Probabilités élémentaires Année 2014–15 1. - IMJ-PRG

Université Pierre & Marie Curie Licence de Mathématiques L3
UE LM345 – Probabilités élémentaires Année 2014–15
TD6.
1. a) Soit Xune variable aléatoire à valeurs dans N. Montrer que si X2est intégrable,
alors Xest intégrable. Ce résultat reste-t-il vrai si l’on suppose que la loi de Xadmet
une densité ?
b) Soit m≥1un entier. Donner un exemple d’une variable aléatoire Xà valeurs dans N
telle que Xksoit intégrable pour tout kcompris entre 1et met E[Xm+1]=+∞.
Solution de l’exercice 1.
a) En utilisant l’inégalité |x| ≤ 1 + x2valable pour tout réel xet la positivité de l’espé-
rance, on obtient que E[|X|]≤1+E[X2], ce qui prouve que le résultat, sans hypothèse sur
la variable aléatoire réelle Xautre que l’existence d’un moment d’ordre 2. En particulier
c’est vrai si Xest à densité.
b) Notons, pour tout s > 1, ζ(s) = Pn≥1
1
ns. Considérons une variable aléatoire X:
(Ω,F,P)→N∗telle que pour tout n≥1on ait
P(X=n) = 1
ζ(m+ 2)
1
nm+2 .
Alors d’une part,
E[Xm] = 1
ζ(m+ 2) X
n≥1
1
n2=ζ(2) ζ(m+ 2) <+∞,
donc Xadmet un moment d’ordre met, d’autre part,
E[Xm+1] = 1
ζ(m+ 2) X
n≥1
1
n= +∞,
donc Xn’admet pas de moment d’ordre m+ 1.
2. On considère la fonction f:R→Rdéfinie par f(t) = 1
π
1
1 + t2.
a) Montrer que fest la densité d’une mesure de probabilités sur R.
Soit Xune variable aléatoire dont la loi admet la densité f.
b) La variable aléatoire Xest-elle intégrable ?
c) Calculer la fonction de répartition de X.
1

d) Calculer la loi de Y= arctan(X).
La loi considérée dans cet exercice s’appelle la loi de Cauchy standard.
Solution de l’exercice 2.
a) On effectue le changement de variable t= arctan x, et, comme arctan0=1
1+arctan2,
il vient
Z+∞
−∞
f(x)dx =1
πZπ/2
−π/2
dθ = 1.
fest donc la densité d’une probabilité.
b) x
1+x2∼xn’est pas intégrable au voisinage de l’infini, et donc Xn’est pas intégrable.
c) Par le changement de variable du a), on obtient
P(X≤a) = Za
−∞
f(x)dx =1
πZarctan a
−π/2
dθ =1
π[arctan a+π/2].
d) Soit b∈[−π/2, π/2]. On a, toujours par le même calcul,
P(Y≤b) = P(X≤tan b) = Ztan b
−∞
f(x)dx =1
πZb
−π/2
dθ =b
π+1 2.
Ysuit donc la loi uniforme sur [−π/2, π/2].
3. Soient λ, µ > 0deux réels. On considère l’ensemble Ω = N2, la tribu F=P(N2)et,
sur l’espace mesurable (Ω,F), la probabilité Pcaractérisée par
∀(n, m)∈N2,P({(n, m)}) = e−(λ+µ)λn
n!
µm
m!.
Enfin, sur (Ω,F,P), on définit les deux variables aléatoires X(n, m) = net Y(n, m) = m.
a) Vérifier que P(Ω) = 1.
b) Déterminer la loi de Xet la loi de Y.
c) Déterminer la loi de X+Y.
Solution de l’exercice 3.
a) On peut sommer la série double (car à termes positifs) dans l’ordre de son choix,
par exemple en mpuis en n. En reconnaissant le développement de l’exponentielle de µ,
on obtient :
X
m≥0
P({(n, m)}) = e−λλn
n!X
m≥0
e−µµm
m!=e−λλn n!,
et donc on a bien :
X
n≥0X m≥1
P({(n, m)}) = X
n≥0
e−λλn
n!= 1.
2

