Loi binômiales On peut procéder de plusieurs façons.
— On sait que la loi binomiale de paramètres net pest la loi de la somme de nvariables
aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre p. Soient X1, . . . , Xn+m
des variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées de loi de Bernoulli
de paramètre p. Posons Y=X1+. . . +Xnet Z=Xn+1 +. . . +Xn+m. Alors Yet
Zsont indépendantes, de lois respectives B(n, p)et B(m, p). Leur somme, qui est
Y+Z=X1+. . . +Xn+m, suit la loi B(n+m, p).
— Soient Yet Zindépendantes de lois respectives B(n, p)et B(m, p). Les fonctions
génératrices de Yet Zsont GY(s) = (1 −p+sp)net GZ(s) = (1 −p+sp)m.
Puisqu’elles sont indépendantes, la fonction génératrice de leur somme est le produit
des fonctions génératrices :
GY+Z(s) = E[sY+Z] = E[sY]E[sZ] = GY(s)GZ(s) = (1 −p+sp)n+m.
On reconnaît la fonction génératrice de la loi binomiale de paramètres n+met p.
Lois de Poisson La réponse est que N1+. . . +Npsuit une loi de Poisson de paramètre
λ1+. . . +λp. À nouveau deux approches sont possibles :
— Soient N1,N2deux variables aléatoires indépendantes, suivant une loi de Poisson
de paramètres λ1, λ2respectivement. Alors, la loi jointe du couple (N1, N2)est ca-
ractérisée par, pour tout (n, m)∈N2,
P(N1,N2)[{(n, m)}] = P[{(N1, N2) = (n, m)}] = P[{N1=n, N2=m}]
=P[{N1=n}]P[{N2=m}],par indépendance
=e−λ1λn
1
n!e−λ2λm
2
m!,
par définition de la loi de N1et N2. On retrouve la loi jointe de l’exercice 3. En
procédant comme dans l’exercice 3, on a, pour tout k∈N,
P[{N1+N2=k}] = X
n∈N
P[{N1+N2=k, N1=n}]
=X
n∈N
P[{N1=n, N2=k−n}] =
k
X
n=0
P[{N1=n, N2=k−n}]
=
k
X
n=0
e−(λ1+λ2)λn
1
n!
λk−n
2
(k−n)!
=e−(λ1+λ2)1
k!
k
X
n=0 n
kλk
1λk−n
2=e−(λ1+λ2)(λ1+λ2)k
k!.
Donc N1+N2suit donc la loi de Poisson de paramètre λ1+λ2.
On conclut en raisonnant par récurrence.
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