BTS 2 Devoir n°1 maison Septembre 2014 Exercice 1 : Dans une

BTS 2
Devoir n°1 maison
Septembre 2014
Exercice 1 :
Dans une usine fabriquant des perceuses électriques, une étude statistique permet de constater que les perceuses présentent
principalement deux défauts D1 et D2 et conduit à dégager les résultats suivants :
La probabilité qu’une perceuse présente le défaut D1 est de 2 %.
La probabilité qu’une perceuse présente le défaut D2 est de 8 %.
La probabilité qu’une perceuse présente les deux défauts D1 et D2 est de 0,12 %.
1. On prend une perceuse au hasard. Calculer les probabilités des événements suivants :
a. Les événements D1 et D2 sont-ils indépendants ? Justifier.
b. La perceuse présente l’un au moins des défaut.
c. La perceuse présente un défaut et un seul.
d. La perceuse ne présente aucun défaut.
2. 80 % des perceuses qui présentent un seul défaut peuvent être réparées.
Quelle est la probabilité qu’une perceuse prise au hasard soit acceptée ?
Exercice 2 :
Une usine d’ampoule dispose de 3 machines qui fabriquent respectivement 30%, 50% et 20% de la production. La probabilité
qu’une ampoule défectueuse ait été fabriquée par A, B, C est : Prob(D/A) = 0,03 ; Prob(D/B) = 0,02 ; Prob(D/C) = 0,05.
Calculer :
1. La probabilité qu’une ampoule soit défectueuse.
2. La probabilité pour qu’une ampoule défectueuse provienne de A.
3. La probabilité pour qu’une ampoule non défectueuse provienne de C.
Exercice 3 :
Une usine fabrique des roulements à billes. Une étude statistique a montré que 90% de la production ne présente pas de
défaut.
ATELIER A : Chaque roulement est soumis à un contrôle de fabrication. Ce contrôle refuse 95% des roulements avec défaut
et accepte 85% des roulements sans défaut.
On choisit au hasard un roulement avant son passage au contrôle ; tous les tirages sont équiprobables.
On désigne par D l’événement " Le roulement a un défaut " et par A l’événement " le roulement est accepté à l’issue du
contrôle.
1.
a. Calculer la probabilité des événements suivants :
• E1 = " Le roulement est accepté et n’a pas de défaut "
• Le roulement est accepté et a un défaut "
b. Calculer la probabilité que le roulement soit accepté.
2. Le contrôle permet-il d’affirmer que moins de 1% des roulements acceptés présentent un défaut ?
ATELIER B : Le contrôle de fabrication permet d’affirmer que la probabilité qu’un roulement pris au hasard dans le production
journalière soit défectueux est de 8.10−3 .
On tire avec remise dix roulements dans la production d’une journée ; les tirages sont indépendants.
Calculer la probabilité des événements suivants : ( tous les résultats seront donnés à 10−6 )
A : " Obtenir exactement trois roulements défectueux "
B : " Obtenir au plus deux roulements défectueuses "
C : " Obtenir au moins deux roulements défectueux "
ATELIER C : Les roulements fabriqués par l’atelier B sont conditionnés par lots de 1000. On appelle X la variable aléatoire
qui, a tout lot de 1000 roulements pris au hasard, associe le nombre de roulements défectueux. On suppose que les tirages
des roulements sont indépendants.
1.
a. Préciser la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire réelle X.
b. Déterminer la moyenne et l’écart-type de variable aléatoire réelle X.
2. On décide d’approcher la loi de la variable aléatoire réelle X par une loi de poisson de paramètre 8.
a. Justifier ce choix.
b. Calculer les probabilités suivantes :
p( X = 8 ) p( X ≤ 5 ) p( X ≥ 3 )
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1
Corrigé
Exercice 1 :
Construction du diagramme de Caroll :
Données : p(D1) = 0.02 ; p(D2) = 0.08 ;
p(D1 ∩ D2) = 0.0012
D1
D1
D2
0.0012
0.0788
0.08
D2
0.0188
0.9012
0.92
0.02
0.98
On peut alors calculer
1. p(D1) = 1 − p(D1) = 1 − 0.02 = 0.98
2. p(D2) = 1 − p(D2) = 1 − 0.08 = 0.92
Nous en déduisons alors
3. p(D1 ∩ D2) = p(D1) − p(D1 ∩ D2) = 0.02 − 0.0012 = 0.0188.
4. p(D1 ∩ D2) = p(D2) − p(D1 ∩ D2) = 0.08 − 0.0012 = 0.0788.
5. p(D1 ∩ D2) = p(D1) − p(D1 ∩ D2) = 0.98 − 0.0788 = 0.9012.
Réponses aux questions :
1.
a. P (D1) × P (D2) = 0.02 × 0.08 = 0.0016 6= p(D1 ∩ D2) donc les événements ne sont pas indépendants.
b. La perceuse présente l’un au moins des défaut : C’est D1 ∪ D2 de probabilité
P (D1 ∪ D2) = P (D1) + P (D2) − P (D1 ∩ D2) = 0.02 + 0.08 − 0.0012 = 0.0988
c. La perceuse présente un défaut et un seul : C’est (D1 ∩ D2) ∪ (D1 ∩ D2) de probabilité
P (D1 ∩ D2) + P (D1 ∩ D2) = 0.0188 + 0.0788 = 0.0976
d. La perceuse ne présente aucun défaut :
C’est D1 ∩ D2 de probabilité P (D1 ∩ D2) = 0.9012
2. La probabilité qu’une perceuse prise au hasard soit acceptée représente 80 % des perceuses qui présentent un seul
défaut auquel on ajoute la probabilité des perceuses n’ayant aucun défaut.
