Catégorification d`alg`ebres amassées antisymétrisables

Universit´e de Caen / Basse-Normandie
U.F.R. Sciences
Laboratoire de Math´ematiques Nicolas Oresme
´
Ecole doctorale Sciences des Structures,
de l’Information, de la Mati`ere Et des Mat´eriaux
Th`ese
pr´esent´ee par
M. Laurent Demonet
et soutenue le mardi 18 novembre 2008
en vue de l’obtention du
Doctorat de l’Universit´e de Caen
Sp´ecialit´e : Math´ematiques et leurs interactions
(arrˆet´e du 7 aoˆut 2006)
Cat´egorification d’alg`ebres
amass´ees antisym´etrisables
Membres du jury
M. Philippe Caldero (MCF-HDR) Universit´e Lyon I
M. Claude Cibils (PR) Universit´e Montpellier 2
M. Patrick Dehornoy (PR) Universit´e de Caen
M. Bernhard Keller (PR) Universit´e Paris 7 Rapporteur
M. Bernard Leclerc (PR) Universit´e de Caen Directeur de th`ese
M. Rapha¨ el Rouquier (PR) University of Oxford Rapporteur
M. Leonid Vainerman (PR) Universit´e de Caen

Remerciements
Je tiens tout d’abord `a remercier mon directeur de th`ese, Bernard Leclerc, qui m’a
permis de passer des ann´ees de th`ese tr`es enrichissantes et tr`es agr´eables grˆace `a sa tr`es
grande disponibilit´e. Il m’a guid´e de mani`ere tr`es efficace en r´eussissant toujours `a rendre
limpides les concepts les plus abstraits, tout en me laissant la libert´e d’explorer, parfois
trop longuement, mes propres pistes.
J’aimerais exprimer ma reconnaissance `a Bernhard Keller et Rapha¨ el Rouquier qui
m’ont fait l’honneur d’accepter de rapporter cette th`ese. Le premier a toujours r´epondu
avec beaucoup de patience `a mes courriers ´electroniques, en me permettant ainsi d’´elimi-
ner nombre de contresens de mon esprit ; quant au second, il m’a fait d´ecouvrir la recherche
lors de mon DEA. Je les remercie, ainsi que Claude Cibils, pour leurs remarques qui m’ont
permis d’enlever, j’esp`ere, une grande part des impr´ecisions de ce document. Je tiens aussi
`a remercier Philippe Caldero, Patrick Dehornoy et Leonid Vainerman d’avoir accept´e de
faire partie de mon jury.
Parmi les personnes qui m’ont aid´e `a clarifier un certain nombre de mes id´ees, j’ai-
merais citer Christof Geiß et Idun Reiten qui ont chacun accept´e de passer du temps `a
discuter de mes recherches et `a comprendre mon anglais approximatif. Je remercie aussi
les nombreux orateurs qui, lors de conf´erences ou de groupes de travail, m’ont donn´e goˆut
`a aller fureter dans des domaines plus vastes des math´ematiques.
J’exprime ma gratitude `a l’ensemble des personnes travaillant au laboratoire Nicolas
Oresme qui permettent, par l’int´egration r´eelle des doctorants au laboratoire et l’am-
biance, chaleureuse et studieuse, qu’ils y font r´egner, de rendre la vie de th´esard particu-
li`erement confortable. Je remercie aussi tous les doctorants que j’ai cˆotoy´e durant cette
p´eriode, toujours prˆets `a discuter de tous les sujets, du plus futile au plus s´erieux.
Je ne peux pas terminer ces remerciements sans une pens´ee `a toute ma famille et tous
mes amis, qui m’ont apport´e le soutient psychologique, parfois inconscient, n´ecessaire `a
la r´ealisation de ce travail.
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4REMERCIEMENTS

Table des mati`eres
Introduction 7
1 Pr´eliminaires 13
1.1 Alg`ebresamass´ees............................... 13
1.2 Cat´egories................................... 16
1.2.1 Cat´egories additives Hom-finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2 Cat´egories ab´eliennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.3 Cat´egoriesexactes .......................... 22
1.2.4 FoncteursExt............................. 36
1.2.5 Approximations............................ 49
1.2.6 Modules basculants et ´equivalences d´eriv´ees . . . . . . . . . . . . 51
1.2.7 Cat´egories 2-Calabi-Yau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.2.8 Cat´egorie mono¨ ıdale ......................... 53
1.2.9 Cat´egorie module sur une cat´egorie mono¨ ıdale........... 58
1.3 Repr´esentations de carquois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.4 Alg`ebre pr´eprojective d’un carquois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.4.1 Les cat´egories Sub QJ........................ 62
1.4.2 Les cat´egories CM........................... 62
1.5 Syst`eme de racines et alg`ebre enveloppante . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2 Cat´egories ´equivariantes 65
2.1 Cat´egorie ´equivariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.2 Groupesfinis ................................. 78
2.2.1 Foncteurs −[G] et F......................... 78
2.2.2 Approximation ............................ 82
2.2.3 Action sur une cat´egorie exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.2.4 Action sur une cat´egorie de Frobenius 2-Calabi-Yau . . . . . . . . 89
2.3 Calcul de (kQ)Get de (ΛQ)G........................ 92
3 Alg`ebres amass´ees antisym´etrisables 111
3.1 Mutation des sous-cat´egories rigides maximales . . . . . . . . . . . . . . 111
3.2 Quasi-approximations rigides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.3 Endomorphismes ............................... 119
3.4 Matricesd’´echange .............................. 126
3.5 Caract`eresd’amas............................... 130
3.6 Ind´ependance lin´eaire des monˆomes d’amas . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
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