b) Le couple (X, Y )est à valeurs dans N2. La loi jointe du couple (X, Y ), notée P(X,Y ),
est caractérisée par la donnée de, ∀(n, m)∈N2,
P(X,Y )[{(n, m)}] = P[{(X, Y ) = (n, m)}] = P[{(n0, m0)∈N2: (X, Y )(n0, m0)=(n, m)}]
=P[(n0, m0)∈N2: (n0, m0) = (n, m)] = P[{(n, m)}] = e−λλn
n!e−µµm m!
La variable aléatoire Xest à valeurs dans N. D’après la formule des probabilités totales,
on a, pour tout n∈N:
P[X=n] = X
m∈N
P[X=n, Y =m] = X
m∈N
P[(X, Y ) = (n, m)]
=X
m∈N
P[{(n, m)}] = e−λλn
n!.
Donc Xsuit la loi de Poisson de paramètre λ.
Un calcul analogue montre que Ysuit la loi de Poisson de paramètre µ.
c) Déterminons la loi de X+Y. La variable aléatoire X+Yest à valeurs dans N. Soit
k∈N. Alors, d’après la formule des probabilités totales,
P[X+Y=k] = X
n∈N
P[X+Y=k, X =n]
=X
n∈N
P[X=n, Y =k−n] =
k
X
n=0
P[X=n, Y =k−n]
=
k
X
n=0
P({(n, k −n)}) =
k
X
n=0
e−(λ+µ)λn
n!
µk−n
(k−n)!
=e−(λ+µ)1
k!
k
X
n=0 n
kλkµk−n=e−(λ+µ)(λ+µ)k k!.
Donc X+Ysuit donc la loi de Poisson de paramètre λ+µ.
4. Lois discrètes classiques Calculer, de deux manières différentes, la loi de :
a) la somme de deux variables aléatoires indépendantes, l’une de loi de binomiale de
paramètres net p, l’autre de paramètres met p, où p∈[0,1] et m, n sont deux entiers.
b) la somme N1+. . .+Npoù les Nisont indépendantes et où Nisuit une loi de Poisson
de paramètre λi.
Solution de l’exercice 4.
3

Loi binômiales On peut procéder de plusieurs façons.
— On sait que la loi binomiale de paramètres net pest la loi de la somme de nvariables
aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre p. Soient X1, . . . , Xn+m
des variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées de loi de Bernoulli
de paramètre p. Posons Y=X1+. . . +Xnet Z=Xn+1 +. . . +Xn+m. Alors Yet
Zsont indépendantes, de lois respectives B(n, p)et B(m, p). Leur somme, qui est
Y+Z=X1+. . . +Xn+m, suit la loi B(n+m, p).
— Soient Yet Zindépendantes de lois respectives B(n, p)et B(m, p). Les fonctions
génératrices de Yet Zsont GY(s) = (1 −p+sp)net GZ(s) = (1 −p+sp)m.
Puisqu’elles sont indépendantes, la fonction génératrice de leur somme est le produit
des fonctions génératrices :
GY+Z(s) = E[sY+Z] = E[sY]E[sZ] = GY(s)GZ(s) = (1 −p+sp)n+m.
On reconnaît la fonction génératrice de la loi binomiale de paramètres n+met p.
Lois de Poisson La réponse est que N1+. . . +Npsuit une loi de Poisson de paramètre
λ1+. . . +λp. À nouveau deux approches sont possibles :
— Soient N1,N2deux variables aléatoires indépendantes, suivant une loi de Poisson
de paramètres λ1, λ2respectivement. Alors, la loi jointe du couple (N1, N2)est ca-
ractérisée par, pour tout (n, m)∈N2,
P(N1,N2)[{(n, m)}] = P[{(N1, N2) = (n, m)}] = P[{N1=n, N2=m}]
=P[{N1=n}]P[{N2=m}],par indépendance
=e−λ1λn
1
n!e−λ2λm
2
m!,
par définition de la loi de N1et N2. On retrouve la loi jointe de l’exercice 3. En
procédant comme dans l’exercice 3, on a, pour tout k∈N,
P[{N1+N2=k}] = X
n∈N
P[{N1+N2=k, N1=n}]
=X
n∈N
P[{N1=n, N2=k−n}] =
k
X
n=0
P[{N1=n, N2=k−n}]
=
k
X
n=0
e−(λ1+λ2)λn
1
n!
λk−n
2
(k−n)!
=e−(λ1+λ2)1
k!
k
X
n=0 n
kλk
1λk−n 2=e−(λ1+λ2)(λ1+λ2)k
k!.
Donc N1+N2suit donc la loi de Poisson de paramètre λ1+λ2.
On conclut en raisonnant par récurrence.
4