Nous obtenons : p = 0.0976 × 0, 8 + 0.9012 = 0.9793
Exercice 2 :
0.03
D
Pr ob(A ∩ D) = 0.3 × 0.03 = 0.009
0.97
D
Pr ob(A ∩ D) = 0.3 × 0.97 = 0.291
0.02
D
Pr ob(B ∩ D) = 0.5 × 0.02 = 0.01
0.98
D
Pr ob(B ∩ D) = 0.5 × 0.98 = 0.49
0.05
D
Pr ob(C ∩ D) = C × 0.05 = 0.01
0.95
D
Pr ob(C ∩ D) = 0.2 × 0.95 = 0.19
A
0.3
0.5
B
0.2
C
1. La probabilité qu’une ampoule soit défectueuse est : P (D) :
p(D) = p(D ∩ A) + p(D ∩ B) + p(D ∩ C ) = 0.009 + 0.01 + 0.01 = 0.029
2. La probabilité pour qu’une ampoule défectueuse provienne de A est P (A/D) :
p(A ∩ D) 0.009
=
= 0.31034
p(A/D) =
p(D)
0.029
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2
Corrigé
3. La probabilité pour qu’une ampoule non défectueuse provienne de C est P (C /D) :
p(C ∩ D)
0.19
=
p(C /D) =
= 0.19567
0.971
p(D)
Exercice 3 :
Données :
p(D) = 0.9
0.1
0.9
1.
p(A/D) = 0.85
0.05
A
Pr ob(D ∩ A) = 0.1 × 0.05 = 0.005
0.95
A
Pr ob(D ∩ A) = 0.1 × 0.95 = 0.095
0.85
A
Pr ob(D ∩ A) = 0.9 × 0.85 = 0.765
0.15
A
Pr ob(D ∩ A) = 0.9 × 0.15 = 0.135
p(A/D) = 0.95
D
D
a. Calculs de probabilité :
• E1 = " Le roulement est accepté et n’a pas de défaut " :
P (E 1 ) = P (D ∩ A) = P (A/D) × P (D) = 0.85 × 0.9 = 0.765
• E2 = " Le roulement est accepté et a un défaut " " :
P (E 2 ) = P (D ∩ A) = P (A/D) × P (D) = 0.05 × 0.1 = 0.005
b. La probabilité que le roulement soit accepté est alors : P (A) = P (E 1 ) + P (E 2 ) = 0.765 + 0.005 = 0.77
2. Le contrôle permet-il d’affirmer que moins de 1% des roulements acceptés présentent un défaut ?
On cherche le pourcentage des roulements acceptés qui présentent un défaut, c’est à dire P (D/A) :
P (D ∩ A) 0.005
P (D/A) =
=
= 0.006
P (A)
0.77
Le contrôle permet bien d’affirmer que moins de 1% des roulements acceptés présentent un défaut.
ATELIER B :
On tire avec remise dix roulements dans la production d’une journée ; les tirages sont indépendants.
On considère le tirage d’un roulement avec les probabilités suivantes : P (D) = 0.008 et P (D) = 0.992.
On répète 10 fois de façons identiques et indépendantes.
La variable aléatoire égale au nombre de roulements défectueux suit donc la loi binomiale B(10; 0.008).
Calculs de probabilités :
A : " Obtenir exactement trois roulements défectueux "
3
0.0083 0.9927 = 0.000058 = 5, 8 × 10−5
P(A) = P (X = 3) = C 10
B : " Obtenir au plus deux roulements défectueux "
P(B) = P (X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = 0.922819 + 0.074421 + 0.002701 = 0.999941.
C : " Obtenir au moins deux roulements défectueux "
P(C) = P (X ≥ 2) = 1 - P (X = 0) - P (X = 1) = 1 − 0.922819 − 0.074421 = 0.00276.
ATELIER C :
1.
a. On tire 1000 roulements dans la production d’une journée ; les tirages sont indépendants.
On considère le tirage d’un roulement avec les probabilités suivantes :
P (D) = 0.008 et P (D) = 0.992.
On répète 1000 fois de façons identiques et indépendantes. La variable aléatoire égale au nombre de roulements
défectueux suit donc la loi binomiale B(1000; 0.008).
b. La moyenne de la variable aléatoire est X = np = 1000 × 0.008 = 8.
p
p
L’écart-type de variable aléatoire réelle X est σ = np q = 1000 × 0.008 × 0.992 = 2.82
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Corrigé
2. On décide d’approcher la loi de la variable aléatoire réelle X par une loi de poisson de paramètre 8.
a. Le choix se justifie pour les raisons suivantes :
• n > 30
• p < 0, 1
• np < 15
Dans ce cas le paramètre de la loi de poisson est la moyenne de la loi binômiale donc λ = 8.
b. Les résultats des probabilités sont donnés dans le formulaire. On peut aussi calculer à la calculatrice.
p( X = 8 ) = 0,14.
p( X ≤ 5 ) = p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2) + p(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 0,192.
p( X ≥ 2 ) = 1 - p(X = 0) - p( X = 1) -P(X = 2) = 0,986.
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