Statistiques en L1 Sociologie et Psychologie

Statistiques en L1 Sociologie et Psychologie : quelques notes en
vrac.
Hervé Le Ferrand, Université de Bourgogne
7 avril 2011
Table des matières
1
Lettres grecques
2
2
Plan du général du cours
2
3
Introduction
2
4
Un peu de vocabulaire
2
5
Représentation des variables statistiques
2
6
7
Caractéristiques d'une distribution
2
6.1
Paramètres de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
6.2
Paramètres de dispersion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
6.3
A savoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Tirages
3
7.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
7.2
Loi binomiale. Loi hypergéométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
7.3
7.2.1
Le cadre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
7.2.2
Tirage avec remise : loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
7.2.3
Tirage sans remise : loi hypergéométrique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Approximations de ces deux lois
8
Estimation
5
9
Bibliographie
5
1
1
Lettres grecques
alpha
bêta
gamma
delta
epsilon
zêta
thêta
lambda
mu
xi
rhô
sigma
phi
psi
oméga
α
β
γ
δ
ζ
θ
λ
µ
ξ
ρ
σ
φ
ψ
ω
Table 1 lettres minuscules
gamma
delta
lambda
xi
sigma
phi
psi
oméga
khi
Γ
∆
Λ
Ξ
Σ
Φ
Ψ
Ω
χ
Table 2 lettres majuscules
2
Plan du général du cours
Le plan du cours peut être vu de la façon suivante :
Statistiques descriptives ( nous permettent de calculer des paramètres expérimentaux)
Lois normales (ces lois interviennent souvent)
Combinatoire (notions d'arrangement et de combinaison) :
Lois normales et Combinatoire nous permettent
de construire et utiliser de manière pratique :
Modèles de tirages (loi binomiale, loi hypergéométrique)
Les trois items précédents nous conduisent à la problématique de l'échantillonnage et à celle de l'estimation.
Sur une population
x
P,
on s'intéresse à un caractère
et que l'on ait construit un échantillon de
P
x.
Supposons que l'on connaisse des paramètres liés à
Modèles de tirages).
(
Que peut-on dire des paramètres de
x
restreint à l'échantillon ? Inversement, si l'on a un échantillon d'une population et si l'on a calculé des valeurs
expérimentales d'un certain caractère, peut-on en tirer des informations pour la population entière ? Il s'agit
alors d'estimation.
3
Introduction
La Statistique est la science qui s'occupe de traiter et analyser des données. Des statistiques sont un ensemble
de données issues d'études sur une population.
4
Un peu de vocabulaire
5
Représentation des variables statistiques
6
Caractéristiques d'une distribution
6.1
Paramètres de position
6.2
Paramètres de dispersion
.
2
6.3
A savoir
1. Changement de variables (x,
y
des variables statistiques sur une même population,
a 6= 0, b, c 6= 0, d
des
réels xés), on a :
(a)
(b)
(c)
(d)
Soit
m(ax + b) = am(x) + b.
σ(ax + b) = aσ(x).
cov(ax + b, cy + d) = ac · cov(x, y).
r(ax + b, cy + d) = r(x, y).
la série statistique 95, 97, 100, 103, 105
la variance est fondée sur les mesures des
changement de variable
l'écart type de
Z =
dont la moyenne est
100.
On se souvient que le principe de
écarts à la moyenne. Ici le plus grand écart est 5. Faisons le
x−100
. Quels sont la moyenne et l'écart type de
5
Z?
Comment en déduire
x?
x est une variable de moyenne µx
0) et réduite (l'écart type vaut 1).
Plus généralement ; si
(moyenne valant
et décart type
σx , la variable z =
x−µx
σx est
centrée
2. Dans le cas d'un tableau croisé, i.e. d'un tableau de contingence pour un couple de variables statistiques,
on fera attention au calcul de la covariance. On a besoin, X
1X
yj
nij xi
n j
i
7
moyenne des produits, de :
!
(pour
vérication, égale à


