{ßk
Pk
=
V-k +
ïvk
h
=
~
rk
Si
<xk +
elles
de
lk
=
ißk,
se
k(z)
0
(vk
a.k
—
=
0),
=
0;
alors
Si toutes les
positives,
le
se
racines de A (.s)
ißk
réduisent à
ellipses
ces
un
point
«k
sur
réduisent
=
0; si
aux
en
deux
outre
points
ßk
=
0,
l'axe des x, racine réelle
:
quantités
plus petit
pt p.2
...
contour
leurs
p{ ont
fermé
parties réelles
convexe
renfermant
/o
toutes
ces
f(z)
0.
=
ellipses, renferme
loutes les racines de
Ce contour est formé d'arcs
communes
figure
à deux
ci-dessous
ellipses,
(fig. 33).
d'ellipses
comme
et de
l'équation
droites, tangentes
l'indique
par
exemple
la
CURRICULUM VITiE
Je suis né à La
1893. Je
Sagne (canton
l'école
fréquentai
de
primaire
gymnase de La Chaux-de-Fonds d'où
Neuchâtel)
de
je
mon
sortis
le 26 février
village puis
en
1910
certificat de maturité. En octobre de la même année
l'Ecole
polytechnique
mathématiques
ment des
au
et
j'obtins
mathématiques
en ce
pour
m'a
exprimer
professeurs
ses
à
1914 le
en
et de la
diplôme
physique.
pour l'enseigne¬
Je fus alors nommé
professeur Kollros, poste
que
j'oc¬
moment.
Je tiens à
mes
j'entrai
le
fédérale de Zui'ich dans la section de
poste d'assistant de M. le
cupe
avec
le
et
en
ici
ma
profonde
particulier
à M.
reconnaissance à tous
le
professeur Hurwitz
bienveillants conseils et pour l'intérêt constant
témoigné
au cours
de
ce
qu'il
travail.
Charles Vuille.
Zurich, mai 1916.