— On calcule la fonction génératrice de N1+N2+· · ·+Np. Pour chaque i∈ {1, . . . , p},
la fonction génératrice de Niest GNi(s) = eλi(s−1). Comme les variables aléatoires
N1, N2, . . . , Npsont indépendantes, la fonction génératrice de la somme est le produit
des fonctions génératrices :
GN1+···+Np(s) = E[sN1+···+Np] =
p
Y
i=1
E[sNi] =
p
Y
i=1
GNi(s) = e(Pn
i=1 λi)(s−1).
On reconnaît la fonction génératrice d’une loi de Poisson de paramètre λ1+. . . λp.
5. Somme de gaussiennes Soient Xet Ydes variables aléatoires indépendantes de
lois respectives N(µ1, σ2
1)et N(µ2, σ2 2). Soient a,bet cdes réels. Déterminer la loi de
aX +bY +c.
Solution de l’exercice 5. Soit gune fonction continue bornée R→R.
E[g(X+Y)] = 1
2πσ1σ2Z+∞
−∞ Z+∞ −∞
e−(x−µ1)2
2σ2
1
−(y−µ2)2
2σ2
2g(x+y)dydx.
On fait le changement de variable affine u=x+ydans l’intégrale par rapport à y:
E[g(X+Y)] = 1
2πσ1σ2Z+∞
−∞ Z+∞ −∞
e−(x−µ1)2
2σ2
1
−(u−x−µ2)2
2σ2
2g(u)dudx.
On écrit le trinôme dans l’exponentielle sous forme canonique :
(x−µ1)2
2σ2
1
+(u−x−µ2)2
2σ2
2
=σ2
1+σ2 2
σ2
1σ2 2(x−λu)2+µ2
1
σ2
1
+(u−µ2)2
σ2
2
−σ2
1+σ2 2
σ2
1σ2 2
λ2
u,
avec λu:= σ2
1µ1+σ2 2(u−µ2)
σ2
1+σ2 2.
En développant λ2
u, on obtient
µ2
1
σ2
1
+(u−µ2)2
σ2
2
−σ2
1+σ2 2
σ2
1σ2 2
λ2
u
=µ2
1
σ2
11−σ2
2
σ2
1+σ2 2+(u−µ2)2
σ2
21−σ2
1
σ2
1+σ2 2−2µ1(u−µ2)
σ2
1+σ2 2
=µ2
1
σ2
1+σ2 2
+(u−µ2)2
σ2
1+σ2 2
−2µ1(u−µ2)
σ2
1+σ2 2
=(u−µ1−µ2)2
σ2
1+σ2 2
.
Autrement dit, le trinôme de l’exponentielle s’écrit
(x−µ1)2
2σ2
1
+(u−x−µ2)2
2σ2
2
=σ2
1+σ2 2
σ2
1σ2 2(x−λu)2+(u−µ1−µ2)2
σ2
1+σ2 2
.
5