1 X X
xi
nij yj ).
n i
j
Tirages
7.1
Introduction
Expliquer les notions de
permutation, d'arrangement et de combinaison. Donner des exemples. On a 5 boules,
deux blanches et trois noires. Combien de façons a-t-on de les ranger ?
Ω est l'ensemble des couples (i, j) avec i et j
6.
Un événement est une partie de Ω. On suppose que l'on est dans un cas de probabilité uniforme, c'est à dire
que la probabilité que l'événement ω se réalise, P ({ω}), ne dépend pas de ω . Sur notre exemple :
Soit
Ω
un espace des états : par exemple si on lance deux dés,
nombres entiers compris entre
1
et
P ({ω}) =
1
.
36
(1)
Plus généralement, on a alors :
P (A) =
On va être amenés à considérer des
cardinal de
cardinal de
A
.
Ω
(2)
variables aléatoires. Toujours sur notre exemple, on peut considérer la
somme des faces des deux dés obtenues :
X(i, j) = i + j.
Que valent
P (X = 2), P (X = 12)
et
P (X = 3) ?
P (X = 3) =
7.2
7.2.1
(3)
On a :
nombre de couples
(i, j)
36
tels que
i+j =3
.
(4)
Loi binomiale. Loi hypergéométrique.
Le cadre
Une urne contient
N
boules,
nombre de boules blanches
X
1. avec remise, dans ce cas
N1
boules blanches et
N2
boules noires. On tire
n
boules et on regarde le
dans cet échantillon. On considère deux types de tirages :
n
est aussi grand que l'on veut.
2. sans remise, alors nécessairement
n≤N
(on peut supposer que l'on tire simultanément les
3
n
boules).
7.2.2
Tirage avec remise : loi binomiale
On montre ( !) que :
P (x = k) =
n
k
N1
N
k N − N1
N
En considérant la proportion de boules blanches dans l'urne, i.e.
P (x = k) =
On utilisera la notation :
la variable aléatoire
X = B(n; p).
n
k
n−k
.
(5)
N1
N , on a :
p=
pk (1 − p)n−k .
(6)
Dans la pratique, lorsque les éventualités se réduisent à une alternative,
nombre de succès suit une loi binomiale lorsque :
1. on a deux éventualités exclusives de probabilité constante
p
(succès) et
q =1−p
(échec).
2. les épreuves répétées sont indépendantes.
Dans le cas de l'
P (X = 1) = p.
urne
de Bernoulli, c'est à dire dans le cas d'un seul tirage on a :
La moyenne de
X
P (X = 0) = 1 − p
et
vaut donc :
(1 − p) × 0 + p × 1 = p.
La variance vaut
p − p2 = pq .
Peut-on généraliser ?
Exemple 7.1 On étudie le nombre
La moyenne de
X
X
de garçons dans une famille de
4
enfants. Quel loi suit X ?
vaut :
1
4
6
4
1
1
×0+
×1+
×2+
×3+
×4=2=4× .
16
16
16
16
16
2
Quant à la variance, elle se calcule de la façon suivante :
4
6
4
1
1
× (0 − 2)2 +
× (1 − 2)2 +
× (2 − 2)2 +
× (3 − 2)2 +
× (4 − 2)2 = 1.
16
16
16
16
16
On remarque sur l'exemple précédent que la moyenne vaut
si
7.2.3
np
et la variance
npq .
On retiendra :
X = B(n; p) µ = np, V = npq.
Tirage sans remise : loi hypergéométrique
On montre ( !) que :
 N1
N − N1




k
n−k



N
P (X = k) =
n







0
On utilise la notation :
X = H(N ; N1 ; n).
si
0 ≤ k ≤ N1 , 0 ≤ n − k ≤ N − N1
sinon.
On admettra que (p
µ = np, V = np(1 − p)
7.3
Si
npq
N1
N ) :
N −n
.
N −1
Approximations de ces deux lois
n ≥ 30, np > 5
et
q
remplacera X = B(n; p) par la loi normale de paramètres np et √npq.
remplacera la loi X = H(N ; N1 ; n) par la loi normale de paramètres np et
nq > 5,
Avec les mêmes hypothèses, on
√
=
on
N −n
N −1 .
4
8
Estimation
On a utilisé la loi de Student. Qui se cache sous le nom de Student ? C'est William Gosset, brasseur et
mathématicien anglais, 1876-1937, qui publia des recherches en Statistique sous le pseudonyme de Student.
Exemple 8.1 On a eectué
moyenne empirique de
4.38
90
mesures de concentration d'une solution de uoresceine. On a observé une
mg/l et un écart-type empirique de
0.08
pour la concentration réelle de la solution, aux niveaux de conance
mg/l. Donner un intervalle de conance
0.95
et
0.99.
(réponse :
[4.363; 4.397]
et
[4.358; 4.402])
9
Bibliographie
recherche sur http ://scd.u-bourgogne.fr/ : mots clés ; statistiques sciences humaines
Références
[1] Howell, David C. Auteur Méthodes statistiques en sciences humaines [Texte imprimé] / David C. Howell ;
traduction de Marylène Rogier, Vincent Yzerbyt et Yves Bestgen ; révision scientique de Vincent Yzerbyt
et Yves Bestgen (2008)
[2] Chanquoy, Lucile. Auteur Statistiques appliquées à la psychologie, et aux sciences humaines et sociales
[Texte imprimé] / Lucile Chanquoy,... ; Pierre Benedetto, conseiller éditorial (2005)
[3] Rateau, Patrick. Auteur Méthode et statistique expérimentales en sciences humaines / Patrick Rateau,...
(2001)
[4] Howell, David C. Auteur Méthodes statistiques en sciences humaines / David C. Howell ; trad. de l'anglais
par Marylène Rogier, révision scientique par Vincent Yzerbyt et Yves Bestgen (1999)
[5] Mengal, Paul Statistique appliquée aux sciences humaines / Paul Mengal (1999)
[6] Dubus, Alain Méthodes et pratiques du traitement statistique en sciences humaines : étude de cas avec le
logiciel ADSO 3 / Alain Dubus (1998)
[7] Dubus, Alain. Auteur Méthodes et pratiques du traitement statistique en sciences humaines : étude de cas
avec ADSO 3 / Dubus, Alain
[8] Chauvat, Gérard Statistiques descriptives : DEUG sciences économiques, AES 1re année , droit et sciences
humaines / Gérard Chauvat,... Jean-Philippe Reau,... ; coordination, Daniel Fredon (1994)
[9] Vu, Tu Lap Atlas du Viêt-nam = Atlat Viêt Nam = An atlas of Vietnam / Vu Tu Lap, Christian Taillard ;
[publ. par le] Centre national des sciences sociales et humaines du Viêt-nam , [le] Département général de
la statistique du Viêt-nam [et le] Groupement d'intérêt public RECLUS vie eng (1994)
[10] Rouanet, Henry Analyse des données multidimensionnelles : statistique en science humaines / Henry
Rouanet, Brigitte Le Roux (1993)
[11] Reau, Jean-Philippe Probabilités et statistiques : DEUG sciences économiques et AES, sciences humaines... :
résumés de cours, exercices et problèmes corrigés / Jean-Philippe Réau, Gérard Chauvat (1992)
[12] Chauvat, Gérard Statistiques descriptives : DEUG sciences éco et AES 1re année : droit et sciences
humaines... / Gérard Chauvat,... Jean-Philippe Reau,... (1992)
[13] Mialaret, Gaston Statistiques appliquées aux sciences humaines / Gaston Mialaret
[14] Rouanet, Henry Statistique en sciences humaines : analyse inductive des données / Henry Rouanet, JeanMarc Bernard, Brigitte Le Roux (1990)
[15] Langouët, Gabriel Pratiques statistiques en sciences humaines et sociales / Gabriel Langouet, Jean-Claude
Porlier (1989)
[16] Rouanet, Henry Statistique en sciences humaines : procédures naturelles / Henry Rouanet, Brigitte Le
Roux, Marie-Claude Bert (1987)
5
[17] Vogt, Aimé Analyse économique. Méthodes statistiques. I, Résumé de cours. Exercices corrigés Biologie.
Economie. Mathématiques. Médecine. Pharmacie. Sciences humaines / Aimé Vogt... (1977)
[18] Centre d'étude du vocabulaire français. Besançon G. Apollinaire. Calligrammes : Concordances, index et
relevés statistiques établis d'après l'éd. Adéma-Décaudin par le Centre d'Etude du Vocabulaire FrançaisFaculté des Lettres et Sciences Humaines de Besançon (1967)
[19] Centre d'étude du vocabulaire français. Besançon J. Racine : Phèdre : concordances, index et relevés
statistiques / établis d'après l'éd. P. Mesnard par le Centre d'Etude du Vocabulaire Français-Faculté des
lettres et Sciences Humaines de Besançon (1966)
[20] Tisserand-Perrier, Marie. Dr P. Pèpe,... M. Tisserand-Perrier,... Méthodes statistiques dans les sciences
humaines... (1962)
recherche sur http ://scd.u-bourgogne.fr/ : mots clés ; statistiques licence
Références
[1] Lindenberg, Andreas. Auteur Les stats en bulles : statistiques : pour lycéens et étudiants, terminales, licence
1re année / Andreas Lindenberg, Irmgard Wagner ; illustrations de Peter Fejes ; traduit de l'allemand par
Marc Aubry ; avec la collaboration de Jean-Côme Charpentier (2009)
[2] Lancry, Pierre-Jean Statistique : sciences politiques, 1er cycle de sciences économiques et licence A.E.S. :
études de cas / Pierre-Jean Lancry (1983)
[3] Batola, Luciole Statistique et économétrie : cours-exemples, traités-exercices, licence et maîtrise ès sciences
économiques / Luciole Batola (1983)
[4] Louquet, P. Les Mathématiques en Sciences Economiques : licence, 1ère année et IUT. Fascicule 2,
Statistiques, essentiel du cours de mathématiques et exercices et problèmes résolus et classés / par... P.
Louquet... J. Tribouley... A. Vogt (1972)
[5] Piganiol, Bernard Statistique : , [licence en droit] 3e année, corrélation et régression, économétrie, théorie
des tests et séries temporelles, par B. Piganiol,.. (1971)
[6] Fourgeaud, Claude (....-1990) Statistique : licence ès Sciences Economiques 2ème année / Claude Fourgeaud ;
cours rédigé par G. Hansel,. (1965)
recherche sur http ://scd.u-bourgogne.fr/ : mots clés ; statistiques sans mathématiques
Références
[1] Py, Bernard (1947-). Auteur La statistique sans formule mathématique [Texte imprimé] / Bernard Py (2007)
[2] Badia, Jacques. Auteur Statistique sans mathématique [Texte imprimé] / Jacques Badia,... René Bastida,...
Jean-Robert Haït,... (1997)
6